\chapter{Segmenti e loro misura}\label{cap:GE-003}

\citazioneinizio{Misura ciò che è misurabile, e rendi misurabile ciò che non lo è.}{Galileo Galilei}

\noindent
Stabiliti i concetti primitivi e l'impalcatura logica della geometria, in questo capitolo iniziamo a costruire i primi enti derivati. Il primo passo, naturalissimo, è considerare la parte di una retta delimitata da due punti: il \emph{segmento}. Sui segmenti definiremo il \emph{confronto} e le \emph{operazioni} (somma, differenza, multipli e sottomultipli), introdurremo il \emph{punto medio} e infine il concetto di \emph{misura}, che permette di passare dalla geometria pura a un confronto numerico.

L'attenzione all'ordine logico è fondamentale: confronto e operazioni si possono definire \emph{senza misurare}, sfruttando soltanto il movimento rigido (la \emph{congruenza}). Solo dopo, scelta un'unità di misura, ad ogni segmento si associa un numero reale positivo, la sua \emph{lunghezza}.

% =====================================================================
\section{Semiretta e segmento}\label{sec:GE-003-01}

Un punto $O$ su una retta $r$ divide la retta in due parti, ognuna delle quali è detta \emph{semiretta}. Considerando contemporaneamente due punti distinti $A$ e $B$ su una retta, isoliamo la porzione di retta compresa tra essi: il \emph{segmento}.

\begin{definizione}[Semiretta]
Sia $O$ un punto di una retta $r$. Una \textbf{semiretta} di origine $O$ è una delle due parti in cui $O$ divide $r$, comprendente $O$ stesso. Il punto $O$ si dice \textbf{origine} della semiretta.
\end{definizione}

\begin{definizione}[Segmento]
Siano $A$ e $B$ due punti distinti di una retta $r$. Si chiama \textbf{segmento} $AB$ l'insieme costituito da $A$, da $B$ e da tutti i punti di $r$ compresi fra $A$ e $B$. I punti $A$ e $B$ si dicono \textbf{estremi} del segmento.
\end{definizione}

Il segmento $AB$ e il segmento $BA$ rappresentano lo stesso insieme di punti: l'ordine in cui si scrivono gli estremi non ne modifica la natura.

Si distinguono inoltre alcune configurazioni reciproche fra segmenti che useremo costantemente.

\begin{definizione}[Segmenti consecutivi e adiacenti]
\begin{itemize}
    \item Due segmenti si dicono \textbf{consecutivi} se hanno in comune un solo estremo e non hanno altri punti in comune.
    \item Due segmenti consecutivi si dicono \textbf{adiacenti} se appartengono a una stessa retta.
\end{itemize}
\end{definizione}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    % --- Semiretta ---
    \node[anchor=south] at (-3.5, 1.6) {\small Semiretta};
    \filldraw[ROSSO] (-5.0, 1.0) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, below] at (-5.0, 0.95) {$O$};
    \draw[BLU, thick, ->] (-5.0, 1.0) -- (-1.4, 1.0);

    % --- Segmento ---
    \node[anchor=south] at (2.0, 1.6) {\small Segmento $AB$};
    \filldraw[ROSSO] (0.0, 1.0) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (4.0, 1.0) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, below] at (0.0, 0.95) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below] at (4.0, 0.95) {$B$};
    \draw[VERDE, very thick] (0.0, 1.0) -- (4.0, 1.0);

    % --- Segmenti consecutivi ---
    \node[anchor=south] at (-3.2, -0.6) {\small Consecutivi};
    \filldraw[ROSSO] (-5.0,-1.2) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (-3.2,-1.2) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (-2.0,-0.3) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, below] at (-5.0,-1.25) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below] at (-3.2,-1.25) {$B$};
    \node[ROSSO!70!black, right] at (-1.95,-0.25) {$C$};
    \draw[VERDE, very thick] (-5.0,-1.2) -- (-3.2,-1.2);
    \draw[ARANCIO, very thick] (-3.2,-1.2) -- (-2.0,-0.3);

