\chapter{Circonferenza e cerchio: definizioni e proprietà}\label{cap:GE-011} \citazioneinizio{% Un cerchio è una figura piana racchiusa da una sola linea, detta circonferenza, alla quale tutti i segmenti che si conducono da un solo punto, fra quelli situati all'interno della figura, sono uguali fra loro.% }{Euclide, \emph{Elementi}, libro I, definizione 15 (\textsc{iii} sec.\,a.C.)} % ============================================================ \section{Introduzione motivazionale}\label{sec:ge-011-01-introduzione-motivazionale} % ============================================================ La circonferenza è insieme la forma più semplice e la più ricca di sorprese: ogni punto sta alla stessa distanza dal centro. Da questa definizione di una riga, Euclide deduce una quantità impressionante di proprietà, che riempiono il libro III degli \emph{Elementi}. Studiamo in questo capitolo gli elementi base della geometria della circonferenza: raggio, diametro, corde, archi; le posizioni reciproche tra una retta e una circonferenza, e tra due circonferenze; le tangenti da un punto esterno; e una prima panoramica sugli \emph{angoli al centro e alla circonferenza}, sui \emph{poligoni inscritti e circoscritti}. La trattazione si approfondirà in alcuni capitoli successivi: gli angoli alla circonferenza in modo sistematico nel capitolo \ref{cap:GE-018}, le aree di poligoni e cerchio nel capitolo \ref{cap:GE-019}. La circonferenza è anche il primo luogo geometrico ``vero'' che incontriamo (l'asse di un segmento è un altro), e la sua equazione analitica nel piano cartesiano sarà l'oggetto del capitolo \ref{cap:GA-007}: là \emph{le proprietà geometriche di questo capitolo diventeranno equazioni}. % ============================================================ \section{Definizioni di circonferenza, cerchio, raggio}\label{sec:ge-011-01-definizioni-di-circonferenza-cerchio-raggio} % ============================================================ \begin{definizione}[Circonferenza] Sia $O$ un punto del piano e $r$ un numero reale positivo. La \textbf{circonferenza} di centro $O$ e raggio $r$ è il \emph{luogo geometrico} dei punti $P$ del piano tali che la distanza da $O$ è $r$: \[ \mathcal{C}(O, r) = \{\,P\in\text{piano}\mid \overline{OP} = r\,\}. \] \end{definizione} \begin{definizione}[Cerchio] Il \textbf{cerchio} (o \emph{disco}) di centro $O$ e raggio $r$ è la regione del piano costituita dalla circonferenza più tutti i suoi \emph{punti interni}: \[ C(O, r) = \{\,P\in\text{piano}\mid \overline{OP}\le r\,\}. \] \end{definizione} \begin{nota}[Circonferenza vs cerchio] \emph{Attenzione alla distinzione}: la \emph{circonferenza} è la \textbf{linea} (la frontiera, 1-dimensionale); il \emph{cerchio} è la \textbf{regione piena} (l'area, 2-dimensionale). Nel parlato comune si usa spesso ``cerchio'' per indicare la linea, ma in matematica i due concetti vanno distinti. \end{nota} \begin{definizione}[Elementi della circonferenza] \begin{itemize} \item \textbf{Raggio} ($r$): il segmento che unisce il centro a un punto della circonferenza, oppure la sua lunghezza. \item \textbf{Diametro} ($d=2r$): il segmento che unisce due punti della circonferenza passando per il centro. \item \textbf{Corda}: un segmento che unisce due punti distinti della circonferenza. Il diametro è la corda più lunga. \item \textbf{Arco}: una porzione della circonferenza compresa fra due punti. Una corda divide la circonferenza in due archi: il maggiore e il minore. \item \textbf{Settore circolare}: la regione del cerchio compresa fra due raggi. \item \textbf{Segmento