\chapter{Quinto postulato e teorema dell'angolo esterno}\label{cap:GE-008}

\citazioneinizio{Una geometria non può essere più vera di un'altra; può essere solo più comoda.}{Henri Poincaré}

\noindent
In questo capitolo raccogliamo i frutti dell'apparato logico messo in piedi nei capitoli precedenti. Dimostriamo due teoremi centrali della geometria del triangolo — il \emph{teorema dell'angolo esterno} (in due forme di forza crescente) e il \emph{teorema della somma degli angoli interni} — e ne mettiamo in luce il diverso statuto rispetto al quinto postulato di Euclide. Una versione del teorema dell'angolo esterno, la \emph{forma debole}, vale in tutta la geometria assoluta; la \emph{forma forte} e la somma degli angoli interni dipendono invece in modo essenziale dal V postulato e cessano di valere nelle geometrie non euclidee.

Il riconoscimento di questo doppio statuto, che oggi appare naturale, è stato uno dei più importanti progressi della matematica del XIX secolo. È anche un'esemplificazione concreta del messaggio della frase di Poincaré in apertura: non esiste una geometria ``vera'', esistono geometrie diverse, ciascuna coerente entro le proprie regole.

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\section{Angolo esterno e forma debole}\label{sec:GE-008-01}

\begin{definizione}[Angolo esterno di un triangolo]
Sia $\triangle ABC$ un triangolo. Un \textbf{angolo esterno} del triangolo è un angolo \emph{adiacente} a un angolo interno, ottenuto prolungando uno dei lati oltre il vertice corrispondente. Ad ogni vertice corrispondono dunque due angoli esterni, congruenti fra loro perché opposti al vertice.
\end{definizione}

\noindent
Per il vertice $C$, ad esempio, si ottiene un angolo esterno prolungando $BC$ oltre $C$: la semiretta che ne risulta forma con $CA$ l'angolo esterno $\widehat{ACD}$ (dove $D$ è un punto del prolungamento). L'angolo $\widehat{ACD}$ è adiacente all'angolo interno $\widehat{BCA} = \gamma$.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    \coordinate (A) at (1.2, 2.4);
    \coordinate (B) at (-1.0, 0);
    \coordinate (C) at (3.0, 0);
    \coordinate (D) at (5.5, 0);
    % Triangolo
    \draw[BLU, thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
    % Prolungamento di BC oltre C
    \draw[BLU, thick] (C) -- (D);
    % Angoli interni alpha, beta, gamma
    \draw[VERDE, thick] ($(B)+(0.55,0)$) arc (0:48:0.55);
    \draw[VERDE, thick] ($(A)+(-0.40,-0.45)$) arc (-130:-65:0.55);
    \draw[VERDE, thick] ($(C)+(-0.55,0)$) arc (180:130:0.55);
    \node[VERDE!70!black] at ($(B)+(0.95,0.30)$) {$\beta$};
    \node[VERDE!70!black] at ($(A)+(0,-0.85)$) {$\alpha$};
    \node[VERDE!70!black] at ($(C)+(-0.95,0.30)$) {$\gamma$};
    % Angolo esterno in C
    \draw[ROSSO, thick] ($(C)+(0.65,0)$) arc (0:130:0.65);
    \node[ROSSO!70!black] at ($(C)+(0.55,0.55)$) {$\gamma_e$};
    % Etichette punti
    \filldraw[ROSSO] (A) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (B) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (C) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (D) circle (1.3pt);
    \node[ROSSO!70!black, above]      at (A) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below left] at (B) {$B$};
    \node[ROSSO!70!black, below]      at (C) {$C$};
    \node[ROSSO!70!black, below right] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\caption{Triangolo $\triangle ABC$ con i tre angoli interni $\alpha, \beta, \gamma$. Prolungando il lato $BC$ oltre $C$ fino al punto $D$, si individua l'angolo esterno $\gamma_e = \widehat{ACD}$, adiacente all'angolo interno $\gamma$ in $C$.}
\label{fig:GE-008-angolo-esterno}
\end{figure}

\subsection*{Teorema dell'angolo esterno: forma debole}

Cominciamo con un risultato che — sorprendentemente — \emph{non} richiede il V postulato per essere dimostrato. È la celebre Proposizione 16 del Libro I degli \emph{Elementi} di Euclide.

\begin{teorema}[dell'angolo esterno — forma debole]
In un triangolo, ogni angolo esterno è \emph{maggiore} di ciascuno dei due angoli interni \emph{non adiacenti} ad esso.
\end{teorema}

\textbf{Ipotesi.} $\triangle ABC$; $\gamma_e$ è l'angolo esterno in $C$ ottenuto prolungando $BC$ oltre $C$ fino a un punto $D$.

