\chapter{Concetti primitivi e enti fondamentali della geometria}\label{cap:GE-001}

\citazioneinizio{Non entri chi non conosce la geometria.}{Scritta che, secondo la tradizione, stava sulla porta dell'Accademia di Platone}
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\geesexercises{mbG01}
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\matematika{GE-001}
\decapoa{GE-001}

\noindent
Prova a spiegare a qualcuno che cos'è un \emph{rombo}. Probabilmente dirai: ``è un parallelogramma con i lati tutti uguali''. Benissimo: ma che cos'è un parallelogramma? ``Un quadrilatero con i lati opposti paralleli.'' E che cosa vuol dire paralleli? ``Due rette che non si incontrano mai.'' E che cos'è una retta?

A questo punto ci si ferma. Ogni parola si spiega usando altre parole, più semplici; ma non si può andare avanti all'infinito, e non vale nemmeno girare in tondo (come fa il vocabolario, quando spiega ``veloce'' con ``rapido'' e ``rapido'' con ``veloce''). Prima o poi si arriva a parole così semplici che non c'è niente di più semplice con cui spiegarle. Queste parole si chiamano \emph{concetti primitivi}: non si definiscono, si impara a usarle.

In geometria i concetti primitivi sono tre, e li conosci da sempre: \emph{punto}, \emph{retta} e \emph{piano}. Di essi non daremo una definizione: diremo come si disegnano, come si indicano e, soprattutto, quali regole rispettano (``per due punti passa una sola retta'', e così via). Queste regole di partenza, che si accettano senza dimostrarle, si chiamano \emph{assiomi} o \emph{postulati}.

Tutto il resto della geometria si costruisce da lì, un passo alla volta: ogni parola nuova viene definita con quelle già note, ogni affermazione nuova viene \emph{dimostrata} a partire da quelle già stabilite. È il modo di procedere inventato dai Greci più di duemila anni fa, ed è il motivo per cui ciò che dimostreremo quest'anno era vero ai tempi di Euclide e lo sarà ancora fra altri duemila anni.

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\section{Punti rette piani}\label{sec:GE-001-01}
\flashsec{GE-001-concetti-primitivi}{01}

Le rappresentazioni che adottiamo per i tre enti fondamentali sono quelle abituali fin dalle scuole medie. Pur non essendo definizioni in senso stretto, le riportiamo qui in forma di \emph{descrizioni operative}, utili a fissare la notazione e a orientare l'intuizione.

\begin{definizione}[Enti geometrici fondamentali]\indiceauto{enti geometrici fondamentali@Enti geometrici fondamentali|textbf}In geometria si assumono come \textbf{concetti primitivi} le nozioni di punto, retta e piano, che indicheremo nel modo seguente.
\begin{itemize}
    \item Un \textbf{punto} è privo di dimensioni e si rappresenta con un piccolo segno grafico. Lo si denota con una lettera latina maiuscola: $A$, $B$, $P$, \dots
    \item Una \textbf{retta} è un ente unidimensionale, illimitato in entrambi i sensi. La si denota con una lettera latina minuscola: $r$, $s$, $t$, \dots
    \item Un \textbf{piano} è un ente bidimensionale, illimitato. Lo si denota con una lettera greca minuscola: $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, \dots
\end{itemize}
\end{definizione}

