\chapter{Angoli: classificazione e operazioni}\label{cap:GE-004}

\citazioneinizio{L'angolo piano è l'inclinazione reciproca di due linee in un piano che si incontrano l'una con l'altra e non giacciono in linea retta.}{Euclide, Elementi, Libro I, Definizione 8}

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La parola \emph{angolo} appartiene al linguaggio quotidiano e ognuno se ne è formato un'idea intuitiva: lo spigolo di una stanza, l'inclinazione di un raggio di luce, l'apertura di un compasso. La geometria, tuttavia, ha bisogno di una nozione precisa: vogliamo poter dire quando due angoli sono uguali, quando uno è il doppio dell'altro, quando una semiretta divide un angolo in due parti uguali, e ricavare da queste definizioni teoremi rigorosi. In questo capitolo costruiamo i mattoni che servono.

Il filo conduttore è duplice. Da un lato definiamo l'oggetto \emph{angolo} e ne classifichiamo i tipi (acuto, retto, ottuso, piatto, giro). Dall'altro stabiliamo i primi teoremi non banali della geometria razionale: la congruenza degli angoli opposti al vertice, la congruenza degli angoli supplementari (o complementari) di uno stesso angolo, l'esistenza e unicità della bisettrice. Sono risultati semplici, ma il loro stile dimostrativo è quello che impiegheremo in tutto il resto della geometria.

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\section{Definizione di angolo}\label{sec:GE-004-01}

Date due semirette $a$ e $b$ uscenti dallo stesso punto $V$, esse dividono il piano in due regioni distinte. Ciascuna di queste regioni, insieme con le due semirette che la delimitano, costituisce un \emph{angolo}.

\begin{definizione}[Angolo]
Si chiama \textbf{angolo} ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette $a$ e $b$ uscenti da uno stesso punto $V$, compresi i punti delle due semirette. Il punto $V$ è detto \textbf{vertice}; le due semirette $a$ e $b$ sono dette \textbf{lati} dell'angolo.
\end{definizione}

\noindent
Per indicare un angolo si usano diverse notazioni:
\begin{itemize}
    \item con lettere greche minuscole: $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, \dots
    \item con il simbolo $\widehat{AVB}$, dove $V$ è il vertice e $A$, $B$ sono punti scelti rispettivamente sui due lati;
    \item con $\widehat{V}$, quando dal contesto è chiaro a quale angolo si fa riferimento.
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    % Vertice
    \coordinate (V) at (0,0);

    % Due semirette uscenti da V
    \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (3.5, 1.8);
    \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (3.8, -0.3);

    % Punti A e B sui lati
    \coordinate (A) at (2.4, -0.19);
    \coordinate (B) at (2.6, 1.34);
    \filldraw[ROSSO] (A) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (B) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, below right] at (A) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, above left] at (B) {$B$};

    % Vertice marcato
    \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, left] at (V) {$V$};

    % Arco dell'angolo convesso
    \draw[VERDE, thick] (1.4, -0.11) arc (-4.5:31:1.4);
    \node[VERDE!70!black] at (1.85, 0.45) {$\alpha$};

    % Arco dell'angolo concavo (tratteggiato)
    \draw[ARANCIO, thick, dashed] (-1.0, 0) arc (180:355.5:1.0);
    \node[ARANCIO!70!black] at (0, -1.4) {$\beta$};

    % Etichette dei lati
    \node[BLU!70!black, above] at (3.5, 1.8) {\small lato $a$};
    \node[BLU!70!black, below] at (3.8, -0.3) {\small lato $b$};
\end{tikzpicture}
\caption{Due semirette $a$ e $b$ uscenti dal vertice $V$ dividono il piano in due angoli: l'angolo \emph{convesso} $\alpha = \widehat{AVB}$ (in verde) e l'angolo \emph{concavo} $\beta$ (in arancione tratteggiato). Le due semirette sono i \emph{lati} di entrambi gli angoli; il punto $V$ ne è il \emph{vertice}.}
\label{fig:GE-004-definizione-angolo}
\end{figure}

\subsection*{Angoli convessi e concavi}

\begin{definizione}[Angolo convesso e angolo concavo]
Un angolo si dice \textbf{convesso} se non contiene i prolungamenti dei suoi lati; si dice \textbf{concavo} se li contiene.
\end{definizione}

In modo equivalente: un angolo è convesso se, presi due qualsiasi suoi punti $P$ e $Q$, il segmento $PQ$ è interamente contenuto nell'angolo stesso. Salvo avviso contrario, quando in queste dispense parleremo di ``angolo $\widehat{AVB}$'' intenderemo l'angolo convesso individuato dalle due semirette.