\textbf{Tesi.} $\gamma_e > \alpha$ e $\gamma_e > \beta$.

\textit{Dimostrazione.} Mostriamo prima $\gamma_e > \alpha$.

Sia $M$ il punto medio del lato $AC$. Sulla semiretta $BM$, prendiamo il punto $E$ tale che $BM \cong ME$ (cioè $E$ è il prolungamento di $BM$ oltre $M$ a distanza congruente).

Consideriamo i triangoli $\triangle ABM$ e $\triangle CEM$. Si ha:
\begin{itemize}
    \item $AM \cong CM$ ($M$ punto medio di $AC$);
    \item $BM \cong EM$ (per costruzione);
    \item $\widehat{AMB} \cong \widehat{CME}$ (angoli opposti al vertice in $M$).
\end{itemize}
Per il primo criterio di congruenza (LAL), $\triangle ABM \cong \triangle CEM$. In particolare,
\[ \widehat{BAM} \cong \widehat{MCE} , \qquad \text{cioè} \qquad \alpha \cong \widehat{MCE} . \]

Ora, $\widehat{MCE}$ è una \emph{parte propria} dell'angolo esterno $\gamma_e = \widehat{ACD}$. Infatti il punto $E$, ottenuto come prolungamento di $BM$ oltre $M$, si trova all'interno dell'angolo $\widehat{ACD}$ (poiché $M$ è interno al lato $AC$ e il segmento $ME$ si estende dalla parte opposta di $B$ rispetto ad $AC$). Quindi
\[ \widehat{MCE} < \gamma_e , \]
da cui $\alpha < \gamma_e$, ovvero $\gamma_e > \alpha$.

La dimostrazione di $\gamma_e > \beta$ è analoga: si parte dal punto medio $N$ del lato $BC$ e si lavora con il prolungamento della mediana da $A$.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    \coordinate (A) at (1.2, 2.4);
    \coordinate (B) at (-1.0, 0);
    \coordinate (C) at (3.0, 0);
    \coordinate (D) at (5.5, 0);
    \coordinate (M) at ($(A)!0.5!(C)$);
    \coordinate (E) at ($(M)+($(M)-(B)$)$);
    % Triangolo
    \draw[BLU, thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
    \draw[BLU, thick] (C) -- (D);
    % Mediana e prolungamento
    \draw[ARANCIO, thick] (B) -- (M);
    \draw[ARANCIO, thick, dashed] (M) -- (E);
    \draw[ARANCIO, thick] (C) -- (E);
    % Punti
    \filldraw[ROSSO] (M) circle (1.3pt);
    \filldraw[ROSSO] (E) circle (1.4pt);
    \node[ROSSO!70!black, above right] at (M) {$M$};
    \node[ROSSO!70!black, above right] at (E) {$E$};
    % Tick di congruenza su AM e MC
    \draw[ROSSO, thick] ($(A)!0.5!(M)+(-0.07,0.07)$) -- ($(A)!0.5!(M)+(0.07,-0.07)$);
    \draw[ROSSO, thick] ($(M)!0.5!(C)+(-0.07,0.07)$) -- ($(M)!0.5!(C)+(0.07,-0.07)$);
    % Tick di congruenza su BM e ME
    \draw[VIOLA, thick] ($(B)!0.5!(M)+(0.07,0.07)$) -- ($(B)!0.5!(M)+(-0.07,-0.07)$);
    \draw[VIOLA, thick] ($(M)!0.5!(E)+(0.07,0.07)$) -- ($(M)!0.5!(E)+(-0.07,-0.07)$);
    % Etichette principali
    \filldraw[ROSSO] (A) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (B) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (C) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (D) circle (1.3pt);
    \node[ROSSO!70!black, above]      at (A) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below left] at (B) {$B$};
    \node[ROSSO!70!black, below]      at (C) {$C$};
    \node[ROSSO!70!black, below right] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\caption{Dimostrazione della forma debole. Si traccia la mediana $BM$ e la si prolunga di una pari lunghezza fino al punto $E$. I triangoli $\triangle ABM$ e $\triangle CEM$ sono congruenti per LAL, dunque $\alpha \cong \widehat{MCE}$. Ma $\widehat{MCE}$ è parte propria dell'angolo esterno $\gamma_e$, quindi $\alpha < \gamma_e$.}
\label{fig:GE-008-dim-debole}
\end{figure}