Quando un punto $P$ appartiene a una retta $r$ scriviamo $P \in r$ e diciamo che $r$ \emph{passa per} $P$, oppure che $P$ \emph{giace su} $r$. Allo stesso modo $P \in \alpha$ indica che il punto appartiene al piano. La relazione di appartenenza è anch'essa un concetto primitivo: non si definisce, si usa.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    % Piano alpha: parallelogramma in prospettiva
    \fill[BLU!10, draw=BLU!50] (-3.5,-1.2) -- (4.5,-1.2) -- (5.5,1.0) -- (-2.5,1.0) -- cycle;
    \node[BLU!70!black] at (5.0,0.7) {$\alpha$};
    % Retta r sul piano
    \draw[VERDE, thick, ->] (3.8,0.4) -- (4.8,0.6);
    \draw[VERDE, thick, <-] (-1.8,-0.6) -- (-0.8,-0.4);
    \draw[VERDE, thick] (-1.8,-0.6) -- (4.8,0.6);
    \node[VERDE!70!black] at (4.5,0.95) {$r$};
    % Punto P sulla retta
    \filldraw[ROSSO] (1.5,0.04) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, above] at (1.5,0.1) {$P$};
    % Punto Q fuori dalla retta ma sul piano
    \filldraw[ROSSO] (0.0,-0.85) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, below] at (0.0,-0.9) {$Q$};
    % Punto R fuori dal piano
    \filldraw[ROSSO] (1.0,2.2) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, above] at (1.0,2.25) {$R$};
\end{tikzpicture}
\caption{Rappresentazione dei tre enti fondamentali della geometria. Il punto $P$ appartiene alla retta $r$ e al piano $\alpha$ ($P \in r$, $P \in \alpha$); il punto $Q$ appartiene al piano ma non alla retta; il punto $R$ è esterno al piano.}
\label{fig:GE-001-enti-fondamentali}
\end{figure}

Le proprietà fondamentali che legano fra loro punti, rette e piani sono fissate dagli assiomi della geometria, di cui presenteremo una selezione nel prossimo capitolo. A titolo di esempio, riportiamo qui due affermazioni che useremo costantemente:

\begin{itemize}
    \item per due punti distinti passa una e una sola retta;
    \item per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.
\end{itemize}

Queste affermazioni non sono dimostrabili: sono postulati, cioè regole che la teoria assume su punti, rette e piani.

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\section{Caratteristiche dello spazio geometrico}\label{sec:GE-001-02}
\flashsec{GE-001-concetti-primitivi}{02}

Lo spazio in cui ambientiamo la geometria di queste dispense è lo \emph{spazio euclideo tridimensionale}. È uno spazio idealizzato, che possiede alcune proprietà che lo rendono particolarmente comodo da trattare e che riflettono in buona approssimazione la nostra esperienza quotidiana.

\begin{itemize}
    \item \textbf{Illimitatezza}: lo spazio si estende indefinitamente in tutte le direzioni; rette e piani sono privi di estremi.
    \item \textbf{Continuità}: tra due punti distinti di una retta si trova sempre un altro punto della retta. Non vi sono ``buchi''.
    \item \textbf{Omogeneità}: lo spazio ha le stesse proprietà in ogni suo punto. Non esiste un punto privilegiato, un ``centro'' dello spazio.
    \item \textbf{Isotropia}: in ogni punto, le proprietà geometriche sono le stesse in ogni direzione. Non esiste una direzione privilegiata.
\end{itemize}

Una \textbf{figura geometrica} è semplicemente un sottoinsieme dello spazio: un triangolo, un cerchio, un poliedro, una retta sono tutte figure geometriche, e così pure un singolo punto o un piano nella sua interezza. Studiare una figura significa studiare le relazioni fra i punti che la compongono — distanze, angoli, parallelismi, simmetrie — e le relazioni con altre figure.

\begin{attenzione}
\textbf{Attenzione: spazio fisico e spazio geometrico.} Lo spazio euclideo è un \emph{modello matematico} dello spazio fisico, non lo spazio fisico stesso. La fisica del XX secolo (relatività generale) ha mostrato che lo spazio in cui viviamo non è esattamente euclideo: in presenza di masse esso si \emph{curva}. Tuttavia, su scale ordinarie le deviazioni sono talmente piccole da non essere percepibili, e l'approssimazione euclidea resta lo strumento principale dell'ingegneria, dell'architettura e della fisica classica.
\end{attenzione}

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\section{Metodo assiomatico-deduttivo}\label{sec:GE-001-03}
\flashsec{GE-001-concetti-primitivi}{03}

Una \textbf{teoria assiomatica} si articola sempre nei medesimi quattro elementi.

