\chapter{Quadrilateri: trapezi, parallelogrammi, rombi, rettangoli, quadrati}\label{cap:GE-010}

\citazioneinizio{Dividere ciascuna delle difficoltà che esaminerò in tante parti quante possibili e necessarie a meglio risolverla.}{René Descartes, Discorso sul metodo}

\noindent
Il regno dei quadrilateri è il più ricco di sotto-famiglie e di classificazioni di tutta la geometria piana elementare. A partire dal quadrilatero generico (quattro lati, quattro vertici, quattro angoli) si scendono gerarchie di figure sempre più \emph{specializzate}: il trapezio (almeno una coppia di lati paralleli), il parallelogramma (due coppie), il rettangolo (parallelogramma con angoli retti), il rombo (parallelogramma con lati congruenti), e infine il quadrato che riunisce le proprietà di rettangolo e rombo.

Questa gerarchia non è solo una nomenclatura: ogni passaggio aggiunge proprietà geometriche che si dimostrano \emph{rigorosamente} a partire dalle proprietà del livello superiore e dai criteri di congruenza del \autoref{cap:GE-005}. In questo capitolo costruiremo l'intera architettura, capitolo dopo capitolo, applicando il metodo dimostrativo che abbiamo affinato in tutta la sezione di geometria.

Le \emph{caratterizzazioni} che presenteremo — i teoremi della forma ``un quadrilatero è un X se e solo se vale Y'' — sono lo strumento operativo con cui, in concreto, si dimostra che una certa figura appartiene a una certa categoria.

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\section{Trapezi: definizione e classificazione}\label{sec:GE-010-01}

\begin{definizione}[Trapezio]
Si chiama \textbf{trapezio} un quadrilatero che ha \emph{esattamente una} coppia di lati paralleli. I due lati paralleli si chiamano \textbf{basi} (\emph{base maggiore} e \emph{base minore}); gli altri due lati si chiamano \textbf{lati obliqui}. La distanza fra le due basi si chiama \textbf{altezza} del trapezio.
\end{definizione}

\begin{nota}
\textbf{Convenzioni alternative.} Alcuni testi moderni adottano una definizione \emph{inclusiva}: trapezio = quadrilatero con \emph{almeno} una coppia di lati paralleli. Con quella scelta, ogni parallelogramma è un caso particolare di trapezio, e la gerarchia delle figure è più simile a quella già adottata in queste dispense per i triangoli (equilatero $\subset$ isoscele). In queste pagine seguiamo la convenzione tradizionale del liceo italiano — definizione esclusiva — perché è quella implicita in quasi tutti i testi scolastici e nei problemi di esame: per noi, trapezio e parallelogramma sono insiemi \emph{disgiunti}.
\end{nota}

\subsection*{Classificazione dei trapezi}

I trapezi si classificano in tre famiglie, secondo le proprietà dei lati obliqui.

\begin{definizione}[Classificazione dei trapezi]
Un trapezio si dice:
\begin{itemize}
    \item \textbf{scaleno} se i due lati obliqui non sono congruenti né è retto alcuno degli angoli;
    \item \textbf{isoscele} se i due lati obliqui sono congruenti;
    \item \textbf{rettangolo} se uno dei due lati obliqui è perpendicolare alle basi (e quindi due angoli del trapezio sono retti).
\end{itemize}
\end{definizione}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
    % Scaleno
    \begin{scope}[shift={(0,0)}]
        \draw[BLU, thick] (0,0) -- (4.5, 0) -- (3.2, 1.8) -- (1.0, 1.8) -- cycle;
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (2.25, -0.25) {Scaleno};
    \end{scope}
    % Isoscele
    \begin{scope}[shift={(6,0)}]
        \draw[BLU, thick] (0,0) -- (4.5, 0) -- (3.5, 1.8) -- (1.0, 1.8) -- cycle;
        \draw[ROSSO, thick] (0.4, 0.65) -- (0.6, 0.85);
        \draw[ROSSO, thick] (0.5, 0.65) -- (0.7, 0.85);
        \draw[ROSSO, thick] (3.8, 0.85) -- (4.0, 0.65);
        \draw[ROSSO, thick] (3.9, 0.85) -- (4.1, 0.65);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (2.25, -0.25) {Isoscele};
    \end{scope}
    % Rettangolo
    \begin{scope}[shift={(12,0)}]
        \draw[BLU, thick] (0,0) -- (4.5, 0) -- (3.5, 1.8) -- (0, 1.8) -- cycle;
        \draw[VERDE, thick] (0.20, 0) -- (0.20, 0.20) -- (0, 0.20);
        \draw[VERDE, thick] (0.20, 1.6) -- (0.20, 1.8) -- (0, 1.8) -- (0, 1.6);
        \node[font=\small\bfseries, anchor=north] at (2.25, -0.25) {Rettangolo};
    \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{I tre tipi di trapezio. Scaleno (lati obliqui qualsiasi); isoscele (lati obliqui congruenti, segnalati dai trattini rossi); rettangolo (un lato obliquo perpendicolare alle basi, segnalato dai quadratini d'angolo retto).}
\label{fig:GE-010-tipi-trapezi}
\end{figure}

\subsection*{Una proprietà che vale per tutti i trapezi}

Indipendentemente dal tipo, in ogni trapezio gli angoli adiacenti a un lato obliquo sono \emph{supplementari}.

