\chapter{Luoghi geometrici fondamentali}\label{cap:GE-012}

\citazioneinizio{%
  Ogni curva nasce da una regola: il luogo è la geometria che ricorda una proprietà.%
}{adattamento didattico}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:ge-012-01-introduzione-motivazionale}
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Nel capitolo \ref{cap:GE-011} abbiamo definito la circonferenza come ``il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso''. Questa formulazione ha qualcosa di sorprendente: descrive una curva attraverso una \emph{proprietà} che caratterizza tutti i suoi punti, anziché tramite una formula algebrica. È il concetto generale di \textbf{luogo geometrico}.

Un luogo geometrico è dunque \emph{l'insieme di tutti e soli i punti del piano che soddisfano una certa proprietà}. La circonferenza, l'asse di un segmento, la bisettrice di un angolo, le rette parallele a una retta data: sono tutti esempi di luoghi. Studiarli geometricamente significa imparare a leggere proprietà metriche (distanze, angoli) come curve.

I luoghi geometrici sono il ponte fra la geometria sintetica (di Euclide) e la geometria analitica (di Cartesio): in capitoli successivi vedremo che ogni luogo geometrico ha un'equazione, e che ellisse, parabola, iperbole sono \emph{luoghi} con proprietà metriche caratterizzanti (rispettivamente, somma costante di distanze da due punti, equidistanza da un punto e una retta, differenza costante di distanze). Approfondiremo questi luoghi notevoli nei capitoli \ref{cap:GA-006}--\ref{cap:GA-010}.

In questo capitolo formalizziamo l'idea di luogo, presentiamo i \emph{luoghi geometrici elementari} (asse, bisettrice, circonferenza, rette parallele) e introduciamo la tecnica della \emph{doppia inclusione} per dimostrare che un certo insieme di punti \emph{è} effettivamente il luogo che pretendiamo essere.

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\section{Concetto di luogo geometrico}\label{sec:ge-012-01-concetto-di-luogo-geometrico}
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\begin{definizione}[Luogo geometrico]
Si chiama \textbf{luogo geometrico} l'insieme di tutti e soli i punti del piano (o dello spazio) che godono di una determinata proprietà $P$:
\[
  L = \{\, X\in\text{piano} \mid X\text{ soddisfa la proprietà } P\,\}.
\]
\end{definizione}

\begin{nota}[``Tutti e soli'']
La frase ``tutti e soli'' è essenziale: l'insieme deve contenere \emph{ogni} punto con la proprietà, e \emph{nessun altro}. Per dimostrare che un certo insieme è il luogo richiesto, occorre dimostrare entrambe le inclusioni:
\begin{enumerate}
  \item ogni punto con la proprietà appartiene all'insieme (``tutti'');
  \item ogni punto dell'insieme ha la proprietà (``soli'').
\end{enumerate}
È la \emph{tecnica della doppia inclusione}, già incontrata nel capitolo \ref{cap:LD-001} sugli insiemi.
\end{nota}

\begin{procedura}[Dimostrare che $L$ è un luogo geometrico]
Per dimostrare che un certo insieme $L$ è il luogo dei punti con la proprietà $P$:
\begin{enumerate}
  \item \emph{Diretta} (``tutti''): si prende un punto $X$ con la proprietà $P$ e si mostra che $X\in L$.
  \item \emph{Inversa} (``soli''): si prende un punto $Y\in L$ e si mostra che $Y$ soddisfa la proprietà $P$.
\end{enumerate}
Solo dimostrando entrambe si è davvero caratterizzato il luogo.
\end{procedura}

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\section{Asse di un segmento}\label{sec:ge-012-02-asse-di-un-segmento}
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\begin{teorema}[Asse del segmento]
Dato un segmento $\overline{AB}$, il luogo dei punti del piano \emph{equidistanti} dagli estremi $A$ e $B$ è la \textbf{perpendicolare} ad $\overline{AB}$ nel suo \emph{punto medio}, detta \emph{asse} del segmento.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sia $M$ il punto medio di $AB$ e $r$ la retta perpendicolare ad $AB$ passante per $M$.

\emph{(Diretta)} Sia $P\in r$ un punto qualsiasi. Consideriamo i triangoli $PAM$ e $PBM$: hanno $PM$ in comune, $AM=BM$ (per definizione di punto medio), e gli angoli in $M$ retti (per definizione di perpendicolare). Per il primo criterio di congruenza dei triangoli (capitolo \ref{cap:GE-005}), $\triangle PAM \cong \triangle PBM$, dunque $PA = PB$: $P$ è equidistante da $A$ e $B$.

