\chapter{Postulati teoremi definizioni}\label{cap:GE-002}

\citazioneinizio{Non c'è una via regia per la geometria.}{Euclide a Tolomeo I}

\noindent
Il capitolo precedente ha tratteggiato il \emph{metodo} con cui costruire una teoria geometrica: alcuni concetti accettati senza definizione, alcuni enunciati accettati senza dimostrazione, e a partire da questi due nuclei un'intera architettura di proposizioni dimostrate. In questo capitolo entriamo nel dettaglio di quell'architettura, distinguendo con precisione i tipi di enunciati che incontreremo — \emph{definizioni}, \emph{assiomi}, \emph{teoremi}, \emph{lemmi}, \emph{corollari} — e analizzando la struttura interna di un teorema e della sua dimostrazione.

Acquisire questo linguaggio non è un esercizio di pedanteria: è la condizione preliminare per leggere e scrivere matematica con consapevolezza. Quando il libro di testo afferma ``per il teorema di Pitagora si ha\dots'', occorre saper riconoscere che cosa è stato realmente dimostrato, sotto quali ipotesi e con quali conseguenze. Se le ipotesi non sono soddisfatte, il teorema non si applica.

% =====================================================================
\section{Concetti primitivi e definizioni}\label{sec:GE-002-01}

Abbiamo già discusso, nel \autoref{cap:GE-001}, perché ogni teoria abbia bisogno di concetti primitivi. Una volta accettati, da essi si possono costruire \emph{nuove} nozioni mediante \textbf{definizioni}.

\begin{definizione}[Definizione matematica]
Una \textbf{definizione} è un enunciato che introduce un nuovo termine — il \emph{definendum} — esprimendolo in funzione di concetti primitivi e di termini precedentemente definiti.
\end{definizione}

Una buona definizione deve soddisfare due requisiti:
\begin{itemize}
    \item essere \textbf{ben posta}, cioè non contenere il termine che si sta definendo (per evitare circoli viziosi) e fare uso solo di concetti già introdotti;
    \item essere \textbf{caratterizzante}, cioè selezionare in modo univoco gli oggetti a cui si applica: ogni oggetto soddisfa la definizione se e solo se appartiene alla categoria che si vuole isolare.
\end{itemize}

\begin{esempio}[Una definizione ben posta e una mal posta]
Consideriamo due tentativi di definizione di triangolo equilatero.
\begin{itemize}
    \item \emph{Ben posta}: ``Un triangolo si dice \textbf{equilatero} quando i suoi tre lati sono congruenti.'' Si fa uso solo dei termini ``triangolo'', ``lato'' e ``congruente'', che si suppongono già definiti.
    \item \emph{Mal posta}: ``Un triangolo equilatero è un triangolo regolare con tre lati uguali.'' Qui si introduce surrettiziamente la nozione di ``triangolo regolare'', che non è stata ancora definita; la definizione non è autosufficiente.
\end{itemize}
\end{esempio}

In una definizione, l'espressione ``si dice'' o ``si chiama'' separa il termine nuovo dalla sua caratterizzazione. È utile leggerla mentalmente come un \emph{se e solo se}: \begin{quote}
``$T$ è un triangolo equilatero'' $\iff$ ``$T$ è un triangolo con i tre lati congruenti''.
\end{quote}
Questa equivalenza è ciò che rende le definizioni utilizzabili nelle dimostrazioni, sia per riconoscere se un oggetto rientra in una categoria, sia per dedurne le proprietà.

% =====================================================================
\section{Assiomi e postulati}\label{sec:GE-002-02}

Una volta scelti i concetti primitivi, occorre stabilire quali \emph{proprietà} siano loro attribuite. Queste proprietà sono fissate dagli \textbf{assiomi} (o \textbf{postulati}).

\begin{definizione}[Assioma]
Un \textbf{assioma} (o \textbf{postulato}) è un enunciato che si assume vero senza dimostrazione e che fissa proprietà fondamentali dei concetti primitivi.
\end{definizione}

Storicamente la parola \emph{postulato} (dal latino \emph{postulare}, ``richiedere'') era riservata da Euclide agli enunciati specifici della geometria, mentre \emph{nozione comune} indicava i principi logici universali. Nella matematica contemporanea le due parole sono usate come sinonimi, e in questa dispensa le considereremo intercambiabili.