circolare}: la regione del cerchio compresa fra una corda e l'arco sotteso. \end{itemize} \end{definizione} \begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture}[scale=1.0] % Circonferenza con centro O e raggio \draw[thick, BLU] (0, 0) circle (2); \fill (0, 0) circle (2pt) node[below] {$O$}; % Raggio \draw[thick, VERDE] (0, 0) -- ({2*cos(40)}, {2*sin(40)}); \node[VERDE, above right] at ({1.3*cos(40)}, {1.3*sin(40)}) {\small$r$}; \fill[VERDE] ({2*cos(40)}, {2*sin(40)}) circle (1.5pt) node[above right] {\small$A$}; % Diametro \draw[thick, ROSSO] ({2*cos(180)}, 0) -- ({2*cos(0)}, 0); \node[ROSSO, below] at (0, -0.1) {\small$d=2r$}; \fill[ROSSO] ({2*cos(180)}, 0) circle (1.5pt) node[left] {\small$B$}; \fill[ROSSO] ({2*cos(0)}, 0) circle (1.5pt) node[right] {\small$C$}; % Corda \draw[thick, ARANCIO] ({2*cos(120)}, {2*sin(120)}) -- ({2*cos(70)}, {2*sin(70)}); \fill[ARANCIO] ({2*cos(120)}, {2*sin(120)}) circle (1.5pt) node[above left] {\small$D$}; \fill[ARANCIO] ({2*cos(70)}, {2*sin(70)}) circle (1.5pt) node[above right] {\small$E$}; \node[ARANCIO] at ({1.4*cos(95)}, {1.4*sin(95)}) {\small corda}; \end{tikzpicture} \caption{Elementi della circonferenza: centro $O$, raggio $r$ (segmento $OA$, in verde), diametro $d = 2r$ (segmento $BC$, in rosso), corda $DE$ (in arancio). Il diametro è la corda di lunghezza massima ($d = 2r$).} \label{fig:ge-011-elementi} \end{figure} % ============================================================ \section{Corde e diametro: proprietà}\label{sec:ge-011-02-corde-e-diametro-proprieta} % ============================================================ \begin{teorema}[Lunghezza delle corde] In una stessa circonferenza: \begin{itemize} \item le corde uguali sono equidistanti dal centro; \item viceversa, corde equidistanti dal centro sono uguali; \item la corda di lunghezza massima è il \emph{diametro} (lungo $2r$); \item più una corda è vicina al centro, più è lunga. \end{itemize} \end{teorema} \begin{teorema}[Asse della corda] L'\emph{asse} di una corda (la perpendicolare alla corda nel suo punto medio) \emph{passa per il centro} della circonferenza. Equivalentemente: il diametro perpendicolare a una corda la divide in due parti uguali. \end{teorema} \textit{Dimostrazione (idea).} Per la definizione di asse, ogni suo punto è equidistante dagli estremi della corda. Il centro $O$ della circonferenza è equidistante dagli estremi (entrambi a distanza $r$): quindi $O$ appartiene all'asse. \begin{nota}[Conseguenza pratica] Per trovare il centro di una circonferenza data, basta tracciare gli assi di due corde qualsiasi: il loro punto di intersezione è il centro. È la base della costruzione classica del centro dato un cerchio (riga e compasso). \end{nota} % ============================================================ \section{Posizione di una retta rispetto a una circonferenza}\label{sec:ge-011-03-posizione-di-una-retta-rispetto-a-una-circonferenza} % ============================================================ Data una retta $r$ e una circonferenza $\mathcal{C}$, ci sono \emph{tre} configurazioni possibili, classificate dalla distanza $d$ del centro $O$ dalla retta. \begin{teorema}[Posizione retta-circonferenza] Sia $d$ la distanza del centro $O$ dalla retta $r$, ed $R$ il raggio della circonferenza. \begin{itemize} \item Se $d > R$: la retta è \textbf{esterna}, non ha punti in comune con la circonferenza. \item Se $d = R$: la retta è \textbf{tangente}, ha esattamente un punto in comune. \item Se $d < R$: la retta è \textbf{secante}, ha esattamente due punti in comune. \end{itemize} \end{teorema} \begin{teorema}[Tangente e raggio] La \textbf{tangente} in un punto $T$ della circonferenza è \emph{perpendicolare} al raggio $OT$ nel punto $T$. \end{teorema} \textit{Dimostrazione (idea).