\emph{(Inversa)} Sia $Q$ un punto equidistante da $A$ e $B$, cioè $QA = QB$. Allora $Q$ appartiene al luogo dei punti equidistanti. Costruiamo il triangolo $QAB$: è \emph{isoscele} (capitolo \ref{cap:GE-006}) con base $AB$. L'altezza dal vertice $Q$ alla base è anche \emph{mediana} e \emph{asse della base}: dunque la perpendicolare per $M$ (punto medio) passa per $Q$, cioè $Q\in r$.

In conclusione, $r$ è esattamente il luogo cercato.

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % Asse di AB
  \fill (-2, 0) circle (2pt) node[below] {$A$};
  \fill ( 2, 0) circle (2pt) node[below] {$B$};
  \draw[thick, BLU] (-2, 0) -- (2, 0);
  \fill (0, 0) circle (1.5pt) node[below right] {$M$};
  \draw[thick, ROSSO, dashed] (0, -2) -- (0, 2.5);
  \node[ROSSO, above] at (0, 2.5) {$r$ (asse di $AB$)};
  % Tre punti sull'asse con segmenti uguali
  \fill[VERDE] (0, 1.5) circle (2pt);
  \node[VERDE, right] at (0, 1.5) {$P$};
  \draw[VERDE, thin] (0, 1.5) -- (-2, 0);
  \draw[VERDE, thin] (0, 1.5) -- (2, 0);
  \fill[VERDE] (0, -1.5) circle (2pt);
  \node[VERDE, right] at (0, -1.5) {$P'$};
  \draw[VERDE, thin] (0, -1.5) -- (-2, 0);
  \draw[VERDE, thin] (0, -1.5) -- (2, 0);
  % Angolo retto in M
  \draw[GRIGIO] (-0.2, 0) -- (-0.2, 0.2) -- (0, 0.2);
\end{tikzpicture}
\caption{L'asse di un segmento $\overline{AB}$ è la retta perpendicolare ad $AB$ passante per il punto medio $M$. Ogni punto $P$ dell'asse è equidistante da $A$ e $B$ ($PA = PB$); viceversa, ogni punto equidistante da $A$ e $B$ appartiene all'asse.}
\label{fig:ge-012-asse}
\end{figure}

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\section{Bisettrice di un angolo}\label{sec:ge-012-03-bisettrice-di-un-angolo}
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\begin{teorema}[Bisettrice]
Dato un angolo $\widehat{aOb}$ formato da due semirette $a, b$ uscenti da $O$, il luogo dei punti \emph{interni} all'angolo \emph{equidistanti} dai due lati è la \textbf{bisettrice} dell'angolo: la semiretta che divide l'angolo in due angoli congruenti.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (idea).} Per ogni punto $P$ della bisettrice, i triangoli ottenuti proiettando $P$ sui due lati sono congruenti (per il criterio ipotenusa-angolo: angolo retto e angolo del semiangolo). Quindi le distanze dai due lati sono uguali. Viceversa, se $P$ ha uguali distanze dai due lati, i due triangoli rettangoli formati con i piedi della perpendicolare sono congruenti (per cateto-cateto), e gli angoli in $O$ sono uguali: quindi $P$ sta sulla bisettrice.

\begin{nota}[Conseguenze]
\begin{itemize}
  \item Le tre bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un punto, detto \emph{incentro}, equidistante dai tre lati. È il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.
  \item Anche le bisettrici di angoli esterni hanno proprietà di equidistanza (capitolo \ref{cap:GE-019}).
\end{itemize}
\end{nota}

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\section{Circonferenza come luogo}\label{sec:ge-012-04-circonferenza-come-luogo}
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Già introdotta nel capitolo \ref{cap:GE-011}, la circonferenza è il primo luogo che si studia.

\begin{teorema}[Circonferenza]
Dati un punto $O$ e un numero $r>0$, il luogo dei punti del piano a distanza esattamente $r$ da $O$ è la \emph{circonferenza} di centro $O$ e raggio $r$.
\end{teorema}

(È la definizione stessa del capitolo \ref{cap:GE-011}: la dimostrazione di doppia inclusione è banale.)

\begin{nota}[Cerchio come luogo di disequazione]
\emph{Variante}: il \emph{cerchio} chiuso di centro $O$ e raggio $r$ è il luogo dei punti con $\overline{OP}\le r$ (distanza minore o uguale). Equivalentemente, è la circonferenza più i suoi punti interni.
\end{nota}

\subsection*{Altri luoghi notevoli (cenni)}

\begin{nota}[Parallela a distanza data]
Date una retta $r$ e un numero $d>0$, il luogo dei punti del piano a distanza $d$ da $r$ è costituito da \emph{due rette parallele} a $r$, una da ciascun lato.