Gli assiomi non sono né ``veri in sé'' né ``ovvi'': sono \emph{scelte} che il matematico fa per dare struttura alla teoria. Cambiando assiomi si ottengono teorie diverse, tutte logicamente coerenti. La geometria che studieremo è quella euclidea, ma esistono geometrie ``non euclidee'' (sferica, iperbolica) costruite su assiomi differenti, che descrivono comunque situazioni geometriche reali (la superficie di una sfera, ad esempio, o lo spaziotempo della relatività generale).

\begin{esempio}[Alcuni postulati della geometria euclidea]
Riportiamo, nel linguaggio moderno, alcuni postulati che assumeremo come fondamento.
\begin{enumerate}
    \item Per due punti distinti passa una e una sola retta.
    \item Su una retta esistono infiniti punti; al di fuori di una retta esistono infiniti punti.
    \item Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.
    \item Una retta che ha due punti su un piano $\alpha$ giace tutta su $\alpha$.
    \item Da un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data \emph{(quinto postulato di Euclide)}.
\end{enumerate}
Si noti che questi enunciati non si dimostrano: si \emph{assumono}.
\end{esempio}

\begin{attenzione}
\textbf{Assioma non significa ``ovvio''.} Il quinto postulato di Euclide è stato per duemila anni al centro di una vera e propria battaglia matematica: molti studiosi tentarono di dimostrarlo a partire dagli altri quattro, sospettando che fosse ``meno fondamentale''. Solo nell'Ottocento Lobacevskij, Bolyai e Gauss mostrarono che il quinto postulato è \emph{indipendente} dagli altri: si possono costruire geometrie coerenti in cui esso non vale (le \emph{geometrie non euclidee}). Un assioma è dunque una scelta della teoria, non una verità auto-evidente.
\end{attenzione}

% =====================================================================
\section{Struttura del teorema: ipotesi, tesi, dimostrazione}\label{sec:GE-002-03}

Il cuore della geometria razionale è il \textbf{teorema}. Un teorema è un enunciato la cui verità non è assunta, ma \emph{dimostrata} a partire dagli assiomi e da teoremi già stabiliti.

\begin{definizione}[Teorema]
Un \textbf{teorema} è un'affermazione della forma
\[ \text{se } H \text{ allora } T \]
in cui:
\begin{itemize}
    \item $H$ è un insieme di condizioni dette \textbf{ipotesi};
    \item $T$ è un enunciato detto \textbf{tesi};
    \item l'implicazione $H \Rightarrow T$ è giustificata da una \textbf{dimostrazione}, ossia da una catena di passaggi logici che, partendo dalle ipotesi e usando assiomi, definizioni e teoremi precedenti, conduce alla tesi.
\end{itemize}
\end{definizione}

La struttura ``se $H$ allora $T$'' è onnipresente in matematica e merita attenzione. Riconoscere correttamente quale parte di un enunciato è ipotesi e quale è tesi è la prima abilità da sviluppare.

\begin{esempio}[Riconoscere ipotesi e tesi]
Consideriamo il classico teorema del triangolo isoscele.

\smallskip
\noindent\textbf{Enunciato.} \emph{In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti.}

\smallskip
Riscriviamolo nella forma ``se \dots\ allora \dots''.

\smallskip
\noindent\textbf{Se} un triangolo è isoscele \textbf{(ipotesi $H$)}, \textbf{allora} i suoi angoli alla base sono congruenti \textbf{(tesi $T$)}.

\smallskip
L'ipotesi è la proprietà che si \emph{assume} riguardo al triangolo (avere due lati congruenti); la tesi è ciò che si vuole \emph{dimostrare} (la congruenza dei due angoli alla base). La dimostrazione consisterà in una sequenza di passaggi logici che, partendo dall'ipotesi, conduce alla tesi.
\end{esempio}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[
    scale=1.0,
    nodo/.style={rectangle, rounded corners=4pt, draw, thick, align=center, minimum width=4cm, minimum height=1cm, font=\small},
    ip/.style={nodo, fill=BLU!15, draw=BLU},
    tesi/.style={nodo, fill=ROSSO!15, draw=ROSSO},
    passo/.style={nodo, fill=GIALLO!20, draw=ARANCIO, minimum width=5.6cm, minimum height=0.7cm},
    base/.style={nodo, fill=VERDE!15, draw=VERDE, minimum width=5.6cm, minimum height=0.7cm},
    freccia/.style={->, thick, >=stealth, GRIGIO!70!black}
]
    \node[ip]   (H) at (-3.5, 3.0) {\textbf{Ipotesi $H$}};
    \node[tesi] (T) at ( 3.5, 3.0) {\textbf{Tesi $T$}};

