\chapter{Iperbole equilatera riferita ai propri assi e agli asintoti}\label{cap:GA-010}

\citazioneinizio{Anche le costruzioni più semplici, ruotate del giusto angolo, rivelano una nuova natura.}{adattamento di un'idea di Cartesio sul cambio di assi (parafrasi)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:ga-010-01-introduzione-motivazionale}
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Nel capitolo precedente (\ref{cap:GA-009}) abbiamo studiato l'iperbole
nella sua forma generale. Una situazione particolarmente importante
nelle applicazioni si verifica quando i due semiassi sono
\emph{uguali}: l'\textbf{iperbole equilatera}. Nasce così una curva
con eccentricità $e = \sqrt{2}$ e asintoti perpendicolari fra loro
(orientati a $\pm \SI{45}{\degree}$ rispetto agli assi).

Sull'iperbole equilatera si concentrano due idee centrali:

\begin{itemize}
  \item Se la si scrive \emph{riferita ai propri assi} di simmetria,
        ha l'equazione $x^2 - y^2 = a^2$: una formula compatta e
        simmetrica, importante in trigonometria iperbolica (le
        funzioni $\cosh$ e $\sinh$ parametrizzano proprio questa
        curva).
  \item Se invece la si riferisce ai \emph{propri asintoti}
        (ruotando il sistema di assi di $\SI{45}{\degree}$),
        assume la forma celebre $xy = k$. È la forma con cui appare
        ovunque in matematica e in fisica: la legge di Boyle dei gas
        ideali ($pV = $ cost.), la relazione di proporzionalità
        inversa $y = k/x$, la curva di domanda/offerta in economia,
        e la \textbf{funzione omografica}
        $y = (ax+b)/(cx+d)$, che è proprio un'iperbole equilatera
        traslata.
\end{itemize}

Studieremo entrambe le forme, mostreremo come si passa dall'una
all'altra tramite una rotazione, e ne dedurremo proprietà importanti
della funzione omografica.

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\section{Iperbole equilatera riferita ai propri assi}\label{sec:ga-010-02-iperbole-equilatera-riferita-ai-propri-assi}
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\begin{definizione}{Iperbole equilatera (forma canonica)}
Un'iperbole si dice \textbf{equilatera} quando i suoi due semiassi
sono uguali: $a = b$. Riferita ai propri assi di simmetria,
con i fuochi sull'asse $x$, ha equazione:
%
\begin{formulabox}
\[ x^2 - y^2 = a^2 \label{eq:ga-010-equilatera-assi} \]
\end{formulabox}
\end{definizione}

\noindent dove $a > 0$. La forma equivalente
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{a^2} = 1$
mostra che si tratta del caso $b = a$ dell'iperbole generale del
capitolo precedente.

\textbf{Proprietà}:
\begin{itemize}
  \item Vertici: $A_1(-a, 0)$, $A_2(+a, 0)$.
  \item Distanza focale: $c = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$;
        fuochi $F_{1,2}(\pm a\sqrt{2}, 0)$.
  \item \textbf{Eccentricità}: $e = c/a = \sqrt{2} \approx \num{1.414}$.
        È un valore caratteristico, identico per tutte le iperboli
        equilatere.
  \item \textbf{Asintoti}: $y = \pm x$, cioè le bisettrici del primo
        e terzo quadrante (per $y = x$) e del secondo e quarto (per
        $y = -x$). Sono \emph{perpendicolari} fra loro, e formano
        angoli di $\SI{45}{\degree}$ con gli assi.
\end{itemize}