\emph{Variante}: se si chiede ``distanza $\le d$ da $r$'', il luogo è la \emph{striscia} di larghezza $2d$ centrata su $r$.
\end{nota}

\begin{nota}[Sezioni coniche come luoghi]
Tre celebri luoghi geometrici, che riprenderemo nei capitoli di geometria analitica:
\begin{itemize}
  \item \emph{Parabola} (capitolo \ref{cap:GA-006}): luogo dei punti equidistanti da un punto fisso (\emph{fuoco}) e da una retta fissa (\emph{direttrice}).
  \item \emph{Ellisse} (capitolo \ref{cap:GA-008}): luogo dei punti la cui \emph{somma} delle distanze da due punti fissi (\emph{fuochi}) è una costante.
  \item \emph{Iperbole} (capitolo \ref{cap:GA-009}): luogo dei punti la cui \emph{differenza} (in valore assoluto) delle distanze da due fuochi è una costante.
\end{itemize}
Sono tutte ``coniche'', ottenibili come sezioni di un cono con un piano. Apollonio (\textsc{iii} sec.\,a.C.) le studiò esaustivamente.
\end{nota}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.95, every node/.style={font=\small}]
  % Bisettrice di un angolo (versione semplificata)
  \begin{scope}
    \fill (0, 0) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
    \draw[thick] (0, 0) -- (3, 0);
    \node[right] at (3, 0) {$a$};
    \draw[thick] (0, 0) -- ({3*cos(60)}, {3*sin(60)});
    \node[above right] at ({3*cos(60)}, {3*sin(60)}) {$b$};
    \draw[thick, ROSSO, dashed] (0, 0) -- ({3.2*cos(30)}, {3.2*sin(30)});
    \node[ROSSO] at ({3.5*cos(30)}, {3.5*sin(30)}) {bisettrice};
    \fill[VERDE] ({1.8*cos(30)}, {1.8*sin(30)}) circle (2pt);
    \node[VERDE, right] at ({1.8*cos(30)+0.1}, {1.8*sin(30)}) {$P$};
    \node[below] at (1.5, -1) {(a) bisettrice};
  \end{scope}
  % Parallele a distanza d
  \begin{scope}[shift={(8, 0)}]
    \draw[thick, BLU] (-2, 0) -- (3, 0);
    \node[BLU, right] at (3, 0) {$r$};
    \draw[thick, ROSSO, dashed] (-2, 1) -- (3, 1);
    \draw[thick, ROSSO, dashed] (-2, -1) -- (3, -1);
    \draw[<->, GRIGIO] (-1.8, 0) -- (-1.8, 1);
    \node[GRIGIO, left] at (-1.8, 0.5) {\scriptsize$d$};
    \draw[<->, GRIGIO] (-1.8, 0) -- (-1.8, -1);
    \node[GRIGIO, left] at (-1.8, -0.5) {\scriptsize$d$};
    \node[below] at (0.5, -1.7) {(b) parallele a dist.\ $d$ da $r$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Altri luoghi geometrici elementari. (a) La bisettrice dell'angolo $\widehat{aOb}$: ogni punto $P$ della bisettrice è equidistante dai due lati $a$ e $b$. (b) Le due rette parallele a $r$ a distanza $d$: ognuna è il luogo dei punti che dista esattamente $d$ da $r$ (da un determinato lato).}
\label{fig:ge-012-luoghi}
\end{figure}

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\section{Costruzioni con riga e compasso}\label{sec:ge-012-05-costruzioni-con-riga-e-compasso}
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Molti luoghi geometrici si costruiscono con riga e compasso. Sono le costruzioni classiche della geometria euclidea, che hanno una storia bimillenaria.

