\chapter{Somma degli angoli interni di un poligono}\label{cap:GE-009}

\citazioneinizio{La matematica è l'arte di dare lo stesso nome a cose diverse.}{Henri Poincaré}

\noindent
Il triangolo è il poligono con il minor numero di lati: tre. Cosa accade aumentando il numero di lati? Possiamo studiare i quadrilateri, i pentagoni, gli esagoni, e in generale i \emph{poligoni con $n$ lati}, ricavando proprietà valide per tutti senza dover ripetere il ragionamento caso per caso. È esattamente il tipo di generalizzazione di cui parla la frase di Poincaré: cose apparentemente diverse — un triangolo e un dodecagono — sono in realtà manifestazioni dello stesso oggetto matematico, e si trattano con un unico linguaggio.

In questo capitolo definiamo il concetto generale di \emph{poligono}, ne classifichiamo i tipi e dimostriamo tre risultati universali: la somma degli angoli \emph{interni}, la somma degli angoli \emph{esterni}, il numero di \emph{diagonali}. Tutti e tre dipendono solo dal numero di lati $n$, attraverso semplici formule che generalizzano quanto abbiamo già visto per il caso $n = 3$.

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\section{Poligoni: definizione e classificazione}\label{sec:GE-009-01}

\begin{definizione}[Poligono]
Si chiama \textbf{poligono} una figura piana delimitata da una \emph{spezzata chiusa semplice}, cioè da una successione di segmenti $A_1A_2$, $A_2A_3$, \ldots, $A_{n-1}A_n$, $A_nA_1$ tale che:
\begin{itemize}
    \item due segmenti consecutivi abbiano in comune solo un estremo (vertice);
    \item due segmenti non consecutivi non abbiano alcun punto in comune.
\end{itemize}
I segmenti sono i \textbf{lati} del poligono, i punti $A_1, A_2, \ldots, A_n$ ne sono i \textbf{vertici}. Un poligono con $n$ lati si dice \emph{n-gono}.
\end{definizione}

\noindent
La nomenclatura classica associa a ogni valore di $n$ un nome specifico, di origine greca:
\begin{itemize}
    \item $n = 3$: triangolo;
    \item $n = 4$: quadrilatero;
    \item $n = 5$: pentagono;
    \item $n = 6$: esagono;
    \item $n = 7$: ettagono;
    \item $n = 8$: ottagono;
    \item $n = 9$: enneagono;
    \item $n = 10$: decagono;
    \item $n = 12$: dodecagono;
    \item $n = 15$: pentadecagono;
    \item $n = 20$: icosagono.
\end{itemize}
Per valori di $n$ poco frequenti, si usa la dicitura ``poligono di $n$ lati'' o ``$n$-gono''.

\begin{definizione}[Angoli interni ed esterni di un poligono]
Gli \textbf{angoli interni} di un poligono sono gli $n$ angoli convessi formati da coppie di lati consecutivi, presi all'interno del poligono. Gli \textbf{angoli esterni} sono gli angoli adiacenti agli angoli interni, ottenuti prolungando ciascun lato oltre il vertice corrispondente; ad ogni vertice si considera \emph{uno solo} dei due angoli esterni possibili (per convenzione, quello ``che esce'' dal poligono nella direzione del prolungamento del lato).
\end{definizione}

\subsection*{Poligoni convessi e concavi}

\begin{definizione}[Poligono convesso e concavo]
Un poligono si dice \textbf{convesso} se ogni segmento che congiunge due punti qualsiasi del poligono è interamente contenuto nel poligono. Si dice \textbf{concavo} (o \emph{non convesso}) altrimenti.
\end{definizione}