Se invece i fuochi sono sull'asse $y$, l'equazione diventa
$y^2 - x^2 = a^2$: gli asintoti sono ancora $y = \pm x$, ma i rami si
sviluppano in alto e in basso anziché a destra e a sinistra.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % assi
  \draw[->, thick] (-3.5,0) -- (3.5,0); \node[right] at (3.5,0) {$x$};
  \draw[->, thick] (0,-3) -- (0,3); \node[above] at (0,3) {$y$};
  % asintoti y = ±x
  \draw[VERDE, very thick, dashed] (-3,-3) -- (3,3);
  \draw[VERDE, very thick, dashed] (-3,3) -- (3,-3);
  \node[VERDE, font=\small] at (3.0,2.7) {$y=x$};
  \node[VERDE, font=\small] at (3.0,-2.7) {$y=-x$};
  % iperbole equilatera x^2 - y^2 = 1 (a=1)
  \draw[BLU, very thick, domain=-1.7:1.7, smooth, samples=80]
    plot ({1*cosh(\x)}, {1*sinh(\x)});
  \draw[BLU, very thick, domain=-1.7:1.7, smooth, samples=80]
    plot ({-1*cosh(\x)}, {1*sinh(\x)});
  % vertici e fuochi
  \fill[ROSSO] (1,0) circle (2.5pt) node[below, font=\small] {$A_2$};
  \fill[ROSSO] (-1,0) circle (2.5pt) node[below, font=\small] {$A_1$};
  \fill[ARANCIO] (1.414,0) circle (2pt);
  \fill[ARANCIO] (-1.414,0) circle (2pt);
  \node[ARANCIO, font=\footnotesize] at (1.55,-0.3) {$F_2$};
  \node[ARANCIO, font=\footnotesize] at (-1.55,-0.3) {$F_1$};
  % angolo 45° per indicare la perpendicolarità degli asintoti
  \draw[GRIGIO, thick] (0.8,0) arc (0:45:0.8);
  \node[GRIGIO, font=\footnotesize] at (1.1,0.35) {$45^\circ$};
\end{tikzpicture}
\caption{Iperbole equilatera $x^2 - y^2 = a^2$ riferita ai propri
assi (per $a = 1$). Asintoti $y = \pm x$ a $\SI{45}{\degree}$ dagli
assi, perpendicolari fra loro. Vertici $A_1, A_2$ a distanza $a$
dall'origine; fuochi $F_1, F_2$ a distanza $a\sqrt{2}$.
Eccentricità $e = \sqrt{2}$.}
\label{fig:ga-010-equilatera-assi}
\end{figure}

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\section{Iperbole equilatera riferita agli asintoti}\label{sec:ga-010-03-iperbole-equilatera-riferita-agli-asintoti}
% ============================================================

L'iperbole equilatera ha una proprietà speciale: i suoi asintoti
sono \emph{perpendicolari} fra loro. Allora possiamo scegliere come
nuovi assi cartesiani gli asintoti stessi: il sistema di riferimento
ruota di $\SI{45}{\degree}$ rispetto al precedente.

Sia $(x', y')$ il nuovo sistema, allineato con gli asintoti
(quello dell'iperbole $x^2 - y^2 = a^2$). La rotazione di
$\SI{-45}{\degree}$ porta gli assi $(x, y)$ in $(x', y')$ secondo le
formule:
\[
   x = \dfrac{x' + y'}{\sqrt{2}}, \qquad y = \dfrac{-x' + y'}{\sqrt{2}}.
\]
(Le formule di rotazione sono studiate in maggior dettaglio nel
capitolo sulle isometrie del piano.)

Sostituendo nell'equazione $x^2 - y^2 = a^2$:
\[
   \dfrac{(x' + y')^2}{2} - \dfrac{(-x' + y')^2}{2} = a^2,
\]
\[
   \dfrac{1}{2}\big[(x'^2 + 2 x' y' + y'^2) - (x'^2 - 2 x' y' + y'^2)\big] = a^2,
\]
\[
   \dfrac{1}{2}\,(4 x' y') = a^2
   \;\Longrightarrow\;
   x' \, y' = \dfrac{a^2}{2}.
\]

Posto $k = a^2/2$ (e tornando alla notazione $x, y$ una volta
ridenominati i nuovi assi), otteniamo l'equazione celebre:

\begin{legge}{Iperbole equilatera riferita agli asintoti}
%
\begin{formulabox}
\[ x \, y = k \label{eq:ga-010-xy-k} \]
\end{formulabox}
%
\noindent con $k \neq 0$. Gli asintoti coincidono ora con gli assi
cartesiani ($x = 0$ e $y = 0$). Equivalentemente: $y = k/x$,
funzione di \emph{proporzionalità inversa}.
\end{legge}