    % --- Segmenti adiacenti ---
    \node[anchor=south] at (2.0, -0.6) {\small Adiacenti};
    \filldraw[ROSSO] (0.0,-1.2) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (2.0,-1.2) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (4.5,-1.2) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, below] at (0.0,-1.25) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below] at (2.0,-1.25) {$B$};
    \node[ROSSO!70!black, below] at (4.5,-1.25) {$C$};
    \draw[VERDE, very thick] (0.0,-1.2) -- (2.0,-1.2);
    \draw[ARANCIO, very thick] (2.0,-1.2) -- (4.5,-1.2);
\end{tikzpicture}
\caption{In alto: semiretta di origine $O$ e segmento di estremi $A$ e $B$. In basso: segmenti consecutivi $AB$ e $BC$ (con un solo estremo in comune) e segmenti adiacenti, anch'essi consecutivi ma giacenti su una stessa retta.}
\label{fig:GE-003-semiretta-segmento}
\end{figure}

% =====================================================================
\section{Confronto di segmenti}\label{sec:GE-003-02}

Per dire che ``due segmenti sono uguali'' o che ``il segmento $AB$ è più piccolo del segmento $CD$'' non abbiamo ancora bisogno di numeri: basta poter \emph{sovrapporre} i segmenti tramite un movimento rigido.

\begin{definizione}[Congruenza di segmenti]
Due segmenti si dicono \textbf{congruenti}, e si scrive
\[ AB \cong CD , \]
quando si possono trasportare l'uno sull'altro mediante un movimento rigido in modo che gli estremi si corrispondano. La congruenza di segmenti è una \emph{relazione di equivalenza}: è riflessiva ($AB \cong AB$), simmetrica (se $AB \cong CD$ allora $CD \cong AB$) e transitiva (se $AB \cong CD$ e $CD \cong EF$, allora $AB \cong EF$).
\end{definizione}

Quando due segmenti non sono congruenti, possiamo confrontarli e dire quale è il \emph{maggiore} (o il \emph{minore}).

\begin{procedura}[Confronto di due segmenti]
Siano $AB$ e $CD$ due segmenti. Per confrontarli:
\begin{enumerate}
    \item si trasporta $CD$ sulla retta che contiene $AB$, in modo che $C$ vada a coincidere con $A$ e $D$ cada dalla stessa parte di $B$ rispetto ad $A$;
    \item sia $D'$ il punto immagine di $D$. Si confrontano $B$ e $D'$:
    \begin{itemize}
        \item se $D' = B$, allora $AB \cong CD$;
        \item se $D'$ è interno al segmento $AB$, allora $CD < AB$;
        \item se $D'$ è esterno al segmento $AB$ (oltre $B$), allora $CD > AB$.
    \end{itemize}
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Confronto grafico]
Si abbiano due segmenti $AB$ e $CD$. Trasportato $CD$ con origine in $A$ lungo la semiretta $AB$, l'immagine di $D$ cade in un punto $D'$. Se $D'$ si trova fra $A$ e $B$, allora $CD$ è più corto di $AB$; se $D'$ coincide con $B$, i due segmenti sono congruenti; se $D'$ supera $B$, allora $CD$ è più lungo di $AB$. Il confronto si traduce in un'operazione puramente geometrica, indipendente dalla scelta di un'unità di misura.
\end{esempio}

% =====================================================================
\section{Operazioni con i segmenti}\label{sec:GE-003-03}

Sui segmenti si definiscono le operazioni di somma e differenza in modo grafico. La definizione precede ogni considerazione numerica e si fonda esclusivamente sulla nozione di adiacenza.