\noindent
Una caratterizzazione equivalente: un poligono è convesso se e solo se tutti i suoi angoli interni sono \emph{minori di un piatto}. Un poligono concavo presenta invece almeno un angolo interno maggiore di un piatto, detto \emph{angolo rientrante}.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.95]
    % --- Convesso (pentagono regolare) ---
    \begin{scope}[shift={(0,0)}]
        \foreach \i in {0,...,4} {
            \coordinate (P\i) at ({90 + 72*\i}:1.4);
        }
        \draw[BLU, thick] (P0) -- (P1) -- (P2) -- (P3) -- (P4) -- cycle;
        \foreach \i in {0,...,4} {
            \filldraw[ROSSO] (P\i) circle (1.2pt);
        }
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -1.9) {Convesso};
    \end{scope}

    % --- Concavo ---
    \begin{scope}[shift={(5, 0)}]
        \coordinate (Q0) at (-1.4, -1.0);
        \coordinate (Q1) at (1.4, -1.0);
        \coordinate (Q2) at (1.2, 0.8);
        \coordinate (Q3) at (0, -0.1);
        \coordinate (Q4) at (-1.2, 0.8);
        \draw[BLU, thick] (Q0) -- (Q1) -- (Q2) -- (Q3) -- (Q4) -- cycle;
        \foreach \q in {Q0, Q1, Q2, Q3, Q4} {
            \filldraw[ROSSO] (\q) circle (1.2pt);
        }
        % Angolo rientrante in Q3 segnalato
        \draw[ROSSO, thick] ($(Q3)+(-0.15,0.15)$) arc (140:40:0.20);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -1.9) {Concavo};
    \end{scope}

    % --- Regolare (esagono) ---
    \begin{scope}[shift={(10, 0)}]
        \foreach \i in {0,...,5} {
            \coordinate (R\i) at ({60*\i}:1.4);
        }
        \draw[BLU, thick] (R0) -- (R1) -- (R2) -- (R3) -- (R4) -- (R5) -- cycle;
        % Tick di congruenza sui lati
        \foreach \i in {0,...,5} {
            \pgfmathtruncatemacro{\j}{mod(\i+1,6)};
            \draw[ROSSO, thick] ($(R\i)!0.5!(R\j)+(0,0.05)$) -- ($(R\i)!0.5!(R\j)+(0,-0.05)$);
        }
        \foreach \i in {0,...,5} {
            \filldraw[ROSSO] (R\i) circle (1.2pt);
        }
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -1.9) {Regolare};
    \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Tre poligoni: un pentagono convesso (a sinistra), un poligono concavo (al centro, con un angolo rientrante segnalato dal piccolo arco rosso) e un esagono regolare (a destra, con lati congruenti segnalati da trattini). Salvo avviso contrario, in questo capitolo i poligoni considerati sono convessi.}
\label{fig:GE-009-tipi-poligoni}
\end{figure}

\subsection*{Poligoni regolari}

\begin{definizione}[Poligono regolare]
Un poligono si dice \textbf{regolare} se ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli interni congruenti.
\end{definizione}

\noindent
Si noti che la definizione richiede \emph{entrambe} le condizioni: nei triangoli, equilatero (tre lati congruenti) implica equiangolo (tre angoli congruenti) e viceversa, ma per $n \geq 4$ le due nozioni sono indipendenti. Ad esempio un rombo non quadrato ha quattro lati congruenti ma non quattro angoli congruenti, mentre un rettangolo non quadrato ha quattro angoli congruenti ma non quattro lati congruenti.

In questo capitolo lavoriamo sempre con poligoni convessi (eventualmente regolari). Salvo avviso contrario, \emph{poligono} significa \emph{poligono convesso}.

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\section{Somma degli angoli interni di un poligono convesso}\label{sec:GE-009-02}

Il risultato fondamentale è una generalizzazione del teorema della somma degli angoli interni di un triangolo (\autoref{cap:GE-008}).

\begin{teorema}[Somma degli angoli interni]
La somma degli angoli interni di un poligono convesso di $n$ lati vale
\[ S_n = (n - 2) \cdot \SI{180}{\degree} . \]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sia $A_1 A_2 \dots A_n$ un poligono convesso. Fissiamo un vertice, ad esempio $A_1$, e tracciamo tutte le \emph{diagonali} uscenti da esso, cioè i segmenti $A_1 A_3, A_1 A_4, \dots, A_1 A_{n-1}$ che congiungono $A_1$ con i vertici non adiacenti.