Caratteristiche di $xy = k$:

\begin{itemize}
  \item \textbf{Posizione dei rami}:
  \begin{itemize}
    \item Se $k > 0$, i rami stanno nel primo e nel terzo quadrante
          (dove il prodotto $xy$ è positivo).
    \item Se $k < 0$, i rami stanno nel secondo e nel quarto
          quadrante.
  \end{itemize}
  \item \textbf{Asintoti}: gli assi $x$ e $y$ (le due rette
        $y = 0$ e $x = 0$).
  \item \textbf{Vertici}: in corrispondenza dei punti più vicini
        all'origine, $V_{1,2}$. Per $k > 0$:
        $V_2(\sqrt{k}, \sqrt{k})$ e $V_1(-\sqrt{k}, -\sqrt{k})$.
        Per $k < 0$: $V_2(\sqrt{-k}, -\sqrt{-k})$ e
        $V_1(-\sqrt{-k}, \sqrt{-k})$.
  \item \textbf{Simmetrie}: la curva è simmetrica rispetto
        all'origine e rispetto alle bisettrici dei quadranti
        ($y = x$ e $y = -x$).
\end{itemize}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % assi (= asintoti)
  \draw[VERDE, very thick] (-4,0) -- (4,0);
  \draw[VERDE, very thick] (0,-3.5) -- (0,3.5);
  \node[VERDE, right, font=\small] at (4,0) {$x$ (asintoto)};
  \node[VERDE, above, font=\small] at (0,3.5) {$y$ (asintoto)};
  % iperbole xy = 2 (k > 0)
  \draw[BLU, very thick, domain=0.6:3.5, smooth, samples=80]
    plot (\x, {2/\x});
  \draw[BLU, very thick, domain=-3.5:-0.6, smooth, samples=80]
    plot (\x, {2/\x});
  % vertici per xy = 2: (sqrt 2, sqrt 2) e (-sqrt 2, -sqrt 2)
  \fill[ROSSO] ({sqrt(2)},{sqrt(2)}) circle (2.5pt);
  \fill[ROSSO] ({-sqrt(2)},{-sqrt(2)}) circle (2.5pt);
  \node[ROSSO, font=\small, right] at ({sqrt(2)+0.05},{sqrt(2)+0.1}) {$V_2$};
  \node[ROSSO, font=\small, left] at ({-sqrt(2)-0.05},{-sqrt(2)-0.1}) {$V_1$};
  % etichetta xy=k
  \node[BLU, font=\small] at (2.8,1.4) {$xy = k$, $k>0$};
  % bisettrici di simmetria (tratteggiate)
  \draw[GRIGIO, dashed] (-3,-3) -- (3,3);
\end{tikzpicture}
\caption{Iperbole equilatera $xy = k$ riferita ai propri asintoti
(qui $k > 0$). Asintoti coincidenti con gli assi cartesiani; rami
nel primo e terzo quadrante; vertici $V_{1,2}$ sulla bisettrice
$y = x$ a distanza $\sqrt{2k}$ dall'origine.}
\label{fig:ga-010-xy}
\end{figure}

\textbf{Calcolo del parametro $k$ noto un punto.}
Se sappiamo che l'iperbole $xy = k$ passa per un certo punto
$P(x_0, y_0)$, basta sostituire: $k = x_0 \, y_0$. Per esempio,
l'iperbole passante per $P(3, 2)$ ha $k = 6$, equazione $xy = 6$ o
equivalentemente $y = 6/x$.

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\section{Funzione omografica}\label{sec:ga-010-04-funzione-omografica-e-suoi-grafici}
% ============================================================

\begin{definizione}{Funzione omografica}
Si chiama \textbf{funzione omografica} una funzione del tipo
%
\begin{formulabox}
\[ y = \dfrac{a\,x + b}{c\,x + d} \label{eq:ga-010-omografica} \]
\end{formulabox}
%
\noindent con $c \neq 0$ (altrimenti la funzione si ridurrebbe a una
retta) e $a\,d - b\,c \neq 0$ (altrimenti la frazione si
semplificherebbe in una costante).
\end{definizione}

La condizione $ad - bc \neq 0$ è la condizione di
\textbf{non degeneratezza}: assicura che il grafico sia
effettivamente un'iperbole equilatera.