\subsection*{Casi limite: angolo piatto, angolo giro, angolo nullo}

\begin{definizione}[Angolo piatto, giro, nullo]
\begin{itemize}
    \item L'\textbf{angolo piatto} è l'angolo i cui lati sono uno il prolungamento dell'altro; coincide quindi con uno dei due semipiani in cui una retta divide il piano.
    \item L'\textbf{angolo giro} è l'angolo i cui lati coincidono e che contiene tutti i punti del piano; coincide con l'intero piano.
    \item L'\textbf{angolo nullo} è l'angolo i cui lati coincidono e che non contiene altri punti oltre a quelli dei suoi lati.
\end{itemize}
\end{definizione}

Angoli piatto, giro e nullo sono casi degeneri rispetto alla definizione generale: l'angolo piatto si ottiene quando le due semirette giacciono sulla stessa retta; angolo giro e angolo nullo quando le due semirette coincidono. Sono comunque oggetti utili per fissare i punti di riferimento della classificazione che segue.

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\section{Classificazione degli angoli}\label{sec:GE-004-02}

Misurare gli angoli, come misurare i segmenti, è una operazione che si appoggia sul \emph{confronto}: due angoli si dicono congruenti se si possono sovrapporre con un movimento rigido in modo che i loro lati e i loro vertici si corrispondano. Anche per gli angoli, dunque, il confronto precede la misura.

Tra tutti gli angoli ne distinguiamo uno particolarmente importante.

\begin{definizione}[Angolo retto]
Si chiama \textbf{angolo retto} l'angolo congruente al proprio supplementare (la nozione di angolo supplementare è ripresa nel \autoref{sec:GE-004-04}). In modo equivalente, l'angolo retto è la metà dell'angolo piatto.
\end{definizione}

La definizione moderna di angolo retto, qui adottata, evita di ricorrere a una unità di misura. Euclide la pose come quarto postulato (``tutti gli angoli retti sono congruenti fra loro''): assumeva quindi l'esistenza dell'angolo retto come dato della teoria e ne richiedeva la congruenza universale. La nostra definizione la traduce in linguaggio moderno facendo uso delle nozioni di supplementare e di metà.

Sulla base dell'angolo retto e dell'angolo piatto, classifichiamo tutti gli angoli convessi.

\begin{definizione}[Classificazione degli angoli convessi]
Un angolo convesso $\alpha$ si dice:
\begin{itemize}
    \item \textbf{acuto} se è minore di un angolo retto;
    \item \textbf{retto} se è congruente a un angolo retto;
    \item \textbf{ottuso} se è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto;
    \item \textbf{piatto} se è congruente all'angolo piatto.
\end{itemize}
\end{definizione}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
    % --- Acuto ---
    \begin{scope}[shift={(0,0)}]
        \coordinate (V) at (0,0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (2.2, 0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- ({2.2*cos(40)}, {2.2*sin(40)});
        \draw[VERDE, thick] (0.8, 0) arc (0:40:0.8);
        \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.2pt);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (1.1, -0.4) {Acuto};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (1.1, -0.8) {$< \frac{1}{2}$ piatto};
    \end{scope}

    % --- Retto ---
    \begin{scope}[shift={(4,0)}]
        \coordinate (V) at (0,0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (2.2, 0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (0, 2.2);
        % Quadratino dell'angolo retto
        \draw[VERDE, thick] (0.35, 0) -- (0.35, 0.35) -- (0, 0.35);
        \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.2pt);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (1.1, -0.4) {Retto};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (1.1, -0.8) {$= \frac{1}{2}$ piatto};
    \end{scope}

    % --- Ottuso ---
    \begin{scope}[shift={(8,0)}]
        \coordinate (V) at (0,0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (2.2, 0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- ({2.2*cos(130)}, {2.2*sin(130)});
        \draw[VERDE, thick] (0.8, 0) arc (0:130:0.8);
        \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.2pt);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0.4, -0.4) {Ottuso};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (0.4, -0.8) {$>$ retto, $<$ piatto};
    \end{scope}

    % --- Piatto ---
    \begin{scope}[shift={(0,-3.0)}]
        \coordinate (V) at (0,0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (2.2, 0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (-2.2, 0);
        \draw[VERDE, thick] (0.8, 0) arc (0:180:0.8);
        \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.2pt);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -0.4) {Piatto};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (0, -0.8) {lati opposti};
    \end{scope}

    % --- Giro ---
    \begin{scope}[shift={(4,-3.0)}]
        \coordinate (V) at (0,0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (2.2, 0);
        \draw[VERDE, thick, ->] (1.0, 0) arc (0:330:1.0);
        \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.2pt);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -1.4) {Giro};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (0, -1.8) {lati coincidenti};
    \end{scope}

