\chapter{Triangolo isoscele e suoi teoremi}\label{cap:GE-006}

\citazioneinizio{La simmetria è quel concetto attraverso cui l'uomo, attraverso i secoli, ha tentato di comprendere e creare ordine, bellezza e perfezione.}{Hermann Weyl}

\noindent
Il triangolo isoscele è il primo esempio non banale di figura \emph{simmetrica}: la presenza di due lati congruenti gli conferisce un asse di simmetria, e da quest'unica caratteristica geometrica discendono numerose proprietà — tutte dimostrabili con i criteri di congruenza che abbiamo introdotto nel capitolo precedente. Questo capitolo è dunque il primo banco di prova del metodo dimostrativo della geometria sintetica: i criteri di congruenza diventano strumenti operativi, e producono teoremi non banali.

Vedremo il \emph{teorema diretto del triangolo isoscele} (gli angoli alla base sono congruenti) e il suo \emph{inverso}; ne dedurremo come conseguenza il cosiddetto \emph{teorema delle tre cose} (in un triangolo isoscele bisettrice dell'angolo al vertice, mediana e altezza relative alla base coincidono); e infine inquadreremo il triangolo equilatero come caso particolare.

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\section{Definizione e proprietà}\label{sec:GE-006-01}

\begin{definizione}[Triangolo isoscele]
Si chiama \textbf{triangolo isoscele} un triangolo che ha almeno due lati congruenti. I due lati congruenti si chiamano \textbf{lati obliqui} (o semplicemente \emph{lati}); il terzo lato si chiama \textbf{base}; gli angoli adiacenti alla base sono detti \textbf{angoli alla base}, e l'angolo opposto alla base è detto \textbf{angolo al vertice}.
\end{definizione}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
    \coordinate (A) at (2.4, 3.6);
    \coordinate (B) at (0, 0);
    \coordinate (C) at (4.8, 0);
    % Lati
    \draw[BLU, thick] (A) -- (B) node[midway, above left, BLU!70!black] {lato};
    \draw[BLU, thick] (A) -- (C) node[midway, above right, BLU!70!black] {lato};
    \draw[BLU, thick] (B) -- (C) node[midway, below, BLU!70!black] {base};
    % Tick sui due lati obliqui congruenti
    \draw[ROSSO, thick] ($(A)!0.5!(B)+(-0.10,-0.10)$) -- ($(A)!0.5!(B)+(0.10,0.10)$);
    \draw[ROSSO, thick] ($(A)!0.5!(C)+(0.10,-0.10)$) -- ($(A)!0.5!(C)+(-0.10,0.10)$);
    % Angolo al vertice
    \draw[VERDE, thick] ($(A)+(-0.45,-0.35)$) arc (-145:-35:0.55);
    \node[VERDE!70!black] at ($(A)+(0,-0.85)$) {angolo al vertice};
    % Angoli alla base
    \draw[ARANCIO, thick] ($(B)+(0.55,0)$) arc (0:55:0.55);
    \draw[ARANCIO, thick] ($(C)+(-0.55,0)$) arc (180:125:0.55);
    \node[ARANCIO!70!black] at ($(B)+(1.6, 0.3)$) {\small angolo alla base};
    \node[ARANCIO!70!black] at ($(C)+(-1.6, 0.3)$) {\small angolo alla base};
    % Vertici
    \filldraw[ROSSO] (A) circle (1.6pt);
    \filldraw[ROSSO] (B) circle (1.6pt);
    \filldraw[ROSSO] (C) circle (1.6pt);
    \node[ROSSO!70!black, above]     at (A) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below left]  at (B) {$B$};
    \node[ROSSO!70!black, below right] at (C) {$C$};
\end{tikzpicture}
\caption{Triangolo isoscele $\triangle ABC$ di base $BC$. I due lati obliqui $AB$ e $AC$ sono congruenti (trattini rossi). L'angolo al vertice è $\widehat{A}$; gli angoli alla base sono $\widehat{B}$ e $\widehat{C}$.}
\label{fig:GE-006-isoscele-definizione}
\end{figure}

