\chapter{Aree dei poligoni notevoli}\label{cap:GE-019}

\citazioneinizio{%
  Concedimi che si possa, di un triangolo qualsiasi, conoscere l'area dati i tre lati, senza ricorrere all'altezza.%
}{Erone di Alessandria, \emph{Metrica}, libro I (\textsc{i} sec.\,d.C.)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:ge-019-01-introduzione-motivazionale}
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Nel capitolo sull'\emph{equivalenza delle figure piane} (\ref{cap:GE-013}) abbiamo introdotto in modo astratto il concetto di \emph{area} come grandezza geometrica, attribuita a una figura piana, additiva rispetto alla scomposizione e invariante per isometrie. Abbiamo anche definito due figure \emph{equivalenti} se hanno la stessa area, e \emph{equiscomponibili} se si possono decomporre in parti congruenti.

Adesso passiamo dal qualitativo al quantitativo: vogliamo \emph{calcolare} numericamente l'area dei principali poligoni — rettangolo, parallelogramma, triangolo, trapezio, rombo, poligoni regolari — partendo da poche misure (lati, altezze, diagonali, apotema) e da una formula chiusa.

L'idea-guida è sempre la stessa: \emph{ricondurre la figura a un rettangolo equivalente}. Una volta nota l'area del rettangolo come $b \cdot h$ — postulato di base —, tutte le altre formule si ottengono per equivalenza geometrica (raddoppio del triangolo, taglio-e-incolla del parallelogramma, smontaggio del trapezio). Le formule che otterremo non sono regole da memorizzare a vuoto: sono \emph{teoremi di equivalenza}, ciascuno con una dimostrazione visiva di una o due righe.

A chiusura del capitolo introdurremo due formule più potenti: la \emph{formula di Erone}, che calcola l'area di un triangolo conoscendone solo i tre lati (senza altezza); e la formula generale per i \emph{poligoni regolari}, basata sulla nozione di \emph{apotema} (\ref{cap:GE-018}). Queste formule saranno usate sistematicamente in geometria solida (volumi di prismi e piramidi) e in geometria analitica.

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\section{Area del rettangolo}\label{sec:ge-019-01-area-del-rettangolo}
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\begin{teorema}[Area del rettangolo]
L'area di un rettangolo di lati $b$ (base) e $h$ (altezza) vale
\[
  A = b \cdot h.
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  A_{\text{rett}} = b \cdot h.
\]
\end{formulabox}

\begin{nota}[Perché lo assumiamo come postulato]
La formula $A = b \cdot h$ è il \emph{punto di partenza}: la prendiamo come postulato (o, equivalentemente, come definizione di unità di area). Tutte le formule per gli altri poligoni si ricondurranno a quella del rettangolo per equivalenza.

In particolare, l'\emph{area del quadrato} di lato $\ell$ è $A = \ell^2$ (caso $b=h=\ell$).
\end{nota}

\begin{esempio}[Area di un rettangolo]
Un rettangolo ha base $\SI{8}{\centi\meter}$ e altezza $\SI{5}{\centi\meter}$. La sua area è
\[
  A = b \cdot h = 8 \cdot 5 = \SI{40}{\centi\meter\squared}.
\]
\end{esempio}

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\section{Area del parallelogramma}\label{sec:ge-019-02-area-del-parallelogramma}
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\begin{teorema}[Area del parallelogramma]
L'area di un parallelogramma di base $b$ e altezza relativa $h$ (distanza tra la base e il lato ad essa opposto) vale
\[
  A = b \cdot h.
\]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sia $ABCD$ un parallelogramma di base $AB = b$ e altezza $h$. Tracciamo l'altezza da $D$ alla retta $AB$: questa intercetta sul lato $AB$ (o sul suo prolungamento) un piede $H$. Si ottiene così un \emph{triangolo rettangolo} $ADH$, che possiamo ``staccare'' da sinistra e ``incollare'' a destra del parallelogramma sul lato $BC$ (i due triangoli rettangoli risultano congruenti per costruzione, perché $AD \cong BC$ e gli angoli corrispondenti sono uguali per parallelismo). La figura risultante è un \emph{rettangolo} di base $b$ e altezza $h$, equiscomponibile con il parallelogramma di partenza. Quindi $A_{\text{parall}} = A_{\text{rett}} = b\cdot h$.