Da $A_1$ partono $n - 3$ diagonali (i vertici sono $n$ in tutto, escludiamo $A_1$ stesso e i due vertici adiacenti $A_2$ e $A_n$). Queste $n - 3$ diagonali, insieme ai lati del poligono, decompongono il poligono in $n - 2$ triangoli, ottenuti raggruppando i vertici in terne consecutive: $\triangle A_1 A_2 A_3$, $\triangle A_1 A_3 A_4$, \ldots, $\triangle A_1 A_{n-1} A_n$.

La somma di tutti gli angoli di tutti questi triangoli coincide con la somma degli angoli interni del poligono, perché:
\begin{itemize}
    \item gli angoli al vertice $A_1$ dei vari triangoli, sommati, danno l'angolo interno del poligono in $A_1$;
    \item gli angoli al vertice $A_2$ e $A_n$ dei due triangoli estremi sono gli angoli interni in $A_2$ e $A_n$;
    \item per i vertici intermedi $A_3, A_4, \dots, A_{n-1}$, due triangoli contigui condividono il vertice e i due angoli sommati danno l'angolo interno del poligono.
\end{itemize}

Poiché ogni triangolo ha somma degli angoli interni pari a $\SI{180}{\degree}$, e i triangoli sono $n - 2$:
\[ S_n = (n - 2) \cdot \SI{180}{\degree} . \]

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    % Pentagono (n=5)
    \begin{scope}[shift={(0,0)}]
        \foreach \i in {0,...,4} {
            \coordinate (P\i) at ({90 + 72*\i}:1.5);
        }
        \draw[BLU, thick] (P0) -- (P1) -- (P2) -- (P3) -- (P4) -- cycle;
        % Diagonali da P0
        \draw[ARANCIO, thick] (P0) -- (P2);
        \draw[ARANCIO, thick] (P0) -- (P3);
        \foreach \i in {0,...,4} {
            \filldraw[ROSSO] (P\i) circle (1.2pt);
        }
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -1.8) {$n=5$: $3$ triangoli};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (0, -2.2) {$S_5 = 3 \cdot \SI{180}{\degree} = \SI{540}{\degree}$};
    \end{scope}

    % Esagono (n=6)
    \begin{scope}[shift={(5,0)}]
        \foreach \i in {0,...,5} {
            \coordinate (E\i) at ({90 + 60*\i}:1.5);
        }
        \draw[BLU, thick] (E0) -- (E1) -- (E2) -- (E3) -- (E4) -- (E5) -- cycle;
        % Diagonali da E0
        \draw[ARANCIO, thick] (E0) -- (E2);
        \draw[ARANCIO, thick] (E0) -- (E3);
        \draw[ARANCIO, thick] (E0) -- (E4);
        \foreach \i in {0,...,5} {
            \filldraw[ROSSO] (E\i) circle (1.2pt);
        }
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -1.8) {$n=6$: $4$ triangoli};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (0, -2.2) {$S_6 = 4 \cdot \SI{180}{\degree} = \SI{720}{\degree}$};
    \end{scope}