\noindent
Conviene sottolineare due aspetti della definizione.
\begin{itemize}
    \item L'aggettivo ``isoscele'' viene dal greco \emph{isos} (uguale) + \emph{skelos} (gamba). I due lati congruenti sono dunque le ``gambe'' del triangolo, e la base è il terzo lato.
    \item La definizione richiede ``almeno due'' lati congruenti: ne segue che ogni triangolo \emph{equilatero} è un caso particolare di triangolo isoscele.
\end{itemize}

In molti enunciati di questo capitolo useremo il triangolo isoscele $\triangle ABC$ con base $BC$ e angolo al vertice in $A$: salvo avviso contrario, è questa la configurazione di riferimento.

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\section{Teorema diretto del triangolo isoscele}\label{sec:GE-006-02}

Il teorema fondamentale del triangolo isoscele lega la congruenza dei lati alla congruenza degli angoli alla base.

\begin{teorema}[diretto del triangolo isoscele]
In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti.
\end{teorema}

\textbf{Ipotesi.} $\triangle ABC$ con $AB \cong AC$.

\textbf{Tesi.} $\widehat{B} \cong \widehat{C}$.

\textit{Dimostrazione.} Sia $AM$ la bisettrice dell'angolo al vertice $\widehat{A}$, dove $M$ è il punto di intersezione della bisettrice con il lato $BC$. Confrontiamo i due triangoli $\triangle ABM$ e $\triangle ACM$. Si ha:
\begin{itemize}
    \item $AB \cong AC$ per ipotesi;
    \item $\widehat{BAM} \cong \widehat{CAM}$ perché $AM$ è la bisettrice di $\widehat{A}$;
    \item $AM \cong AM$ (lato comune).
\end{itemize}
Per il \textbf{primo criterio di congruenza} (LAL), $\triangle ABM \cong \triangle ACM$. In particolare i due angoli corrispondenti $\widehat{ABM}$ e $\widehat{ACM}$ sono congruenti, ovvero $\widehat{B} \cong \widehat{C}$.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
    \coordinate (A) at (2.4, 3.6);
    \coordinate (B) at (0, 0);
    \coordinate (C) at (4.8, 0);
    \coordinate (M) at (2.4, 0);
    % Triangolo
    \draw[BLU, thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
    % Bisettrice
    \draw[ARANCIO, thick] (A) -- (M);
    % Tick lati obliqui
    \draw[ROSSO, thick] ($(A)!0.5!(B)+(-0.10,-0.10)$) -- ($(A)!0.5!(B)+(0.10,0.10)$);
    \draw[ROSSO, thick] ($(A)!0.5!(C)+(0.10,-0.10)$) -- ($(A)!0.5!(C)+(-0.10,0.10)$);
    % Angoli al vertice (due archi piccoli per la bisettrice)
    \draw[VERDE, thick] ($(A)+(-0.35,-0.30)$) arc (-145:-90:0.45);
    \draw[VERDE, thick] ($(A)+(0,-0.45)$) arc (-90:-35:0.45);
    % Etichette
    \node[ROSSO!70!black, above]      at (A) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below left] at (B) {$B$};
    \node[ROSSO!70!black, below right] at (C) {$C$};
    \node[ROSSO!70!black, below]      at (M) {$M$};
    \node[ARANCIO!70!black] at ($(A)!0.55!(M)+(0.45,0)$) {bisettrice};
    \filldraw[ROSSO] (A) circle (1.6pt);
    \filldraw[ROSSO] (B) circle (1.6pt);
    \filldraw[ROSSO] (C) circle (1.6pt);
    \filldraw[ROSSO] (M) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\caption{Dimostrazione del teorema diretto: la bisettrice $AM$ dell'angolo al vertice divide il triangolo isoscele $\triangle ABC$ in due triangoli $\triangle ABM$ e $\triangle ACM$ congruenti per il primo criterio (LAL).}
\label{fig:GE-006-dim-diretto}
\end{figure}