\begin{enumerate}
    \item Un elenco di \textbf{concetti primitivi}, che non vengono definiti.
    \item Un elenco di \textbf{assiomi} (o \textbf{postulati}), che fissano le proprietà fondamentali dei concetti primitivi e che la teoria assume senza dimostrazione.
    \item Un elenco di \textbf{definizioni}, che introducono nuovi termini a partire dai concetti primitivi e dagli assiomi.
    \item Un elenco di \textbf{teoremi}, cioè proposizioni dimostrate per via puramente logica a partire dagli assiomi e da teoremi precedentemente dimostrati.
\end{enumerate}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[
    scale=1.0,
    nodo/.style={rectangle, rounded corners=3pt, draw, thick, align=center, minimum width=3.4cm, minimum height=0.9cm, font=\small},
    primitivo/.style={nodo, fill=BLU!15, draw=BLU},
    assioma/.style={nodo, fill=ARANCIO!15, draw=ARANCIO},
    definizione/.style={nodo, fill=VERDE!15, draw=VERDE},
    teorema/.style={nodo, fill=ROSSO!15, draw=ROSSO},
    freccia/.style={->, thick, >=stealth, black}
]
    % Riga 1: concetti primitivi e assiomi
    \node[primitivo] (CP) at (-2.6, 3.0) {Concetti primitivi};
    \node[assioma]   (AS) at ( 2.6, 3.0) {Assiomi};

    % Riga 2: definizioni
    \node[definizione] (DEF) at (0,1.2) {Definizioni};

    % Riga 3: teoremi
    \node[teorema] (T1) at (-3.2,-0.8) {Teorema};
    \node[teorema] (T2) at ( 0.0,-0.8) {Teorema};
    \node[teorema] (T3) at ( 3.2,-0.8) {Teorema};

    % Riga 4: corollari/teoremi successivi
    \node[teorema] (C1) at (-1.6,-2.6) {Corollario};
    \node[teorema] (C2) at ( 1.6,-2.6) {Corollario};

    % Frecce
    \draw[freccia] (CP.south) -- (DEF.north west);
    \draw[freccia] (AS.south) -- (DEF.north east);
    \draw[freccia] (CP.south) -- (T1.north);
    \draw[freccia] (AS.south) -- (T3.north);
    \draw[freccia] (DEF.south) -- (T1.north);
    \draw[freccia] (DEF.south) -- (T2.north);
    \draw[freccia] (DEF.south) -- (T3.north);
    \draw[freccia] (T1.south) -- (C1.north west);
    \draw[freccia] (T2.south) -- (C1.north east);
    \draw[freccia] (T2.south) -- (C2.north west);
    \draw[freccia] (T3.south) -- (C2.north east);
\end{tikzpicture}
\caption{Schema del metodo assiomatico-deduttivo. I concetti primitivi e gli assiomi sono i mattoni fondamentali della teoria; le definizioni introducono nuovi termini; i teoremi e i corollari si dimostrano per via logica a partire dai mattoni e da teoremi già dimostrati.}
\label{fig:GE-001-metodo-assiomatico}
\end{figure}

\noindent
Il punto delicato di tutta la costruzione è il legame fra l'esperienza e la teoria. La nostra intuizione di punto, retta e piano nasce dall'osservazione del mondo: i bordi degli oggetti, i raggi di luce, le superfici lisce. Ma una volta scelti gli assiomi, la teoria procede in modo \emph{indipendente dall'esperienza}: un teorema di geometria si dimostra ragionando, non misurando.

\begin{esempio}[Metodo induttivo e metodo deduttivo a confronto]
Si vuole stabilire la proprietà: ``la somma degli angoli interni di un triangolo vale $\SI{180}{\degree}$''.
\begin{itemize}
    \item \textbf{Approccio induttivo (sperimentale).} Si disegnano molti triangoli, si misurano gli angoli con il goniometro, si sommano: si trova ogni volta un valore vicino a $\SI{180}{\degree}$, con piccole oscillazioni dovute agli errori di misura. Si \emph{congettura} che la proprietà sia vera in generale.
    \item \textbf{Approccio deduttivo (geometrico).} Si parte dagli assiomi della geometria euclidea (in particolare dal quinto postulato sulle parallele) e, con una catena di passaggi logici, si \emph{dimostra} che la somma è esattamente $\SI{180}{\degree}$, senza alcuna misura.
\end{itemize}
Solo il secondo approccio offre una garanzia logica. Il primo è una \emph{conferma sperimentale}, utile come motivazione e come verifica, ma non come dimostrazione.
\end{esempio}

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\section{Cenni storici: Euclide e gli Elementi}\label{sec:GE-001-04}
\flashsec{GE-001-concetti-primitivi}{04}

La sistemazione assiomatica della geometria che useremo in questa dispensa risale a \textbf{Euclide di Alessandria}, vissuto attorno al \num{300}~a.C. La sua opera, gli \emph{Elementi}, è una raccolta in $13$ libri che comprende non solo la geometria piana e solida, ma anche la teoria dei rapporti e dei numeri.