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
  % Parallelogramma originale (sinistra)
  \begin{scope}
    \draw[thick, BLU, fill=BLU!10] (0, 0) -- (5, 0) -- (6, 2.5) -- (1, 2.5) -- cycle;
    % altezza
    \draw[dashed, GRIGIO] (1, 2.5) -- (1, 0);
    \draw[GRIGIO] (1, 0.25) -- (1.25, 0.25) -- (1.25, 0);
    % triangolo da spostare
    \draw[thick, ROSSO, fill=ROSSO!15] (0, 0) -- (1, 0) -- (1, 2.5) -- cycle;
    % etichette
    \node[below] at (2.5, 0) {$b$};
    \node[left, GRIGIO] at (1, 1.25) {$h$};
    \node[ROSSO] at (0.5, 0.7) {$T$};
    \node[below] at (3, -0.8) {Parallelogramma};
  \end{scope}
  % Rettangolo equivalente (destra)
  \begin{scope}[shift={(9, 0)}]
    \draw[thick, BLU, fill=BLU!10] (0, 0) -- (5, 0) -- (5, 2.5) -- (0, 2.5) -- cycle;
    % triangolo spostato sulla destra
    \draw[thick, ROSSO, fill=ROSSO!15] (5, 0) -- (5, 2.5) -- (4, 2.5) -- cycle;
    \draw[dashed, GRIGIO] (5, 0) -- (4, 2.5);
    \node[below] at (2.5, 0) {$b$};
    \node[right, GRIGIO] at (5, 1.25) {$h$};
    \node[ROSSO] at (4.7, 1.9) {$T$};
    \node[below] at (2.5, -0.8) {Rettangolo equivalente};
  \end{scope}
  % freccia
  \draw[->, thick] (6.5, 1.25) -- (8.5, 1.25);
\end{tikzpicture}
\caption{Dimostrazione visiva dell'area del parallelogramma: il triangolo rettangolo $T$ a sinistra viene spostato a destra, trasformando il parallelogramma in un rettangolo equivalente di base $b$ e altezza $h$. Le due figure sono \emph{equiscomponibili}: stessa area $b\cdot h$.}
\label{fig:ge-019-parallelogramma}
\end{figure}

\begin{formulabox}
\[
  A_{\text{parall}} = b \cdot h.
\]
\end{formulabox}

\begin{attenzione}[$h$ è l'altezza, non il lato obliquo]
L'altezza $h$ è la \emph{distanza perpendicolare} tra la base e il lato opposto, \textbf{non} la lunghezza del lato obliquo. Confondere le due cose è l'errore più comune.
\end{attenzione}

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\section{Area del triangolo}\label{sec:ge-019-03-area-del-triangolo}
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\begin{teorema}[Area del triangolo]
L'area di un triangolo di base $b$ e altezza relativa $h$ vale
\[
  A = \frac{b \cdot h}{2}.
\]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sia $ABC$ un triangolo qualsiasi, con base $AB = b$ e altezza relativa $h$. Considero la traslazione che porta $C$ in un nuovo punto $C'$ tale che $ACBC'$ sia un parallelogramma (geometricamente: ribalto il triangolo attorno al punto medio di $BC$). Si ottiene un parallelogramma di base $b$ e altezza $h$, composto da due triangoli congruenti (l'originale e il suo ribaltato). Per il teorema precedente, l'area del parallelogramma è $b \cdot h$, quindi quella del triangolo è la metà:
\[
  A = \frac{b \cdot h}{2}.
\]