\textbf{Riduzione alla forma standard.}
La funzione omografica $y = (ax+b)/(cx+d)$ può essere riscritta come:
\[
   y - \dfrac{a}{c} = \dfrac{ax+b}{cx+d} - \dfrac{a}{c}
                    = \dfrac{c(ax+b) - a(cx+d)}{c(cx+d)}
                    = \dfrac{bc - ad}{c(cx+d)},
\]
che, ponendo $x_0 = -d/c$ e $y_0 = a/c$, diventa:
\[
   y - y_0 = \dfrac{(bc - ad)/c^2}{x - x_0}
         \;\Longleftrightarrow\;
         (y - y_0)(x - x_0) = K
\]
con $K = (bc - ad)/c^2$. È un'\textbf{iperbole equilatera traslata},
con asintoti orizzontale e verticale nelle rette $y = y_0$ e
$x = x_0$.

\begin{legge}{Asintoti della funzione omografica}
La funzione omografica $y = (ax+b)/(cx+d)$ ha:
\begin{itemize}
  \item \textbf{Asintoto verticale}: $x = -\dfrac{d}{c}$
        (valore di $x$ per cui si annulla il denominatore: il
        dominio è $\R \setminus \{-d/c\}$);
  \item \textbf{Asintoto orizzontale}: $y = \dfrac{a}{c}$
        (limite di $y$ per $\modulo{x} \to \infty$).
\end{itemize}
Il centro di simmetria della curva è il punto
$C(-d/c, a/c)$, intersezione dei due asintoti.
\end{legge}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % asse x, y
  \draw[->, thick] (-1,0) -- (5,0); \node[right] at (5,0) {$x$};
  \draw[->, thick] (0,-1) -- (0,5); \node[above] at (0,5) {$y$};
  % asintoti orizzontali e verticali
  \draw[VERDE, thick, dashed] (2,-1) -- (2,5);
  \draw[VERDE, thick, dashed] (-1,3) -- (5,3);
  \node[VERDE, font=\small] at (2.2,4.8) {$x = -d/c$};
  \node[VERDE, font=\small] at (4.5,3.2) {$y = a/c$};
  % centro di simmetria
  \fill[ROSSO] (2,3) circle (2pt) node[below right, font=\small] {$C$};
  % funzione omografica: y = 3 + 2/(x-2), centro (2,3)
  \draw[BLU, very thick, domain=2.4:4.8, smooth, samples=80]
    plot (\x, {3 + 2/(\x - 2)});
  \draw[BLU, very thick, domain=-0.8:1.6, smooth, samples=80]
    plot (\x, {3 + 2/(\x - 2)});
  \node[BLU, font=\small] at (3.8,4.2) {$y=\frac{ax+b}{cx+d}$};
\end{tikzpicture}
\caption{Grafico tipico di una funzione omografica. È un'iperbole
equilatera traslata, con asintoto verticale $x = -d/c$, asintoto
orizzontale $y = a/c$, e centro di simmetria nell'intersezione dei
due asintoti, $C(-d/c, a/c)$. I due rami stanno in quadranti opposti
rispetto a $C$.}
\label{fig:ga-010-omografica}
\end{figure}

\textbf{Procedura per studiare una funzione omografica:}

\begin{procedura}{Studio del grafico di $y = (ax+b)/(cx+d)$}
\begin{enumerate}
  \item Verificare che la funzione non degeneri: $c \neq 0$ e
        $ad - bc \neq 0$.
  \item Determinare l'asintoto verticale: $x = -d/c$. Questo è
        anche l'unico valore escluso dal dominio.
  \item Determinare l'asintoto orizzontale: $y = a/c$. Questo è
        anche l'unico valore escluso dal codominio.
  \item Determinare il centro di simmetria:
        $C(-d/c, a/c)$.
  \item Calcolare le intersezioni con gli assi:
        $x = 0 \Rightarrow y = b/d$ (se $d \neq 0$);
        $y = 0 \Rightarrow x = -b/a$ (se $a \neq 0$).
  \item Stabilire in quale coppia di quadranti (rispetto al centro)
        si trovano i due rami: dipende dal segno di $bc - ad$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

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\section{Trasformazioni dell'iperbole}\label{sec:ga-010-05-trasformazioni-dell-iperbole}
% ============================================================

Sappiamo già che l'iperbole canonica
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ha centro nell'origine.
Una \emph{traslazione} del centro nel punto $C(x_0, y_0)$ porta
all'equazione:

\begin{formulabox}
\[ \dfrac{(x - x_0)^2}{a^2} - \dfrac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1
   \label{eq:ga-010-traslata} \]
\end{formulabox}

\noindent con asintoti $y - y_0 = \pm (b/a)(x - x_0)$ (rette
passanti per $C$).