\begin{teorema}[Angoli adiacenti a un lato obliquo]
In un trapezio, la somma degli angoli adiacenti a uno stesso lato obliquo è un angolo piatto.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sia $ABCD$ un trapezio con $AB \parallel CD$, e siano $A$ e $D$ i due vertici di uno stesso lato obliquo $AD$. Gli angoli $\widehat{A}$ e $\widehat{D}$ del trapezio si trovano dalla stessa parte rispetto al lato obliquo $AD$ visto come trasversale delle due basi parallele $AB$ e $CD$. Sono dunque \emph{coniugati interni}; per il criterio di parallelismo (\autoref{cap:GE-007}), la loro somma è un angolo piatto:
\[ \widehat{A} + \widehat{D} \cong \text{piatto} = \SI{180}{\degree} . \]

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\section{Trapezio isoscele: proprietà}\label{sec:GE-010-02}

Il trapezio isoscele è la figura più ricca di proprietà fra i trapezi, grazie alla simmetria assiale che possiede.

\begin{teorema}[Angoli alla base del trapezio isoscele]
In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a una stessa base sono congruenti.
\end{teorema}

\textbf{Ipotesi.} $ABCD$ trapezio isoscele con $AB \parallel CD$, $AD \cong BC$.

\textbf{Tesi.} $\widehat{A} \cong \widehat{B}$ e $\widehat{D} \cong \widehat{C}$.

\textit{Dimostrazione.} Tracciamo da $D$ la parallela al lato obliquo $BC$, che incontra la base $AB$ in un punto $E$. Per costruzione $DEBC$ è un parallelogramma (un caso particolare: ha due coppie di lati paralleli per costruzione e per ipotesi), dunque $DE \cong BC$. Poiché per ipotesi $AD \cong BC$, segue $AD \cong DE$, ovvero il triangolo $\triangle ADE$ è isoscele su base $AE$.

Per il teorema diretto del triangolo isoscele (\autoref{cap:GE-006}), $\widehat{DAE} \cong \widehat{DEA}$. Ma $\widehat{DAE} = \widehat{A}$ (angolo del trapezio in $A$), mentre $\widehat{DEA}$ e $\widehat{B}$ sono \emph{corrispondenti} rispetto alle parallele $DE$ e $BC$ tagliate dalla trasversale $AB$, dunque $\widehat{DEA} \cong \widehat{B}$. Per transitività $\widehat{A} \cong \widehat{B}$.

L'altra coppia $\widehat{D} \cong \widehat{C}$ segue dalla precedente e dal fatto che $\widehat{A} + \widehat{D} = \widehat{B} + \widehat{C} = \SI{180}{\degree}$ (angoli adiacenti ai lati obliqui).

\begin{teorema}[Diagonali del trapezio isoscele]
Le diagonali di un trapezio isoscele sono congruenti.
\end{teorema}

\textbf{Ipotesi.} $ABCD$ trapezio isoscele con $AB \parallel CD$, $AD \cong BC$.

\textbf{Tesi.} $AC \cong BD$.

\textit{Dimostrazione.} Confrontiamo i triangoli $\triangle ABD$ e $\triangle BAC$. Si ha:
\begin{itemize}
    \item $AB \cong BA$ (lato comune);
    \item $AD \cong BC$ per ipotesi;
    \item $\widehat{DAB} \cong \widehat{CBA}$ (angoli alla base, teorema precedente).
\end{itemize}
Per il primo criterio di congruenza (LAL), $\triangle ABD \cong \triangle BAC$. In particolare $BD \cong AC$.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    \coordinate (A) at (0, 0);
    \coordinate (B) at (5, 0);
    \coordinate (C) at (4, 2.4);
    \coordinate (D) at (1, 2.4);
    % Trapezio
    \draw[BLU, thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
    % Diagonali
    \draw[ARANCIO, thick] (A) -- (C);
    \draw[ARANCIO, thick] (B) -- (D);
    % Tick lati obliqui
    \draw[ROSSO, thick] ($(A)!0.5!(D)+(-0.10,-0.10)$) -- ($(A)!0.5!(D)+(0.10,0.10)$);
    \draw[ROSSO, thick] ($(B)!0.5!(C)+(0.10,-0.10)$) -- ($(B)!0.5!(C)+(-0.10,0.10)$);
    % Tick diagonali
    \draw[VIOLA, thick] ($(A)!0.5!(C)+(0.05,0.10)$) -- ($(A)!0.5!(C)+(-0.05,-0.10)$);
    \draw[VIOLA, thick] ($(A)!0.5!(C)+(-0.05,0.10)$) -- ($(A)!0.5!(C)+(0.05,-0.10)$);
    \draw[VIOLA, thick] ($(B)!0.5!(D)+(0.05,0.10)$) -- ($(B)!0.5!(D)+(-0.05,-0.10)$);
    \draw[VIOLA, thick] ($(B)!0.5!(D)+(-0.05,0.10)$) -- ($(B)!0.5!(D)+(0.05,-0.10)$);
    % Etichette
    \filldraw[ROSSO] (A) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (B) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (C) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (D) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, below left]  at (A) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below right] at (B) {$B$};
    \node[ROSSO!70!black, above right] at (C) {$C$};
    \node[ROSSO!70!black, above left]  at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\caption{Trapezio isoscele $ABCD$ con $AB \parallel CD$. I lati obliqui congruenti ($AD \cong BC$, trattini rossi) determinano la congruenza degli angoli alla base e la congruenza delle diagonali ($AC \cong BD$, trattini viola).}
\label{fig:GE-010-trapezio-isoscele}
\end{figure}