    % --- Nullo ---
    \begin{scope}[shift={(8,-3.0)}]
        \coordinate (V) at (0,0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (2.2, 0);
        \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.2pt);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (1.1, -0.4) {Nullo};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (1.1, -0.8) {lati coincidenti};
    \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Classificazione degli angoli. In alto da sinistra: acuto, retto (segnalato dal quadratino convenzionale), ottuso. In basso: piatto, giro, nullo. Acuto, retto, ottuso e piatto sono \emph{angoli convessi}; il giro è la configurazione in cui i due lati coincidono e l'angolo riempie l'intero piano.}
\label{fig:GE-004-classificazione}
\end{figure}

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\section{Angoli consecutivi, adiacenti, opposti al vertice}\label{sec:GE-004-03}

Quando si considerano \emph{due} angoli, è importante distinguere le loro posizioni reciproche più frequenti, perché su di esse si fondano le prime relazioni di congruenza.

\begin{definizione}[Angoli consecutivi e adiacenti]
\begin{itemize}
    \item Due angoli si dicono \textbf{consecutivi} se hanno in comune il vertice e un lato, e i due lati non comuni si trovano da parti opposte rispetto al lato comune.
    \item Due angoli si dicono \textbf{adiacenti} se sono consecutivi e i due lati non comuni giacciono sulla stessa retta.
\end{itemize}
\end{definizione}

In altre parole, due angoli adiacenti sono due angoli consecutivi i cui lati non comuni costituiscono insieme un angolo piatto. La nozione di angolo adiacente è il caso particolare ``rettilineo'' della nozione di angolo consecutivo.

\begin{definizione}[Angoli opposti al vertice]
Due angoli si dicono \textbf{opposti al vertice} se hanno il vertice in comune e i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.
\end{definizione}

Due rette $r$ e $s$ incidenti in un punto $V$ formano quattro angoli, organizzati in due coppie di angoli opposti al vertice. La configurazione è così frequente da meritare un nome e un teorema dedicati.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    % --- Consecutivi ---
    \begin{scope}[shift={(0,0)}]
        \coordinate (V) at (0,0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (2.0, 0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- ({2.0*cos(55)}, {2.0*sin(55)});
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- ({2.0*cos(120)}, {2.0*sin(120)});
        \draw[VERDE, thick] (0.7, 0) arc (0:55:0.7);
        \draw[ARANCIO, thick] ({0.9*cos(55)}, {0.9*sin(55)}) arc (55:120:0.9);
        \node[VERDE!70!black] at ({0.4*cos(28)}, {0.4*sin(28)+0.1}) {$\alpha$};
        \node[ARANCIO!70!black] at ({0.55*cos(88)}, {0.55*sin(88)}) {$\beta$};
        \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.2pt);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -0.5) {Consecutivi};
    \end{scope}

    % --- Adiacenti ---
    \begin{scope}[shift={(5,0)}]
        \coordinate (V) at (0,0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (2.0, 0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (-2.0, 0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- ({2.0*cos(60)}, {2.0*sin(60)});
        \draw[VERDE, thick] (0.7, 0) arc (0:60:0.7);
        \draw[ARANCIO, thick] ({0.9*cos(60)}, {0.9*sin(60)}) arc (60:180:0.9);
        \node[VERDE!70!black] at ({0.4*cos(30)}, {0.4*sin(30)+0.1}) {$\alpha$};
        \node[ARANCIO!70!black] at ({0.55*cos(120)}, {0.55*sin(120)}) {$\beta$};
        \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.2pt);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -0.5) {Adiacenti};
    \end{scope}

    % --- Opposti al vertice ---
    \begin{scope}[shift={(10,0)}]
        \coordinate (V) at (0,0);
        \draw[BLU, thick] (-2.0, -1.2) -- (2.0, 1.2);
        \draw[BLU, thick] (-2.0, 1.2) -- (2.0, -1.2);
        \draw[VERDE, thick] (0.7, 0.42) arc (31:149:0.7);
        \draw[VERDE, thick] (-0.7, -0.42) arc (211:329:0.7);
        \draw[ARANCIO, thick] (0.7, -0.42) arc (-31:31:0.7);
        \draw[ARANCIO, thick] (-0.7, 0.42) arc (149:211:0.7);
        \node[VERDE!70!black] at (0, 0.55) {$\alpha$};
        \node[VERDE!70!black] at (0, -0.55) {$\alpha'$};
        \node[ARANCIO!70!black] at (0.8, 0) {$\beta$};
        \node[ARANCIO!70!black] at (-0.8, 0) {$\beta'$};
        \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.2pt);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -1.4) {Opposti al vertice};
    \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Tre configurazioni fondamentali. \emph{Consecutivi}: due angoli che hanno un lato e il vertice in comune. \emph{Adiacenti}: caso particolare di angoli consecutivi i cui lati non comuni formano un angolo piatto. \emph{Opposti al vertice}: due rette incidenti formano due coppie di angoli ($\alpha,\alpha'$) e ($\beta,\beta'$).}
\label{fig:GE-004-configurazioni}
\end{figure}