\subsection*{Conseguenze immediate: il teorema delle ``tre cose''}

La dimostrazione del teorema diretto ha prodotto, come ``effetto collaterale'', una congruenza fra molti più elementi di quanto richiesto dalla tesi. Possiamo trarne un risultato di grande importanza pratica.

\begin{teorema}[delle tre cose]
In un triangolo isoscele, la bisettrice dell'angolo al vertice è anche \emph{mediana} relativa alla base e \emph{altezza} relativa alla base.
\end{teorema}

\textbf{Ipotesi.} $\triangle ABC$ con $AB \cong AC$; $AM$ è la bisettrice di $\widehat{A}$ ($M \in BC$).

\textbf{Tesi.} $M$ è il punto medio di $BC$ (cioè $AM$ è mediana); inoltre $AM \perp BC$ (cioè $AM$ è altezza).

\textit{Dimostrazione.} Dalla dimostrazione del teorema diretto sappiamo che $\triangle ABM \cong \triangle ACM$. In particolare:
\begin{itemize}
    \item $BM \cong CM$, dunque $M$ è il punto medio di $BC$ e $AM$ è mediana;
    \item $\widehat{AMB} \cong \widehat{AMC}$. Ma $\widehat{AMB}$ e $\widehat{AMC}$ sono \emph{adiacenti} (perché $B$, $M$, $C$ sono allineati), dunque la loro somma è un angolo piatto. Due angoli adiacenti congruenti misurano ciascuno la metà del piatto, cioè un retto. Quindi $\widehat{AMB} \cong \widehat{AMC} \cong $ retto, ovvero $AM \perp BC$ e $AM$ è altezza.
\end{itemize}

\begin{corollario}
In un triangolo isoscele, la bisettrice dell'angolo al vertice, la mediana relativa alla base, l'altezza relativa alla base e l'asse della base coincidono.
\end{corollario}

\noindent
Il quarto elemento (l'asse della base) coincide con gli altri tre perché è una retta perpendicolare a $BC$ passante per il suo punto medio: esattamente la retta su cui giace $AM$.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
    \coordinate (A) at (2.4, 3.6);
    \coordinate (B) at (0, 0);
    \coordinate (C) at (4.8, 0);
    \coordinate (M) at (2.4, 0);
    % Triangolo
    \draw[BLU, thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
    % Linea AM con etichetta multipla
    \draw[ROSSO, very thick] (A) -- (M);
    % Quadratino angolo retto in M
    \draw[ROSSO, thick] (2.4-0.18, 0) -- (2.4-0.18, 0.18) -- (2.4, 0.18);
    % Tick lati obliqui
    \draw[ROSSO, thick] ($(A)!0.5!(B)+(-0.10,-0.10)$) -- ($(A)!0.5!(B)+(0.10,0.10)$);
    \draw[ROSSO, thick] ($(A)!0.5!(C)+(0.10,-0.10)$) -- ($(A)!0.5!(C)+(-0.10,0.10)$);
    % Tick metà base
    \draw[VIOLA, thick] (1.0, -0.10) -- (1.0, 0.10);
    \draw[VIOLA, thick] (3.8, -0.10) -- (3.8, 0.10);
    % Etichette vertici
    \node[ROSSO!70!black, above]       at (A) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below left]  at (B) {$B$};
    \node[ROSSO!70!black, below right] at (C) {$C$};
    \node[ROSSO!70!black, below]       at (M) {$M$};
    % Etichetta tre-in-uno
    \node[ROSSO!70!black, right, font=\small, align=left] at (2.55, 1.8) {bisettrice\\mediana\\altezza\\asse di $BC$};
    \filldraw[ROSSO] (A) circle (1.6pt);
    \filldraw[ROSSO] (B) circle (1.6pt);
    \filldraw[ROSSO] (C) circle (1.6pt);
    \filldraw[ROSSO] (M) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\caption{Nel triangolo isoscele $\triangle ABC$ di base $BC$, il segmento $AM$ è contemporaneamente bisettrice dell'angolo al vertice, mediana relativa a $BC$, altezza relativa a $BC$ e — prolungato in retta — asse di $BC$.}
\label{fig:GE-006-tre-cose}
\end{figure}