\begin{nota}
\textbf{Geometria assoluta.} La dimostrazione appena svolta utilizza soltanto la nozione di punto medio (dunque l'assioma di continuità del segmento), il primo criterio di congruenza e la nozione di angolo opposto al vertice. \emph{Non} usa in alcun modo il quinto postulato. Per questo motivo la forma debole del teorema dell'angolo esterno è un teorema della \textbf{geometria assoluta}, cioè quella geometria che si ottiene assumendo i primi quattro postulati di Euclide ma lasciando indeterminato il quinto. Essa vale dunque sia nella geometria euclidea sia nelle geometrie non euclidee iperboliche.
\end{nota}

\subsection*{Conseguenze immediate della forma debole}

Dalla forma debole discendono alcuni risultati notevoli, anch'essi indipendenti dal V postulato.

\begin{corollario}[Unicità della perpendicolare da un punto esterno]
Da un punto $P$ esterno a una retta $r$ passa una sola retta perpendicolare a $r$.
\end{corollario}

\textit{Dimostrazione.} Si supponga per assurdo che da $P$ si possano condurre due perpendicolari distinte $PH$ e $PH'$ a $r$, con $H, H' \in r$, $H \neq H'$. Nel triangolo $\triangle PHH'$, l'angolo in $H'$ è retto, e l'angolo esterno in $H$ (lungo $r$) è anch'esso retto. Ma per la forma debole, l'angolo esterno in $H$ dovrebbe essere \emph{maggiore} dell'angolo interno in $H'$: assurdo, perché due angoli retti sono congruenti, non uno strettamente maggiore dell'altro.

\begin{corollario}[In un triangolo c'è al più un angolo retto o ottuso]
Un triangolo non può avere due angoli retti né due angoli ottusi.
\end{corollario}

\textit{Dimostrazione.} Se due angoli interni fossero retti, l'esterno adiacente al terzo sarebbe supplementare di un angolo acuto (la cui esistenza è imposta dagli altri due retti già fissati), dunque ottuso; ma la forma debole impone che l'angolo esterno superi ciascuno dei due angoli interni non adiacenti, fra cui un retto: contraddizione. Argomento analogo per due angoli ottusi.

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\section{Somma degli angoli interni di un triangolo}\label{sec:GE-008-02}

Veniamo ora al risultato per il quale il V postulato è essenziale.

\begin{teorema}[Somma degli angoli interni di un triangolo]
In ogni triangolo, la somma degli angoli interni è un angolo piatto:
\[ \alpha + \beta + \gamma \cong \text{piatto} \qquad (\text{ovvero } \SI{180}{\degree}\text{ in misura sessagesimale}). \]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sia $\triangle ABC$. Tracciamo per il vertice $A$ la retta $r$ \emph{parallela} al lato $BC$ (esiste ed è unica per il quinto postulato).

La retta $r$, la retta $AB$ e la retta $AC$ formano in $A$ tre angoli che, complessivamente, costituiscono un angolo piatto (sono i tre angoli formati da una retta $r$ e da due semirette uscenti da un suo punto, dallo stesso lato di $r$). Chiamiamo $\alpha$ l'angolo del triangolo in $A$, e $\alpha_1$, $\alpha_2$ gli altri due angoli (a sinistra e a destra rispetto al triangolo). Si ha quindi
\[ \alpha_1 + \alpha + \alpha_2 \cong \text{piatto} . \]

\smallskip
Ora osserviamo che:
\begin{itemize}
    \item $\alpha_1$ e $\beta$ (angolo in $B$) sono \emph{alterni interni} rispetto alle parallele $r$ e $BC$ tagliate dalla trasversale $AB$;
    \item $\alpha_2$ e $\gamma$ (angolo in $C$) sono \emph{alterni interni} rispetto alle parallele $r$ e $BC$ tagliate dalla trasversale $AC$.
\end{itemize}

Per il criterio di parallelismo (direzione $\Rightarrow$, \autoref{cap:GE-007}, che usa il V postulato):
\[ \alpha_1 \cong \beta , \qquad \alpha_2 \cong \gamma . \]