\medskip
\noindent
Possiamo ora dimostrare un primo, classico risultato.

\begin{teorema}[degli angoli opposti al vertice]
Due angoli opposti al vertice sono congruenti.
\end{teorema}

\noindent
\textbf{Ipotesi.} Le rette $r$ e $s$ si intersecano nel punto $V$; $\alpha$ e $\alpha'$ sono i due angoli opposti al vertice che si formano.

\noindent
\textbf{Tesi.} $\alpha \cong \alpha'$.

\textit{Dimostrazione.} Sia $\beta$ l'angolo adiacente ad $\alpha$ ottenuto dal lato comune di $r$ e $s$ (cfr.\ \autoref{fig:GE-004-configurazioni}, terza configurazione). Poiché $\alpha$ e $\beta$ sono adiacenti, la loro somma è un angolo piatto:
\[ \alpha + \beta \cong \text{piatto} . \]
Analogamente, $\beta$ è adiacente anche ad $\alpha'$ (lungo l'altro prolungamento), quindi
\[ \beta + \alpha' \cong \text{piatto} . \]
Confrontando le due uguaglianze si ha
\[ \alpha + \beta \cong \beta + \alpha' , \]
e sottraendo $\beta$ da entrambi i membri (operazione lecita perché si tratta di una somma di angoli):
\[ \alpha \cong \alpha' . \]
Questo è quanto si voleva dimostrare.

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\section{Angoli complementari, supplementari, esplementari}\label{sec:GE-004-04}

Per ricorrenza si introducono nomi specifici per le coppie di angoli la cui somma è un angolo retto, piatto o giro. Sono nozioni che si useranno costantemente, sia in geometria che in trigonometria.

\begin{definizione}[Complementari, supplementari, esplementari]
Due angoli $\alpha$ e $\beta$ si dicono:
\begin{itemize}
    \item \textbf{complementari} se la loro somma è un angolo retto;
    \item \textbf{supplementari} se la loro somma è un angolo piatto;
    \item \textbf{esplementari} se la loro somma è un angolo giro.
\end{itemize}
\end{definizione}

Si noti la sottile differenza con la nozione di angolo adiacente: due angoli adiacenti sono sempre supplementari, ma due angoli supplementari non sono necessariamente adiacenti (possono essere disposti in qualsiasi posizione del piano, purché la loro somma sia piatta).

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.95]
    % --- Complementari (adiacenti) ---
    \begin{scope}[shift={(0,0)}]
        \coordinate (V) at (0,0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (2.4, 0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (0, 2.4);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- ({2.4*cos(35)}, {2.4*sin(35)});
        \draw[VERDE, thick] (0.7, 0) arc (0:35:0.7);
        \draw[ARANCIO, thick] ({0.9*cos(35)}, {0.9*sin(35)}) arc (35:90:0.9);
        \node[VERDE!70!black] at ({0.45*cos(17)}, {0.45*sin(17)+0.1}) {$\alpha$};
        \node[ARANCIO!70!black] at ({0.55*cos(62)}, {0.55*sin(62)}) {$\beta$};
        \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.2pt);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (1.1, -0.4) {Complementari};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (1.1, -0.8) {$\alpha + \beta = $ retto};
    \end{scope}

    % --- Supplementari (adiacenti) ---
    \begin{scope}[shift={(5,0)}]
        \coordinate (V) at (0,0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (2.4, 0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (-2.4, 0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- ({2.4*cos(65)}, {2.4*sin(65)});
        \draw[VERDE, thick] (0.7, 0) arc (0:65:0.7);
        \draw[ARANCIO, thick] ({0.9*cos(65)}, {0.9*sin(65)}) arc (65:180:0.9);
        \node[VERDE!70!black] at ({0.45*cos(32)}, {0.45*sin(32)+0.1}) {$\alpha$};
        \node[ARANCIO!70!black] at ({0.55*cos(123)}, {0.55*sin(123)}) {$\beta$};
        \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.2pt);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -0.5) {Supplementari};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (0, -0.9) {$\alpha + \beta = $ piatto};
    \end{scope}