} Per assurdo: se non fosse perpendicolare, dal centro $O$ si potrebbe condurre la perpendicolare alla retta, con piede $H\neq T$. Allora $OH < OT = R$ (il cateto è minore dell'ipotenusa), ma allora $H$ sarebbe interno alla circonferenza, e la retta — che passa per $H$ — sarebbe secante, contraddicendo l'ipotesi di tangenza. \begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture}[scale=0.85] % Tre casi affiancati % Esterna \begin{scope} \draw[thick, BLU] (0, 0) circle (1.2); \fill (0, 0) circle (1.5pt) node[below] {\scriptsize$O$}; \draw[thick, ROSSO] (-2, 1.8) -- (2, 1.8); \draw[GRIGIO, dashed] (0, 0) -- (0, 1.8); \node[GRIGIO, right] at (0, 1.5) {\scriptsize$d$}; \node[below] at (0, -1.8) {(a) esterna $d>R$}; \end{scope} % Tangente \begin{scope}[shift={(5.5, 0)}] \draw[thick, BLU] (0, 0) circle (1.2); \fill (0, 0) circle (1.5pt) node[below] {\scriptsize$O$}; \draw[thick, ROSSO] (-2, 1.2) -- (2, 1.2); \draw[GRIGIO, dashed] (0, 0) -- (0, 1.2); \node[GRIGIO, right] at (0, 0.6) {\scriptsize$d=R$}; \fill[ROSSO] (0, 1.2) circle (2pt) node[above right] {\scriptsize$T$}; \node[below] at (0, -1.8) {(b) tangente $d=R$}; \end{scope} % Secante \begin{scope}[shift={(11, 0)}] \draw[thick, BLU] (0, 0) circle (1.2); \fill (0, 0) circle (1.5pt) node[below] {\scriptsize$O$}; \draw[thick, ROSSO] (-2, 0.5) -- (2, 0.5); \draw[GRIGIO, dashed] (0, 0) -- (0, 0.5); \node[GRIGIO, right] at (0, 0.25) {\scriptsize$d$}; \fill[ROSSO] ({-sqrt(1.2^2-0.25)}, 0.5) circle (2pt); \fill[ROSSO] ({sqrt(1.2^2-0.25)}, 0.5) circle (2pt); \node[below] at (0, -1.8) {(c) secante $dR$), tangente ($d=R$, un punto $T$), secante ($d R_1 + R_2$: le circonferenze sono \emph{esterne}, nessun punto in comune. \item $d = R_1 + R_2$: \emph{tangenti esternamente}, un punto in comune. \item $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$: \emph{secanti}, due punti in comune. \item $d = R_1 - R_2$ (con $R_1>R_2$): \emph{tangenti internamente}, un punto in comune. \item $d < R_1 - R_2$: una è \emph{interna} all'altra, nessun punto in comune. \end{itemize} \end{teorema} \begin{nota}[Concentriche] Se $d=0$ (cioè $O_1=O_2$), le due circonferenze sono \emph{concentriche}. Non hanno punti in comune (a meno che $R_1=R_2$, caso in cui coincidono). La regione tra le due si chiama \emph{corona circolare}. \end{nota} % ============================================================ \section{Angoli al centro e alla circonferenza}\label{sec:ge-011-05-angoli-al-centro-e-alla-circonferenza} % ============================================================ \begin{definizione}[Angolo al centro, angolo alla circonferenza] Un \textbf{angolo al centro} ha vertice nel centro della circonferenza, ed è delimitato da due raggi. Un \textbf{angolo alla circonferenza} ha vertice sulla circonferenza, ed è delimitato da due corde (oppure da una corda e una tangente). Si dice che un angolo \emph{insiste} su un arco $AB$ se i suoi lati intersecano la circonferenza nei punti $A$ e $B$. \end{definizione} \begin{teorema}[Angolo al centro e alla circonferenza] Se un angolo al centro $\widehat{AOB}$ e un angolo alla circonferenza $\widehat{APB}$ insistono sullo stesso arco $AB$ (con $P$ sull'arco opposto), allora \[ \widehat{AOB} = 2\,\widehat{APB}. \] \end{teorema} La dimostrazione si fa per casi (a seconda della posizione di $P$ rispetto al diametro per $A$ o $B$): la rimandiamo al capitolo \ref{cap:GE-018} dove