\chapter{Equivalenza di figure piane}\label{cap:GE-013}

\citazioneinizio{%
  Due figure piane sono equivalenti quando hanno la stessa estensione: non importa la forma, importa quanta superficie occupano.%
}{adattamento didattico}

% ============================================================
\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:ge-013-01-introduzione-motivazionale}
% ============================================================

Due figure piane diverse possono occupare la stessa quantità di spazio: un rettangolo lungo e stretto può avere la stessa area di un quadrato, o di un triangolo opportunamente scelto. Quando questo accade, le figure si dicono \textbf{equivalenti} (o \emph{equiestese}).

L'equivalenza è il concetto-chiave per parlare di \emph{area} senza prima introdurre formule numeriche: due figure sono equivalenti se ``coprono la stessa quantità di piano''. Da questa idea geometrica, mediante una sequenza di teoremi di trasformazione, si ricavano poi le \emph{formule} delle aree dei poligoni più importanti (rettangolo, parallelogramma, triangolo, trapezio).

Questo capitolo è la base dei due teoremi più celebri di tutta la geometria euclidea, che vedremo subito dopo:
\begin{itemize}
  \item Il \emph{teorema di Pitagora} (capitolo \ref{cap:GE-014}): in un triangolo rettangolo, l'area del quadrato sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati sui cateti.
  \item I \emph{teoremi di Euclide} (capitolo \ref{cap:GE-015}): mettono in relazione le aree di quadrati e rettangoli costruiti su lati e proiezioni di un triangolo rettangolo.
\end{itemize}
Tutta la geometria delle aree del biennio poggia su questo capitolo.

% ============================================================
\section{Concetto di equivalenza tra figure piane}\label{sec:ge-013-01-concetto-di-equivalenza-tra-figure-piane}
% ============================================================

\begin{definizione}[Equivalenza di figure piane]
Due figure piane $F$ e $G$ si dicono \textbf{equivalenti} (o \emph{equiestese}) se ``occupano la stessa quantità di superficie''. Si scrive $F\doteq G$.

In modo più rigoroso (Euclide): due figure piane sono equivalenti se si possono \emph{scomporre} in un numero finito di parti congruenti, oppure se ne differiscono per parti che si possono \emph{aggiungere o togliere} in modo congruente.
\end{definizione}

\begin{nota}[Congruenza vs equivalenza]
\begin{itemize}
  \item Figure \emph{congruenti} (capitolo \ref{cap:GE-005}): sono ``identiche'', ovvero sovrapponibili con un movimento rigido. La congruenza implica l'equivalenza.
  \item Figure \emph{equivalenti}: hanno la stessa area, ma possono avere forme diverse. L'equivalenza \emph{non} implica la congruenza.
\end{itemize}
Esempio: un quadrato di lato $\SI{2}{\meter}$ e un rettangolo di dimensioni $\SI{1}{\meter}\times\SI{4}{\meter}$ hanno entrambi area $\SI{4}{\square\meter}$. Sono equivalenti ma \emph{non} congruenti.
\end{nota}

\begin{teorema}[Postulati dell'equivalenza]
La relazione di equivalenza tra figure piane soddisfa:
\begin{itemize}
  \item \emph{Riflessiva}: $F\doteq F$;
  \item \emph{Simmetrica}: se $F\doteq G$, allora $G\doteq F$;
  \item \emph{Transitiva}: se $F\doteq G$ e $G\doteq H$, allora $F\doteq H$.
  \item \emph{Somma}: se $F\doteq F'$ e $G\doteq G'$, allora $F\cup G\doteq F'\cup G'$ (con $F\cap G$ e $F'\cap G'$ \emph{senza area}, cioè una linea o un punto).
  \item \emph{Differenza}: se $F\subseteq F'$ ed $F\doteq F'$, allora ogni figura ottenuta sottraendo a $F'$ una sottofigura $G\subseteq F$ è equivalente alla sottrazione corrispondente in $F$.
\end{itemize}
\end{teorema}

\begin{definizione}[Equiscomponibilità]
Due figure piane $F$ e $G$ si dicono \textbf{equiscomponibili} se si possono scomporre in un numero finito di parti, in modo che ogni parte di $F$ sia congruente a una parte di $G$.

Si dimostra che due figure equiscomponibili sono \emph{equivalenti}. \emph{Il viceversa vale per i poligoni}: due poligoni equivalenti sono sempre equiscomponibili (teorema di Bolyai-Gerwien, 1833).
\end{definizione}

% ============================================================
\section{Teoremi sull'equivalenza dei parallelogrammi}\label{sec:ge-013-02-teoremi-sull-equivalenza-dei-parallelogrammi}
% ============================================================

\begin{teorema}[Parallelogrammi con stessa base e altezza]
Due parallelogrammi che hanno una base congruente e la stessa altezza relativa sono \emph{equivalenti}.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (idea geometrica).} Si considerano due parallelogrammi $ABCD$ e $ABEF$ con la stessa base $AB$ e con i lati $DC$ ed $EF$ paralleli ad $AB$ alla stessa altezza. Tagliando opportunamente uno dei due con un movimento rigido, si ottiene l'altro: è una applicazione classica della equiscomponibilità (figura \ref{fig:ge-013-parallelogrammi}).