    % --- Esplementari ---
    \begin{scope}[shift={(10,0)}]
        \coordinate (V) at (0,0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (2.4, 0);
        \draw[BLU, thick, ->] (V) -- ({2.4*cos(120)}, {2.4*sin(120)});
        \draw[VERDE, thick] (0.7, 0) arc (0:120:0.7);
        \draw[ARANCIO, thick, ->] (0.9, 0) arc (0:-240:0.9);
        \node[VERDE!70!black] at ({0.4*cos(60)}, {0.4*sin(60)}) {$\alpha$};
        \node[ARANCIO!70!black] at (0, -1.0) {$\beta$};
        \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.2pt);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -1.5) {Esplementari};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (0, -1.9) {$\alpha + \beta = $ giro};
    \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Coppie di angoli particolari: complementari (somma retto), supplementari (somma piatto), esplementari (somma giro). I disegni mostrano configurazioni adiacenti, ma la definizione non richiede l'adiacenza: due angoli sono ad esempio supplementari se la loro somma è piatta, indipendentemente da dove siano disegnati.}
\label{fig:GE-004-complementari-supplementari}
\end{figure}

\medskip
Sui complementari e supplementari valgono due teoremi di congruenza che useremo molto.

\begin{teorema}[Angoli supplementari di angoli congruenti]
Se $\alpha \cong \alpha'$, e $\beta$ è un supplementare di $\alpha$ e $\beta'$ è un supplementare di $\alpha'$, allora $\beta \cong \beta'$.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Per ipotesi
\[ \alpha + \beta \cong \text{piatto} , \qquad \alpha' + \beta' \cong \text{piatto} . \]
Confrontando i due primi membri:
\[ \alpha + \beta \cong \alpha' + \beta' . \]
Poiché $\alpha \cong \alpha'$, sottraendo da ambo i membri si ha $\beta \cong \beta'$.

\medskip
In particolare, scegliendo $\alpha = \alpha'$, si ottiene il caso più semplice: \emph{due angoli supplementari di uno stesso angolo sono congruenti tra loro}. Lo stesso enunciato vale per i complementari, con dimostrazione del tutto analoga sostituendo ``piatto'' con ``retto''.

\begin{teorema}[Angoli complementari di angoli congruenti]
Se $\alpha \cong \alpha'$, e $\beta$ è un complementare di $\alpha$ e $\beta'$ è un complementare di $\alpha'$, allora $\beta \cong \beta'$.
\end{teorema}

Si può ora rileggere il teorema degli angoli opposti al vertice del \autoref{sec:GE-004-03} come un caso particolare di questa famiglia di risultati: due angoli opposti al vertice sono entrambi supplementari di uno stesso angolo (l'angolo adiacente a entrambi) e perciò congruenti.

\begin{corollario}[Bisettrici di angoli opposti al vertice]
Le bisettrici di due angoli opposti al vertice giacciono sulla stessa retta.
\end{corollario}

Il corollario richiede la nozione di bisettrice, che introduciamo nella prossima sezione; la dimostrazione è proposta come esercizio.

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\section{Bisettrice di un angolo}\label{sec:GE-004-05}

Così come il punto medio divide un segmento in due parti congruenti, la \emph{bisettrice} divide un angolo in due angoli congruenti.

\begin{definizione}[Bisettrice]
Si chiama \textbf{bisettrice} di un angolo $\widehat{AVB}$ la semiretta di origine $V$ interna all'angolo che lo divide in due angoli congruenti.
\end{definizione}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
    \coordinate (V) at (0,0);
    \draw[BLU, thick, ->] (V) -- (3.2, 0);
    \draw[BLU, thick, ->] (V) -- ({3.2*cos(70)}, {3.2*sin(70)});
    % Bisettrice
    \draw[ROSSO, thick, ->] (V) -- ({3.2*cos(35)}, {3.2*sin(35)});
    % Archi
    \draw[VERDE, thick] (1.0, 0) arc (0:35:1.0);
    \draw[VERDE, thick] ({1.0*cos(35)}, {1.0*sin(35)}) arc (35:70:1.0);
    % Etichette
    \node[VERDE!70!black] at ({0.5*cos(17)+0.1}, {0.5*sin(17)}) {$\alpha$};
    \node[VERDE!70!black] at ({0.5*cos(52)}, {0.5*sin(52)+0.1}) {$\alpha$};
    \node[ROSSO!70!black, right] at ({3.2*cos(35)}, {3.2*sin(35)}) {bisettrice};
    \node[BLU!70!black, right] at (3.2, 0) {$VA$};
    \node[BLU!70!black, above right] at ({3.2*cos(70)}, {3.2*sin(70)}) {$VB$};
    % Vertice e punti
    \filldraw[ROSSO] (V) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, left] at (V) {$V$};
\end{tikzpicture}
\caption{La bisettrice dell'angolo $\widehat{AVB}$ è la semiretta di origine $V$, interna all'angolo, che lo divide in due angoli congruenti.}
\label{fig:GE-004-bisettrice}
\end{figure}