\subsection*{Asse di simmetria}

La retta che contiene $AM$ è dunque \emph{asse di simmetria} del triangolo isoscele: ripiegando il triangolo lungo questa retta, il lato $AB$ si sovrappone esattamente al lato $AC$, e così il vertice $B$ va su $C$. Tutte le proprietà del triangolo isoscele si possono leggere come manifestazioni di questa simmetria assiale.

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\section{Teorema inverso}\label{sec:GE-006-03}

Il teorema diretto afferma: ``se due lati sono congruenti, allora i due angoli alla base sono congruenti''. È naturale chiedersi se valga il viceversa: \emph{se due angoli sono congruenti, i lati opposti sono congruenti?} La risposta è affermativa, ma — come si è visto nel \autoref{cap:GE-002} — il viceversa va dimostrato a parte.

\begin{teorema}[inverso del triangolo isoscele]
Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora il triangolo è isoscele e i lati opposti agli angoli congruenti sono fra loro congruenti.
\end{teorema}

\textbf{Ipotesi.} $\triangle ABC$ con $\widehat{B} \cong \widehat{C}$.

\textbf{Tesi.} $AB \cong AC$ (e dunque $\triangle ABC$ è isoscele su base $BC$).

\textit{Dimostrazione.} Costruiamo la bisettrice dell'angolo $\widehat{A}$, che incontra il lato $BC$ in un punto $M$. Confrontiamo i triangoli $\triangle ABM$ e $\triangle ACM$. Si ha:
\begin{itemize}
    \item $\widehat{BAM} \cong \widehat{CAM}$ perché $AM$ è bisettrice;
    \item $AM \cong AM$ (lato comune);
    \item $\widehat{ABM} \cong \widehat{ACM}$, cioè $\widehat{B} \cong \widehat{C}$, per ipotesi.
\end{itemize}
I tre dati corrispondono a un lato ($AM$) e ai due angoli adiacenti ($\widehat{BAM}$ in $A$ e $\widehat{B}$ in $B$ nel primo triangolo; $\widehat{CAM}$ in $A$ e $\widehat{C}$ in $C$ nel secondo). Per il \textbf{secondo criterio di congruenza} (ALA), $\triangle ABM \cong \triangle ACM$. In particolare $AB \cong AC$.

\begin{attenzione}
Si confronti la dimostrazione del teorema diretto con quella del teorema inverso: la \emph{costruzione} (tracciare la bisettrice dell'angolo al vertice) è la stessa, ma il \emph{criterio} che si applica è diverso. Nel teorema diretto si parte da due lati e un angolo ed è naturale invocare il LAL. Nel teorema inverso si parte da un lato (quello comune) e due angoli, e si usa l'ALA. Questa dualità è tipica: spesso un enunciato e il suo inverso si dimostrano con criteri di congruenza diversi, applicati alla stessa configurazione.
\end{attenzione}

\subsection*{Caratterizzazione del triangolo isoscele}

Il teorema diretto e il suo inverso si possono unire in un unico enunciato \emph{caratterizzante}:

\begin{teorema}[caratterizzazione del triangolo isoscele]
Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti. I lati congruenti sono opposti agli angoli congruenti.
\end{teorema}

\noindent
È un esempio importante di proposizione del tipo ``se e solo se'' (cfr.\ \autoref{cap:GE-002}): equivalenza fra una proprietà sui lati e una proprietà sugli angoli. In molte dimostrazioni successive useremo questo teorema senza specificare quale dei due versi (diretto o inverso) stiamo invocando.