    \node[base]  (B1) at (0, 1.5) {Assiomi, definizioni, teoremi precedenti};
    \node[passo] (P1) at (0, 0.4) {Passo logico 1};
    \node[passo] (P2) at (0,-0.7) {Passo logico 2};
    \node[passo] (P3) at (0,-1.8) {\dots};
    \node[passo] (Pn) at (0,-2.9) {Passo logico $n$};

    \draw[freccia] (H.south) -- (B1.west);
    \draw[freccia] (B1.south) -- (P1.north);
    \draw[freccia] (P1.south) -- (P2.north);
    \draw[freccia] (P2.south) -- (P3.north);
    \draw[freccia] (P3.south) -- (Pn.north);
    \draw[freccia] (Pn.east) -- ++(1.7,0) |- (T.south);
\end{tikzpicture}
\caption{Struttura logica di un teorema. La dimostrazione collega l'ipotesi $H$ alla tesi $T$ tramite una catena di passi giustificati, ciascuno appoggiato a un assioma, una definizione o un teorema già dimostrato.}
\label{fig:GE-002-struttura-teorema}
\end{figure}

\subsection*{Schema generale di una dimostrazione}

Quando ci si trova davanti a un teorema da dimostrare, è utile organizzare il lavoro secondo lo schema seguente.

\begin{procedura}[Dimostrazione di un teorema]
\begin{enumerate}
    \item \textbf{Identifica ipotesi e tesi.} Riformula l'enunciato nella forma ``se $H$ allora $T$''. Scrivi esplicitamente che cosa è dato e che cosa si deve provare.
    \item \textbf{Disegna una figura.} Quando possibile, traccia una figura di lavoro coerente con le ipotesi. Non è una dimostrazione, ma è una guida per l'intuizione.
    \item \textbf{Richiama gli strumenti disponibili.} Identifica gli assiomi, le definizioni e i teoremi che ti aspetti di usare. La scelta è spesso suggerita dall'ipotesi.
    \item \textbf{Costruisci la catena logica.} Passa dall'ipotesi alla tesi con una successione di passaggi, ciascuno giustificato da un singolo strumento (assioma, definizione, teorema, regola logica).
    \item \textbf{Concludi.} Stabilita la tesi, è buona pratica scrivere esplicitamente ``c.v.d.'' (\emph{come volevasi dimostrare}) o concludere con una frase del tipo ``si ha così la tesi''.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Una dimostrazione completa]
Dimostriamo il seguente enunciato.

\smallskip
\noindent\emph{Se due rette $r$ e $s$ distinte si intersecano in un punto $P$, allora $P$ è l'unico punto comune a $r$ e $s$.}

\smallskip
\noindent\textbf{Ipotesi.} $r$ e $s$ sono rette distinte e $P \in r \cap s$.

\noindent\textbf{Tesi.} Non esiste un secondo punto $Q \neq P$ con $Q \in r \cap s$.

\smallskip
\textit{Dimostrazione.} Procediamo per assurdo: supponiamo che esista un punto $Q \neq P$ tale che $Q \in r$ e $Q \in s$. Allora $r$ e $s$ sarebbero entrambe rette passanti per i due punti distinti $P$ e $Q$. Ma per il primo postulato di~\autoref{sec:GE-002-02}, per due punti distinti passa \emph{una sola} retta. Dovrebbe quindi essere $r = s$, contro l'ipotesi che $r$ e $s$ siano distinte. La supposizione $Q \neq P$ porta a contraddizione: deve allora essere $P$ l'unico punto comune.
\end{esempio}

\subsection*{Tecniche di dimostrazione}

In matematica si distinguono diverse strategie con cui costruire la catena logica di una dimostrazione. Le più diffuse sono le seguenti.