\begin{teorema}[esistenza e unicità della bisettrice]
Ogni angolo (non nullo e non giro) ammette una e una sola bisettrice.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (cenni).} L'esistenza è del tutto analoga a quella del punto medio di un segmento (\autoref{cap:GE-003}): si muove una semiretta uscente da $V$ a partire da uno dei due lati verso l'altro, e si confrontano gli angoli da essa formati con i due lati dell'angolo originario; per la continuità del piano esiste una posizione in cui i due angoli sono congruenti. L'unicità si dimostra per assurdo: due bisettrici distinte dividerebbero l'angolo in tre parti, e i due angoli ottenuti da una bisettrice non potrebbero essere entrambi congruenti come imposto dalla definizione.

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\section{Misura sessagesimale degli angoli}\label{sec:GE-004-06}

Confronto, somma e bisettrice si definiscono senza ricorrere a una unità di misura. Tuttavia, come per i segmenti, la pratica richiede un sistema di misura numerica. Il sistema più diffuso è quello \emph{sessagesimale}, di origine babilonese, che fissa convenzionalmente la misura dell'angolo giro a $\SI{360}{\degree}$.

\begin{definizione}[Sistema sessagesimale]
Nel \textbf{sistema sessagesimale}:
\begin{itemize}
    \item l'angolo giro misura $\SI{360}{\degree}$ (gradi);
    \item l'angolo piatto misura $\SI{180}{\degree}$;
    \item l'angolo retto misura $\SI{90}{\degree}$;
    \item ogni grado si divide in $60$ \emph{primi} ($'$);
    \item ogni primo si divide in $60$ \emph{secondi} ($''$).
\end{itemize}
Si scrive ad esempio $\SI{37}{\degree} \, 24' \, 18''$ per indicare un angolo composto da $37$ gradi, $24$ primi e $18$ secondi.
\end{definizione}

\noindent
La scelta del $360$ non è casuale: il numero $360$ ammette molti divisori interi ($2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, \dots$), il che rende comodo dividere l'angolo giro in parti uguali. La tradizione risale ai babilonesi ($\approx \num{2000}$~a.C.), il cui sistema di numerazione era a base $60$.

\subsection*{Conversioni tra forma sessagesimale e forma decimale}

Un angolo espresso in $g$ gradi, $p$ primi e $s$ secondi corrisponde alla forma decimale
\[ \alpha_{\text{dec}} = g + \frac{p}{60} + \frac{s}{3600} \quad \si{\degree} . \]

Viceversa, dato $\alpha_{\text{dec}}$ in gradi decimali, si ottengono le componenti sessagesimali con la procedura seguente.

\begin{procedura}[Conversione da forma decimale a sessagesimale]
\begin{enumerate}
    \item Si pone $g = \lfloor \alpha_{\text{dec}} \rfloor$ (parte intera dei gradi).
    \item Si calcola la parte decimale residua, espressa in primi: $r_p = (\alpha_{\text{dec}} - g) \cdot 60$.
    \item Si pone $p = \lfloor r_p \rfloor$ (parte intera dei primi).
    \item Si calcola la parte decimale residua, espressa in secondi: $s = (r_p - p) \cdot 60$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\subsection*{Operazioni con angoli in misura sessagesimale}

Quando si sommano o si sottraggono angoli espressi in gradi-primi-secondi, conviene operare colonna per colonna (gradi con gradi, primi con primi, secondi con secondi) e poi normalizzare il risultato:
\begin{itemize}
    \item se i secondi superano $60$, si sottrae $60$ e si aggiunge $1$ ai primi;
    \item se i primi superano $60$, si sottrae $60$ e si aggiunge $1$ ai gradi.
\end{itemize}
Nella sottrazione, se i secondi (o i primi) del primo termine sono insufficienti, si ``prende in prestito'' un'unità dalla colonna superiore: un primo vale $60$ secondi, un grado $60$ primi.

\begin{attenzione}
\textbf{Notazione.} Nei calcoli può essere comodo passare dalla forma sessagesimale alla forma decimale e viceversa, soprattutto quando si usano calcolatrici o fogli di calcolo. La forma decimale è sempre quella più adatta alle operazioni; la forma sessagesimale è quella tradizionale e quella richiesta dai problemi di astronomia, navigazione e topografia.
\end{attenzione}

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\section*{Esempi svolti}\label{sec:ge-004-07-esempi-svolti}

\begin{esempio}[Complementare e supplementare]
Determiniamo il complementare e il supplementare dell'angolo $\alpha = \SI{37}{\degree}$.