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\section{Triangolo equilatero come caso particolare}\label{sec:GE-006-04}

Quando un triangolo isoscele ha la base congruente ai lati obliqui, è equilatero: i tre lati sono fra loro congruenti. Applicando il teorema diretto su ogni coppia di lati congruenti, si ottiene immediatamente il seguente risultato.

\begin{corollario}[Triangolo equilatero]
In un triangolo equilatero i tre angoli interni sono congruenti.
\end{corollario}

\textit{Dimostrazione.} Sia $\triangle ABC$ equilatero, cioè $AB \cong BC \cong CA$. Considerando $AB \cong AC$ il triangolo è isoscele su base $BC$, dunque $\widehat{B} \cong \widehat{C}$ (teorema diretto). Considerando $AB \cong BC$ il triangolo è isoscele su base $AC$, dunque $\widehat{A} \cong \widehat{C}$. Da queste due congruenze, $\widehat{A} \cong \widehat{B} \cong \widehat{C}$.

\medskip
Vale anche l'inverso, come conseguenza diretta del teorema inverso del triangolo isoscele.

\begin{corollario}
Un triangolo è equilatero se e solo se ha i tre angoli congruenti.
\end{corollario}

\noindent
Quando, nel \autoref{cap:GE-008}, dimostreremo che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto, potremo concludere che in un triangolo equilatero ciascun angolo misura esattamente
\[ \frac{\SI{180}{\degree}}{3} = \SI{60}{\degree} . \]

\begin{nota}
Si noti il rapporto fra le tre nozioni: \emph{scaleno} $\Leftrightarrow$ tre lati distinti $\Leftrightarrow$ tre angoli distinti; \emph{isoscele} $\Leftrightarrow$ due lati congruenti $\Leftrightarrow$ due angoli congruenti; \emph{equilatero} $\Leftrightarrow$ tre lati congruenti $\Leftrightarrow$ tre angoli congruenti. La classificazione per lati e quella per angoli sono dunque, dal punto di vista logico, \emph{equivalenti}: ogni proprietà sui lati ha un corrispettivo sugli angoli, e viceversa. Questa equivalenza è un fatto profondo che useremo costantemente.
\end{nota}

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\section*{Esempi svolti}\label{sec:ge-006-05-esempi-svolti}

\begin{esempio}[Calcolo numerico nel triangolo isoscele]
Un triangolo isoscele $\triangle ABC$ ha l'angolo al vertice $\widehat{A} = \SI{40}{\degree}$. Determinare gli angoli alla base.

\smallskip
\noindent\textbf{Impostazione.} Siano $\widehat{B}$ e $\widehat{C}$ gli angoli alla base. Per il teorema diretto, $\widehat{B} \cong \widehat{C}$; chiamiamo $x$ la loro misura comune. La somma degli angoli interni di un triangolo è $\SI{180}{\degree}$:
\[ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = \SI{180}{\degree} . \]
Sostituendo:
\[ \SI{40}{\degree} + x + x = \SI{180}{\degree} , \qquad 2x = \SI{140}{\degree} . \]

\smallskip
\noindent\textbf{Risoluzione.}
\[ x = \frac{\SI{140}{\degree}}{2} = \SI{70}{\degree} . \]

\smallskip
Quindi $\widehat{B} = \widehat{C} = \SI{70}{\degree}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Riconoscere l'isoscelia a partire dagli angoli]
In un triangolo $\triangle ABC$ si ha $\widehat{A} = \SI{50}{\degree}$ e $\widehat{B} = \SI{65}{\degree}$. Mostriamo che $\triangle ABC$ è isoscele e determiniamo quali lati sono congruenti.