\textbf{Iperbole con assi non paralleli agli assi cartesiani.}
Se applichiamo una rotazione attorno all'origine di angolo $\theta$,
l'equazione dell'iperbole in generale contiene un termine misto
$xy$. La forma generale di una conica nel piano è:
\[
   A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0,
\]
e tale equazione rappresenta un'iperbole quando il discriminante
$B^2 - 4AC > 0$. (Per l'ellisse: $B^2 - 4AC < 0$; per la parabola:
$B^2 - 4AC = 0$.) Lo studio sistematico della classificazione delle
coniche tramite il discriminante esula dallo scopo di questo
capitolo, ma il caso particolare $xy = k$ ne è un esempio (con
$A = C = 0, B = 1, F = -k$, $B^2 - 4AC = 1 > 0$: iperbole confermata).

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\section{Esempi svolti}\label{sec:ga-010-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}{Iperbole equilatera passante per un punto (forma $xy=k$)}
Determinare l'equazione dell'iperbole equilatera del tipo $xy = k$
che passa per il punto $P(-2, 3)$, e tracciarne le caratteristiche.

\textbf{Calcolo di $k$.}
$k = x_P \cdot y_P = (-2)(3) = -6$. Quindi l'equazione è
$xy = -6$, ovvero $y = -6/x$.

\textbf{Caratteristiche.}
Essendo $k < 0$, i rami sono nel \emph{secondo} (dove $x<0, y>0$)
e nel \emph{quarto} (dove $x>0, y<0$) quadrante.
Asintoti: gli assi cartesiani ($x = 0$ e $y = 0$).
Vertici: ponendo $y = -x$ nella curva si ha
$-x^2 = -6 \Rightarrow x = \pm \sqrt{6}$,
quindi $V_1(\sqrt{6}, -\sqrt{6})$ e $V_2(-\sqrt{6}, +\sqrt{6})$.
\end{esempio}

\begin{esempio}{Studio di una funzione omografica}
Studiare la funzione $y = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.

\textbf{Verifica di non degeneratezza.}
$c = 1, d = -3$, quindi $-d/c = 3$ è un valore proibito.
$ad - bc = (2)(-3) - (1)(1) = -7 \neq 0$: la funzione è
effettivamente omografica.

\textbf{Asintoti e centro.}
\begin{itemize}
  \item Asintoto verticale: $x = -d/c = 3$.
  \item Asintoto orizzontale: $y = a/c = 2$.
  \item Centro di simmetria: $C(3, 2)$.
\end{itemize}

\textbf{Intersezioni con gli assi.}
\begin{itemize}
  \item Con asse $x$: $y = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1/2$. Punto $(-1/2, 0)$.
  \item Con asse $y$: $x = 0 \Rightarrow y = 1/(-3) = -1/3$. Punto $(0, -1/3)$.
\end{itemize}

\textbf{Posizione dei rami.}
$bc - ad = (1)(1) - (2)(-3) = 1 + 6 = 7 > 0$.
In coordinate centrate in $C$, l'iperbole ha la forma
$(y - 2)(x - 3) = 7$: rami nel primo e terzo quadrante \emph{del
sistema centrato in $C$} (cioè a destra e in alto, oppure a sinistra
e in basso, rispetto al punto $C$).
\end{esempio}

\begin{esempio}{Iperbole equilatera traslata}
Trovare equazione e caratteristiche dell'iperbole equilatera con
centro in $C(2, -1)$, semiasse $a = 3$, asse trasverso parallelo
all'asse $x$.

\textbf{Equazione.}
$\dfrac{(x - 2)^2}{9} - \dfrac{(y + 1)^2}{9} = 1$,
ovvero $(x-2)^2 - (y+1)^2 = 9$.