Gli \emph{Elementi} aprono con un elenco di \num{23} \emph{definizioni} (la prima recita: ``punto è ciò che non ha parti''), seguite da \num{5} \emph{postulati} (specifici della geometria) e da \num{5} \emph{nozioni comuni} (di carattere logico generale, come ``cose uguali a una stessa cosa sono uguali fra loro''). Da questo nucleo si deducono, in modo strettamente concatenato, oltre $400$ proposizioni.

L'opera di Euclide ha rappresentato per oltre duemila anni il modello stesso di trattato scientifico. Ancora nell'Ottocento i ginnasi e i licei europei la usavano come libro di testo. Solo alla fine del XIX secolo il matematico tedesco \textbf{David Hilbert} (\num{1862}--\num{1943}) propose una nuova sistemazione, pubblicata nel \num{1899} con il titolo \emph{Grundlagen der Geometrie}, che sostituiva le definizioni euclidee dei concetti primitivi con un puro elenco di assiomi: per lui non importava che cosa \emph{sono} punti, rette e piani, ma soltanto quali regole rispettano. Lo disse con una battuta rimasta famosa: si dovrebbe sempre poter dire ``tavoli, sedie e boccali di birra'' al posto di ``punti, rette e piani''.

\begin{esempio}[Lo schema di un libro degli Elementi]
Il primo libro degli \emph{Elementi} di Euclide è dedicato alla geometria del triangolo e culmina con il \emph{teorema di Pitagora} (Proposizione $47$). Per arrivare a quel risultato, Euclide dimostra in successione $46$ proposizioni precedenti, ognuna delle quali si appoggia esclusivamente sui postulati o su proposizioni già dimostrate. Questo concatenamento rigoroso è ciò che ha reso gli \emph{Elementi} un modello di chiarezza logica.
\end{esempio}

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\section*{Esempi svolti}\label{sec:ge-001-05-esempi-svolti}

\begin{esempio}[Posizioni reciproche di due rette nel piano]
Determiniamo, sulla base della sola intuizione, in quanti modi due rette $r$ e $s$ possono disporsi in uno stesso piano e quanti punti di intersezione possono avere.

\smallskip
Esistono solo tre casi possibili.
\begin{enumerate}
    \item \emph{Rette coincidenti}: $r$ e $s$ hanno tutti i punti in comune. L'intersezione contiene infiniti punti.
    \item \emph{Rette incidenti}: $r$ e $s$ hanno esattamente un punto in comune. Si dicono allora rette incidenti, e il punto comune è detto punto di intersezione.
    \item \emph{Rette parallele (e distinte)}: $r$ e $s$ non hanno alcun punto in comune.
\end{enumerate}

Il fatto che non possano esistere altre situazioni — in particolare, che due rette distinte non possano avere ``due o tre'' punti in comune — discende dall'assioma secondo cui per due punti distinti passa una e una sola retta: se $r$ e $s$ avessero due punti in comune $P$ e $Q$, dovrebbero coincidere.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Quanti piani per due rette incidenti?]
Mostriamo intuitivamente che, date due rette $r$ e $s$ incidenti in un punto $P$, esiste \emph{uno e un solo} piano che le contiene entrambe.

