\chapter{Distanza punto-retta}\label{cap:GA-004}

\citazioneinizio{%
  Tra tutti i segmenti che da un punto esterno si possono condurre a una retta, la perpendicolare è il più breve.%
}{Corollario della Proposizione I.19, Euclide, \emph{Elementi} (\textsc{iii} sec.\,a.C.)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:ga-004-01-introduzione-motivazionale}
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Nei capitoli precedenti abbiamo imparato a misurare la distanza tra \emph{due punti} (\ref{cap:GA-001}) e a scrivere l'equazione di una \emph{retta} (\ref{cap:GA-002}). Adesso colmiamo la naturale lacuna: quanto dista un punto da una retta?

In geometria sintetica la \textbf{distanza tra un punto e una retta} è definita come la \emph{distanza più breve} che separa il punto dalla retta, e coincide con la lunghezza del segmento perpendicolare condotto dal punto alla retta (il \emph{piede della perpendicolare}). Questo concetto era già perfettamente noto a Euclide.

In geometria analitica, questa distanza ammette una formula chiusa, molto compatta, che evita ogni costruzione esplicita:
\[
  d(P, r) = \frac{|a\,x_0 + b\,y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
dove $P(x_0, y_0)$ e $r: ax + by + c = 0$. Bastano una sostituzione e una radice quadrata, e si ottiene immediatamente la distanza senza bisogno di trovare il piede della perpendicolare. Questa è la formula \emph{cardine} di questo capitolo, e una delle più usate in tutto il resto della geometria analitica.

Con essa potremo poi rivisitare in modo più potente concetti già incontrati: l'\emph{altezza di un triangolo} (distanza di un vertice dalla retta del lato opposto), l'\emph{asse di un segmento} (luogo dei punti equidistanti dai due estremi, \ref{cap:GA-003}), la \emph{bisettrice di un angolo} (luogo dei punti equidistanti dai due lati dell'angolo).

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\section{Formula della distanza punto-retta}\label{sec:ga-004-01-formula-della-distanza-punto-retta}
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\begin{teorema}[Distanza punto-retta]
La distanza di un punto $P(x_0, y_0)$ dalla retta $r$ di equazione implicita $ax + by + c = 0$ (con $(a, b) \neq (0, 0)$) è
\[
  d(P, r) = \frac{|a\,x_0 + b\,y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  d(P, r) = \dfrac{|a\,x_0 + b\,y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione.} Sia $H$ il piede della perpendicolare da $P$ alla retta $r$. La distanza cercata è $\overline{PH}$. Mostriamo che $\overline{PH}^2 = (ax_0 + by_0 + c)^2/(a^2 + b^2)$.

Sia $H(x_H, y_H)$. Per costruzione, $H \in r$ e il segmento $PH$ è perpendicolare a $r$. Il \emph{vettore direzione} della retta $r$ è proporzionale a $(b, -a)$ (perché se sostituiamo $(x_0 + b, y_0 - a)$ in $a(x_0 + b) + b(y_0 - a) + c = ax_0 + by_0 + c$, vediamo che incrementare la posizione di $(b, -a)$ non altera il valore di $ax + by + c$, quindi mantiene il punto sulla retta). Il vettore \emph{normale} a $r$ è dunque $(a, b)$.

Esprimiamo $\vec{PH}$ come multiplo di $(a, b)$: $\vec{PH} = t\,(a, b)$ per qualche scalare $t$. Cioè $H = (x_0 + t a,\ y_0 + t b)$.