\textbf{Caratteristiche.}
$a = b = 3$, $c = 3\sqrt{2}$, $e = \sqrt{2}$.
Vertici: $(2 \pm 3, -1)$, cioè $(-1, -1)$ e $(5, -1)$.
Fuochi: $(2 \pm 3\sqrt{2}, -1)$.
Asintoti: $y + 1 = \pm (x - 2)$, cioè $y = x - 3$ e $y = -x + 1$.
\end{esempio}

\begin{esempio}{Iperbole inversamente proporzionale}
Una grandezza fisica $y$ è inversamente proporzionale a una
grandezza $x$, e si misura $y = 12$ quando $x = 5$. Scrivere la
relazione fra le due e calcolare $y$ quando $x = 8$.

\textbf{Impostazione.}
Inversamente proporzionali significa $y = k/x$, cioè $xy = k$
(iperbole equilatera!).

\textbf{Determinazione di $k$.}
Sostituendo i valori dati: $k = x \cdot y = 5 \cdot 12 = 60$.

\textbf{Calcolo per $x = 8$.}
$y = 60/8 = 7.5$.

\textbf{Interpretazione.}
Nel piano $(x, y)$, la legge è il ramo della curva $xy = 60$ con $x, y > 0$.
È la forma matematica della legge di Boyle per i gas (con $x = V$ e
$y = p$ a temperatura costante).
\end{esempio}

\begin{esempio}{Da omografica a iperbole equilatera}
Mostrare che la funzione $y = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ è un'iperbole
equilatera traslata, e trovare il centro e gli asintoti.

\textbf{Riduzione.}
Eseguiamo la divisione polinomiale: $3x - 1 = 3(x + 2) - 7$, quindi
\[
   y = \dfrac{3(x+2) - 7}{x + 2}
     = 3 - \dfrac{7}{x + 2}.
\]
Definendo $X = x + 2$ e $Y = y - 3$ (traslazione del sistema di
riferimento al punto $C(-2, 3)$):
$Y = -7/X$, ovvero $X \cdot Y = -7$.

\textbf{Caratteristiche.}
È l'equazione $XY = k$ con $k = -7$: iperbole equilatera nel sistema
centrato in $C$.
\begin{itemize}
  \item Centro di simmetria: $C(-2, 3)$.
  \item Asintoto verticale (nel sistema originario): $x = -2$.
  \item Asintoto orizzontale: $y = 3$.
  \item Rami nei quadranti $II$ e $IV$ del sistema centrato in $C$
        (cioè a sinistra-sotto e destra-sopra del centro: dove
        $X < 0, Y > 0$ e $X > 0, Y < 0$).
\end{itemize}
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:ga-010-07-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Determina l'equazione dell'iperbole equilatera (riferita ai
        propri assi) passante per il punto $P(5, 3)$. Trova vertici,
        fuochi ed eccentricità.
        \hfill [$x^2 - y^2 = 16$;\;
                $a = 4$, $c = 4\sqrt{2}$, $e = \sqrt{2}$]

  \item Determina l'equazione dell'iperbole $xy = k$ passante per
        $P(\num{2.5}, \num{1.6})$. Quali sono i suoi vertici?
        \hfill [$k = 4$;\;
                vertici $V_{1,2}(\pm 2, \pm 2)$]

  \item Studia la funzione omografica $y = \dfrac{x + 4}{x - 1}$:
        dominio, asintoti, centro di simmetria, intersezioni con
        gli assi.
        \hfill [$\dom = \R \setminus \{1\}$;\;
                asintoti $x = 1$, $y = 1$;\;
                $C(1,1)$;\;
                intersezioni $(0, -4)$ e $(-4, 0)$]

  \item Studia la funzione omografica $y = \dfrac{-2x + 5}{x + 3}$.
        \hfill [$\dom = \R \setminus \{-3\}$;\;
                asintoti $x = -3$, $y = -2$;\;
                $C(-3, -2)$;\;
                intersezioni $(0, 5/3)$ e $(5/2, 0)$]

  \item Per quale valore di $k$ la funzione $y = \dfrac{kx + 1}{x - 2}$
        è degenere (cioè si riduce a una costante)?
        \hfill [$ad - bc = 0$:\;
                $k\cdot(-2) - 1\cdot 1 = 0 \Rightarrow k = -1/2$]