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % Due parallelogrammi sulla stessa base AB, diversi inclinazione
  % Parallelogramma 1
  \draw[thick, BLU, fill=BLU!15] (0, 0) -- (4, 0) -- (5, 2) -- (1, 2) -- cycle;
  \fill (0, 0) circle (1.5pt) node[below] {$A$};
  \fill (4, 0) circle (1.5pt) node[below] {$B$};
  \fill (5, 2) circle (1.5pt) node[above right] {$C$};
  \fill (1, 2) circle (1.5pt) node[above left] {$D$};
  % Parallelogramma 2 sovrapposto (più inclinato)
  \draw[thick, VERDE, dashed] (0, 0) -- (4, 0) -- (6, 2) -- (2, 2) -- cycle;
  \fill[VERDE] (6, 2) circle (1.5pt) node[above right] {$C'$};
  \fill[VERDE] (2, 2) circle (1.5pt) node[above right] {$D'$};
  % Altezza comune
  \draw[<->, GRIGIO, dashed] (-0.5, 0) -- (-0.5, 2);
  \node[GRIGIO, left] at (-0.5, 1) {\small$h$};
\end{tikzpicture}
\caption{Due parallelogrammi con la stessa base $AB$ e la stessa altezza $h$ sono equivalenti: $ABCD\doteq ABC'D'$. Anche se hanno inclinazioni diverse, ``occupano la stessa quantità di piano''.}
\label{fig:ge-013-parallelogrammi}
\end{figure}

\begin{teorema}[Parallelogramma e rettangolo]
Ogni parallelogramma è equivalente al rettangolo che ha la stessa base e la stessa altezza.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (per equiscomponibilità).} Si ``raddrizza'' il parallelogramma tagliando un triangolo da un lato e attaccandolo all'altro, ottenendo il rettangolo equivalente.

\begin{nota}[Formula dell'area del parallelogramma]
Da questo teorema discende che, se chiamiamo $b$ la base e $h$ l'altezza, l'\emph{area di un parallelogramma} è
\[
  A = b\cdot h.
\]
È la stessa formula del rettangolo, perché parallelogramma e rettangolo della stessa base e altezza sono equivalenti.
\end{nota}

% ============================================================
\section{Equivalenza tra triangolo e rettangolo}\label{sec:ge-013-03-equivalenza-tra-triangolo-e-rettangolo}
% ============================================================

\begin{teorema}[Triangolo e rettangolo]
Un triangolo è equivalente alla \emph{metà} di un parallelogramma che abbia la stessa base e la stessa altezza. Equivalentemente: ogni triangolo è equivalente a un rettangolo di base uguale e altezza uguale alla \emph{metà} dell'altezza del triangolo.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (per equiscomponibilità).} Dato un triangolo $ABC$, si traccia la mediana relativa a un lato (o si raddoppia il triangolo). Il quadrilatero ottenuto duplicando il triangolo lungo un lato è un \emph{parallelogramma} (con vertici opposti $C$ e $C'$ allineati simmetricamente). Quindi il triangolo è metà del parallelogramma.

\begin{formulabox}
\[
  A_{\triangle} = \dfrac{b\cdot h}{2}.
\]
\end{formulabox}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.85]
  % Triangolo ABC
  \draw[thick, BLU, fill=BLU!15] (0, 0) -- (5, 0) -- (3, 3) -- cycle;
  \fill (0, 0) circle (1.5pt) node[below left] {$A$};
  \fill (5, 0) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
  \fill (3, 3) circle (1.5pt) node[above] {$C$};
  % Duplicazione: parallelogramma con triangolo speculare
  \draw[thick, VERDE, dashed] (5, 0) -- (8, 3) -- (3, 3);
  \fill[VERDE] (8, 3) circle (1.5pt) node[above right] {$C'$};
  % Altezza
  \draw[GRIGIO, dashed] (3, 0) -- (3, 3);
  \draw[<->, GRIGIO] (-0.5, 0) -- (-0.5, 3);
  \node[GRIGIO, left] at (-0.5, 1.5) {\small$h$};
  \node[below, GRIGIO] at (2.5, -0.2) {\small$b$};
\end{tikzpicture}
\caption{Un triangolo $ABC$ è equivalente alla metà del parallelogramma $ABCC'$ ottenuto duplicandolo lungo un lato. Quindi l'area del triangolo è $\tfrac{1}{2}\,b\,h$, dove $b$ è la base e $h$ l'altezza relativa.}
\label{fig:ge-013-triangolo}
\end{figure}