Imponendo $H \in r$:
\[
  a(x_0 + ta) + b(y_0 + tb) + c = 0
  \implies (ax_0 + by_0 + c) + t(a^2 + b^2) = 0
  \implies t = -\frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}.
\]
Allora
\[
  \overline{PH}^2 = (ta)^2 + (tb)^2 = t^2 (a^2 + b^2) = \frac{(ax_0 + by_0 + c)^2}{a^2 + b^2}.
\]
Estraendo la radice e prendendo il valore assoluto:
\[
  \overline{PH} = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.
\]

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->, thin] (-0.5, 0) -- (6, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, thin] (0, -0.5) -- (0, 4.5) node[above] {$y$};
  \node[below left] at (0, 0) {$O$};
  % Retta r
  \draw[thick, BLU, domain=-0.3:5.5] plot (\x, {0.4*\x + 0.6});
  \node[BLU, right] at (5.5, 2.8) {\small $r$};
  % Punto P esterno
  \filldraw[ROSSO] (1.5, 3.5) circle (2pt) node[above right, ROSSO] {$P$};
  % Piede della perpendicolare H
  % Retta r: y = 0.4x + 0.6, perpendicolare per P: m = -1/0.4 = -2.5
  % H è intersezione: 0.4x + 0.6 = -2.5(x-1.5) + 3.5 => 0.4x + 0.6 = -2.5x + 3.75 + 3.5
  %   => 2.9x = 6.65 => x ≈ 2.293, y = 0.4*2.293 + 0.6 ≈ 1.517
  \filldraw[VERDE!70!black] (2.293, 1.517) circle (2pt) node[below right, VERDE!70!black] {$H$};
  % Segmento perpendicolare PH
  \draw[thick, VERDE!70!black, ->] (1.5, 3.5) -- (2.293, 1.517);
  \node[VERDE!70!black] at (2.4, 2.7) {\small $d$};
  % Quadratino dell'angolo retto in H (rotato)
  \draw[VERDE!70!black] ($(2.293, 1.517) + (0.15, 0.07)$) -- ($(2.293, 1.517) + (0.22, -0.13)$) -- ($(2.293, 1.517) + (0.07, -0.20)$);
  % Linea tratteggiata da P parallela alla retta per illustrare
  \node[ROSSO, right] at (1.6, 3.6) {\small $(x_0, y_0)$};
\end{tikzpicture}
\caption{Distanza tra il punto $P(x_0, y_0)$ e la retta $r$: si misura sulla \emph{perpendicolare} da $P$ a $r$, dove $H$ è il piede. La formula chiusa $d = |ax_0 + by_0 + c|/\sqrt{a^2+b^2}$ evita di calcolare esplicitamente $H$.}
\label{fig:ga-004-distanza-pr}
\end{figure}

\begin{nota}[Vantaggi della formula]
\begin{itemize}
  \item Non richiede di calcolare il piede $H$.
  \item Il \emph{segno} di $ax_0 + by_0 + c$ (prima del valore assoluto) indica da quale \emph{semipiano} di $r$ si trova $P$: due punti dallo stesso lato hanno lo stesso segno; due punti da lati opposti hanno segni opposti. (Comodo per verificare se due punti sono dalla stessa parte di una retta.)
  \item Se $P$ \emph{appartiene} alla retta, $ax_0 + by_0 + c = 0$ e quindi $d = 0$. \checkmark
  \item Il denominatore $\sqrt{a^2 + b^2}$ è una costante della retta; alcuni autori preferiscono \emph{normalizzare} l'equazione dividendo per $\sqrt{a^2+b^2}$ (\emph{forma normale di Hesse}), così la distanza si legge direttamente come $|a' x_0 + b' y_0 + c'|$.
\end{itemize}
\end{nota}

\begin{esempio}[Distanza punto-retta]
Calcolare la distanza del punto $P(2, 5)$ dalla retta $r: 3x + 4y - 12 = 0$.

\textit{Soluzione.}
\[
  d = \frac{|3\cdot 2 + 4\cdot 5 - 12|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|6 + 20 - 12|}{\sqrt{25}} = \frac{14}{5} = \num{2.8}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Retta in forma esplicita]
Calcolare la distanza del punto $P(1, -2)$ dalla retta $r: y = 2x - 3$.