la sviluppiamo per esteso. \begin{nota}[Conseguenze immediate] \begin{itemize} \item Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono \emph{congruenti} (è metà dello stesso angolo al centro). \item Un angolo alla circonferenza che insiste su un diametro (quindi sull'angolo al centro di $\ang{180}$) è un \textbf{angolo retto}. È il celebre ``angolo nel semicerchio'' di Talete (capitolo \ref{cap:GE-018}). \end{itemize} \end{nota} % ============================================================ \section{Poligoni inscritti e circoscritti}\label{sec:ge-011-06-poligoni-inscritti-e-circoscritti} % ============================================================ \begin{definizione}[Poligono inscritto e circoscritto] \begin{itemize} \item Un poligono è \textbf{inscritto} in una circonferenza se tutti i suoi vertici giacciono sulla circonferenza. \item Un poligono è \textbf{circoscritto} a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. \end{itemize} \end{definizione} \begin{teorema}[Condizioni di inscrivibilità e circoscrivibilità per quadrilateri] \hfill \begin{itemize} \item Un quadrilatero è \emph{inscrivibile} in una circonferenza se e solo se la somma di due angoli opposti è $\ang{180}$. \item Un quadrilatero è \emph{circoscrivibile} a una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due. \end{itemize} \end{teorema} \begin{nota}[Centro come intersezione] Per costruire la circonferenza \emph{circoscritta} a un poligono (passante per tutti i vertici), il centro è l'intersezione degli \emph{assi} dei lati: il \emph{circocentro}. Esiste sempre per un triangolo, ma non in generale per quadrilateri (servono le condizioni di inscrivibilità). Per costruire la circonferenza \emph{inscritta} (tangente a tutti i lati), il centro è l'intersezione delle \emph{bisettrici} degli angoli: l'\emph{incentro}. Anche qui, esiste sempre per un triangolo. Approfondimento nel capitolo \ref{cap:GE-019}. \end{nota} % ============================================================ \section{Esempi svolti}\label{sec:ge-011-08-esempi-svolti} % ============================================================ \begin{esempio}[Lunghezza di una corda nota la distanza dal centro] In una circonferenza di raggio $\SI{10}{\centi\meter}$, calcolare la lunghezza della corda che dista $\SI{6}{\centi\meter}$ dal centro. \textit{Soluzione.} Sia $H$ il piede della perpendicolare dal centro $O$ alla corda $AB$: $H$ è il punto medio di $AB$. Nel triangolo rettangolo $OAH$, $OA = R = 10$, $OH = d = 6$, quindi per Pitagora (capitolo \ref{cap:GE-014}): \[ AH = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \sqrt{100 - 36} = 8\,\text{cm}. \] Lunghezza corda: $AB = 2\,AH = \SI{16}{\centi\meter}$. \end{esempio} \begin{esempio}[Tangenti da un punto esterno] Da un punto $P$ esterno a una circonferenza di centro $O$ e raggio $\SI{5}{\centi\meter}$, distante $\SI{13}{\centi\meter}$ da $O$, si conducono le due tangenti. Trovare la lunghezza di ciascun segmento di tangenza. \textit{Soluzione.} Nel triangolo rettangolo $OTP$ (retto in $T$): $OT = R = 5$, $OP = 13$. Per Pitagora: \[ PT = \sqrt{OP^2 - OT^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = \SI{12}{\centi\meter}. \] È la classica terna pitagorica $(5, 12, 13)$. \end{esempio} \begin{esempio}[Posizione relativa di due circonferenze] Due circonferenze hanno raggi $R_1 = \SI{8}{\centi\meter}$, $R_2 = \SI{5}{\centi\meter}$, e i centri distano $\SI{11}{\centi\meter}$. Stabilire la posizione reciproca. \textit{Soluzione.