    % Ottagono (n=8)
    \begin{scope}[shift={(10,0)}]
        \foreach \i in {0,...,7} {
            \coordinate (O\i) at ({90 + 45*\i}:1.5);
        }
        \draw[BLU, thick] (O0) -- (O1) -- (O2) -- (O3) -- (O4) -- (O5) -- (O6) -- (O7) -- cycle;
        % Diagonali da O0
        \draw[ARANCIO, thick] (O0) -- (O2);
        \draw[ARANCIO, thick] (O0) -- (O3);
        \draw[ARANCIO, thick] (O0) -- (O4);
        \draw[ARANCIO, thick] (O0) -- (O5);
        \draw[ARANCIO, thick] (O0) -- (O6);
        \foreach \i in {0,...,7} {
            \filldraw[ROSSO] (O\i) circle (1.2pt);
        }
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -1.8) {$n=8$: $6$ triangoli};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (0, -2.2) {$S_8 = 6 \cdot \SI{180}{\degree} = \SI{1080}{\degree}$};
    \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Decomposizione di un poligono convesso in triangoli mediante le diagonali uscenti da un singolo vertice. Per un $n$-gono si ottengono $n-2$ triangoli, da cui $S_n = (n-2) \cdot \SI{180}{\degree}$.}
\label{fig:GE-009-decomposizione}
\end{figure}

\subsection*{Angolo interno di un poligono regolare}

\begin{corollario}[Angolo interno di un poligono regolare]
In un poligono regolare di $n$ lati, ciascun angolo interno misura
\[ \alpha_n = \frac{(n-2) \cdot \SI{180}{\degree}}{n} . \]
\end{corollario}

\textit{Dimostrazione.} I $n$ angoli sono congruenti e la loro somma è $S_n = (n-2) \cdot \SI{180}{\degree}$; ciascuno misura dunque $S_n / n$.

\medskip
Riportiamo qualche valore notevole.
\begin{itemize}
    \item Triangolo equilatero ($n=3$): $\alpha_3 = \SI{60}{\degree}$.
    \item Quadrato ($n=4$): $\alpha_4 = \SI{90}{\degree}$.
    \item Pentagono regolare ($n=5$): $\alpha_5 = \SI{108}{\degree}$.
    \item Esagono regolare ($n=6$): $\alpha_6 = \SI{120}{\degree}$.
    \item Ottagono regolare ($n=8$): $\alpha_8 = \SI{135}{\degree}$.
    \item Dodecagono regolare ($n=12$): $\alpha_{12} = \SI{150}{\degree}$.
\end{itemize}

Si osservi che, all'aumentare di $n$, $\alpha_n$ cresce e si avvicina a $\SI{180}{\degree}$ senza mai raggiungerlo: il poligono regolare con molti lati ``si avvicina'' a una circonferenza, e i suoi angoli interni a un piatto.

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\section{Somma degli angoli esterni}\label{sec:GE-009-03}

Mentre la somma degli angoli interni cresce con il numero di lati, la somma degli angoli esterni rimane costante. È un risultato sorprendente e di grande eleganza.

\begin{teorema}[Somma degli angoli esterni]
La somma degli angoli esterni di un poligono convesso, presi uno per vertice, è sempre congruente a un angolo \emph{giro} (cioè $\SI{360}{\degree}$), indipendentemente dal numero di lati.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Ad ogni vertice del poligono, l'angolo interno $\alpha_i$ e l'angolo esterno $\beta_i$ sono adiacenti, dunque supplementari:
\[ \alpha_i + \beta_i \cong \text{piatto} = \SI{180}{\degree} . \]
Sommando questa uguaglianza per tutti gli $n$ vertici:
\[ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i + \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot \SI{180}{\degree} . \]
Sostituendo la somma degli angoli interni $\sum \alpha_i = (n-2) \cdot \SI{180}{\degree}$:
\[ (n-2) \cdot \SI{180}{\degree} + \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot \SI{180}{\degree} , \]
da cui
\[ \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot \SI{180}{\degree} - (n-2) \cdot \SI{180}{\degree} = 2 \cdot \SI{180}{\degree} = \SI{360}{\degree} . \]

\begin{nota}
\textbf{Interpretazione cinematica.} Immaginiamo di percorrere il perimetro di un poligono convesso in senso antiorario. Ad ogni vertice giriamo a sinistra di un angolo pari all'angolo esterno corrispondente. Dopo aver percorso tutto il perimetro siamo tornati al punto di partenza e abbiamo girato in totale di un angolo giro completo: questa è esattamente l'osservazione che il teorema formalizza. È un fatto puramente topologico, valido per qualunque cammino chiuso semplice nel piano, e non dipende affatto dalla forma del poligono.
\end{nota}