\smallskip
\noindent \textbf{Complementare.} Per definizione, $\alpha + \alpha_c \cong \text{retto}$, ovvero
\[ \alpha_c = \SI{90}{\degree} - \alpha = \SI{90}{\degree} - \SI{37}{\degree} = \SI{53}{\degree} . \]

\noindent \textbf{Supplementare.} Per definizione, $\alpha + \alpha_s \cong \text{piatto}$, ovvero
\[ \alpha_s = \SI{180}{\degree} - \alpha = \SI{180}{\degree} - \SI{37}{\degree} = \SI{143}{\degree} . \]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Conversione da decimale a sessagesimale]
Si converta $\alpha = \SI{42.7825}{\degree}$ in forma sessagesimale.

\smallskip
\noindent \textbf{Gradi.} $g = \lfloor \num{42.7825} \rfloor = 42$.

\smallskip
\noindent \textbf{Primi.} La parte decimale è $\num{42.7825} - 42 = \num{0.7825}$. In primi:
\[ r_p = \num{0.7825} \cdot 60 = \num{46.95} . \]
Quindi $p = \lfloor \num{46.95} \rfloor = 46$.

\smallskip
\noindent \textbf{Secondi.} La parte decimale residua è $\num{46.95} - 46 = \num{0.95}$. In secondi:
\[ s = \num{0.95} \cdot 60 = 57 . \]

\smallskip
\noindent \textbf{Risultato.} $\alpha = \SI{42}{\degree} \, 46' \, 57''$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Somma di angoli sessagesimali]
Si calcoli la somma $\alpha + \beta$, con
\[ \alpha = \SI{47}{\degree} \, 38' \, 45'' , \qquad \beta = \SI{28}{\degree} \, 54' \, 32'' . \]

\noindent \textbf{Somma colonna per colonna.}
\[
\begin{array}{rcc rcc rcc}
& 47\si{\degree} & & & 38' & & & 45'' & \\
+ & 28\si{\degree} & & & 54' & & & 32'' & \\
\hline
& 75\si{\degree} & & & 92' & & & 77'' & \\
\end{array}
\]

\noindent \textbf{Normalizzazione.} I secondi superano $60$: $77'' = 60'' + 17'' = 1' + 17''$. Aggiungiamo $1'$ ai primi:
\[ 75\si{\degree} \quad 93' \quad 17'' . \]
I primi superano $60$: $93' = 60' + 33' = 1\si{\degree} + 33'$. Aggiungiamo $1\si{\degree}$ ai gradi:
\[ \alpha + \beta = \SI{76}{\degree} \, 33' \, 17'' . \]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Problema con la bisettrice]
Due angoli $\alpha$ e $\beta$ sono adiacenti e $\beta$ misura il doppio di $\alpha$. La bisettrice di $\alpha$ e la bisettrice di $\beta$ formano un certo angolo $\gamma$. Determiniamo $\gamma$.

\smallskip
\noindent \textbf{Impostazione algebrica.} Poiché $\alpha$ e $\beta$ sono adiacenti, la loro somma è un angolo piatto:
\[ \alpha + \beta \cong \text{piatto} . \]
Con la condizione $\beta = 2\alpha$:
\[ \alpha + 2\alpha = 3\alpha \cong \text{piatto} , \]
da cui $\alpha = \frac{1}{3}\,\text{piatto}$ e $\beta = \frac{2}{3}\,\text{piatto}$.

\smallskip
L'angolo $\gamma$ tra le due bisettrici è la somma delle metà:
\[ \gamma = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\text{piatto}}{2} \cong \text{retto} . \]

\smallskip
\noindent \textbf{Verifica numerica.} Con $\alpha = \SI{60}{\degree}$ e $\beta = \SI{120}{\degree}$:
\[ \gamma = \frac{\SI{60}{\degree}}{2} + \frac{\SI{120}{\degree}}{2} = \SI{30}{\degree} + \SI{60}{\degree} = \SI{90}{\degree} . \]
Si noti il fatto, interessante per sé, che $\gamma$ non dipende dai valori particolari di $\alpha$ e $\beta$, ma solo dal fatto che siano adiacenti.
\end{esempio}