\begin{definizione}[Somma di due segmenti]
Si chiama \textbf{somma} dei due segmenti $AB$ e $CD$ il segmento $AC'$ ottenuto disponendo $AB$ e $CD$ in posizione adiacente, cioè trasportando $CD$ sulla retta di $AB$ in modo che $C$ coincida con $B$ e che $D$ si trovi dalla parte opposta di $A$ rispetto a $B$. Il segmento somma ha per estremi $A$ e l'immagine $C'$ di $D$:
\[ AB + CD \cong AC'. \]
\end{definizione}

\begin{definizione}[Differenza di due segmenti]
Siano $AB$ e $CD$ due segmenti con $AB > CD$. Si chiama \textbf{differenza} dei due segmenti il segmento che, sommato a $CD$, dà come risultato $AB$. Operativamente, si trasporta $CD$ con origine in $A$ lungo la semiretta $AB$; sia $D'$ l'immagine di $D$. Si ha allora
\[ AB - CD \cong D'B. \]
\end{definizione}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    % --- Somma ---
    \node[anchor=south west] at (-5.5, 1.4) {\small \textbf{Somma}: $AB + CD \cong AC'$};

    % AB
    \filldraw[ROSSO] (-5.0, 0.6) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (-2.5, 0.6) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, below] at (-5.0, 0.55) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below] at (-2.5, 0.55) {$B$};
    \draw[BLU, very thick] (-5.0, 0.6) -- (-2.5, 0.6);
    \node[BLU!70!black, above] at (-3.75, 0.6) {\small $AB$};

    % CD trasportato (B coincide con C)
    \filldraw[ROSSO] (-1.0, 0.6) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, below] at (-1.0, 0.55) {$C'$};
    \draw[VERDE, very thick] (-2.5, 0.6) -- (-1.0, 0.6);
    \node[VERDE!70!black, above] at (-1.75, 0.6) {\small $CD$};

    % --- Differenza ---
    \node[anchor=south west] at (1.0, 1.4) {\small \textbf{Differenza}: $AB - CD \cong D'B$};

    \filldraw[ROSSO] (1.5, 0.6) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (5.5, 0.6) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (3.5, 0.6) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, below] at (1.5, 0.55) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below] at (5.5, 0.55) {$B$};
    \node[ROSSO!70!black, below] at (3.5, 0.55) {$D'$};
    \draw[BLU, very thick] (1.5, 0.6) -- (3.5, 0.6);
    \node[BLU!70!black, above] at (2.5, 0.6) {\small $CD$};
    \draw[VERDE, very thick] (3.5, 0.6) -- (5.5, 0.6);
    \node[VERDE!70!black, above] at (4.5, 0.6) {\small $D'B$};

    % --- Multipli ---
    \node[anchor=south west] at (-5.5, -0.5) {\small \textbf{Multiplo}: $3 \cdot AB$};
    \filldraw[ROSSO] (-5.0,-1.2) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (-3.5,-1.2) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (-2.0,-1.2) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (-0.5,-1.2) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, below] at (-5.0,-1.25) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below] at (-3.5,-1.25) {$B$};
    \node[ROSSO!70!black, below] at (-2.0,-1.25) {};
    \node[ROSSO!70!black, below] at (-0.5,-1.25) {};
    \draw[BLU, very thick] (-5.0,-1.2) -- (-3.5,-1.2);
    \draw[VERDE, very thick] (-3.5,-1.2) -- (-2.0,-1.2);
    \draw[ARANCIO, very thick] (-2.0,-1.2) -- (-0.5,-1.2);
\end{tikzpicture}
\caption{Operazioni grafiche con i segmenti. In alto a sinistra: somma di $AB$ e $CD$, ottenuta affiancando $CD$ a $AB$. In alto a destra: differenza di $AB$ e $CD$. In basso: multiplo $3 \cdot AB$, ottenuto giustapponendo tre copie congruenti di $AB$.}
\label{fig:GE-003-operazioni}
\end{figure}

\subsection*{Multipli e sottomultipli}

Iterando l'operazione di somma si ottengono i \emph{multipli} di un segmento.

\begin{definizione}[Multiplo di un segmento]
Si chiama \textbf{multiplo secondo $n$} di un segmento $AB$, e si denota $n \cdot AB$, il segmento ottenuto giustapponendo $n$ copie consecutive e congruenti di $AB$ ($n$ intero positivo).
\end{definizione}

\begin{definizione}[Sottomultiplo di un segmento]
Si chiama \textbf{sottomultiplo $n$-esimo} di un segmento $AB$, e si denota $\frac{1}{n} \cdot AB$, il segmento $CD$ tale che $n \cdot CD \cong AB$ ($n$ intero positivo). Esso esiste ed è unico, ma la dimostrazione di questo fatto richiede l'assioma di continuità della retta.
\end{definizione}