% ============================================================
\section{Equivalenza tra trapezio e triangolo}\label{sec:ge-013-04-equivalenza-tra-trapezio-e-triangolo}
% ============================================================

\begin{teorema}[Area del trapezio]
Un trapezio è equivalente a un triangolo che ha:
\begin{itemize}
  \item come base la \emph{somma} delle basi del trapezio,
  \item come altezza l'\emph{altezza} del trapezio.
\end{itemize}
Equivalentemente, l'area del trapezio è
\[
  A_{\text{trap}} = \dfrac{(B + b)\cdot h}{2},
\]
dove $B$ è la base maggiore, $b$ la base minore, $h$ l'altezza.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (per equiscomponibilità).} Si taglia il trapezio lungo una diagonale, ottenendo due triangoli. Il primo ha come base la base maggiore $B$ e altezza $h$; il secondo ha base la base minore $b$ e stessa altezza $h$. Sommando le aree:
\[
  A_{\text{trap}} = \dfrac{B\,h}{2} + \dfrac{b\,h}{2} = \dfrac{(B+b)\,h}{2}.
\]

\begin{formulabox}
\[
  A_{\text{trap}} = \dfrac{(B + b)\,h}{2}.
\]
\end{formulabox}

\begin{nota}[Cenno: formula di Erone]
Per il triangolo, esiste un'altra formula molto utile quando si conoscono i \emph{tre lati} ma non l'altezza: la \emph{formula di Erone}. Se $a, b, c$ sono i lati e $s = \tfrac{a+b+c}{2}$ è il \emph{semiperimetro}, allora
\[
  A_{\triangle} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.
\]
La dimostrazione richiede la trigonometria (capitolo \ref{cap:GO-014}); qui la diamo come formula da usare.

Esempio: triangolo di lati $3, 4, 5$. $s = 6$. $A = \sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \sqrt{36}=6$. (Verifica diretta: è un triangolo rettangolo, area $\tfrac{3\cdot 4}{2}=6$. \checkmark)
\end{nota}

\subsection*{Riepilogo delle formule}

\begin{formulabox}
\[
  A_{\text{rettangolo}} = b\cdot h,\quad
  A_{\text{parallel.}} = b\cdot h,\quad
  A_{\triangle} = \dfrac{b\cdot h}{2},\quad
  A_{\text{trap}} = \dfrac{(B+b)\cdot h}{2}.
\]
\end{formulabox}

(Per la circonferenza $A_\text{cerchio} = \pi r^2$ vedere capitolo \ref{cap:GE-020}; le formule per i poligoni regolari e le aree con apotema, capitolo \ref{cap:GE-018}.)

% ============================================================
\section{Esempi svolti}\label{sec:ge-013-06-esempi-svolti}
% ============================================================

\begin{esempio}[Area di un triangolo]
Un triangolo ha base $\SI{12}{\centi\meter}$ e altezza $\SI{8}{\centi\meter}$. Calcolare l'area.

\textit{Soluzione.} $A = \dfrac{12\cdot 8}{2} = \SI{48}{\square\centi\meter}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Area di un trapezio]
Un trapezio ha basi $\SI{14}{\centi\meter}$ e $\SI{6}{\centi\meter}$, altezza $\SI{5}{\centi\meter}$. Calcolare l'area.

\textit{Soluzione.} $A = \dfrac{(14+6)\cdot 5}{2} = \dfrac{100}{2} = \SI{50}{\square\centi\meter}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Triangolo equivalente a un rettangolo]
Un rettangolo ha dimensioni $\SI{6}{\centi\meter}\times\SI{4}{\centi\meter}$. Determinare la base di un triangolo equivalente, sapendo che ha altezza $\SI{8}{\centi\meter}$.

\textit{Soluzione.} Area rettangolo $= 6\cdot 4 = \SI{24}{\square\centi\meter}$. Se il triangolo ha base $b$ e altezza $8$, l'area è $\tfrac{b\cdot 8}{2} = 4b$. Imponendo $4b = 24$: $b = \SI{6}{\centi\meter}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Formula di Erone applicata]
Calcolare l'area di un triangolo con lati $5, 7, 8$ cm.

\textit{Soluzione.} Semiperimetro: $s = \tfrac{5+7+8}{2} = 10$. Area:
\[
  A = \sqrt{10\cdot(10-5)\cdot(10-7)\cdot(10-8)} = \sqrt{10\cdot 5\cdot 3\cdot 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\approx 17{,}3\,\text{cm}^2.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Triangolo dato uno il rettangolo equivalente]
Un triangolo equilatero ha lato $\SI{6}{\centi\meter}$. Determinare le dimensioni di un rettangolo equivalente avente base $\SI{4}{\centi\meter}$.