\textit{Soluzione.} Prima riscrivo in forma implicita: $2x - y - 3 = 0$. Quindi $a = 2$, $b = -1$, $c = -3$.
\[
  d = \frac{|2\cdot 1 + (-1)\cdot(-2) - 3|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|2 + 2 - 3|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Distanza dall'origine]
Distanza dell'origine $O(0, 0)$ dalla retta $r: ax + by + c = 0$:
\[
  d(O, r) = \frac{|a\cdot 0 + b\cdot 0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
\]
Per esempio, distanza dell'origine dalla retta $3x + 4y - 10 = 0$: $|-10|/\sqrt{25} = 10/5 = 2$.
\end{esempio}

\begin{nota}[Casi degeneri della retta]
\begin{itemize}
  \item Retta verticale $x = h$, cioè $1\cdot x + 0\cdot y - h = 0$: distanza di $P(x_0, y_0)$:
        \[
          d = \frac{|x_0 - h|}{\sqrt{1+0}} = |x_0 - h|.
        \]
        (Naturalmente: la distanza orizzontale tra $P$ e $x=h$.)
  \item Retta orizzontale $y = k$, cioè $0\cdot x + 1\cdot y - k = 0$: $d = |y_0 - k|$.
\end{itemize}
\end{nota}

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\section{Applicazioni: altezza di un triangolo}\label{sec:ga-004-02-applicazioni-altezza-di-un-triangolo}
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L'\textbf{altezza} di un triangolo relativa a un lato è la distanza dal vertice opposto alla retta che contiene il lato. Con la formula della distanza punto-retta, il calcolo è immediato.

\begin{esempio}[Altezza relativa a un lato]
Calcolare l'altezza relativa al lato $BC$ del triangolo $A(1, 4)$, $B(0, 0)$, $C(6, 0)$.

\textit{Soluzione.} Il lato $BC$ giace sulla retta $y = 0$ (asse $x$). Distanza di $A$ da questa retta: $|4| = 4$.

Verifica dell'area: $A = b\cdot h/2 = 6\cdot 4/2 = 12$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Altezza in caso generale]
Calcolare l'altezza relativa al lato $BC$ del triangolo $A(2, 5)$, $B(0, 0)$, $C(6, 2)$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item Retta $BC$: passa per $B(0,0)$ e $C(6,2)$. $m = 2/6 = 1/3$. Equazione $y = x/3$, cioè $x - 3y = 0$.
  \item Distanza di $A(2, 5)$ dalla retta $x - 3y = 0$:
        \[
          h = \frac{|2 - 3\cdot 5|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{|-13|}{\sqrt{10}} = \frac{13}{\sqrt{10}} = \frac{13\sqrt{10}}{10}.
        \]
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Area di un triangolo via base e altezza]
Calcolare l'area del triangolo precedente.

\textit{Soluzione.} Lato $BC = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$. Quindi
\[
  A = \frac{\overline{BC}\cdot h}{2} = \frac{2\sqrt{10}\cdot \tfrac{13\sqrt{10}}{10}}{2} = \frac{2\cdot 13\cdot 10}{2\cdot 10} = 13.
\]

(Verifica con la formula della scarpa di Gauss, \ref{cap:GA-001}:
\[
  A = \tfrac{1}{2}|2(0-2) + 0(2-5) + 6(5-0)| = \tfrac{1}{2}|-4 + 0 + 30| = 13. \checkmark)
\]
\end{esempio}

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\section{Asse di un segmento rivisitato}\label{sec:ga-004-03-asse-di-un-segmento-rivisitato}
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In geometria euclidea, l'\textbf{asse} di un segmento $\overline{AB}$ è definito come il \emph{luogo dei punti equidistanti dagli estremi}:
\[
  \text{asse}(AB) = \{P : \overline{PA} = \overline{PB}\}.
\]
Si dimostra (\ref{cap:GE-012}) che questo luogo è la retta perpendicolare al segmento, passante per il suo punto medio.