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\section{Parallelogramma: definizione e teoremi}\label{sec:GE-010-03}

\begin{definizione}[Parallelogramma]
Si chiama \textbf{parallelogramma} un quadrilatero che ha le due coppie di lati opposti parallele.
\end{definizione}

\noindent
Da questa unica definizione discendono molte proprietà, che enunciamo e dimostriamo nei prossimi teoremi.

\begin{teorema}[Proprietà fondamentali del parallelogramma]
In un parallelogramma $ABCD$ valgono le seguenti proprietà:
\begin{enumerate}
    \item i lati opposti sono congruenti: $AB \cong CD$ e $AD \cong BC$;
    \item gli angoli opposti sono congruenti: $\widehat{A} \cong \widehat{C}$ e $\widehat{B} \cong \widehat{D}$;
    \item gli angoli adiacenti sono supplementari: $\widehat{A} + \widehat{B} = \widehat{B} + \widehat{C} = \SI{180}{\degree}$;
    \item le diagonali si bisecano scambievolmente: detta $M$ l'intersezione, $AM \cong MC$ e $BM \cong MD$.
\end{enumerate}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione delle proprietà (1) e (2).} Tracciamo la diagonale $AC$. Confrontiamo i triangoli $\triangle ABC$ e $\triangle CDA$. Si ha:
\begin{itemize}
    \item $AC \cong CA$ (lato comune);
    \item $\widehat{BAC} \cong \widehat{DCA}$ (alterni interni rispetto alle parallele $AB \parallel CD$ tagliate dalla trasversale $AC$);
    \item $\widehat{BCA} \cong \widehat{DAC}$ (alterni interni rispetto alle parallele $AD \parallel BC$ tagliate dalla trasversale $AC$).
\end{itemize}
Per il secondo criterio di congruenza (ALA), $\triangle ABC \cong \triangle CDA$. In particolare:
\begin{itemize}
    \item $AB \cong CD$ e $BC \cong DA$ (lati corrispondenti) — proprietà (1);
    \item $\widehat{B} \cong \widehat{D}$ (angoli corrispondenti) — metà della proprietà (2).
\end{itemize}
L'altra congruenza della (2), $\widehat{A} \cong \widehat{C}$, si ottiene tracciando la diagonale $BD$ e ragionando in modo analogo.

\textit{Dimostrazione della proprietà (3).} Gli angoli $\widehat{A}$ e $\widehat{B}$ sono coniugati interni rispetto alle parallele $AD \parallel BC$ tagliate dalla trasversale $AB$, dunque sono supplementari.

\textit{Dimostrazione della proprietà (4).} Sia $M = AC \cap BD$. Confrontiamo i triangoli $\triangle AMB$ e $\triangle CMD$. Si ha:
\begin{itemize}
    \item $AB \cong CD$ per la proprietà (1);
    \item $\widehat{MAB} \cong \widehat{MCD}$ (alterni interni rispetto a $AB \parallel CD$ con trasversale $AC$);
    \item $\widehat{MBA} \cong \widehat{MDC}$ (alterni interni rispetto a $AB \parallel CD$ con trasversale $BD$).
\end{itemize}
Per il secondo criterio (ALA), $\triangle AMB \cong \triangle CMD$. In particolare $AM \cong CM$ e $BM \cong DM$.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    \coordinate (A) at (0, 0);
    \coordinate (B) at (5, 0);
    \coordinate (C) at (6.2, 2.4);
    \coordinate (D) at (1.2, 2.4);
    \coordinate (M) at ($(A)!0.5!(C)$);
    % Parallelogramma
    \draw[BLU, thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
    % Diagonali
    \draw[ARANCIO, thick] (A) -- (C);
    \draw[ARANCIO, thick] (B) -- (D);
    % Tick lati opposti
    \draw[ROSSO, thick] (2.4, -0.10) -- (2.6, 0.10);
    \draw[ROSSO, thick] (3.6, 2.30) -- (3.8, 2.50);
    \draw[VIOLA, thick] ($(A)!0.5!(D)+(-0.10,-0.10)$) -- ($(A)!0.5!(D)+(0.10,0.10)$);
    \draw[VIOLA, thick] ($(A)!0.5!(D)+(-0.10,0.10)$) -- ($(A)!0.5!(D)+(0.10,-0.10)$);
    \draw[VIOLA, thick] ($(B)!0.5!(C)+(-0.10,-0.10)$) -- ($(B)!0.5!(C)+(0.10,0.10)$);
    \draw[VIOLA, thick] ($(B)!0.5!(C)+(-0.10,0.10)$) -- ($(B)!0.5!(C)+(0.10,-0.10)$);
    % Tick metà diagonali
    \draw[VERDE, thick] ($(A)!0.5!(M)+(-0.05,0.13)$) -- ($(A)!0.5!(M)+(0.05,-0.13)$);
    \draw[VERDE, thick] ($(M)!0.5!(C)+(-0.05,0.13)$) -- ($(M)!0.5!(C)+(0.05,-0.13)$);
    \filldraw[ROSSO] (M) circle (1.3pt);
    \node[ROSSO!70!black, above left] at (M) {$M$};
    % Etichette
    \filldraw[ROSSO] (A) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (B) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (C) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (D) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, below left]  at (A) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below right] at (B) {$B$};
    \node[ROSSO!70!black, above right] at (C) {$C$};
    \node[ROSSO!70!black, above left]  at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\caption{Parallelogramma $ABCD$ con le sue diagonali. I lati opposti sono congruenti (trattini rossi e viola), e le diagonali si bisecano scambievolmente nel punto $M$ (trattini verdi).}
\label{fig:GE-010-parallelogramma}
\end{figure}