\begin{itemize}
    \item \textbf{Dimostrazione diretta}: si parte dall'ipotesi $H$ e, per deduzioni successive, si arriva alla tesi $T$. È la tecnica usata nell'esempio del triangolo isoscele.
    \item \textbf{Dimostrazione per assurdo} (o \emph{per contraddizione}): si suppone vera l'ipotesi $H$ e \emph{falsa} la tesi $T$ (cioè vera la sua negazione $\lnot T$); da questa supposizione si deduce una contraddizione (ad esempio una proposizione del tipo ``$A$ e $\lnot A$''). Poiché il sistema deve essere coerente, la supposizione $\lnot T$ è insostenibile: deve quindi essere $T$ vera. È la tecnica appena usata.
    \item \textbf{Dimostrazione per controesempio}: per \emph{confutare} un'affermazione del tipo ``per ogni\dots\ vale\dots''\ è sufficiente esibire un singolo caso in cui non vale. Un controesempio non dimostra che un enunciato è vero, ma è sufficiente a dimostrare che è falso.
\end{itemize}

Queste tecniche sono trattate in modo sistematico nel modulo di logica (\autoref{cap:LD-005}); qui ne facciamo uso operativo.

% =====================================================================
\section{Lemmi, corollari, teoremi inversi}\label{sec:GE-002-04}

Non tutti i teoremi hanno la stessa importanza nell'economia di una teoria. La tradizione matematica distingue alcuni casi particolari.

\begin{definizione}[Lemma, corollario, teorema inverso]
\begin{itemize}
    \item Un \textbf{lemma} è un teorema ausiliario, di interesse limitato in sé, dimostrato come strumento per provare un risultato più importante.
    \item Un \textbf{corollario} è una conseguenza diretta di un teorema appena dimostrato, ottenibile con pochi passaggi quasi immediati.
    \item Il \textbf{teorema inverso} di un teorema della forma ``se $H$ allora $T$'' è l'enunciato ``se $T$ allora $H$''. La sua validità non è garantita dalla validità del teorema diretto.
\end{itemize}
\end{definizione}

La distinzione è puramente di rilievo e di funzione: dal punto di vista logico, un lemma e un teorema sono indistinguibili; sono entrambi affermazioni dimostrate. La parola ``lemma'' segnala soltanto al lettore che si tratta di un risultato strumentale, da non considerare come obiettivo principale.

\begin{esempio}[Teorema diretto e teorema inverso del triangolo isoscele]
Il \autoref{cap:GE-006} sarà dedicato proprio a questi enunciati. Anticipiamoli a titolo illustrativo.

\smallskip
\noindent\textbf{Teorema diretto.} Se un triangolo è isoscele, allora gli angoli alla base sono congruenti.

\noindent\textbf{Teorema inverso.} Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora il triangolo è isoscele (il lato opposto al terzo angolo è la base).

\smallskip
Si noti che entrambi gli enunciati sono validi, ma ciascuno ha bisogno di una dimostrazione propria. La validità del teorema diretto \emph{non garantisce} quella dell'inverso; l'inverso va provato separatamente.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Un teorema inverso che non vale]
Consideriamo l'enunciato:
\begin{quote}
\emph{Se un quadrilatero è un quadrato, allora ha tutti i lati congruenti.}
\end{quote}
È un teorema vero, di immediata dimostrazione a partire dalla definizione di quadrato. Il suo inverso sarebbe:
\begin{quote}
\emph{Se un quadrilatero ha tutti i lati congruenti, allora è un quadrato.}
\end{quote}
Questo enunciato è \emph{falso}: un rombo non quadrato (cioè un rombo con angoli non retti) ha tutti i lati congruenti ma non è un quadrato. Un solo controesempio basta a confutare l'inverso. La verità del teorema diretto e la verità del suo inverso sono \emph{indipendenti}.
\end{esempio}

\begin{attenzione}
\textbf{Condizione necessaria, condizione sufficiente.} Un teorema ``se $H$ allora $T$'' afferma che $H$ è una \emph{condizione sufficiente} per $T$ (basta avere $H$ per garantire $T$); equivalentemente, $T$ è una \emph{condizione necessaria} per $H$. Quando vale anche l'inverso ``se $T$ allora $H$'', si dice che $H$ è \emph{condizione necessaria e sufficiente} per $T$, e si scrive $H \iff T$ (``$H$ se e solo se $T$''). Tornerà spesso, in questo corso, leggere enunciati con la formula ``\dots\ se e solo se \dots'': segnala che il risultato vale in entrambe le direzioni.
\end{attenzione}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[
    scale=1.0,
    box/.style={rectangle, rounded corners=4pt, draw, thick, align=center, minimum width=3.4cm, minimum height=1.0cm, font=\small},
    teorema/.style={box, fill=ROSSO!15, draw=ROSSO},
    corollario/.style={box, fill=ARANCIO!15, draw=ARANCIO, minimum width=2.6cm},
    lemma/.style={box, fill=GIALLO!20, draw=ARANCIO, minimum width=2.6cm},
    freccia/.style={->, thick, >=stealth, GRIGIO!70!black}
]
    \node[lemma] (L1) at (-3.6, 2.0) {Lemma};
    \node[lemma] (L2) at (-3.6, 0.5) {Lemma};