\subsection*{Angolo esterno di un poligono regolare}

\begin{corollario}[Angolo esterno di un poligono regolare]
In un poligono regolare di $n$ lati, ciascun angolo esterno misura
\[ \beta_n = \frac{\SI{360}{\degree}}{n} . \]
\end{corollario}

\textit{Dimostrazione.} I $n$ angoli esterni sono congruenti e sommano a $\SI{360}{\degree}$; ciascuno misura dunque $\SI{360}{\degree}/n$.

\medskip
Si verifica subito la coerenza con l'angolo interno: $\alpha_n + \beta_n = \frac{(n-2) \cdot \SI{180}{\degree}}{n} + \frac{\SI{360}{\degree}}{n} = \frac{(n-2) \cdot \SI{180}{\degree} + \SI{360}{\degree}}{n} = \frac{n \cdot \SI{180}{\degree}}{n} = \SI{180}{\degree}$, come deve essere per due angoli adiacenti.

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\section{Diagonali di un poligono}\label{sec:GE-009-04}

\begin{definizione}[Diagonale]
Una \textbf{diagonale} di un poligono è un segmento che congiunge due vertici non adiacenti.
\end{definizione}

\noindent
Ad esempio, in un quadrilatero $ABCD$ le diagonali sono $AC$ e $BD$; in un pentagono se ne possono tracciare cinque.

\begin{teorema}[Numero di diagonali]
Il numero di diagonali di un poligono convesso di $n$ lati è
\[ d_n = \frac{n(n-3)}{2} . \]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Da ogni vertice $A_i$ si possono tracciare $n-3$ diagonali (verso ognuno degli $n$ vertici, escludendo $A_i$ stesso e i due vertici adiacenti, che con $A_i$ formerebbero un lato e non una diagonale).

In totale, contando le diagonali da tutti gli $n$ vertici, si ottiene $n \cdot (n-3)$. Ma in questo conteggio ogni diagonale è stata contata \emph{due volte}, una per ciascun suo estremo: la diagonale $A_i A_j$ è infatti contata sia tra le diagonali uscenti da $A_i$ sia tra quelle uscenti da $A_j$.

Per ottenere il numero corretto si divide quindi per $2$:
\[ d_n = \frac{n(n-3)}{2} . \]

\medskip
Riportiamo qualche valore:
\begin{itemize}
    \item Triangolo ($n=3$): $d_3 = 0$ (un triangolo non ha diagonali, poiché ogni vertice è adiacente agli altri due).
    \item Quadrilatero ($n=4$): $d_4 = 2$.
    \item Pentagono ($n=5$): $d_5 = 5$.
    \item Esagono ($n=6$): $d_6 = 9$.
    \item Decagono ($n=10$): $d_{10} = 35$.
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    % Quadrilatero
    \begin{scope}[shift={(0,0)}]
        \foreach \i in {0,...,3} {
            \coordinate (Q\i) at ({90 + 90*\i}:1.3);
        }
        \draw[BLU, thick] (Q0) -- (Q1) -- (Q2) -- (Q3) -- cycle;
        \draw[ARANCIO, thick] (Q0) -- (Q2);
        \draw[ARANCIO, thick] (Q1) -- (Q3);
        \foreach \i in {0,...,3} {
            \filldraw[ROSSO] (Q\i) circle (1.2pt);
        }
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -1.7) {$n=4$};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (0, -2.1) {$d_4 = 2$};
    \end{scope}