Sostituendo nell'uguaglianza precedente:
\[ \beta + \alpha + \gamma \cong \text{piatto} , \]
che è la tesi.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    \coordinate (A) at (1.5, 2.6);
    \coordinate (B) at (-1.2, 0);
    \coordinate (C) at (4.0, 0);
    % Triangolo
    \draw[BLU, thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
    % Retta r parallela a BC per A
    \draw[ARANCIO, thick, dashed] (-1.5, 2.6) -- (4.5, 2.6) node[right, ARANCIO!70!black] {$r$};
    % Angoli interni
    \draw[VERDE, thick] ($(B)+(0.55,0)$) arc (0:44:0.55);
    \node[VERDE!70!black] at ($(B)+(0.95,0.25)$) {$\beta$};
    \draw[VERDE, thick] ($(C)+(-0.55,0)$) arc (180:130:0.55);
    \node[VERDE!70!black] at ($(C)+(-0.95,0.30)$) {$\gamma$};
    % Angoli ad A: alpha (in mezzo) e alpha_1, alpha_2 (laterali)
    \draw[VERDE, thick] ($(A)+(-0.5,-0.20)$) arc (-160:-110:0.55);
    \node[VERDE!70!black] at ($(A)+(-0.30,-0.65)$) {$\alpha$};
    \draw[ROSSO, thick] ($(A)+(-0.6,0)$) arc (180:200:0.6);
    \node[ROSSO!70!black] at ($(A)+(-0.9,-0.05)$) {$\alpha_1$};
    \draw[ROSSO, thick] ($(A)+(0.6,0)$) arc (0:-46:0.6);
    \node[ROSSO!70!black] at ($(A)+(0.85,-0.20)$) {$\alpha_2$};
    % Etichette punti
    \filldraw[ROSSO] (A) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (B) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (C) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, above]      at (A) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below left] at (B) {$B$};
    \node[ROSSO!70!black, below right] at (C) {$C$};
\end{tikzpicture}
\caption{Dimostrazione del teorema della somma degli angoli interni. La parallela $r$ a $BC$ passante per $A$ produce in $A$ tre angoli $\alpha_1, \alpha, \alpha_2$ che insieme formano un piatto. Per il criterio di parallelismo (alterni interni): $\alpha_1 \cong \beta$ e $\alpha_2 \cong \gamma$, da cui $\alpha + \beta + \gamma \cong \text{piatto}$.}
\label{fig:GE-008-somma-angoli-triangolo}
\end{figure}

\subsection*{Conseguenze}

Il teorema della somma degli angoli interni ha applicazioni numeriche immediate, ed è la chiave per dimostrare il secondo criterio di congruenza generalizzato (LAA, anticipato nel \autoref{cap:GE-005}).

\begin{corollario}[Triangolo equilatero]
In un triangolo equilatero ciascun angolo interno misura $\SI{60}{\degree}$.
\end{corollario}

\textit{Dimostrazione.} Per il teorema diretto del triangolo isoscele (\autoref{cap:GE-006}), in un triangolo equilatero i tre angoli interni sono congruenti. Detta $x$ la loro misura comune, $3x \cong \text{piatto} = \SI{180}{\degree}$, da cui $x = \SI{60}{\degree}$.

\begin{corollario}[Angoli acuti di un triangolo rettangolo]
In un triangolo rettangolo i due angoli acuti sono complementari.
\end{corollario}

\textit{Dimostrazione.} Sia $\widehat{C} \cong \text{retto}$. Allora $\widehat{A} + \widehat{B} = \SI{180}{\degree} - \SI{90}{\degree} = \SI{90}{\degree} = \text{retto}$, cioè $\widehat{A}$ e $\widehat{B}$ sono complementari.

\begin{corollario}[Somma degli angoli interni di un poligono convesso]
La somma degli angoli interni di un poligono convesso di $n$ lati ($n \geq 3$) vale
\[ S_n = (n - 2) \cdot \SI{180}{\degree} . \]
\end{corollario}

\textit{Dimostrazione (cenni).} Da un qualunque vertice si tracciano le diagonali agli altri $n - 3$ vertici non adiacenti, decomponendo il poligono in $n - 2$ triangoli. La somma degli angoli interni del poligono è la somma degli angoli interni dei triangoli, dunque $(n-2) \cdot \SI{180}{\degree}$. La trattazione sistematica è rimandata al \autoref{cap:GE-009}.

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\section{Teorema dell'angolo esterno: forma forte}\label{sec:GE-008-03}

Con la somma degli angoli interni a disposizione, possiamo rafforzare la forma debole del teorema dell'angolo esterno e ottenere un risultato \emph{quantitativo}.

\begin{teorema}[dell'angolo esterno — forma forte]
In ogni triangolo, ogni angolo esterno è \emph{congruente alla somma} dei due angoli interni non adiacenti ad esso.
\end{teorema}

\textbf{Ipotesi.} $\triangle ABC$; $\gamma_e$ è l'angolo esterno in $C$.