In geometria analitica, possiamo ricavarne l'equazione direttamente dalla definizione.

\begin{teorema}[Equazione dell'asse di un segmento]
Dati $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$, l'asse di $\overline{AB}$ ha equazione
\[
  (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2,
\]
che dopo sviluppo e semplificazione si riduce a un'equazione lineare in $x, y$ — quindi rappresenta una retta (\ref{cap:GA-002}).
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} L'equazione $\overline{PA} = \overline{PB}$ in coordinate, elevando al quadrato (le distanze sono $\geq 0$), diventa esattamente quella sopra. Sviluppando i quadrati:
\[
  x^2 - 2 x x_A + x_A^2 + y^2 - 2y y_A + y_A^2 = x^2 - 2 x x_B + x_B^2 + y^2 - 2 y y_B + y_B^2.
\]
I termini $x^2$ e $y^2$ si cancellano, restando un'equazione lineare in $x$ e $y$:
\[
  2(x_B - x_A) x + 2(y_B - y_A) y + (x_A^2 + y_A^2 - x_B^2 - y_B^2) = 0.
\]

\begin{esempio}[Asse di un segmento]
Asse del segmento $A(1, 2)$, $B(5, 6)$.

\textit{Soluzione.}
\[
  (x-1)^2 + (y-2)^2 = (x-5)^2 + (y-6)^2.
\]
Sviluppo: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 12y + 36$.

Semplifico (cancellando $x^2$ e $y^2$): $-2x + 1 - 4y + 4 = -10x + 25 - 12y + 36$.

$8x + 8y - 56 = 0$, cioè $x + y - 7 = 0$ ovvero $y = -x + 7$.

(Verifica via [[cap:GA-003]]: punto medio $M = (3, 4)$ — appartiene? $3 + 4 - 7 = 0$ \checkmark. Coeff.\ angolare di $AB$: $(6-2)/(5-1) = 1$. Quello dell'asse deve essere $-1$ \checkmark.)
\end{esempio}

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\section{Bisettrice di angolo rivisitato}\label{sec:ga-004-04-bisettrice-di-angolo-rivisitato}
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Analogamente, in geometria euclidea, la \textbf{bisettrice} di un angolo è definita come il \emph{luogo dei punti equidistanti dai due lati} dell'angolo. Due rette incidenti $r, s$ formano due coppie di angoli opposti al vertice, e hanno quindi \emph{due bisettrici}, perpendicolari tra loro.

\begin{teorema}[Bisettrici di due rette]
Date due rette $r: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ e $s: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$, le due bisettrici degli angoli da esse formati hanno equazioni
\[
  \frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm\,\frac{a_2 x + b_2 y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}.
\]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} La condizione ``$P$ equidistante da $r$ e $s$'' si scrive
\[
  \frac{|a_1 x + b_1 y + c_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \frac{|a_2 x + b_2 y + c_2|}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}.
\]
Togliere il valore assoluto produce due equazioni (corrispondenti ai due segni $\pm$), che sono le due bisettrici.

\begin{nota}[Bisettrici interne e esterne]
Geometricamente, le due bisettrici corrispondono a due rette perpendicolari tra loro: la \emph{bisettrice interna} (di una coppia di angoli) e la \emph{bisettrice esterna} (di quelli adiacenti). Per decidere quale è quale in un contesto specifico, conviene controllare un punto noto (per esempio l'interno del triangolo se si stanno cercando le bisettrici dei suoi angoli interni).
\end{nota}

\begin{esempio}[Bisettrici degli assi cartesiani]
Cercare le bisettrici di $r: y = 0$ (asse $x$) e $s: x = 0$ (asse $y$).

\textit{Soluzione.} Forma normalizzata: $\sqrt{a^2+b^2} = 1$ in entrambi i casi. La condizione di equidistanza:
\[
  |y| = |x| \implies y = x \ \text{o} \ y = -x.
\]
Le due bisettrici sono le \emph{bisettrici del I-III e del II-IV quadrante}, come ci aspettavamo (\ref{cap:GA-002}). Sono ortogonali tra loro.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Bisettrici di due rette generiche]
Cercare le bisettrici di $r: 3x + 4y - 12 = 0$ e $s: 5x - 12y + 26 = 0$.