    \node[teorema] (T) at (0, 1.25) {\textbf{Teorema}\\(risultato centrale)};

    \node[corollario] (C1) at (3.6, 2.0) {Corollario};
    \node[corollario] (C2) at (3.6, 0.5) {Corollario};

    \draw[freccia] (L1.east) -- (T.north west);
    \draw[freccia] (L2.east) -- (T.south west);
    \draw[freccia] (T.north east) -- (C1.west);
    \draw[freccia] (T.south east) -- (C2.west);
\end{tikzpicture}
\caption{Relazioni tipiche fra teorema, lemmi e corollari. I lemmi sono risultati ausiliari che alimentano la dimostrazione; i corollari sono conseguenze immediate del teorema, una volta che esso sia stato dimostrato.}
\label{fig:GE-002-lemmi-corollari}
\end{figure}

% =====================================================================
\section*{Esempi svolti}\label{sec:ge-002-05-esempi-svolti}

\begin{esempio}[Riconoscere la struttura di un enunciato]
Nei seguenti enunciati, individua ipotesi e tesi.

\smallskip
\noindent (a) ``Se due triangoli hanno due lati e l'angolo compreso ordinatamente congruenti, allora sono congruenti.''

\smallskip
\textbf{Ipotesi}: due triangoli hanno due lati e l'angolo compreso ordinatamente congruenti. \\
\textbf{Tesi}: i due triangoli sono congruenti.

\smallskip
\noindent (b) ``In un parallelogramma le diagonali si bisecano.''

\smallskip
\textbf{Riformulazione}: ``Se un quadrilatero è un parallelogramma, allora le sue diagonali si bisecano.''\\
\textbf{Ipotesi}: il quadrilatero è un parallelogramma.\\
\textbf{Tesi}: le diagonali si bisecano (cioè si tagliano scambievolmente a metà).

\smallskip
\noindent (c) ``Tre punti non allineati individuano uno e un solo piano.''

\smallskip
Si tratta di un \emph{postulato}, non di un teorema: non ha dimostrazione, è assunto.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Una dimostrazione per assurdo]
Dimostriamo il seguente enunciato.

\smallskip
\noindent \emph{Per un punto $P$ esterno a una retta $r$ passa al massimo una retta perpendicolare a $r$ in un fissato punto $H \in r$.}

\smallskip
\noindent\textbf{Ipotesi.} $r$ è una retta, $H \in r$, $P$ è un punto esterno a $r$.

\noindent\textbf{Tesi.} Esiste al più una retta $s$ passante per $P$ e perpendicolare a $r$ in $H$.

\smallskip
\textit{Dimostrazione.} Supponiamo per assurdo che esistano due rette distinte $s_1$ e $s_2$, entrambe passanti per $P$ e per $H$, ed entrambe perpendicolari a $r$ in $H$. Le rette $s_1$ e $s_2$ avrebbero allora due punti distinti in comune ($P$ e $H$), e per il primo postulato dovrebbero coincidere, contro l'ipotesi che siano distinte. La supposizione è insostenibile: la retta perpendicolare a $r$ passante per $H$, se esiste e passa per $P$, è unica.
\end{esempio}