    % Pentagono
    \begin{scope}[shift={(4,0)}]
        \foreach \i in {0,...,4} {
            \coordinate (P\i) at ({90 + 72*\i}:1.3);
        }
        \draw[BLU, thick] (P0) -- (P1) -- (P2) -- (P3) -- (P4) -- cycle;
        \draw[ARANCIO, thick] (P0) -- (P2);
        \draw[ARANCIO, thick] (P0) -- (P3);
        \draw[ARANCIO, thick] (P1) -- (P3);
        \draw[ARANCIO, thick] (P1) -- (P4);
        \draw[ARANCIO, thick] (P2) -- (P4);
        \foreach \i in {0,...,4} {
            \filldraw[ROSSO] (P\i) circle (1.2pt);
        }
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -1.7) {$n=5$};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (0, -2.1) {$d_5 = 5$};
    \end{scope}

    % Esagono
    \begin{scope}[shift={(8,0)}]
        \foreach \i in {0,...,5} {
            \coordinate (E\i) at ({90 + 60*\i}:1.3);
        }
        \draw[BLU, thick] (E0) -- (E1) -- (E2) -- (E3) -- (E4) -- (E5) -- cycle;
        % Le 9 diagonali dell'esagono elencate esplicitamente
        \draw[ARANCIO, thick] (E0) -- (E2);
        \draw[ARANCIO, thick] (E0) -- (E3);
        \draw[ARANCIO, thick] (E0) -- (E4);
        \draw[ARANCIO, thick] (E1) -- (E3);
        \draw[ARANCIO, thick] (E1) -- (E4);
        \draw[ARANCIO, thick] (E1) -- (E5);
        \draw[ARANCIO, thick] (E2) -- (E4);
        \draw[ARANCIO, thick] (E2) -- (E5);
        \draw[ARANCIO, thick] (E3) -- (E5);
        \foreach \i in {0,...,5} {
            \filldraw[ROSSO] (E\i) circle (1.2pt);
        }
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (0, -1.7) {$n=6$};
        \node[font=\scriptsize, anchor=north] at (0, -2.1) {$d_6 = 9$};
    \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Diagonali (in arancio) di un quadrilatero, di un pentagono e di un esagono. Il numero di diagonali $d_n = n(n-3)/2$ cresce rapidamente con $n$: vale $2$ per $n=4$, $5$ per $n=5$, $9$ per $n=6$.}
\label{fig:GE-009-diagonali}
\end{figure}

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\section*{Esempi svolti}\label{sec:ge-009-05-esempi-svolti}

\begin{esempio}[Determinare $n$ dalla somma degli angoli interni]
Sapendo che la somma degli angoli interni di un poligono convesso vale $\SI{1980}{\degree}$, determiniamo il numero di lati.

\smallskip
\noindent\textbf{Impostazione.} Per la formula della somma degli angoli interni:
\[ (n - 2) \cdot \SI{180}{\degree} = \SI{1980}{\degree} . \]

\noindent\textbf{Risoluzione.}
\[ n - 2 = \frac{\SI{1980}{\degree}}{\SI{180}{\degree}} = 11 , \qquad n = 13 . \]

\smallskip
Il poligono è un \emph{tridecagono} (poligono di $13$ lati).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Angolo interno di un poligono regolare]
Quanto misura ciascun angolo interno di un dodecagono regolare?

\smallskip
\noindent\textbf{Calcolo.} Per la formula dell'angolo interno di un poligono regolare con $n = 12$:
\[ \alpha_{12} = \frac{(12 - 2) \cdot \SI{180}{\degree}}{12} = \frac{10 \cdot \SI{180}{\degree}}{12} = \frac{\SI{1800}{\degree}}{12} = \SI{150}{\degree} . \]

\smallskip
\textbf{Verifica con l'angolo esterno.} L'angolo esterno è $\beta_{12} = \SI{360}{\degree} / 12 = \SI{30}{\degree}$, e infatti $\alpha_{12} + \beta_{12} = \SI{150}{\degree} + \SI{30}{\degree} = \SI{180}{\degree}$, come deve essere per due angoli adiacenti. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Determinare il poligono regolare dato l'angolo interno]
Un poligono regolare ha gli angoli interni di $\SI{144}{\degree}$. Determiniamo il numero di lati.