\textbf{Tesi.} $\gamma_e \cong \alpha + \beta$.

\textit{Dimostrazione.} L'angolo esterno $\gamma_e$ e l'angolo interno $\gamma$ sono adiacenti, dunque supplementari:
\[ \gamma_e + \gamma \cong \text{piatto} . \]
Per il teorema della somma degli angoli interni,
\[ \alpha + \beta + \gamma \cong \text{piatto} . \]
Confrontando le due uguaglianze:
\[ \gamma_e + \gamma \cong \alpha + \beta + \gamma , \]
da cui, sottraendo $\gamma$ da entrambi i membri,
\[ \gamma_e \cong \alpha + \beta . \]

\begin{attenzione}
\textbf{Forma forte vs forma debole.} La forma forte implica la forma debole: se $\gamma_e \cong \alpha + \beta$, allora $\gamma_e > \alpha$ (perché $\beta > 0$ in un triangolo non degenere) e $\gamma_e > \beta$. Ma l'inverso non vale senza il V postulato: la sola forma debole non è sufficiente a stabilire l'uguaglianza $\gamma_e = \alpha + \beta$.

In geometria assoluta è dimostrabile la sola forma debole; in geometria euclidea vale anche la forma forte. Nelle geometrie non euclidee la forma forte può fallire: in quella iperbolica, ad esempio, $\gamma_e > \alpha + \beta$, perché la somma degli angoli interni di un triangolo è strettamente minore di $\SI{180}{\degree}$.
\end{attenzione}

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\section{Cenni alle geometrie non euclidee}\label{sec:GE-008-04}

Vale la pena, a questo punto, una breve panoramica delle geometrie alternative a quella euclidea, per dare un'idea concreta di quanto sia profondamente legato al V postulato il teorema della somma degli angoli interni.

\begin{approfondimento}
\textbf{Storia in pillole.} Per oltre due millenni, da Euclide ($\approx 300$~a.C.) fino a Saccheri ($\num{1733}$), molti matematici tentarono di \emph{dimostrare} il V postulato a partire dagli altri quattro. Saccheri stesso dedicò un'opera intera, \emph{Euclides ab omni naevo vindicatus} (``Euclide liberato da ogni macchia''), al tentativo: paradossalmente, sviluppò gran parte della geometria non euclidea iperbolica nel tentativo di trovarvi una contraddizione, senza riuscirci.

La svolta avvenne nell'Ottocento, indipendentemente, per opera di Lobacevskij in Russia (\num{1829}), Bolyai in Ungheria (\num{1832}) e Gauss in Germania (privatamente, senza pubblicare). I tre matematici giunsero alla stessa conclusione: si può negare il V postulato e ottenere una geometria coerente. La piena legittimazione delle geometrie non euclidee venne con Beltrami (\num{1868}), che ne costruì un \emph{modello} all'interno della geometria euclidea, dimostrandone così la non-contraddittorietà relativa.
\end{approfondimento}

\subsection*{Le tre geometrie classiche del piano}

Distinguiamo schematicamente tre geometrie, ciascuna caratterizzata dalla sua versione del V postulato.

\begin{itemize}
    \item \textbf{Geometria euclidea} (piana classica). Per un punto esterno a una retta passa \emph{una e una sola} parallela. La somma degli angoli interni di un triangolo è esattamente $\SI{180}{\degree}$.

    \item \textbf{Geometria iperbolica} (Lobacevskij-Bolyai). Per un punto esterno a una retta passano \emph{infinite} rette parallele. La somma degli angoli interni di un triangolo è \emph{strettamente minore} di $\SI{180}{\degree}$; il difetto rispetto a $\SI{180}{\degree}$ è proporzionale all'area del triangolo. Un modello concreto è il \emph{disco di Poincaré}.