\textit{Soluzione.} $\sqrt{a_1^2+b_1^2} = 5$, $\sqrt{a_2^2+b_2^2} = 13$. Condizione:
\[
  \frac{3x + 4y - 12}{5} = \pm\frac{5x - 12y + 26}{13}.
\]
Moltiplicando entrambi i membri per $65 = 5\cdot 13$:
\[
  13(3x + 4y - 12) = \pm 5(5x - 12y + 26).
\]
Caso $+$: $39x + 52y - 156 = 25x - 60y + 130 \Rightarrow 14x + 112y - 286 = 0 \Rightarrow x + 8y - \tfrac{143}{7}$\ldots Semplifico: divisione per $2$ dà $7x + 56y - 143 = 0$, e per $7$ niente di intero. Semplifica per $14$: niente. Lascio come $14x + 112y - 286 = 0$, ovvero $7x + 56y - 143 = 0$, cioè $x + 8y = 143/7$ — non sembra particolarmente bella numericamente. Verifica con calcoli: ok, è una retta valida.

Caso $-$: $39x + 52y - 156 = -25x + 60y - 130 \Rightarrow 64x - 8y - 26 = 0 \Rightarrow 32x - 4y - 13 = 0$.

(Verifica che le due bisettrici sono perpendicolari: $m_1 = -7/56 = -1/8$, $m_2 = 32/4 = 8$. Prodotto: $-1/8 \cdot 8 = -1$ \checkmark.)
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:ga-004-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Distanza tra due rette parallele]
Due rette parallele $r_1: 3x - 4y + 5 = 0$ e $r_2: 3x - 4y - 15 = 0$. Calcolare la loro distanza.

\textit{Soluzione.} La distanza tra due rette parallele è la distanza di un qualsiasi punto dell'una dall'altra. Scelgo un punto di $r_1$: per $x = 5$, $r_1$ dà $15 - 4y + 5 = 0 \Rightarrow y = 5$. Punto $P(5, 5) \in r_1$.

Distanza di $P$ da $r_2$:
\[
  d = \frac{|3\cdot 5 - 4\cdot 5 - 15|}{\sqrt{9+16}} = \frac{|15 - 20 - 15|}{5} = \frac{20}{5} = 4.
\]

\textit{Soluzione alternativa.} Per rette parallele in forma $ax + by + c_1 = 0$ e $ax + by + c_2 = 0$, la distanza è $|c_1 - c_2|/\sqrt{a^2+b^2}$. Qui: $|5 - (-15)|/5 = 20/5 = 4$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Punto a distanza data]
Trovare i punti dell'asse $x$ che distano $3$ dalla retta $r: 4x + 3y - 6 = 0$.

\textit{Soluzione.} Punto generico sull'asse $x$: $P(x_0, 0)$. Distanza:
\[
  \frac{|4x_0 + 0 - 6|}{\sqrt{16+9}} = 3 \implies \frac{|4x_0 - 6|}{5} = 3 \implies |4x_0 - 6| = 15.
\]
Due casi: $4x_0 - 6 = 15 \Rightarrow x_0 = 21/4$, oppure $4x_0 - 6 = -15 \Rightarrow x_0 = -9/4$.

I punti sono $P_1(21/4, 0)$ e $P_2(-9/4, 0)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Retta a distanza data]
Trovare l'equazione delle rette parallele a $r: 2x - y + 1 = 0$ e distanti $\sqrt{5}$ da essa.

\textit{Soluzione.} Le rette parallele hanno la stessa parte direzionale: $2x - y + k = 0$. Distanza dalla retta $r$:
\[
  \frac{|k - 1|}{\sqrt{4+1}} = \sqrt{5} \implies |k - 1| = 5 \implies k = 6 \ \text{o} \ k = -4.
\]
Le due rette sono $2x - y + 6 = 0$ e $2x - y - 4 = 0$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Distanza del baricentro da un lato]
Triangolo $A(0, 0), B(6, 0), C(0, 6)$. Calcolare la distanza del baricentro $G$ dalla retta $BC$.