  \item Riconoscere se la curva $xy + 2x - 3y - 8 = 0$ è una
        funzione omografica e, in caso affermativo, scriverla nella
        forma $y = (ax+b)/(cx+d)$.
        \hfill [da $xy - 3y = -2x + 8$:
                $y(x-3) = -2x + 8$,
                $y = (-2x + 8)/(x - 3)$;\;
                sì, omografica]

  \item Una proporzionalità inversa $y = k/x$ ha $y = 15$ per
        $x = 4$. Calcola $y$ per $x = 6$ e $x = 10$.
        \hfill [$k = 60$;\;
                $y(6) = 10$, $y(10) = 6$]

  \item Un'iperbole equilatera traslata ha centro in $C(-3, 2)$ e
        passa per il punto $P(0, 5)$. Riferendola agli asintoti
        (orizzontale $y = 2$, verticale $x = -3$), scrivi
        l'equazione nella forma $(x - x_0)(y - y_0) = k$.
        \hfill [$k = (0 - (-3))(5 - 2) = 9$;\;
                $(x+3)(y-2) = 9$]

  \item Stabilire se la curva $x^2 - y^2 + 4x - 6y + 1 = 0$ è
        un'iperbole. In caso affermativo, ridurla a forma canonica
        completando i quadrati e trovarne il centro.
        \hfill [$(x+2)^2 - (y+3)^2 = 4$:\;
                iperbole equilatera centrata in $(-2, -3)$,
                semiasse $a = 2$]

  \item Confronta sul piano (con un grafico qualitativo) le due
        iperboli $xy = 2$ e $xy = -2$. Quali differenze evidenti
        emergono?
        \hfill [$xy = 2$: rami nel I e III quadrante;\;
                $xy = -2$: rami nel II e IV quadrante;\;
                stesse dimensioni (vertici a $\sqrt{2}$ dall'origine
                lungo le bisettrici), simmetria rispetto agli assi
                cambiata.]
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:ga-010-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}

\textbf{Iperbole equilatera} --- Caso particolare di iperbole con
$a = b$, eccentricità $e = \sqrt{2}$, asintoti perpendicolari fra
loro a $\pm \SI{45}{\degree}$ dagli assi.

\textbf{Riferita ai propri assi} ---
$x^2 - y^2 = a^2$ (fuochi sull'asse $x$) o
$y^2 - x^2 = a^2$ (fuochi sull'asse $y$).
Asintoti $y = \pm x$. Vertici a distanza $a$ dall'origine;
fuochi a distanza $a\sqrt{2}$.

\textbf{Riferita agli asintoti} (rotazione di $\SI{45}{\degree}$) ---
$xy = k$, con $k \neq 0$. Asintoti coincidenti con gli assi
cartesiani. Rami nel primo/terzo quadrante se $k > 0$, nel
secondo/quarto se $k < 0$. È la forma della
\emph{proporzionalità inversa} $y = k/x$.

\textbf{Funzione omografica} ---
$y = (ax + b)/(cx + d)$ con $c \neq 0$ e $ad - bc \neq 0$.
È un'iperbole equilatera traslata. Tramite divisione polinomiale si
riduce alla forma $(y - y_0)(x - x_0) = K$ con
$x_0 = -d/c$, $y_0 = a/c$, $K = (bc - ad)/c^2$.

\textbf{Asintoti della funzione omografica} ---
Verticale $x = -d/c$; orizzontale $y = a/c$;
centro di simmetria $C(-d/c, a/c)$.

\textbf{Iperbole traslata generale} ---
$\dfrac{(x - x_0)^2}{a^2} - \dfrac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$,
con centro $C(x_0, y_0)$ e asintoti
$y - y_0 = \pm (b/a)(x - x_0)$.

\textbf{Classificazione delle coniche tramite il discriminante} ---
Per l'equazione generale $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$:
$B^2 - 4AC > 0$ iperbole, $B^2 - 4AC = 0$ parabola,
$B^2 - 4AC < 0$ ellisse.

\textbf{Applicazioni} --- Proporzionalità inversa (Boyle dei gas
ideali $pV = $ cost), curve di domanda/offerta, funzioni omografiche
in fisica, chimica e statistica.

\end{riepilogo}