    \item \textbf{Geometria ellittica} (Riemann). Non esistono rette parallele: ogni due rette si incontrano. La somma degli angoli interni di un triangolo è \emph{strettamente maggiore} di $\SI{180}{\degree}$; l'eccesso è proporzionale all'area del triangolo. Un modello concreto è la \emph{superficie della sfera}, dove le ``rette'' sono i \emph{cerchi massimi}.
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    % Sfera (proiezione semplificata)
    \draw[BLU, thick] (0,0) circle (2.2);
    \draw[BLU!50, thick, dashed] (-2.2, 0) arc (180:360:2.2 and 0.55);
    \draw[BLU!50, thick] (-2.2, 0) arc (180:0:2.2 and 0.55);
    % Triangolo sferico con tre angoli retti
    % Polo nord
    \coordinate (N) at (0, 2.2);
    % Due punti sull'equatore distanti 90°
    \coordinate (A) at (-2.2, 0);
    \coordinate (B) at (0, -0.55);
    % Disegno arcuato
    \draw[ROSSO, very thick] (N) .. controls (-1.3, 1.6) and (-1.9, 0.7) .. (A);
    \draw[ROSSO, very thick] (N) .. controls (0, 1.4) and (0, 0.3) .. (B);
    \draw[ROSSO, very thick] (A) arc (180:270:2.2 and 0.55);
    % Quadratini retti
    \draw[VERDE, thick] (-0.3, 2.0) -- (-0.3, 2.15) -- (-0.05, 2.15);
    \draw[VERDE, thick] (-2.05, 0.1) -- (-1.92, 0.1) -- (-1.92, -0.05);
    \draw[VERDE, thick] (-0.18, -0.50) -- (-0.18, -0.35) -- (0, -0.35);
    % Etichette
    \filldraw[ROSSO] (N) circle (1.4pt);
    \filldraw[ROSSO] (A) circle (1.4pt);
    \filldraw[ROSSO] (B) circle (1.4pt);
    \node[ROSSO!70!black, above] at (N) {$N$};
    \node[ROSSO!70!black, left] at (A) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below right] at (B) {$B$};
\end{tikzpicture}
\caption{Un triangolo sulla superficie di una sfera, i cui ``lati'' sono archi di cerchi massimi. Se i tre vertici sono opportunamente scelti — un polo $N$ e due punti $A$, $B$ sull'equatore a $\SI{90}{\degree}$ di distanza — si ottiene un triangolo con \emph{tre angoli retti}: la somma degli angoli interni è $\SI{270}{\degree}$, non $\SI{180}{\degree}$. La geometria della sfera è il prototipo della geometria ellittica.}
\label{fig:GE-008-triangolo-sferico}
\end{figure}

\subsection*{Quale geometria descrive il mondo fisico?}

La domanda ``quale geometria è vera'' non ha una risposta univoca. Per oggetti di dimensioni umane e su scale di laboratorio, la geometria euclidea è un'eccellente approssimazione del mondo fisico, ed è quella che useremo in queste dispense.

Tuttavia, la teoria della relatività generale di Einstein (\num{1915}) ha dimostrato che lo \emph{spaziotempo} è curvato in presenza di masse, e la geometria locale dello spaziotempo non è euclidea. La curvatura del tessuto dell'universo è oggi un fatto sperimentalmente verificato (deflessione della luce in prossimità del Sole, onde gravitazionali, espansione cosmologica), e le geometrie non euclidee sono il linguaggio matematico in cui questa curvatura si descrive.

Il messaggio profondo è quello citato in apertura: non esiste una geometria ``vera'', esistono geometrie \emph{appropriate} a diversi contesti. La geometria euclidea descrive bene il mondo macroscopico ordinario; le geometrie non euclidee descrivono bene il mondo cosmologico e le strutture relativistiche. La matematica ci offre tutti gli strumenti; spetta alla fisica scegliere quello che meglio descrive il fenomeno in esame.

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\section*{Esempi svolti}\label{sec:ge-008-05-esempi-svolti}

\begin{esempio}[Calcolo del terzo angolo]
In un triangolo, $\widehat{A} = \SI{38}{\degree}$ e $\widehat{B} = \SI{74}{\degree}$. Determinare $\widehat{C}$ e l'angolo esterno in $C$.

\smallskip
\noindent\textbf{Calcolo di $\widehat{C}$.} Per il teorema della somma degli angoli interni:
\[ \widehat{C} = \SI{180}{\degree} - \widehat{A} - \widehat{B} = \SI{180}{\degree} - \SI{38}{\degree} - \SI{74}{\degree} = \SI{68}{\degree} . \]

\noindent\textbf{Angolo esterno in $C$.} Per la forma forte:
\[ \gamma_e = \widehat{A} + \widehat{B} = \SI{38}{\degree} + \SI{74}{\degree} = \SI{112}{\degree} . \]
Verifica: $\gamma_e$ è anche supplementare di $\widehat{C}$, dunque $\SI{180}{\degree} - \SI{68}{\degree} = \SI{112}{\degree}$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Triangolo rettangolo isoscele]
Un triangolo è simultaneamente rettangolo e isoscele. Determiniamo i suoi angoli interni.