\subsection*{Criteri di parallelogramma}

Le quattro proprietà appena dimostrate hanno un valore notevole: ciascuna di esse, presa come ipotesi, \emph{caratterizza} il parallelogramma. Cioè, valgono tutti gli inversi.

\begin{teorema}[Criteri di parallelogramma]
Un quadrilatero (convesso) $ABCD$ è un parallelogramma se e solo se vale una qualsiasi delle seguenti condizioni (e dunque, automaticamente, tutte le altre):
\begin{enumerate}
    \item le due coppie di lati opposti sono parallele (definizione);
    \item le due coppie di lati opposti sono congruenti;
    \item una coppia di lati opposti è parallela e congruente;
    \item le due coppie di angoli opposti sono congruenti;
    \item le diagonali si bisecano scambievolmente.
\end{enumerate}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione di un criterio (il terzo).} Sia $ABCD$ un quadrilatero con $AB \parallel CD$ e $AB \cong CD$; dimostriamo che è un parallelogramma. Tracciamo la diagonale $AC$. I triangoli $\triangle ABC$ e $\triangle CDA$ hanno:
\begin{itemize}
    \item $AB \cong CD$ per ipotesi;
    \item $AC \cong CA$ (lato comune);
    \item $\widehat{BAC} \cong \widehat{DCA}$ (alterni interni rispetto a $AB \parallel CD$ con trasversale $AC$).
\end{itemize}
Per il primo criterio di congruenza (LAL), $\triangle ABC \cong \triangle CDA$. In particolare $\widehat{BCA} \cong \widehat{DAC}$. Ma questi sono alterni interni rispetto alle rette $BC$ e $AD$ tagliate dalla trasversale $AC$: la loro congruenza implica $BC \parallel AD$ (criterio di parallelismo, \autoref{cap:GE-007}).

Le altre direzioni dei criteri si dimostrano in modo simile e sono proposte come esercizi.

\begin{procedura}[Riconoscere un parallelogramma]
Per dimostrare che un quadrilatero $ABCD$ è un parallelogramma è sufficiente verificare \emph{una qualsiasi} delle cinque condizioni del teorema dei criteri. Nella pratica, conviene scegliere il criterio per cui i dati del problema sono più direttamente disponibili:
\begin{itemize}
    \item se sappiamo qualcosa sugli \emph{angoli}, usiamo il criterio (4);
    \item se sappiamo che le \emph{diagonali} si tagliano a metà, usiamo il criterio (5);
    \item se sappiamo che \emph{un} lato è parallelo e congruente al suo opposto, usiamo il criterio (3) — è il più economico, perché bastano due informazioni invece di quattro.
\end{itemize}
\end{procedura}

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\section{Rettangolo: caratterizzazione}\label{sec:GE-010-04}

\begin{definizione}[Rettangolo]
Si chiama \textbf{rettangolo} un parallelogramma con un angolo retto.
\end{definizione}

\noindent
La definizione richiede un solo angolo retto: i restanti tre angoli sono retti come conseguenza. Infatti, in un parallelogramma gli angoli opposti sono congruenti e gli angoli adiacenti sono supplementari: se $\widehat{A} = \SI{90}{\degree}$, allora $\widehat{C} = \widehat{A} = \SI{90}{\degree}$ e $\widehat{B} = \widehat{D} = \SI{180}{\degree} - \SI{90}{\degree} = \SI{90}{\degree}$. Tutti e quattro gli angoli sono retti.

\begin{teorema}[Diagonali del rettangolo]
Le diagonali di un rettangolo sono congruenti.
\end{teorema}

\textbf{Ipotesi.} $ABCD$ rettangolo.

\textbf{Tesi.} $AC \cong BD$.

\textit{Dimostrazione.} Confrontiamo i triangoli rettangoli $\triangle ABD$ e $\triangle BAC$. Si ha:
\begin{itemize}
    \item $AB \cong BA$ (lato comune);
    \item $AD \cong BC$ (lati opposti del parallelogramma);
    \item $\widehat{DAB} \cong \widehat{CBA}$ (entrambi retti).
\end{itemize}
Per il primo criterio (LAL) — qui usato come \emph{criterio dei cateti} dei triangoli rettangoli — i due triangoli sono congruenti. In particolare $BD \cong AC$.

\begin{teorema}[Caratterizzazione del rettangolo]
Un parallelogramma è un rettangolo se e solo se ha le diagonali congruenti.
\end{teorema}

\noindent
La direzione $\Rightarrow$ è il teorema precedente. La direzione $\Leftarrow$ si dimostra in modo analogo, partendo da $AC \cong BD$ e usando il terzo criterio (LLL) per ottenere $\widehat{DAB} \cong \widehat{CBA}$; ma questi sono anche supplementari (lati adiacenti del parallelogramma con lo stesso lato $AB$), quindi entrambi retti.