} $R_1+R_2 = 13$, $|R_1-R_2| = 3$. La distanza $d=11$ soddisfa $3 < 11 < 13$, dunque le circonferenze sono \emph{secanti}, con due punti in comune. \end{esempio} \begin{esempio}[Quadrilatero inscritto] In un quadrilatero inscritto in una circonferenza, due angoli opposti misurano $\ang{75}$ e $\ang{110}$. Determinare gli altri due angoli. \textit{Soluzione.} Per il teorema sui quadrilateri inscritti, gli angoli opposti sono supplementari ($\ang{180}$). L'opposto di $\ang{75}$ è $\ang{105}$, l'opposto di $\ang{110}$ è $\ang{70}$. Verifica della somma totale: $75+105+110+70 = \ang{360}$. \checkmark \end{esempio} \begin{esempio}[Angolo al centro e alla circonferenza] Un angolo al centro $\widehat{AOB}$ misura $\ang{120}$. Quanto vale ogni angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco $AB$? \textit{Soluzione.} Per il teorema, $\widehat{APB} = \tfrac{1}{2}\widehat{AOB} = \ang{60}$. Tutti gli angoli alla circonferenza sullo stesso arco hanno questa misura. \end{esempio} % ============================================================ \section{Esercizi proposti}\label{sec:ge-011-09-esercizi-proposti} % ============================================================ \begin{eserciziobox} \begin{enumerate} \item In una circonferenza di raggio $\SI{15}{\centi\meter}$, calcola la lunghezza della corda che dista dal centro:\quad (a) $\SI{9}{\centi\meter}$;\quad (b) $\SI{12}{\centi\meter}$;\quad (c) $\SI{0}{\centi\meter}$ (cosa si ottiene?). \item In una circonferenza una corda lunga $\SI{16}{\centi\meter}$ dista $\SI{6}{\centi\meter}$ dal centro. Determina il raggio. \item Da un punto $P$ distante $\SI{25}{\centi\meter}$ dal centro di una circonferenza di raggio $\SI{7}{\centi\meter}$, calcola la lunghezza dei segmenti di tangenza. \item Stabilisci la posizione reciproca delle circonferenze (in $\SI{}{\centi\meter}$):\quad (a) $R_1=4$, $R_2=3$, $d=10$;\quad (b) $R_1=4$, $R_2=3$, $d=7$;\quad (c) $R_1=4$, $R_2=3$, $d=5$;\quad (d) $R_1=4$, $R_2=3$, $d=1$;\quad (e) $R_1=4$, $R_2=3$, $d=0{,}5$. \item Un quadrilatero è inscritto in una circonferenza. Tre angoli misurano $\ang{60}$, $\ang{85}$, $\ang{105}$. Trova il quarto. È un caso ammissibile? \item Un quadrilatero $ABCD$ è circoscritto a una circonferenza. Sapendo che $AB=8$, $BC=5$, $CD=6$, determina $AD$. \item Un angolo alla circonferenza misura $\ang{42}$. Calcola il corrispondente angolo al centro che insiste sullo stesso arco. \item Verifica con riga e compasso (o GeoGebra): le tangenti a una circonferenza condotte dagli estremi di un diametro sono parallele. Spiega perché (suggerimento: usa la perpendicolarità tangente-raggio). \item (Discussione.) Mostra che, in una circonferenza, due corde si bisecano in un punto interno se e solo se passano entrambe per il centro (cioè sono diametri). \end{enumerate} \end{eserciziobox} % ============================================================ \section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:ge-011-10-riepilogo-del-capitolo} % ============================================================ \begin{riepilogo} \begin{itemize} \item La \emph{circonferenza} è il luogo dei punti del piano a distanza $r$ da un punto $O$ (centro). Il \emph{cerchio} è la regione piana racchiusa dalla circonferenza. \item \emph{Elementi}: raggio $r$, diametro $d=2r$, corde, archi, settori, segmenti circolari. Il diametro è la corda più lunga. \item \emph{Asse della corda}: passa per il centro. Conseguenza pratica: per trovare il centro, basta intersecare gli assi di due corde. \item \emph{Posizione retta-circonferenza}: tre casi in base a $d$ (distanza centro-retta) vs $R$: $d>R$ esterna, $d=R$ tangente, $d