\textit{Soluzione.} Baricentro: $G = (2, 2)$ (\ref{cap:GA-001}). Retta $BC$: passa per $(6,0)$ e $(0,6)$, equazione $x + y - 6 = 0$.

$d = |2 + 2 - 6|/\sqrt{1+1} = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2}$.

(Nota didattica: il baricentro dista da ogni lato $1/3$ dell'altezza relativa a quel lato. Verifica: altezza relativa a $BC$ è la distanza di $A(0,0)$ da $x+y-6=0$: $|0+0-6|/\sqrt{2}=3\sqrt{2}$. Un terzo: $\sqrt{2}$. \checkmark)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Centro di una circonferenza inscritta]
Il \emph{centro della circonferenza inscritta} in un triangolo è il punto di intersezione delle tre \emph{bisettrici interne}, equidistante dai tre lati. Trovare le coordinate del centro della circonferenza inscritta nel triangolo $A(0, 0), B(8, 0), C(0, 6)$, e il raggio della circonferenza.

\textit{Soluzione.} Lati: $AB$ è $y = 0$; $AC$ è $x = 0$; $BC$ passa per $(8,0)$ e $(0,6)$, $\overline{BC} = 10$, equazione $3x + 4y - 24 = 0$ (verifica: $\sqrt{9+16}=5$).

Centro $I(x, y)$ deve avere $d(I, AB) = d(I, AC) = d(I, BC)$:
\begin{itemize}
  \item $d(I, AB) = |y| = y$ (interno del triangolo: $y > 0$);
  \item $d(I, AC) = |x| = x$;
  \item $d(I, BC) = |3x + 4y - 24|/5 = (24 - 3x - 4y)/5$ (interno: l'espressione è positiva).
\end{itemize}
Sistema:
\[
  x = y \quad \text{e} \quad y = \frac{24 - 3x - 4y}{5}.
\]
Sostituisco $y = x$: $5y = 24 - 3y - 4y \Rightarrow 12y = 24 \Rightarrow y = 2$. Quindi $I(2, 2)$, raggio $r = 2$.