% =====================================================================
\section{Punto medio di un segmento}\label{sec:GE-003-04}

Tra le costruzioni elementari più importanti vi è quella del \emph{punto medio}, che divide un segmento in due parti congruenti.

\begin{definizione}[Punto medio]
Si chiama \textbf{punto medio} del segmento $AB$ il punto $M$ del segmento tale che
\[ AM \cong MB . \]
\end{definizione}

\begin{teorema}[esistenza e unicità del punto medio]
Ogni segmento $AB$ ammette uno e un solo punto medio.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (cenni).} L'esistenza si fonda sull'assioma di continuità della retta: pensiamo di muovere un punto $P$ da $A$ verso $B$ lungo il segmento, e di confrontare istante per istante $AP$ con $PB$. All'inizio $AP$ è il segmento nullo e $PB \cong AB$; alla fine $AP \cong AB$ e $PB$ è nullo. Per continuità esiste un punto in cui $AP \cong PB$. L'unicità segue dal fatto che, se esistessero due punti medi $M_1$ e $M_2$ distinti, uno dei due sarebbe interno al segmento $AM_2$ (o $AM_1$) e si arriverebbe a una contraddizione con la congruenza richiesta.

\medskip
Il punto medio è il caso $n = 2$ del sottomultiplo: si tratta del segmento $\frac{1}{2} \cdot AB$ riportato a partire da $A$ lungo $AB$.

\begin{esempio}[Costruzione con riga e compasso]
Per costruire concretamente il punto medio di $AB$ con riga e compasso si procede come segue. Si fissa il compasso con un'apertura maggiore di $\frac{1}{2}AB$. Puntandolo prima in $A$ e poi in $B$, si tracciano due archi da entrambe le parti del segmento; gli archi si intersecano in due punti $C$ e $D$. La retta $CD$ è l'asse del segmento $AB$ (la perpendicolare condotta per il suo punto medio); essa interseca $AB$ proprio in $M$, il punto medio cercato. Questa costruzione, attribuita ad Euclide (Proposizione 10 del Libro I degli \emph{Elementi}), sarà giustificata in modo rigoroso più avanti, dopo l'introduzione dei criteri di congruenza dei triangoli.
\end{esempio}

% =====================================================================
\section{Misura di un segmento}\label{sec:GE-003-05}

Il confronto e le operazioni sui segmenti, finora, si sono svolti senza far ricorso a numeri. Per molte applicazioni, però, è necessario \emph{associare a ogni segmento un numero}: questo è ciò che permette il calcolo numerico, l'uso di formule, il dialogo con la fisica e con le scienze sperimentali.

\begin{definizione}[Misura di un segmento]
Si fissi un segmento $u$, detto \textbf{unità di misura}. Per ogni segmento $AB$ esiste un unico numero reale positivo $\ell$ tale che
\[ AB \cong \ell \cdot u , \]
nel senso che, riportando $u$ ripetutamente lungo $AB$ ed eventualmente i suoi sottomultipli, si copre $AB$ esattamente. Il numero $\ell$ si chiama \textbf{misura} (o \textbf{lunghezza}) di $AB$ rispetto all'unità $u$ e si denota $\overline{AB}$.
\end{definizione}

L'esistenza e l'unicità di $\ell$ riposano su una proprietà profonda della retta euclidea, l'\emph{assioma di Eudosso-Archimede} e la \emph{completezza} dei numeri reali, che assumeremo qui come fatto. La conseguenza pratica è che, una volta scelta un'unità, ogni segmento corrisponde univocamente a un numero reale positivo.