\smallskip
\noindent\textbf{Impostazione.} Sia $\widehat{C}$ l'angolo retto e $\widehat{A}$, $\widehat{B}$ gli altri due. Essendo il triangolo isoscele e dovendo escludere il caso $\widehat{C}$ uguale a un altro angolo (non potrebbero esserci due angoli retti, per il \autoref{sec:GE-008-01}), deve essere $\widehat{A} \cong \widehat{B}$.

\smallskip
\noindent\textbf{Calcolo.} Per la somma degli angoli interni: $\widehat{A} + \widehat{B} + \SI{90}{\degree} = \SI{180}{\degree}$, dunque $\widehat{A} + \widehat{B} = \SI{90}{\degree}$. Con $\widehat{A} \cong \widehat{B} = x$:
\[ 2x = \SI{90}{\degree} \implies x = \SI{45}{\degree} . \]

\smallskip
Il triangolo rettangolo isoscele ha gli angoli $\SI{45}{\degree}$, $\SI{45}{\degree}$, $\SI{90}{\degree}$. È un triangolo notevole, di importanza fondamentale in trigonometria.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Uso del teorema dell'angolo esterno]
Sia $\triangle ABC$ un triangolo con $\widehat{A} = \SI{55}{\degree}$ e $\widehat{B} = \SI{65}{\degree}$. Si traccia la bisettrice dell'angolo esterno in $C$. Determinare l'angolo che essa forma con il prolungamento del lato $BC$.

\smallskip
\noindent\textbf{Calcolo dell'angolo esterno.} Per la forma forte:
\[ \gamma_e = \widehat{A} + \widehat{B} = \SI{55}{\degree} + \SI{65}{\degree} = \SI{120}{\degree} . \]

\noindent\textbf{Bisettrice dell'angolo esterno.} La bisettrice divide $\gamma_e$ in due parti congruenti, ciascuna di
\[ \frac{\gamma_e}{2} = \frac{\SI{120}{\degree}}{2} = \SI{60}{\degree} . \]

\smallskip
\noindent\textbf{Risultato.} La bisettrice dell'angolo esterno in $C$ forma con il prolungamento di $BC$ un angolo di $\SI{60}{\degree}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Somma degli angoli di un pentagono]
Si calcoli la somma degli angoli interni di un pentagono convesso e, supponendolo regolare (con tutti i lati e gli angoli congruenti), si determini la misura di ciascun angolo interno.

\smallskip
\noindent\textbf{Somma.} Per il corollario sulla somma degli angoli di un poligono ($n = 5$):
\[ S_5 = (5 - 2) \cdot \SI{180}{\degree} = 3 \cdot \SI{180}{\degree} = \SI{540}{\degree} . \]

\noindent\textbf{Angolo interno del pentagono regolare.} Tutti i cinque angoli sono congruenti, dunque ciascuno misura
\[ \frac{S_5}{5} = \frac{\SI{540}{\degree}}{5} = \SI{108}{\degree} . \]
\end{esempio}