% =====================================================================
\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
    \item Spiega la differenza fra \emph{definizione}, \emph{assioma} e \emph{teorema}, illustrando ciascuno con un esempio tratto dalla geometria.
    \item Riscrivi i seguenti enunciati nella forma ``se \dots\ allora \dots'', evidenziando ipotesi e tesi.
        \begin{enumerate}
            \item In un quadrato le diagonali sono congruenti.
            \item Un triangolo equilatero ha tutti gli angoli congruenti.
            \item Le rette perpendicolari a una stessa retta sono parallele tra loro.
        \end{enumerate}
    \item Per ciascuno dei seguenti enunciati, formula il teorema inverso e indica, sulla base delle conoscenze pregresse, se l'inverso è vero o falso.
        \begin{enumerate}
            \item Se un quadrilatero è un rettangolo, allora i suoi angoli sono retti.
            \item Se un triangolo è equilatero, allora è isoscele.
            \item Se un numero intero è pari, allora il suo quadrato è pari.
        \end{enumerate}
    \item Scrivi una definizione ben posta di:
        \begin{enumerate}
            \item rettangolo;
            \item triangolo isoscele;
            \item quadrilatero.
        \end{enumerate}
    \item Spiega, con un esempio a tua scelta, in che cosa consiste una \emph{dimostrazione per assurdo}.
    \item Vero o falso? Motiva la risposta.
        \begin{enumerate}
            \item Un postulato si dimostra a partire dai concetti primitivi.
            \item Un teorema si dimostra a partire da assiomi e da teoremi precedenti.
            \item Un controesempio è sufficiente a dimostrare la verità di un enunciato universale.
            \item La verità del teorema diretto implica la verità del teorema inverso.
        \end{enumerate}
    \item Confuta, esibendo un controesempio, ciascuno dei seguenti enunciati.
        \begin{enumerate}
            \item Tutti i triangoli con due lati congruenti sono equilateri.
            \item Tutti i quadrilateri con quattro lati congruenti sono quadrati.
            \item Tutti i numeri primi sono dispari.
        \end{enumerate}
    \item Scrivi nella forma ``$H \Rightarrow T$'' e poi nella forma equivalente ``condizione necessaria \dots, condizione sufficiente \dots'' il seguente teorema: ``se un triangolo è rettangolo, allora il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti''.
    \item Considera l'enunciato: ``In un triangolo, l'angolo opposto al lato maggiore è il maggiore degli angoli''. È un teorema o un postulato? Motiva la risposta.
    \item Spiega, con parole tue, perché un solo controesempio basta a confutare un enunciato universale, mentre nessun numero finito di esempi è sufficiente a dimostrarlo.
    \item Costruisci una dimostrazione diretta del seguente enunciato: ``se due rette distinte passano per uno stesso punto $P$, allora il piano da esse individuato è unico''. (Suggerimento: usa l'esempio analogo del \autoref{cap:GE-001} e l'assioma ``per tre punti non allineati passa uno e un solo piano''.)
    \item Distingui, dei seguenti enunciati, quali sono \emph{lemmi}, \emph{teoremi} o \emph{corollari}, sulla base del loro ruolo strutturale.
        \begin{enumerate}
            \item Teorema di Pitagora.
            \item Conseguenza del teorema di Pitagora: la diagonale di un quadrato è $\sqrt{2}$ volte il lato.
            \item Risultato preparatorio: in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa divide il triangolo in due triangoli simili al primo.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% =====================================================================
\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
    \item Una \textbf{definizione} introduce un nuovo termine in funzione di concetti primitivi e di termini già definiti; deve essere \emph{ben posta} (priva di circoli) e \emph{caratterizzante}.
    \item Un \textbf{assioma} (o \textbf{postulato}) è un enunciato assunto vero senza dimostrazione, che fissa proprietà fondamentali dei concetti primitivi.
    \item Un \textbf{teorema} ha la struttura ``se $H$ allora $T$'', dove $H$ è l'\emph{ipotesi} e $T$ è la \emph{tesi}; la \textbf{dimostrazione} collega $H$ a $T$ tramite assiomi, definizioni e teoremi precedenti.
    \item Le tecniche fondamentali di dimostrazione sono la \emph{dimostrazione diretta}, la \emph{dimostrazione per assurdo} e — per confutare enunciati universali — il \emph{controesempio}.
    \item Un \textbf{lemma} è un teorema ausiliario; un \textbf{corollario} è una conseguenza immediata di un teorema; il \textbf{teorema inverso} di ``se $H$ allora $T$'' è ``se $T$ allora $H$'', e la sua validità è indipendente da quella del teorema diretto.
    \item Quando valgono sia un teorema che il suo inverso, le ipotesi diventano \emph{condizione necessaria e sufficiente} (``se e solo se''); $H \iff T$ è la forma più informativa di un enunciato matematico.
\end{itemize}
\end{riepilogo}