\subsection*{Sistema Internazionale e unità di misura}

Nel Sistema Internazionale (SI) l'unità di misura della lunghezza è il \textbf{metro}, denotato \si{\meter}. Da esso si derivano i multipli e sottomultipli decimali. Riportiamo i più frequenti:
\begin{itemize}
    \item \si{\kilo\meter} ($\SI{1}{\kilo\meter} = \SI{e3}{\meter}$);
    \item \si{\centi\meter} ($\SI{1}{\centi\meter} = \SI{e-2}{\meter}$);
    \item \si{\milli\meter} ($\SI{1}{\milli\meter} = \SI{e-3}{\meter}$);
    \item \si{\micro\meter} ($\SI{1}{\micro\meter} = \SI{e-6}{\meter}$);
    \item \si{\nano\meter} ($\SI{1}{\nano\meter} = \SI{e-9}{\meter}$).
\end{itemize}

Le operazioni sui segmenti si traducono nelle corrispondenti operazioni sulle loro misure: se $\overline{AB} = a$ e $\overline{CD} = b$, allora la misura del segmento somma è $a + b$, quella del differenza (con $a > b$) è $a - b$, e quella del multiplo $n$-esimo è $n \cdot a$.

\begin{esempio}[Somma di lunghezze]
Si abbiano due segmenti $AB$ e $CD$ con misure rispetto all'unità metro
\[ \overline{AB} = a , \qquad \overline{CD} = b , \]
e si vogliano determinare la misura $s$ del segmento somma e la misura $d$ del segmento differenza ($AB > CD$).

\smallskip
Le operazioni di somma e differenza si trasferiscono direttamente alle misure:
\[ s = a + b , \qquad d = a - b . \]

\smallskip
Numericamente, con $a = \SI{2.45}{\meter}$ e $b = \SI{0.85}{\meter}$:
\begin{align*}
    s &= \SI{2.45}{\meter} + \SI{0.85}{\meter} = \SI{3.30}{\meter} , \\
    d &= \SI{2.45}{\meter} - \SI{0.85}{\meter} = \SI{1.60}{\meter} .
\end{align*}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Punto medio in coordinate]
Sia $AB$ un segmento e $\overline{AB} = a$. La misura del segmento $\overline{AM}$, dove $M$ è il punto medio, è
\[ \overline{AM} = \frac{a}{2} . \]
Numericamente, con $a = \SI{14.6}{\centi\meter}$:
\[ \overline{AM} = \frac{\SI{14.6}{\centi\meter}}{2} = \SI{7.3}{\centi\meter} . \]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Confronto fra segmenti tramite la misura]
Per confrontare due segmenti basta confrontare le loro misure rispetto a una stessa unità. Siano $AB$ e $CD$ con
\[ \overline{AB} = \SI{12.3}{\centi\meter} , \qquad \overline{CD} = \SI{0.118}{\meter} . \]
Conviene esprimere entrambe le misure nella stessa unità, ad esempio in centimetri. Ricordando che $\SI{1}{\meter} = \SI{e2}{\centi\meter}$:
\[ \overline{CD} = \SI{0.118}{\meter} = \num{0.118} \cdot \SI{e2}{\centi\meter} = \SI{11.8}{\centi\meter} . \]
Poiché $\num{12.3} > \num{11.8}$, si ha $AB > CD$.
\end{esempio}

\begin{attenzione}
\textbf{Misura e segmento sono cose diverse.} Il segmento $AB$ è un \emph{ente geometrico}: un sottoinsieme di punti dello spazio. La sua misura $\overline{AB}$ è un \emph{numero reale}: dipende dalla scelta dell'unità di misura. Riportare $\overline{AB} = \num{2.5}$ senza precisare l'unità è privo di significato; lo stesso segmento ha misura $\num{2.5}$ in metri, $\num{250}$ in centimetri, $\num{0.0025}$ in chilometri.
\end{attenzione}

% =====================================================================
\section*{Esempi svolti}\label{sec:ge-003-06-esempi-svolti}

\begin{esempio}[Operazioni concatenate con segmenti]
Su una retta sono dati, nell'ordine, i punti $A$, $B$, $C$, $D$ con
\[ \overline{AB} = \SI{4.2}{\centi\meter}, \quad \overline{BC} = \SI{3.5}{\centi\meter}, \quad \overline{CD} = \SI{2.1}{\centi\meter} . \]
Determiniamo la misura del segmento $AD$ e la posizione del suo punto medio $M$ rispetto a $B$.