\smallskip
\noindent\textbf{Calcolo del terzo angolo.}
\[ \widehat{C} = \SI{180}{\degree} - \widehat{A} - \widehat{B} = \SI{180}{\degree} - \SI{50}{\degree} - \SI{65}{\degree} = \SI{65}{\degree} . \]

\smallskip
\noindent\textbf{Conclusione.} Si ha $\widehat{B} \cong \widehat{C}$. Per il teorema inverso del triangolo isoscele, i lati opposti a questi angoli sono congruenti: $AC \cong AB$. Dunque $\triangle ABC$ è isoscele su base $BC$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Una dimostrazione con doppia isoscelia]
Si abbia un triangolo isoscele $\triangle ABC$ con $AB \cong AC$. Sui lati obliqui prendiamo due punti $D$ (su $AB$) ed $E$ (su $AC$) tali che $BD \cong CE$. Dimostriamo che $\triangle ABE \cong \triangle ACD$.

\smallskip
\noindent\textbf{Ipotesi.} $AB \cong AC$; $D \in AB$, $E \in AC$; $BD \cong CE$.

\noindent\textbf{Tesi.} $\triangle ABE \cong \triangle ACD$.

\smallskip
\textit{Dimostrazione.} Confrontiamo $\triangle ABE$ e $\triangle ACD$. Si ha:
\begin{itemize}
    \item $AB \cong AC$ per ipotesi;
    \item $\widehat{A} \cong \widehat{A}$ (è lo stesso angolo, condiviso dai due triangoli);
    \item $AE \cong AD$, perché $AE = AC - CE$ e $AD = AB - BD$, e per ipotesi $AB \cong AC$ e $BD \cong CE$, quindi $AC - CE \cong AB - BD$, cioè $AE \cong AD$.
\end{itemize}
Per il primo criterio di congruenza (LAL) applicato ai triangoli $\triangle ABE$ e $\triangle ACD$ (lati $AB$ e $AE$ per il primo, $AC$ e $AD$ per il secondo, con angolo compreso $\widehat{A}$), si conclude $\triangle ABE \cong \triangle ACD$.
\end{esempio}