\smallskip
Scegliamo un punto $A$ su $r$ e un punto $B$ su $s$, entrambi distinti da $P$. I tre punti $P$, $A$, $B$ non sono allineati: se lo fossero, $A$ e $B$ giacerebbero sulla retta $PA = r$, e quindi $B$ apparterrebbe a $r$; ma $B$ appartiene anche a $s$, perciò $B$ sarebbe un secondo punto comune a $r$ e $s$ oltre a $P$, e le due rette dovrebbero coincidere — contro l'ipotesi. Per i tre punti non allineati $P$, $A$, $B$ esiste allora uno e un solo piano $\alpha$, che contiene le rette $PA = r$ e $PB = s$.
\end{esempio}

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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
    \item Spiega con parole tue che cosa è un \emph{concetto primitivo} e perché non si possono definire \emph{tutti} i termini di una teoria.
    \item Quanti punti distinti sono necessari per individuare una retta? E un piano? Motiva la risposta.
    \item Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa, motivando la risposta.
        \begin{enumerate}
            \item Per un punto passa una sola retta.
            \item Per due punti distinti passa una sola retta.
            \item Tre punti qualsiasi individuano sempre un unico piano.
            \item Due rette distinte hanno sempre un punto in comune.
        \end{enumerate}
    \item Spiega la differenza fra \emph{metodo induttivo} e \emph{metodo deduttivo}, portando un esempio per ciascuno.
    \item Il quinto postulato di Euclide stabilisce, in forma equivalente, che da un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data. Si tratta di un assioma o di un teorema? Motiva la risposta.
    \item Se due rette distinte $r$ e $s$ hanno due punti in comune, che cosa puoi concludere?
    \item Considera tre punti distinti $A$, $B$, $C$. Discuti tutti i casi possibili: $A$, $B$, $C$ allineati e $A$, $B$, $C$ non allineati. In ciascun caso, quante rette li congiungono a due a due? Quanti piani li contengono?
    \item Si dice che una figura piana è ``illimitata'' quando si estende oltre ogni distanza fissata. Quali fra punto, retta, piano, segmento, circonferenza, cerchio sono enti illimitati?
    \item Cita un autore della sistemazione assiomatica antica della geometria e uno della sistemazione moderna. In che cosa differiscono i loro approcci ai concetti primitivi?
    \item Negli \emph{Elementi} di Euclide compaiono, nel primo libro, $5$ postulati e $5$ nozioni comuni. Spiega in che cosa differiscono concettualmente.
    \item Quattro punti distinti $A$, $B$, $C$, $D$ non sono complanari. Quante rette si possono tracciare congiungendoli a due a due? Quanti piani si possono individuare scegliendone tre alla volta?
    \item Vero o falso? La battuta di Hilbert sui ``tavoli, sedie e boccali di birra'' significa che, in geometria, il significato dei termini ``punto'', ``retta'', ``piano'' è meno importante delle relazioni che li legano. Motiva la risposta.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
    \item In una teoria assiomatica si scelgono alcuni \textbf{concetti primitivi}, che non si definiscono, e si fissano le loro proprietà fondamentali tramite gli \textbf{assiomi} (o postulati).
    \item In geometria elementare i tre concetti primitivi sono \textbf{punto}, \textbf{retta} e \textbf{piano}; si denotano rispettivamente con lettere latine maiuscole, minuscole e con lettere greche minuscole.
    \item Lo spazio della geometria euclidea è \emph{illimitato}, \emph{continuo}, \emph{omogeneo} e \emph{isotropo}.
    \item Il \textbf{metodo assiomatico-deduttivo} costruisce la teoria a partire da concetti primitivi, assiomi e definizioni, deducendo per via logica i \textbf{teoremi}. Esso si distingue dal metodo induttivo-sperimentale, che procede invece per generalizzazione di osservazioni.
    \item La sistemazione assiomatica classica risale a \textbf{Euclide} ($300$~a.C.) negli \emph{Elementi}; la riformulazione moderna è dovuta a \textbf{Hilbert} ($1899$).
    \item Due assiomi che useremo continuamente sono: \emph{per due punti distinti passa una e una sola retta}; \emph{per tre punti non allineati passa uno e un solo piano}.
\end{itemize}
\end{riepilogo}

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\begin{videolmbox}
\vlm{G01_geometria_ottimizzato}{https://giovanninicco.com/__notebooklm_video_overview/G01_geometria_ottimizzato.mp4}{G01 geometria}\hfill
\vlm{G01_eng_ottimizzato}{https://giovanninicco.com/__notebooklm_video_overview/G01_eng_ottimizzato.mp4}{G01 eng}
\end{videolmbox}
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