\smallskip
\noindent \textbf{Misura di $AD$.} I tre segmenti sono adiacenti, quindi
\[ \overline{AD} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} . \]
Sostituendo:
\[ \overline{AD} = \SI{4.2}{\centi\meter} + \SI{3.5}{\centi\meter} + \SI{2.1}{\centi\meter} = \SI{9.8}{\centi\meter} . \]

\smallskip
\noindent \textbf{Posizione di $M$.} Il punto medio dista da $A$:
\[ \overline{AM} = \frac{\overline{AD}}{2} = \frac{\SI{9.8}{\centi\meter}}{2} = \SI{4.9}{\centi\meter} . \]
Poiché $\overline{AB} = \SI{4.2}{\centi\meter} < \overline{AM} = \SI{4.9}{\centi\meter}$, il punto $M$ si trova oltre $B$, nel segmento $BC$. La sua distanza da $B$ è
\[ \overline{BM} = \overline{AM} - \overline{AB} = \SI{4.9}{\centi\meter} - \SI{4.2}{\centi\meter} = \SI{0.7}{\centi\meter} . \]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Problema con incognita]
Un segmento $AB$ è tale che la sua quinta parte sommata alla sua metà dà come risultato un segmento di lunghezza $\SI{14}{\centi\meter}$. Determiniamo la misura di $AB$.

\smallskip
\noindent \textbf{Impostazione algebrica.} Sia $\overline{AB} = a$ la misura incognita. La condizione si scrive
\[ \frac{a}{5} + \frac{a}{2} = \SI{14}{\centi\meter} . \]

\smallskip
\noindent \textbf{Risoluzione.} Riducendo a denominatore comune $10$:
\[ \frac{2a}{10} + \frac{5a}{10} = \SI{14}{\centi\meter}, \qquad \frac{7a}{10} = \SI{14}{\centi\meter} . \]
Da cui
\[ a = \SI{14}{\centi\meter} \cdot \frac{10}{7} = \SI{20}{\centi\meter} . \]

\smallskip
\noindent \textbf{Verifica.} Si controlla:
\[ \frac{\SI{20}{\centi\meter}}{5} + \frac{\SI{20}{\centi\meter}}{2} = \SI{4}{\centi\meter} + \SI{10}{\centi\meter} = \SI{14}{\centi\meter} , \]
in accordo con il dato.
\end{esempio}