\smallskip
\noindent\textbf{Impostazione.} Per la formula dell'angolo interno:
\[ \frac{(n - 2) \cdot \SI{180}{\degree}}{n} = \SI{144}{\degree} . \]

\noindent\textbf{Risoluzione algebrica.} Moltiplicando entrambi i membri per $n$:
\[ (n - 2) \cdot \SI{180}{\degree} = 144n \cdot \si{\degree} . \]
Sviluppando e isolando $n$:
\[ 180n - 360 = 144n , \qquad 36n = 360 , \qquad n = 10 . \]

\smallskip
Il poligono è un \emph{decagono regolare}.

\medskip
\noindent \textbf{Soluzione alternativa via angolo esterno.} L'angolo esterno è $\beta = \SI{180}{\degree} - \SI{144}{\degree} = \SI{36}{\degree}$. Dalla formula $\beta_n = \SI{360}{\degree}/n$:
\[ n = \frac{\SI{360}{\degree}}{\beta} = \frac{\SI{360}{\degree}}{\SI{36}{\degree}} = 10 . \]
Il calcolo è più rapido. Per problemi di questo tipo, passare dall'angolo esterno è spesso la strategia migliore.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Diagonali da un singolo vertice]
In un poligono di $n$ lati, da un singolo vertice si possono tracciare $n - 3$ diagonali. Da un singolo vertice di un eptadecagono (poligono di $17$ lati), quante diagonali partono? E quante diagonali ha in totale l'eptadecagono?

\smallskip
\noindent\textbf{Diagonali da un singolo vertice.} $n - 3 = 17 - 3 = 14$ diagonali.

\noindent\textbf{Diagonali totali.}
\[ d_{17} = \frac{17 \cdot (17 - 3)}{2} = \frac{17 \cdot 14}{2} = \frac{238}{2} = 119 . \]