(Il raggio della circonferenza inscritta di un triangolo si chiama \emph{inradius}; per un triangolo rettangolo di cateti $a, b$ e ipotenusa $c$, vale $r = (a + b - c)/2 = (6 + 8 - 10)/2 = 2$. \checkmark)
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:ga-004-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcola la distanza del punto $P$ dalla retta $r$:
        \begin{itemize}
          \item (a) $P(0, 0)$, $r: 3x + 4y - 10 = 0$;
          \item (b) $P(2, 3)$, $r: x + y - 1 = 0$;
          \item (c) $P(-1, 4)$, $r: 5x - 12y + 26 = 0$;
          \item (d) $P(1, 1)$, $r: y = 2x + 3$;
          \item (e) $P(3, 5)$, $r: y = 5$;
          \item (f) $P(3, 5)$, $r: x = -2$.
        \end{itemize}
  \item Calcola la distanza tra le due rette parallele:
        \begin{itemize}
          \item (a) $3x + 4y - 7 = 0$ e $3x + 4y + 8 = 0$;
          \item (b) $y = 2x + 1$ e $y = 2x - 4$.
        \end{itemize}
  \item Trova le altezze relative ai tre lati del triangolo $A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4)$ e verifica con la formula dell'area $A = b\cdot h/2$.
  \item Calcola l'area del triangolo $A(1, 2), B(7, 3), C(4, 8)$ usando base e altezza (con la formula della distanza punto-retta), e confronta con la formula della scarpa (\ref{cap:GA-001}).
  \item Trova i punti dell'asse $y$ che distano $5$ dalla retta $r: 3x + 4y - 10 = 0$.
  \item Trova le rette parallele a $r: x + 2y - 4 = 0$ e distanti $\sqrt{5}$ da essa.
  \item Trova l'equazione dell'asse del segmento di estremi:
        \begin{itemize}
          \item (a) $A(0, 0)$ e $B(4, 6)$;
          \item (b) $A(-1, 3)$ e $B(5, -1)$.
        \end{itemize}
        Ricavalo sia con la condizione $\overline{PA} = \overline{PB}$ (questo capitolo) sia con la formula del punto medio + perpendicolare (\ref{cap:GA-003}). Verifica che il risultato coincida.
  \item Trova le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette:
        \begin{itemize}
          \item (a) $r: 3x + 4y - 5 = 0$ e $s: 4x - 3y + 1 = 0$;
          \item (b) $r: x + y = 0$ e $s: x - y = 0$.
        \end{itemize}
        Verifica nei due casi che le bisettrici sono perpendicolari tra loro.
  \item Calcola le coordinate del centro della circonferenza inscritta nel triangolo $A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8)$.
  \item Verifica se i due punti $P(1, 5)$ e $Q(4, -1)$ sono dallo stesso lato della retta $r: 2x - y + 3 = 0$ (usando il segno di $ax + by + c$).
  \item Trova il valore di $k$ in modo che la distanza del punto $P(2, k)$ dalla retta $r: 3x - 4y + 5 = 0$ sia uguale a $3$.
  \item (Discussione.) Mostra che la \emph{distanza} di un punto generico $(x_0, y_0)$ dalla retta $y = mx + q$ (in forma esplicita) è data dalla formula
        \[
          d = \frac{|y_0 - mx_0 - q|}{\sqrt{1 + m^2}}.
        \]
  \item (Sfida.) Trova il punto $P$ della retta $r: 2x - y + 1 = 0$ che minimizza la somma delle distanze da $A(0, 0)$ e $B(4, 2)$. (Suggerimento: principio del raggio luminoso riflesso — esiste una costruzione geometrica elegante.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:ga-004-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Definizione}: la distanza di un punto da una retta è la distanza più breve, ovvero quella misurata lungo la perpendicolare (Euclide).
  \item \emph{Formula della distanza punto-retta} (cardine del capitolo):
        \[
          d(P, r) = \frac{|a\,x_0 + b\,y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}},\qquad r: ax + by + c = 0.
        \]
  \item Il \emph{segno} di $ax_0 + by_0 + c$ (prima del valore assoluto) indica da quale semipiano si trova $P$ — utile per verificare se due punti sono dalla stessa parte di una retta.
  \item \emph{Casi particolari}: $r: x = h \Rightarrow d = |x_0 - h|$; $r: y = k \Rightarrow d = |y_0 - k|$.
  \item \emph{Distanza tra due rette parallele} $ax+by+c_1=0$ e $ax+by+c_2=0$:
        \[
          d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
        \]
  \item \emph{Altezza di un triangolo} relativa a un lato = distanza dal vertice opposto alla retta del lato. Permette di calcolare l'area come $A = b\cdot h/2$.
  \item \emph{Asse di un segmento} come luogo equidistante dagli estremi:
        \[
          (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = (x-x_B)^2 + (y-y_B)^2,
        \]
        si riduce a un'equazione lineare (retta). Coincide con la perpendicolare per il punto medio (\ref{cap:GA-003}).
  \item \emph{Bisettrici di due rette} come luogo equidistante dalle due rette:
        \[
          \frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = \pm\frac{a_2 x + b_2 y + c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.
        \]
        Due rette: bisettrice interna ed esterna, sempre perpendicolari tra loro.
  \item \emph{Centro della circonferenza inscritta} (\emph{incentro}) in un triangolo: punto equidistante dai tre lati, intersezione delle tre bisettrici interne.
  \item \emph{Prossimi passi}: \emph{trasformazioni geometriche del piano} (\ref{cap:GA-005}), \emph{coniche} (parabola \ref{cap:GA-006}, circonferenza \ref{cap:GA-007}, ellisse \ref{cap:GA-008}). Tutte useranno costantemente la formula della distanza.
\end{itemize}
\end{riepilogo}