% =====================================================================
\section{Rombo: caratterizzazione}\label{sec:GE-010-05}

\begin{definizione}[Rombo]
Si chiama \textbf{rombo} un parallelogramma con due lati consecutivi congruenti.
\end{definizione}

\noindent
Anche qui, come nel rettangolo, la definizione richiede solo due lati consecutivi congruenti, ma la proprietà si estende automaticamente: per i lati opposti del parallelogramma, $AB \cong CD$ e $BC \cong AD$; per ipotesi, $AB \cong BC$; per transitività, tutti e quattro i lati sono congruenti.

\begin{teorema}[Diagonali del rombo]
In un rombo, le diagonali:
\begin{enumerate}
    \item sono perpendicolari;
    \item sono bisettrici degli angoli del rombo.
\end{enumerate}
\end{teorema}

\textbf{Ipotesi.} $ABCD$ rombo, $M$ intersezione delle diagonali.

\textbf{Tesi.} $AC \perp BD$; le diagonali $AC$ e $BD$ sono bisettrici degli angoli del rombo.

\textit{Dimostrazione.} Confrontiamo i triangoli $\triangle ABM$ e $\triangle CBM$. Si ha:
\begin{itemize}
    \item $AB \cong CB$ (lati del rombo);
    \item $BM \cong BM$ (lato comune);
    \item $AM \cong CM$ (le diagonali del parallelogramma si bisecano).
\end{itemize}
Per il terzo criterio (LLL), $\triangle ABM \cong \triangle CBM$. Allora:
\begin{itemize}
    \item $\widehat{AMB} \cong \widehat{CMB}$. Ma questi sono anche adiacenti, dunque entrambi retti: $AC \perp BD$;
    \item $\widehat{ABM} \cong \widehat{CBM}$. Ma questi sono i due angoli in cui la diagonale $BD$ divide $\widehat{ABC}$: dunque $BD$ è bisettrice di $\widehat{B}$.
\end{itemize}
La bisettrice degli altri angoli si dimostra in modo analogo.

\begin{teorema}[Caratterizzazione del rombo]
Un parallelogramma è un rombo se e solo se le sue diagonali sono perpendicolari (o, equivalentemente, sono bisettrici degli angoli).
\end{teorema}

\noindent
La direzione $\Rightarrow$ è il teorema precedente. La direzione $\Leftarrow$ si dimostra confrontando i quattro triangoli che le diagonali formano: se $AC \perp BD$, i triangoli sono congruenti per LAL e i quattro lati del quadrilatero risultano congruenti.

% =====================================================================
\section{Quadrato come rettangolo-rombo}\label{sec:GE-010-06}

\begin{definizione}[Quadrato]
Si chiama \textbf{quadrato} un parallelogramma che è contemporaneamente rettangolo e rombo: ha cioè i quattro angoli retti e i quattro lati congruenti.
\end{definizione}

\noindent
Il quadrato è la figura ``più speciale'' dell'intera gerarchia: eredita tutte le proprietà di parallelogramma, rettangolo e rombo, e ne aggiunge altre. In particolare:
\begin{itemize}
    \item ha le diagonali \emph{congruenti} (eredità dal rettangolo);
    \item ha le diagonali \emph{perpendicolari} (eredità dal rombo);
    \item ha le diagonali \emph{bisettrici degli angoli} (eredità dal rombo);
    \item ha le diagonali che \emph{si bisecano} (eredità dal parallelogramma).
\end{itemize}

Riunendo: le diagonali di un quadrato si bisecano scambievolmente, sono perpendicolari, congruenti, e bisettrici degli angoli. Il punto di intersezione delle diagonali è il \emph{centro di simmetria} del quadrato; le due rette che contengono le diagonali sono assi di simmetria, e così pure le rette parallele ai lati passanti per il centro.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
    % Diagramma di Hasse della classificazione
    \begin{scope}
        \node[font=\small, draw, rectangle, rounded corners=3pt, fill=BLU!10, minimum width=2.4cm, minimum height=0.7cm] (Quad) at (0, 5) {Quadrilatero};
        \node[font=\small, draw, rectangle, rounded corners=3pt, fill=BLU!10, minimum width=2.0cm, minimum height=0.7cm] (Trap) at (-3, 3.5) {Trapezio};
        \node[font=\small, draw, rectangle, rounded corners=3pt, fill=BLU!10, minimum width=2.4cm, minimum height=0.7cm] (Par) at (3, 3.5) {Parallelogramma};
        \node[font=\small, draw, rectangle, rounded corners=3pt, fill=VERDE!12, minimum width=2.5cm, minimum height=0.7cm] (TIso) at (-4.5, 2) {Trap. isoscele};
        \node[font=\small, draw, rectangle, rounded corners=3pt, fill=VERDE!12, minimum width=2.5cm, minimum height=0.7cm] (TRet) at (-1.5, 2) {Trap. rettangolo};
        \node[font=\small, draw, rectangle, rounded corners=3pt, fill=ARANCIO!12, minimum width=2.0cm, minimum height=0.7cm] (Rett) at (1.5, 2) {Rettangolo};
        \node[font=\small, draw, rectangle, rounded corners=3pt, fill=ARANCIO!12, minimum width=2.0cm, minimum height=0.7cm] (Rom) at (4.5, 2) {Rombo};
        \node[font=\small, draw, rectangle, rounded corners=3pt, fill=VIOLA!12, minimum width=2.0cm, minimum height=0.7cm] (Qua) at (3, 0.5) {Quadrato};
        % Frecce gerarchiche
        \draw[->, GRIGIO!60!black, thick] (Quad) -- (Trap);
        \draw[->, GRIGIO!60!black, thick] (Quad) -- (Par);
        \draw[->, GRIGIO!60!black, thick] (Trap) -- (TIso);
        \draw[->, GRIGIO!60!black, thick] (Trap) -- (TRet);
        \draw[->, GRIGIO!60!black, thick] (Par) -- (Rett);
        \draw[->, GRIGIO!60!black, thick] (Par) -- (Rom);
        \draw[->, GRIGIO!60!black, thick] (Rett) -- (Qua);
        \draw[->, GRIGIO!60!black, thick] (Rom) -- (Qua);
    \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Diagramma di Hasse della classificazione gerarchica dei quadrilateri (convenzione esclusiva di trapezio). Le frecce indicano la relazione ``è un caso particolare di''. Il quadrato è l'unica figura della gerarchia che si trova nell'intersezione di rettangolo e rombo.}
\label{fig:GE-010-gerarchia}
\end{figure}