\smallskip
L'eptadecagono ha $119$ diagonali in totale.
\end{esempio}

% =====================================================================
\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
    \item Calcola la somma degli angoli interni dei seguenti poligoni convessi: triangolo, quadrilatero, pentagono, esagono, ottagono, decagono, dodecagono, eicosagono ($n = 20$).
    \item Determina il numero di lati di un poligono convesso sapendo che la somma dei suoi angoli interni vale:
        \begin{enumerate}
            \item $\SI{720}{\degree}$;
            \item $\SI{1260}{\degree}$;
            \item $\SI{2520}{\degree}$;
            \item $\SI{3240}{\degree}$.
        \end{enumerate}
    \item Calcola la misura dell'angolo interno e dell'angolo esterno dei seguenti poligoni regolari:
        \begin{enumerate}
            \item pentagono;
            \item esagono;
            \item ottagono;
            \item nonagono ($n = 9$);
            \item decagono;
            \item dodecagono.
        \end{enumerate}
    \item Determina il numero di lati di un poligono regolare sapendo che il suo angolo interno misura:
        \begin{enumerate}
            \item $\SI{120}{\degree}$;
            \item $\SI{135}{\degree}$;
            \item $\SI{156}{\degree}$;
            \item $\SI{162}{\degree}$.
        \end{enumerate}
    \item Vero o falso? Motiva la risposta.
        \begin{enumerate}
            \item Esiste un poligono regolare con angoli interni di $\SI{100}{\degree}$.
            \item Per ogni $n \geq 3$ esiste un poligono regolare di $n$ lati.
            \item La somma degli angoli esterni di un poligono dipende dal numero di lati.
            \item In un poligono regolare l'angolo esterno è sempre acuto.
            \item Un poligono convesso può avere due angoli interni la cui somma supera $\SI{360}{\degree}$.
        \end{enumerate}
    \item In un pentagono convesso, quattro angoli interni misurano $\SI{100}{\degree}$, $\SI{110}{\degree}$, $\SI{105}{\degree}$, $\SI{115}{\degree}$. Determina il quinto angolo.
    \item In un esagono convesso, gli angoli interni sono proporzionali ai numeri $2, 3, 3, 4, 4, 4$. Determina la misura di ciascun angolo.
    \item Determina il numero di diagonali di un poligono di $n$ lati per $n = 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20$.
    \item Un poligono convesso ha $\num{35}$ diagonali. Quanti lati ha?
        (Suggerimento: imposta l'equazione $\frac{n(n-3)}{2} = 35$ e risolvi.)
    \item Esiste un poligono con $\num{17}$ diagonali? Motiva la risposta.
    \item Sia $P$ un poligono regolare di $n$ lati. Calcola la somma dell'angolo interno e dell'angolo esterno e verifica che è sempre $\SI{180}{\degree}$ (per qualsiasi $n$).
    \item Dimostra che in un poligono convesso ci possono essere al più $3$ angoli acuti. (Suggerimento: usa il fatto che ogni angolo esterno è positivo e la loro somma è $\SI{360}{\degree}$; un angolo interno acuto corrisponde a un angolo esterno maggiore di $\SI{90}{\degree}$.)
    \item Quale poligono regolare ha l'angolo interno uguale al doppio dell'angolo esterno? (Suggerimento: $\alpha_n = 2 \beta_n$ e $\alpha_n + \beta_n = \SI{180}{\degree}$.)
    \item In un esagono regolare di lato $\ell = \SI{6}{\centi\meter}$, le diagonali più lunghe (quelle che passano per il centro) congiungono vertici opposti. Quante sono? Senza calcolare la loro misura, identifica quale relazione lega la diagonale al lato.
        (Suggerimento: un esagono regolare si decompone in $6$ triangoli equilateri di lato $\ell$ con il centro come vertice comune.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
    \item Un \textbf{poligono} di $n$ lati ($n$-gono) è una figura piana delimitata da una spezzata chiusa semplice di $n$ segmenti. I segmenti sono i \emph{lati}, i loro estremi sono i \emph{vertici}.
    \item Un poligono è \textbf{convesso} se ogni segmento che congiunge due suoi punti è interamente contenuto in esso; equivalentemente, se tutti gli angoli interni sono minori di un piatto. È \textbf{regolare} se ha tutti i lati congruenti \emph{e} tutti gli angoli congruenti.
    \item \textbf{Somma degli angoli interni}: in un poligono convesso di $n$ lati,
        \[ S_n = (n-2) \cdot \SI{180}{\degree} . \]
        Dimostrazione: decomposizione in $n-2$ triangoli mediante le diagonali da un vertice.
    \item \textbf{Angolo interno di un poligono regolare}: $\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot \SI{180}{\degree}}{n}$.
    \item \textbf{Somma degli angoli esterni}: in un qualsiasi poligono convesso, la somma degli angoli esterni (uno per vertice) vale sempre $\SI{360}{\degree}$, indipendentemente da $n$. \textbf{Angolo esterno di un poligono regolare}: $\beta_n = \frac{\SI{360}{\degree}}{n}$.
    \item \textbf{Numero di diagonali} di un poligono di $n$ lati: $d_n = \frac{n(n-3)}{2}$. Da un singolo vertice partono $n - 3$ diagonali.
    \item Per problemi sui poligoni regolari, lavorare con l'angolo esterno ($\beta_n = \SI{360}{\degree}/n$) è spesso più veloce che lavorare con l'angolo interno.
\end{itemize}
\end{riepilogo}