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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
    \item In un triangolo, due angoli interni misurano $\SI{42}{\degree}$ e $\SI{75}{\degree}$. Determina il terzo angolo e i tre angoli esterni.
    \item In un triangolo, l'angolo esterno in un vertice misura $\SI{130}{\degree}$ e uno dei due angoli interni non adiacenti misura $\SI{55}{\degree}$. Determina l'altro angolo interno non adiacente e l'angolo interno adiacente.
    \item Vero o falso? Motiva la risposta.
        \begin{enumerate}
            \item In un triangolo equilatero gli angoli esterni misurano $\SI{60}{\degree}$.
            \item In un triangolo rettangolo, l'angolo esterno opposto all'angolo retto è anch'esso retto.
            \item In un triangolo ottusangolo, almeno un angolo esterno è acuto.
            \item In un triangolo isoscele, due angoli esterni sono congruenti.
            \item La forma debole del teorema dell'angolo esterno è una conseguenza della forma forte.
        \end{enumerate}
    \item In un triangolo $\triangle ABC$, $\widehat{A} = \SI{2}{\alpha}$, $\widehat{B} = \SI{3}{\alpha}$, $\widehat{C} = \SI{4}{\alpha}$. Determina $\alpha$ e i tre angoli.
    \item In un triangolo, l'angolo esterno in $C$ è il doppio dell'angolo interno in $A$. Sapendo che $\widehat{B} = \SI{75}{\degree}$, determina $\widehat{A}$ e $\widehat{C}$.
    \item Sia $\triangle ABC$ un triangolo isoscele su base $BC$ con angolo al vertice $\widehat{A} = \SI{80}{\degree}$. Determina i due angoli esterni alla base.
    \item Calcola la somma degli angoli interni di un esagono, di un ottagono e di un dodecagono convessi. Se i poligoni sono regolari, determina la misura di un singolo angolo interno.
    \item Quanto vale la \emph{somma degli angoli esterni} di un poligono convesso di $n$ lati, presi uno per vertice? (Suggerimento: ad ogni vertice $\widehat{\text{int}} + \widehat{\text{ext}} = $ piatto. Somma le $n$ relazioni.)
    \item Dimostra il \textbf{secondo criterio di congruenza generalizzato} (LAA, \autoref{cap:GE-005}): se due triangoli hanno congruenti un lato, un angolo adiacente a quel lato e l'angolo opposto, allora sono congruenti.
        (Suggerimento: usa il teorema della somma degli angoli per ridurti al secondo criterio standard.)
    \item In un triangolo, le bisettrici degli angoli interni in $A$ e in $B$ si incontrano in un punto $I$ (incentro). Dimostra che l'angolo $\widehat{AIB}$ è dato da
        \[ \widehat{AIB} = \SI{90}{\degree} + \frac{\widehat{C}}{2} . \]
        (Suggerimento: applica la somma degli angoli interni al triangolo $\triangle AIB$.)
    \item Sia $\triangle ABC$ un triangolo qualsiasi e sia $D$ un punto sul lato $BC$. Dimostra che, se $AD \cong BD$, allora $\widehat{BAD} \cong \widehat{ABD}$, e calcola $\widehat{ADC}$ in funzione di $\widehat{B}$.
    \item In un triangolo, l'altezza relativa a un lato lo divide in due segmenti la cui somma è il lato. Dimostra inoltre che l'altezza divide il triangolo originario in due triangoli rettangoli con somma degli angoli pari a $\SI{360}{\degree}$ (combinando i due triangoli e il triangolo di partenza). Verifica numericamente in un caso specifico.
    \item Spiega in che senso la \emph{forma debole} del teorema dell'angolo esterno è ``più debole'' della forma forte. Indica una conseguenza che si può dedurre dalla forma forte ma non dalla forma debole.
    \item Descrivi a parole proprie quale geometria descrive lo spaziotempo in presenza di una massa molto grande (es. un buco nero). Quale somma degli angoli interni si misurerebbe in un triangolo le cui geodetiche passano vicinissime al buco nero?
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
    \item Un \textbf{angolo esterno} di un triangolo è un angolo adiacente a un angolo interno, ottenuto prolungando un lato. Ad ogni vertice corrispondono due angoli esterni, congruenti fra loro (opposti al vertice).
    \item \textbf{Forma debole} del teorema dell'angolo esterno: ogni angolo esterno è \emph{maggiore} di ciascuno degli angoli interni non adiacenti. \emph{Non} richiede il V postulato: è un teorema di \textbf{geometria assoluta}.
    \item \textbf{Conseguenze della forma debole}: unicità della perpendicolare da un punto esterno; un triangolo ha al più un angolo retto e al più un angolo ottuso.
    \item \textbf{Teorema della somma degli angoli interni}: in ogni triangolo, $\alpha + \beta + \gamma \cong \text{piatto} = \SI{180}{\degree}$. La dimostrazione usa il V postulato (parallela per un vertice).
    \item Conseguenze: in un triangolo equilatero ogni angolo vale $\SI{60}{\degree}$; in un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari; in un poligono convesso di $n$ lati la somma degli angoli interni vale $(n-2) \cdot \SI{180}{\degree}$.
    \item \textbf{Forma forte} del teorema dell'angolo esterno: ogni angolo esterno è \emph{congruente alla somma} dei due angoli interni non adiacenti. Si dimostra a partire dalla somma degli angoli interni e \emph{richiede} il V postulato. La forma forte implica la debole, ma non viceversa.
    \item \textbf{Geometrie non euclidee}: rinunciando al V postulato si ottengono la \emph{geometria iperbolica} (somma angoli interni $< \SI{180}{\degree}$) e la \emph{geometria ellittica} (somma $> \SI{180}{\degree}$). Sono modelli matematici coerenti, e quella ellittica descrive bene la superficie di una sfera; quella iperbolica e ellittica giocano un ruolo essenziale nella teoria della relatività generale.
\end{itemize}
\end{riepilogo}