\begin{attenzione}
\textbf{Quadrato e rettangolo: il rapporto inclusione/uguaglianza.} Una fonte di confusione comune: la frase ``ogni quadrato è un rettangolo'' è \emph{vera} (un quadrato soddisfa la definizione di rettangolo: parallelogramma con un angolo retto), ma ``ogni rettangolo è un quadrato'' è \emph{falsa}. La relazione fra rettangolo e quadrato è di \emph{inclusione propria}: l'insieme dei quadrati è un sottoinsieme stretto dell'insieme dei rettangoli, contenente le sole figure con i lati anche congruenti.
\end{attenzione}

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\section{Corollario di Talete sui trapezi}\label{sec:GE-010-07}

Chiudiamo il capitolo con un risultato che lega le proprietà del trapezio alla nozione di \emph{punto medio} e che, in forma generalizzata, è una specializzazione del teorema di Talete (\autoref{cap:GE-016}).

\begin{teorema}[della congiungente dei punti medi nel trapezio]
Sia $ABCD$ un trapezio con $AB \parallel CD$. Detti $M$ il punto medio del lato obliquo $AD$ ed $N$ il punto medio del lato obliquo $BC$, il segmento $MN$:
\begin{enumerate}
    \item è parallelo alle due basi $AB$ e $CD$;
    \item ha lunghezza pari alla semisomma delle due basi:
    \[ \overline{MN} = \frac{\overline{AB} + \overline{CD}}{2} . \]
\end{enumerate}
\end{teorema}

\noindent
La dimostrazione completa fa uso del teorema di Talete sulle rette parallele tagliate da trasversali; la riprenderemo nel \autoref{cap:GE-016}. Per ora osserviamo soltanto un caso particolare, immediatamente intuitivo: se $CD$ si riduce a un punto ($\overline{CD} = 0$), il trapezio degenera in un triangolo e $MN$ diventa la \emph{congiungente dei punti medi di due lati}, parallela al terzo e di lunghezza la metà di esso (è il caso applicato nell'esempio finale del \autoref{cap:GE-005}).

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    \coordinate (A) at (0, 0);
    \coordinate (B) at (5, 0);
    \coordinate (C) at (4, 2.4);
    \coordinate (D) at (1, 2.4);
    \coordinate (M) at ($(A)!0.5!(D)$);
    \coordinate (N) at ($(B)!0.5!(C)$);
    % Trapezio
    \draw[BLU, thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
    % Segmento dei punti medi
    \draw[ARANCIO, very thick] (M) -- (N);
    % Punti medi
    \filldraw[ROSSO] (M) circle (1.4pt);
    \filldraw[ROSSO] (N) circle (1.4pt);
    \node[ROSSO!70!black, left] at (M) {$M$};
    \node[ROSSO!70!black, right] at (N) {$N$};
    % Tick di congruenza
    \draw[ROSSO, thick] ($(A)!0.25!(D)+(-0.06,0.06)$) -- ($(A)!0.25!(D)+(0.06,-0.06)$);
    \draw[ROSSO, thick] ($(A)!0.75!(D)+(-0.06,0.06)$) -- ($(A)!0.75!(D)+(0.06,-0.06)$);
    \draw[VIOLA, thick] ($(B)!0.25!(C)+(0.06,0.06)$) -- ($(B)!0.25!(C)+(-0.06,-0.06)$);
    \draw[VIOLA, thick] ($(B)!0.75!(C)+(0.06,0.06)$) -- ($(B)!0.75!(C)+(-0.06,-0.06)$);
    % Etichette
    \filldraw[ROSSO] (A) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (B) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (C) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (D) circle (1.5pt);
    \node[ROSSO!70!black, below left]  at (A) {$A$};
    \node[ROSSO!70!black, below right] at (B) {$B$};
    \node[ROSSO!70!black, above right] at (C) {$C$};
    \node[ROSSO!70!black, above left]  at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\caption{Trapezio $ABCD$ con i punti medi $M$ e $N$ dei lati obliqui. Il segmento $MN$ è parallelo alle basi e ha lunghezza $\overline{MN} = (\overline{AB} + \overline{CD})/2$.}
\label{fig:GE-010-congiungente-medi}
\end{figure}

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\section*{Esempi svolti}\label{sec:ge-010-08-esempi-svolti}

\begin{esempio}[Lati di un parallelogramma]
In un parallelogramma il perimetro vale $\SI{36}{\centi\meter}$ e un lato supera il consecutivo di $\SI{4}{\centi\meter}$. Determinare i quattro lati.

\smallskip
\noindent\textbf{Impostazione algebrica.} Siano $a$ e $b$ i due lati consecutivi di un parallelogramma. I lati opposti sono congruenti, quindi il perimetro è $2(a + b) = \SI{36}{\centi\meter}$, ovvero $a + b = \SI{18}{\centi\meter}$. L'altra condizione si scrive $a - b = \SI{4}{\centi\meter}$.