\begin{procedura}[Asse di un segmento $\overline{AB}$]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Centrato in $A$, si traccia un arco di raggio $r > \tfrac{1}{2}\overline{AB}$.
  \item Centrato in $B$, con lo stesso raggio $r$, si traccia un altro arco.
  \item I due archi si intersecano in due punti $P$ e $Q$. La retta $PQ$ è l'asse di $\overline{AB}$.
\end{enumerate}
Spiegazione: i punti $P$ e $Q$ sono entrambi equidistanti da $A$ e $B$ (per costruzione), dunque appartengono al luogo cercato.
\end{procedura}

\begin{procedura}[Bisettrice di un angolo $\widehat{aOb}$]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Centrato in $O$, si traccia un arco di raggio qualsiasi che taglia i lati in $A$ (su $a$) e $B$ (su $b$).
  \item Centrato in $A$ e $B$, con lo stesso raggio, si tracciano due archi che si intersecano in un punto $P$.
  \item La semiretta $OP$ è la bisettrice di $\widehat{aOb}$.
\end{enumerate}
Spiegazione: il triangolo $OAP$ è congruente al triangolo $OBP$ (per il terzo criterio), dunque gli angoli in $O$ sono uguali.
\end{procedura}

\begin{procedura}[Perpendicolare a una retta per un punto]
Per costruire la perpendicolare a una retta $r$ passante per un punto $P$ (sia $P$ su $r$ o no):
\begin{enumerate}
  \item Si centra in $P$ un arco di raggio qualsiasi, che taglia $r$ (o una sua opportuna estensione) in due punti $A$ e $B$.
  \item Si costruisce l'asse di $\overline{AB}$ (procedura precedente).
\end{enumerate}
L'asse passa per $P$ (perché $PA = PB$ per costruzione) ed è perpendicolare a $r$.
\end{procedura}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:ge-012-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Centro di una circonferenza data]
Data una circonferenza disegnata, trovare il suo centro.

\textit{Soluzione.} Si scelgono due corde qualsiasi della circonferenza, $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$. Si costruiscono gli assi delle due corde (procedura della bisettrice/asse). Per il teorema visto nel capitolo \ref{cap:GE-011}, l'asse di una corda passa per il centro. Quindi i due assi si intersecano nel centro $O$ della circonferenza.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Punto equidistante da tre rette concorrenti]
Tre rette passano per uno stesso punto $V$ formando tre angoli a due a due. Determinare un punto interno a uno dei sei settori, equidistante dalle tre rette.

\textit{Soluzione.} Per le considerazioni sulla bisettrice, il luogo dei punti equidistanti da due rette concorrenti è la coppia di bisettrici dei quattro angoli che formano. Prendendo due bisettrici (una per coppia di rette), il loro punto di intersezione è equidistante da tutte e tre le rette.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Circoscrivere una circonferenza a un triangolo]
Dato un triangolo $ABC$, trovare la circonferenza che passa per i tre vertici (\emph{circoscritta}).

\textit{Soluzione.} Il centro $O$ della circonferenza circoscritta è equidistante da $A$, $B$, $C$ (perché tutti e tre sono sulla circonferenza, cioè a distanza $R$). Quindi $O$ appartiene all'asse di $\overline{AB}$ (equidistanza da $A$ e $B$) e anche all'asse di $\overline{BC}$ (equidistanza da $B$ e $C$). Intersezione dei due assi: $O$. Raggio: $R = OA = OB = OC$. $O$ è detto \emph{circocentro}.

(L'asse di $\overline{AC}$ passa automaticamente per $O$, per la proprietà transitiva dell'equidistanza.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Iscrivere una circonferenza in un triangolo]
Dato un triangolo $ABC$, trovare la circonferenza tangente ai tre lati (\emph{inscritta}).

\textit{Soluzione.} Il centro $I$ della circonferenza inscritta è equidistante dai tre lati (perché tutti i lati sono tangenti, a distanza $r$ dal centro). Quindi $I$ appartiene alla bisettrice dell'angolo in $A$ (equidistanza dai lati $AB$ e $AC$) e alla bisettrice in $B$ (equidistanza da $AB$ e $BC$). Intersezione: l'\emph{incentro} $I$. Raggio $r$ = distanza di $I$ da uno qualsiasi dei lati.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Luogo definito da una distanza]
Trova il luogo dei punti del piano che distano esattamente $\SI{3}{\centi\meter}$ dal punto $A$ \emph{e} esattamente $\SI{5}{\centi\meter}$ dal punto $B$, sapendo che $\overline{AB}=\SI{4}{\centi\meter}$.