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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
    \item In un triangolo isoscele l'angolo al vertice misura $\SI{36}{\degree}$. Quanto misurano gli angoli alla base?
    \item In un triangolo isoscele un angolo alla base misura $\SI{72}{\degree}$. Quanto misurano l'angolo al vertice e l'altro angolo alla base?
    \item Stabilisci, sulla base degli angoli interni, se i seguenti triangoli sono isosceli e, in caso affermativo, qual è la base.
        \begin{enumerate}
            \item $\widehat{A} = \SI{80}{\degree}$, $\widehat{B} = \SI{50}{\degree}$, $\widehat{C} = \SI{50}{\degree}$;
            \item $\widehat{A} = \SI{45}{\degree}$, $\widehat{B} = \SI{90}{\degree}$, $\widehat{C} = \SI{45}{\degree}$;
            \item $\widehat{A} = \SI{70}{\degree}$, $\widehat{B} = \SI{55}{\degree}$, $\widehat{C} = \SI{55}{\degree}$;
            \item $\widehat{A} = \SI{60}{\degree}$, $\widehat{B} = \SI{60}{\degree}$, $\widehat{C} = \SI{60}{\degree}$.
        \end{enumerate}
    \item Vero o falso? Motiva la risposta.
        \begin{enumerate}
            \item Un triangolo rettangolo isoscele ha gli angoli alla base di $\SI{45}{\degree}$.
            \item In un triangolo isoscele la bisettrice dell'angolo al vertice è perpendicolare alla base.
            \item In ogni triangolo isoscele tutte e tre le mediane si bisecano a vicenda.
            \item In un triangolo equilatero la bisettrice di ogni angolo coincide con la mediana e con l'altezza relativa al lato opposto.
            \item Esiste un triangolo isoscele in cui l'angolo al vertice è retto.
        \end{enumerate}
    \item Sia $\triangle ABC$ isoscele su base $BC$. Sui lati obliqui prendi due punti $M$ (su $AB$) ed $N$ (su $AC$) tali che $AM \cong AN$. Dimostra che $BM \cong CN$.
    \item Sia $\triangle ABC$ isoscele su base $BC$. Dalla base, prolungata da entrambi i lati, prendi due segmenti $BD \cong CE$ con $D$ dal lato di $B$ e $E$ dal lato di $C$. Dimostra che $\triangle ADE$ è isoscele.
    \item Sia $\triangle ABC$ isoscele su base $BC$ e sia $M$ il punto medio di $BC$. Sia $P$ un punto qualsiasi del segmento $AM$. Dimostra che $\triangle PBC$ è isoscele e che $PB \cong PC$.
    \item Sia $\triangle ABC$ isoscele su base $BC$. Le bisettrici degli angoli alla base $\widehat{B}$ e $\widehat{C}$ si incontrano in un punto $I$. Dimostra che $\triangle IBC$ è isoscele e che $IB \cong IC$.
    \item Sia $\triangle ABC$ equilatero. Sui lati $AB$, $BC$, $CA$ prendi tre punti $P$, $Q$, $R$ tali che $AP \cong BQ \cong CR$. Dimostra che $\triangle PQR$ è equilatero.
        (Suggerimento: applica più volte il primo criterio agli opportuni sotto-triangoli.)
    \item Sia $\triangle ABC$ un triangolo isoscele su base $BC$. Si traccino le altezze relative ai due lati obliqui $BH$ (su $AC$) e $CK$ (su $AB$). Dimostra che $BH \cong CK$.
    \item Dimostra il seguente teorema: \emph{se in un triangolo due mediane sono congruenti, allora il triangolo è isoscele}. (Suggerimento: si tratta di una proprietà che useremo solo intuitivamente; la dimostrazione completa richiede ulteriori risultati.)
    \item Considera un triangolo $\triangle ABC$ isoscele su base $BC$ con $\widehat{A} = \SI{20}{\degree}$. Su $AB$ prendi un punto $D$ tale che $AD \cong BC$. Determina, con un ragionamento che coinvolge isoscele successivi, la misura dell'angolo $\widehat{ACD}$.
    \item Spiega in che senso il teorema diretto e il teorema inverso del triangolo isoscele \emph{insieme} costituiscono una caratterizzazione (cioè un ``se e solo se''). Riformula l'enunciato congiunto in entrambe le forme equivalenti: ``\dots\ se e solo se \dots'' e ``$H \Leftrightarrow T$''.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
    \item Un \textbf{triangolo isoscele} ha almeno due lati congruenti (\emph{lati obliqui}); il terzo lato è la \emph{base}. L'angolo opposto alla base è l'\emph{angolo al vertice}; gli altri due sono gli \emph{angoli alla base}.
    \item \textbf{Teorema diretto}: in un triangolo isoscele gli \emph{angoli alla base sono congruenti}. Dimostrazione: la bisettrice dell'angolo al vertice divide il triangolo in due metà congruenti per LAL.
    \item \textbf{Teorema inverso}: se due angoli di un triangolo sono congruenti, i lati opposti sono congruenti (il triangolo è isoscele). Dimostrazione: stessa costruzione (bisettrice dell'angolo al vertice), ma criterio ALA.
    \item I due teoremi insieme costituiscono una \textbf{caratterizzazione}: un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti.
    \item \textbf{Teorema delle ``tre cose''}: in un triangolo isoscele la \emph{bisettrice dell'angolo al vertice}, la \emph{mediana relativa alla base}, l'\emph{altezza relativa alla base} e l'\emph{asse della base} coincidono. La retta che le contiene è l'\textbf{asse di simmetria} del triangolo.
    \item Un \textbf{triangolo equilatero} è un caso particolare di triangolo isoscele e ha i tre angoli congruenti, pari a $\SI{60}{\degree}$ ciascuno. Vale il viceversa: un triangolo con tre angoli congruenti è equilatero.
\end{itemize}
\end{riepilogo}