\smallskip
\noindent\textbf{Sistema.}
\[ \begin{cases} a + b = \SI{18}{\centi\meter} \\ a - b = \SI{4}{\centi\meter} \end{cases} \]
Sommando: $2a = \SI{22}{\centi\meter}$, $a = \SI{11}{\centi\meter}$. Sottraendo: $2b = \SI{14}{\centi\meter}$, $b = \SI{7}{\centi\meter}$.

\smallskip
I lati del parallelogramma misurano alternativamente $\SI{11}{\centi\meter}$ e $\SI{7}{\centi\meter}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Angoli di un trapezio isoscele]
In un trapezio isoscele un angolo alla base maggiore misura $\SI{68}{\degree}$. Determinare gli altri tre angoli.

\smallskip
\noindent\textbf{Angoli alla base maggiore.} Per il teorema degli angoli alla base del trapezio isoscele, $\widehat{A} \cong \widehat{B} = \SI{68}{\degree}$.

\smallskip
\noindent\textbf{Angoli adiacenti ai lati obliqui.} La somma degli angoli adiacenti a un lato obliquo è $\SI{180}{\degree}$, quindi
\[ \widehat{D} = \widehat{C} = \SI{180}{\degree} - \SI{68}{\degree} = \SI{112}{\degree} . \]

\smallskip
\noindent\textbf{Verifica.} La somma degli angoli interni del trapezio è $2 \cdot \SI{68}{\degree} + 2 \cdot \SI{112}{\degree} = \SI{136}{\degree} + \SI{224}{\degree} = \SI{360}{\degree}$, in accordo con la formula $S_4 = (4-2) \cdot \SI{180}{\degree} = \SI{360}{\degree}$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Riconoscere un parallelogramma]
Si abbia un quadrilatero $ABCD$ in cui le diagonali $AC$ e $BD$ si incontrano in un punto $M$ tale che $AM \cong MC$ e $BM \cong MD$. Dimostriamo che $ABCD$ è un parallelogramma.

\smallskip
\noindent\textbf{Strategia.} Usiamo il criterio (5) di parallelogramma: ``diagonali che si bisecano scambievolmente''. È esattamente l'ipotesi del problema.

\smallskip
\noindent\textbf{Dimostrazione esplicita (sviluppando il criterio).} Confrontiamo i triangoli $\triangle AMB$ e $\triangle CMD$. Si ha:
\begin{itemize}
    \item $AM \cong CM$ per ipotesi;
    \item $BM \cong DM$ per ipotesi;
    \item $\widehat{AMB} \cong \widehat{CMD}$ (angoli opposti al vertice).
\end{itemize}
Per il primo criterio (LAL), $\triangle AMB \cong \triangle CMD$. In particolare $AB \cong CD$ e $\widehat{ABM} \cong \widehat{CDM}$ (alterni interni). La congruenza degli alterni interni implica $AB \parallel CD$ (criterio di parallelismo).

Analogamente, confrontando $\triangle AMD$ e $\triangle CMB$ si ottiene $AD \cong CB$ e $AD \parallel CB$.

Le due coppie di lati opposti sono parallele, dunque $ABCD$ è un parallelogramma.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Caratterizzazione del rombo: diagonali perpendicolari]
Sia $ABCD$ un parallelogramma in cui le diagonali sono perpendicolari. Dimostriamo che $ABCD$ è un rombo.

\smallskip
\noindent\textbf{Ipotesi.} $ABCD$ parallelogramma, $M = AC \cap BD$, $AC \perp BD$.

\noindent\textbf{Tesi.} $AB \cong BC \cong CD \cong DA$.

\smallskip
\textit{Dimostrazione.} Confrontiamo i triangoli $\triangle ABM$ e $\triangle CBM$. Si ha:
\begin{itemize}
    \item $AM \cong CM$ (le diagonali del parallelogramma si bisecano);
    \item $BM \cong BM$ (lato comune);
    \item $\widehat{AMB} \cong \widehat{CMB}$ (entrambi retti per ipotesi).
\end{itemize}
Per il primo criterio (LAL), $\triangle ABM \cong \triangle CBM$. Quindi $AB \cong CB$. Per i lati opposti del parallelogramma, $AB \cong CD$ e $BC \cong DA$. Combinando: $AB \cong BC \cong CD \cong DA$. Il parallelogramma $ABCD$ è un rombo.
\end{esempio}