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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
    \item Determina il complementare e il supplementare dei seguenti angoli: $\SI{12}{\degree}$, $\SI{45}{\degree}$, $\SI{73}{\degree} \, 18'$, $\SI{120}{\degree}$ (per quest'ultimo discuti il caso del complementare).
    \item Converti in forma sessagesimale (gradi-primi-secondi):
        \begin{enumerate}
            \item $\SI{25.5}{\degree}$;
            \item $\SI{72.375}{\degree}$;
            \item $\SI{18.1234}{\degree}$.
        \end{enumerate}
    \item Converti in forma decimale (con due cifre dopo la virgola, salvo precisione richiesta):
        \begin{enumerate}
            \item $\SI{30}{\degree} \, 45'$;
            \item $\SI{67}{\degree} \, 12' \, 30''$;
            \item $\SI{8}{\degree} \, 7' \, 6''$.
        \end{enumerate}
    \item Calcola le seguenti somme e differenze di angoli sessagesimali.
        \begin{enumerate}
            \item $\SI{32}{\degree} \, 47' + \SI{28}{\degree} \, 35'$;
            \item $\SI{74}{\degree} \, 23' \, 18'' + \SI{18}{\degree} \, 49' \, 53''$;
            \item $\SI{90}{\degree} - \SI{42}{\degree} \, 36' \, 47''$;
            \item $\SI{180}{\degree} - \SI{105}{\degree} \, 27' \, 38''$.
        \end{enumerate}
    \item Un angolo è il triplo del suo complementare. Determina i due angoli.
    \item Un angolo supera il suo supplementare di $\SI{40}{\degree}$. Determina i due angoli.
    \item Due angoli sono adiacenti e uno è $\frac{2}{7}$ dell'altro. Determina i due angoli.
    \item Due angoli sono opposti al vertice. Sapendo che uno di essi misura $\SI{42}{\degree} \, 18'$, determina la misura degli altri tre angoli formati dalle due rette.
    \item Vero o falso? Motiva la risposta.
        \begin{enumerate}
            \item Due angoli adiacenti sono sempre supplementari.
            \item Due angoli supplementari sono sempre adiacenti.
            \item Due angoli congruenti hanno bisettrici congruenti.
            \item Il complementare di un angolo acuto è sempre acuto.
            \item Il supplementare di un angolo acuto è sempre ottuso.
        \end{enumerate}
    \item Dimostra il corollario enunciato al \autoref{sec:GE-004-04}: le bisettrici di due angoli opposti al vertice giacciono sulla stessa retta.
    \item Due angoli consecutivi $\alpha$ e $\beta$ hanno somma $\SI{132}{\degree}$. Sapendo che la bisettrice del primo forma con il lato comune un angolo di $\SI{27}{\degree}$, determina la misura di $\alpha$ e di $\beta$.
    \item Tre semirette uscenti da uno stesso punto formano tre angoli consecutivi $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ che insieme costituiscono un angolo piatto. Sapendo che $\beta = 2\alpha$ e $\gamma = 3\alpha$, determina la misura di ciascuno.
    \item Sia $\widehat{AVB}$ un angolo retto e sia $VC$ la sua bisettrice. Quanto misurano gli angoli $\widehat{AVC}$ e $\widehat{CVB}$? E i loro complementari?
    \item Dimostra il seguente enunciato: \emph{se due angoli sono congruenti, allora i loro complementari sono congruenti}. (Suggerimento: imita la dimostrazione del teorema sui supplementari.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
    \item Un \textbf{angolo} è una delle due regioni in cui due semirette uscenti da uno stesso punto $V$ (\emph{vertice}) dividono il piano. Le due semirette sono i \emph{lati}.
    \item Un angolo è \textbf{convesso} se non contiene i prolungamenti dei lati, \textbf{concavo} altrimenti. Casi degeneri: angolo \emph{piatto}, \emph{giro}, \emph{nullo}.
    \item Gli angoli convessi si classificano in \textbf{acuti} (minori di un retto), \textbf{retti} (metà del piatto), \textbf{ottusi} (tra retto e piatto), \textbf{piatti}.
    \item Due angoli sono \textbf{consecutivi} se hanno vertice e un lato in comune; sono \textbf{adiacenti} se inoltre i lati non comuni giacciono su una stessa retta. Sono \textbf{opposti al vertice} se i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.
    \item Due angoli sono \textbf{complementari} se sommano a un retto, \textbf{supplementari} se sommano a un piatto, \textbf{esplementari} se sommano a un giro.
    \item \textbf{Teoremi di congruenza}: due angoli supplementari (o complementari) di angoli congruenti sono congruenti. \textbf{Corollario}: gli angoli opposti al vertice sono congruenti.
    \item La \textbf{bisettrice} di un angolo è l'unica semiretta interna all'angolo che lo divide in due angoli congruenti.
    \item Nel \textbf{sistema sessagesimale}: angolo giro $= \SI{360}{\degree}$; $1\si{\degree} = 60'$; $1' = 60''$. Per le operazioni si lavora colonna per colonna, riportando ogni $60''$ come $1'$ e ogni $60'$ come $1\si{\degree}$.
\end{itemize}
\end{riepilogo}