% =====================================================================
\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
    \item Disegna due segmenti $AB$ e $CD$ con $\overline{AB} = \SI{5}{\centi\meter}$ e $\overline{CD} = \SI{3}{\centi\meter}$. Costruisci graficamente i segmenti $AB + CD$ e $AB - CD$.
    \item Quattro punti $A$, $B$, $C$, $D$ sono allineati nell'ordine indicato, con $\overline{AB} = \SI{2.4}{\centi\meter}$, $\overline{BC} = \SI{1.8}{\centi\meter}$, $\overline{CD} = \SI{3.0}{\centi\meter}$. Calcola le misure dei segmenti $AD$, $AC$, $BD$.
    \item Sia $AB$ un segmento con $\overline{AB} = \SI{18}{\centi\meter}$. Calcola le misure dei segmenti $\frac{1}{3}\cdot AB$, $\frac{2}{3}\cdot AB$, $\frac{5}{6}\cdot AB$.
    \item Tre punti $A$, $B$, $C$ sono allineati e $B$ è il punto medio di $AC$. Sapendo che $\overline{AC} = \SI{12.4}{\centi\meter}$, calcola $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$.
    \item Su una retta, nell'ordine $A$, $B$, $C$, si ha $\overline{AB} = \SI{3.5}{\centi\meter}$ e $\overline{BC} = \SI{4.5}{\centi\meter}$. Trova la distanza del punto medio di $AC$ da $B$.
    \item Su un segmento $AB$ di misura $\SI{40}{\centi\meter}$, si fissi un punto $P$ tale che $\overline{AP} = 3 \cdot \overline{PB}$. Determina $\overline{AP}$ e $\overline{PB}$.
    \item Un segmento è suddiviso in tre parti tali che la prima è la metà della seconda e la terza è il doppio della seconda. Sapendo che il segmento misura $\SI{42}{\centi\meter}$, determina la misura di ciascuna parte.
    \item Stabilisci se le seguenti coppie di segmenti sono congruenti, oppure indica quale è il maggiore. Esprimi tutte le misure nella stessa unità.
        \begin{enumerate}
            \item $\overline{AB} = \SI{0.85}{\meter}$ e $\overline{CD} = \SI{85}{\centi\meter}$;
            \item $\overline{AB} = \SI{1.20}{\meter}$ e $\overline{CD} = \SI{1180}{\milli\meter}$;
            \item $\overline{AB} = \SI{0.0034}{\kilo\meter}$ e $\overline{CD} = \SI{3.50}{\meter}$.
        \end{enumerate}
    \item Tre punti $A$, $B$, $C$ sono allineati nell'ordine indicato, con $\overline{AB} = a$ e $\overline{BC} = b$. Sia $M$ il punto medio di $AC$. Esprimi $\overline{BM}$ in funzione di $a$ e $b$, distinguendo i casi $a > b$, $a = b$, $a < b$.
    \item Sia $AB$ un segmento e siano $M_1$ il punto medio di $AB$ e $M_2$ il punto medio di $AM_1$. Esprimi $\overline{AM_2}$, $\overline{M_2 M_1}$, $\overline{M_1 B}$ in funzione di $\overline{AB}$.
    \item Spiega, con parole tue, perché le definizioni di confronto, somma e punto medio dei segmenti possono essere date \emph{senza} aver introdotto la nozione di misura. Quale ruolo gioca la misura?
    \item Si abbia un segmento $AB$ di misura $\overline{AB} = a$. Costruisci, sulla retta che lo contiene e a partire da $A$, un punto $P$ tale che $\overline{AP} = \frac{2a}{5}$. Quale frazione di $AB$ rappresenta $PB$?
    \item Un segmento misura $\SI{2.4}{\meter}$. Esprimi la sua misura in centimetri, in millimetri, in chilometri.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% =====================================================================
\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
    \item Una \textbf{semiretta} è una delle due parti in cui un punto $O$ divide una retta. Un \textbf{segmento} $AB$ è la porzione di retta delimitata dai due punti $A$ e $B$, suoi \emph{estremi}.
    \item Due segmenti consecutivi che giacciono sulla stessa retta si dicono \textbf{adiacenti}.
    \item La \textbf{congruenza} di segmenti, $AB \cong CD$, è una relazione di equivalenza definita tramite movimenti rigidi e \emph{precede} la nozione di misura.
    \item Sui segmenti si definiscono \textbf{somma}, \textbf{differenza}, \textbf{multipli} e \textbf{sottomultipli} in modo grafico, sfruttando l'adiacenza.
    \item Il \textbf{punto medio} di un segmento $AB$ è l'unico punto $M \in AB$ con $AM \cong MB$.
    \item Fissato un segmento $u$ come \textbf{unità di misura}, ad ogni segmento $AB$ è associato univocamente un numero reale positivo $\overline{AB}$, la sua \textbf{misura}; le operazioni sui segmenti corrispondono alle stesse operazioni sulle misure.
    \item Nel \textbf{Sistema Internazionale} l'unità di misura della lunghezza è il \textbf{metro} (\si{\meter}); i suoi multipli e sottomultipli decimali sono \si{\kilo\meter}, \si{\centi\meter}, \si{\milli\meter}, \si{\micro\meter}, \si{\nano\meter}.
    \item \textbf{Segmento} (ente geometrico) e \textbf{misura} (numero) sono concetti distinti: la misura ha senso solo rispetto a un'unità.
\end{itemize}
\end{riepilogo}