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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
    \item Classifica i seguenti quadrilateri sulla base delle loro proprietà.
        \begin{enumerate}
            \item Quadrilatero con quattro angoli retti e quattro lati congruenti.
            \item Quadrilatero con quattro lati congruenti e diagonali non congruenti.
            \item Quadrilatero con quattro angoli retti e lati a coppie congruenti (non tutti).
            \item Quadrilatero con esattamente una coppia di lati paralleli e lati obliqui congruenti.
        \end{enumerate}
    \item Vero o falso? Motiva la risposta.
        \begin{enumerate}
            \item Ogni quadrato è un rombo.
            \item Ogni rettangolo è un parallelogramma.
            \item Ogni rombo è un quadrato.
            \item In ogni parallelogramma gli angoli adiacenti sono supplementari.
            \item Le diagonali di un trapezio isoscele si bisecano.
            \item Le diagonali di un rombo sono congruenti.
        \end{enumerate}
    \item In un parallelogramma un angolo misura $\SI{55}{\degree}$. Determina gli altri tre.
    \item In un parallelogramma il perimetro vale $\SI{84}{\centi\meter}$. Un lato è il doppio del consecutivo. Determina i quattro lati.
    \item In un trapezio isoscele un angolo alla base minore vale $\SI{125}{\degree}$. Determina tutti gli angoli.
    \item Le diagonali di un rombo misurano $\SI{6}{\centi\meter}$ e $\SI{8}{\centi\meter}$. Determina il lato del rombo. (Suggerimento: le diagonali si bisecano perpendicolarmente, formando quattro triangoli rettangoli congruenti; usa il teorema di Pitagora del \autoref{cap:GE-014}.)
    \item In un rettangolo le diagonali misurano $\SI{20}{\centi\meter}$ e formano fra loro un angolo di $\SI{60}{\degree}$. Determina i lati del rettangolo. (Suggerimento: le diagonali si bisecano e sono congruenti; i quattro triangoli formati hanno proprietà particolari.)
    \item Sia $ABCD$ un parallelogramma. Dimostra che il quadrilatero $A'B'C'D'$ ottenuto unendo i punti medi dei lati di $ABCD$ è un parallelogramma. (Suggerimento: applica il teorema della congiungente dei punti medi del trapezio, oppure dimostralo per i triangoli formati dalle diagonali.)
    \item Sia $ABCD$ un quadrilatero in cui i lati opposti sono a coppie congruenti: $AB \cong CD$ e $AD \cong BC$. Dimostra che è un parallelogramma.
        (Suggerimento: applica il criterio (2) di parallelogramma; per dimostrarlo, traccia una diagonale e usa il LLL.)
    \item Sia $ABCD$ un quadrilatero in cui i lati opposti $AB$ e $CD$ sono paralleli e congruenti. Dimostra che $ABCD$ è un parallelogramma (criterio 3).
    \item Sia $ABCD$ un parallelogramma. Sui lati $AB$ e $CD$ si prendano due punti $E$ ed $F$ tali che $AE \cong CF$. Dimostra che $AECF$ è anch'esso un parallelogramma.
    \item In un trapezio le basi misurano $\SI{18}{\centi\meter}$ e $\SI{12}{\centi\meter}$. Determina la lunghezza del segmento che congiunge i punti medi dei lati obliqui.
    \item Vero o falso? Motiva la risposta.
        \begin{enumerate}
            \item Esiste un rombo che ha le diagonali congruenti.
            \item Esiste un rettangolo che ha le diagonali perpendicolari.
            \item Un parallelogramma con le diagonali congruenti e perpendicolari è un quadrato.
            \item Esiste un trapezio non isoscele con le diagonali congruenti.
        \end{enumerate}
    \item Dimostra il seguente teorema: \emph{un parallelogramma è un rettangolo se e solo se le diagonali sono congruenti}.
        (Suggerimento: per la direzione $\Leftarrow$ usa il terzo criterio di congruenza con i triangoli individuati dalle diagonali e da un lato.)
    \item Sia $ABCD$ un rettangolo e $M$ il punto medio della diagonale $AC$. Dimostra che $M$ è equidistante dai quattro vertici. (Suggerimento: anche $M$ è punto medio della diagonale $BD$; usa il teorema di caratterizzazione del rettangolo.)
    \item Costruisci un esempio concreto (con misure numeriche) di:
        \begin{enumerate}
            \item un rettangolo che non è quadrato;
            \item un rombo che non è quadrato;
            \item un parallelogramma che non è né rettangolo né rombo;
            \item un trapezio isoscele non rettangolo.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
    \item Un \textbf{trapezio} è un quadrilatero con esattamente una coppia di lati paralleli (\emph{basi}). Si classifica in \emph{scaleno}, \emph{isoscele} (lati obliqui congruenti), \emph{rettangolo} (un lato obliquo perpendicolare alle basi).
    \item In un trapezio gli angoli adiacenti a uno stesso lato obliquo sono \emph{supplementari} (coniugati interni rispetto alle basi parallele).
    \item Nel \textbf{trapezio isoscele}: gli angoli alla base sono congruenti; le diagonali sono congruenti.
    \item Un \textbf{parallelogramma} è un quadrilatero con due coppie di lati opposti paralleli. Proprietà fondamentali: lati opposti congruenti, angoli opposti congruenti, angoli adiacenti supplementari, diagonali che si bisecano scambievolmente.
    \item \textbf{Criteri di parallelogramma} (cinque equivalenti): lati opposti paralleli, lati opposti congruenti, una coppia di lati opposti paralleli e congruenti, angoli opposti congruenti, diagonali che si bisecano.
    \item Un \textbf{rettangolo} è un parallelogramma con un angolo retto (e quindi tutti retti). \emph{Caratterizzazione}: parallelogramma con diagonali congruenti.
    \item Un \textbf{rombo} è un parallelogramma con due lati consecutivi congruenti (e quindi tutti i lati congruenti). \emph{Caratterizzazione}: parallelogramma con diagonali perpendicolari (o, equivalentemente, bisettrici degli angoli).
    \item Un \textbf{quadrato} è un parallelogramma simultaneamente rettangolo e rombo: quattro lati congruenti e quattro angoli retti. Eredita tutte le proprietà di rettangolo e rombo.
    \item \textbf{Congiungente dei punti medi nel trapezio}: il segmento $MN$ che congiunge i punti medi dei lati obliqui è parallelo alle basi e ha lunghezza pari alla loro semisomma.
\end{itemize}
\end{riepilogo}