\textit{Soluzione.} L'altezza di un triangolo equilatero di lato $\ell$ è $h = \tfrac{\ell\sqrt{3}}{2} = \tfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\approx \SI{5{,}196}{\centi\meter}$. Area del triangolo: $A = \tfrac{6\cdot 3\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\approx \SI{15{,}59}{\square\centi\meter}$. Rettangolo: $b = 4$, $h = \tfrac{A}{b} = \tfrac{9\sqrt{3}}{4}\approx \SI{3{,}90}{\centi\meter}$.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Esercizi proposti}\label{sec:ge-013-07-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcola l'area:\quad
        (a) di un rettangolo $\SI{8}{\centi\meter}\times\SI{5}{\centi\meter}$;\quad
        (b) di un quadrato di lato $\SI{12}{\centi\meter}$;\quad
        (c) di un parallelogramma con base $\SI{10}{\centi\meter}$ e altezza $\SI{6}{\centi\meter}$;\quad
        (d) di un triangolo con base $\SI{14}{\centi\meter}$ e altezza $\SI{9}{\centi\meter}$.
  \item Calcola l'area di un trapezio:\quad
        (a) basi $\SI{8}{}$ e $\SI{5}{}$, altezza $\SI{4}{}$ cm;\quad
        (b) basi $\SI{20}{}$ e $\SI{12}{}$, altezza $\SI{7}{}$ cm;\quad
        (c) base maggiore $\SI{15}{}$, base minore metà della maggiore, altezza $\SI{6}{}$ cm.
  \item Determina l'altezza di un triangolo di area $\SI{36}{\square\centi\meter}$ e base $\SI{9}{\centi\meter}$.
  \item Un rettangolo ha le dimensioni una doppia dell'altra, e area $\SI{72}{\square\centi\meter}$. Trova le dimensioni.
  \item Per la formula di Erone, calcola l'area dei triangoli con lati:\quad
        (a) $5, 5, 6$;\quad
        (b) $7, 24, 25$ (verifica che è un triangolo rettangolo);\quad
        (c) $13, 14, 15$.
  \item Un triangolo ha lati $13$ e $14$ cm e l'angolo compreso di $\ang{60}$. Calcola l'area con la formula trigonometrica $A = \tfrac{1}{2}ab\sen\gamma$. (Cenno, capitolo \ref{cap:GO-014}.)
  \item Mostra (con riga e compasso o GeoGebra) che un triangolo qualsiasi è equiscomponibile con un rettangolo della stessa base e metà altezza. Spiega i passi.
  \item Determina la base di un triangolo equivalente a un parallelogramma di base $\SI{8}{\centi\meter}$ e altezza $\SI{6}{\centi\meter}$, sapendo che il triangolo ha altezza $\SI{4}{\centi\meter}$.
  \item (Discussione.) Considera due rettangoli di area uguale ma con dimensioni diverse, per esempio $1\times 12$ e $3\times 4$. Sono equivalenti (sì, per definizione). Sono equiscomponibili? Trova una scomposizione esplicita che lo dimostri.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% ============================================================
\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:ge-013-08-riepilogo-del-capitolo}
% ============================================================

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Due figure piane $F$ e $G$ sono \emph{equivalenti} (o \emph{equiestese}) se occupano la stessa quantità di superficie. Si scrive $F\doteq G$.
  \item L'equivalenza è una relazione \emph{riflessiva}, \emph{simmetrica}, \emph{transitiva}; si conserva per somma e differenza di figure.
  \item Due figure piane si dicono \emph{equiscomponibili} se si possono scomporre in parti congruenti. Equiscomponibilità $\Rightarrow$ equivalenza; per i poligoni vale anche il viceversa (Bolyai-Gerwien).
  \item \emph{Parallelogramma}: equivalente al rettangolo della stessa base e altezza. $A_{\text{parall.}}=b\cdot h$.
  \item \emph{Triangolo}: equivalente alla metà di un parallelogramma con la stessa base e altezza. $A_\triangle = \dfrac{b\cdot h}{2}$.
  \item \emph{Trapezio}: equivalente a un triangolo con base $B+b$ e stessa altezza. $A_{\text{trap}} = \dfrac{(B+b)\cdot h}{2}$.
  \item \emph{Formula di Erone}: per un triangolo di lati $a, b, c$ e semiperimetro $s$, $A_\triangle = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
  \item Tutte queste formule sono \emph{conseguenze geometriche} dell'idea di equivalenza, non assiomi a sé.
  \item I capitoli \ref{cap:GE-014} (Pitagora) e \ref{cap:GE-015} (Euclide) costruiscono i loro enunciati su queste basi.
\end{itemize}
\end{riepilogo}