\textit{Soluzione.} I punti a distanza $3$ da $A$ formano una circonferenza $\mathcal{C}_1$ di centro $A$ e raggio $3$. I punti a distanza $5$ da $B$ formano una circonferenza $\mathcal{C}_2$ di centro $B$ e raggio $5$. Il luogo cercato è $\mathcal{C}_1 \cap \mathcal{C}_2$. Poiché $|R_1 - R_2| = 2 < 4 < 8 = R_1 + R_2$, le due circonferenze sono \emph{secanti}: il luogo è formato da \emph{due punti}.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:ge-012-08-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Descrivi il luogo dei punti del piano che:\quad
        (a) distano $\SI{4}{\centi\meter}$ da un punto fissato $O$;\quad
        (b) distano $\SI{2}{\centi\meter}$ da una retta $r$;\quad
        (c) sono equidistanti da due rette parallele (caso speciale!);\quad
        (d) sono equidistanti da due rette incidenti.
  \item Costruisci con riga e compasso (descrivi i passaggi):\quad
        (a) l'asse di un segmento dato;\quad
        (b) la bisettrice di un angolo dato;\quad
        (c) la perpendicolare a una retta data per un suo punto;\quad
        (d) la perpendicolare a una retta data per un punto esterno.
  \item Trova, descrivendolo come intersezione di luoghi noti:\quad
        (a) un punto equidistante da due punti $A$, $B$ dati e a distanza $\SI{5}{\centi\meter}$ da un terzo punto $C$;\quad
        (b) un punto equidistante dai tre vertici di un triangolo dato;\quad
        (c) un punto equidistante dai tre lati di un triangolo dato.
  \item Spiega perché i tre assi dei lati di un triangolo si incontrano in un \emph{unico} punto (circocentro). (Suggerimento: usa la proprietà transitiva dell'equidistanza.)
  \item Spiega perché le tre bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un \emph{unico} punto (incentro).
  \item Determina il luogo dei centri delle circonferenze tangenti a una retta data $r$, di raggio fissato $R$. (Suggerimento: il centro è equidistante dalla retta?)
  \item In un piano, dati due punti $A$ e $B$, trova il luogo dei punti $P$ tali che $\widehat{APB}$ è un angolo retto. (Suggerimento: cosa dice il teorema di Talete sull'angolo nel semicerchio?)
  \item (Discussione.) Considera la frase ``il luogo dei punti tali che $\overline{PA} > \overline{PB}$ dove $A$ e $B$ sono due punti fissi''. È un luogo geometrico? Quale figura del piano descrive?
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:ge-012-09-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Un \emph{luogo geometrico} è l'insieme di \emph{tutti e soli} i punti del piano che godono di una proprietà $P$.
  \item \emph{Tecnica della doppia inclusione}: per dimostrare che un insieme è un luogo, si dimostrano due implicazioni (``ogni punto con $P$ è nell'insieme'' e ``ogni punto dell'insieme ha $P$'').
  \item \emph{Luoghi fondamentali}:
        \begin{itemize}
          \item \textbf{Circonferenza} di centro $O$ e raggio $r$: distanza da $O$ uguale a $r$.
          \item \textbf{Asse del segmento $\overline{AB}$}: punti equidistanti da $A$ e $B$. Perpendicolare ad $AB$ per il punto medio.
          \item \textbf{Bisettrice dell'angolo $\widehat{aOb}$}: punti equidistanti dai due lati. Divide l'angolo in due parti uguali.
          \item \textbf{Parallele a una retta} $r$ a distanza $d$: due rette parallele, una per lato.
        \end{itemize}
  \item \emph{Coniche come luoghi} (cenni, approfondimento nei capitoli di geometria analitica):
        \begin{itemize}
          \item \emph{Parabola}: equidistanti da un fuoco e una direttrice.
          \item \emph{Ellisse}: somma delle distanze da due fuochi costante.
          \item \emph{Iperbole}: differenza delle distanze da due fuochi (in valore assoluto) costante.
        \end{itemize}
  \item \emph{Punti notevoli del triangolo} (anticipazione capitolo \ref{cap:GE-019}):
        \emph{circocentro} (intersezione degli assi, equidistante dai vertici, centro della circonferenza circoscritta);
        \emph{incentro} (intersezione delle bisettrici, equidistante dai lati, centro della circonferenza inscritta).
  \item \emph{Costruzioni con riga e compasso}: ogni luogo elementare si costruisce con un numero finito di operazioni base; sono il modello classico di ``costruzione esatta''.
\end{itemize}
\end{riepilogo}