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % Triangolo originale
  \draw[thick, BLU, fill=BLU!15] (0, 0) -- (5, 0) -- (1.5, 2.5) -- cycle;
  % triangolo ribaltato (per formare parallelogramma)
  \draw[thick, BLU!50, fill=BLU!5, dashed] (5, 0) -- (1.5, 2.5) -- (6.5, 2.5) -- cycle;
  % altezza
  \draw[dashed, GRIGIO] (1.5, 2.5) -- (1.5, 0);
  \draw[GRIGIO] (1.5, 0.25) -- (1.75, 0.25) -- (1.75, 0);
  % etichette
  \node[below] at (2.5, 0) {$b$};
  \node[left, GRIGIO] at (1.5, 1.25) {$h$};
  \node[BLU] at (2.3, 0.8) {originale};
  \node[BLU!50] at (4.2, 1.8) {ribaltato};
\end{tikzpicture}
\caption{Dimostrazione dell'area del triangolo: ``raddoppiando'' il triangolo (ribaltamento attorno al punto medio di un lato) si ottiene un parallelogramma di base $b$ e altezza $h$. Il triangolo è metà del parallelogramma, quindi $A = \tfrac{b\cdot h}{2}$.}
\label{fig:ge-019-triangolo}
\end{figure}

\begin{formulabox}
\[
  A_{\text{tri}} = \frac{b \cdot h}{2}.
\]
\end{formulabox}

\begin{nota}[Tre basi, tre altezze, stessa area]
Un triangolo ha \emph{tre} possibili basi (i tre lati) e quindi \emph{tre} possibili altezze. La formula $A = b\cdot h/2$ deve dare lo stesso valore qualunque coppia base-altezza si usi: questo è un test di coerenza che si può usare per controllare la correttezza dei calcoli.
\end{nota}

\begin{esempio}[Triangolo rettangolo]
In un triangolo rettangolo, i due cateti sono \emph{base e altezza l'uno dell'altro}. Quindi l'area è semplicemente il \emph{semiprodotto dei cateti}:
\[
  A = \frac{c_1 \cdot c_2}{2}.
\]
Per esempio, cateti $\SI{6}{\centi\meter}$ e $\SI{8}{\centi\meter}$: $A = 6\cdot 8/2 = \SI{24}{\centi\meter\squared}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Triangolo equilatero]
In un triangolo equilatero di lato $\ell$, l'altezza misura $h = \tfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$ (capitolo \ref{cap:GE-014}). Quindi
\[
  A = \frac{\ell \cdot \tfrac{\ell\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}.
\]
\end{esempio}

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\section{Area del trapezio}\label{sec:ge-019-04-area-del-trapezio}
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\begin{teorema}[Area del trapezio]
L'area di un trapezio di basi $B$ (maggiore) e $b$ (minore) e altezza $h$ vale
\[
  A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}.
\]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sia $ABCD$ un trapezio con $AB = B$, $CD = b$ e altezza $h$. Lo affianchiamo a un suo ribaltato $A'B'C'D'$ in modo che le due basi maggiori si trovino su rette opposte: si ottiene un parallelogramma di base $B + b$ e altezza $h$. Il trapezio è metà di questo parallelogramma, quindi
\[
  A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}.
\]

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
  % Trapezio originale
  \draw[thick, BLU, fill=BLU!15] (0, 0) -- (6, 0) -- (5, 2.5) -- (1.5, 2.5) -- cycle;
  % trapezio ribaltato
  \draw[thick, BLU!50, fill=BLU!5, dashed] (6, 0) -- (1.5, 2.5) -- (5, 2.5) -- (9.5, 0) -- cycle;
  % altezza
  \draw[dashed, GRIGIO] (1.5, 2.5) -- (1.5, 0);
  \draw[GRIGIO] (1.5, 0.25) -- (1.75, 0.25) -- (1.75, 0);
  % etichette
  \node[below] at (3, 0) {$B$};
  \node[above] at (3.25, 2.5) {$b$};
  \node[left, GRIGIO] at (1.5, 1.25) {$h$};
  \node[below] at (7.5, -0.8) {Parallelogramma di base $B+b$};
\end{tikzpicture}
\caption{Dimostrazione dell'area del trapezio: il trapezio (a sinistra, pieno) viene affiancato al suo ribaltato (a destra, tratteggiato). Si forma un parallelogramma di base $B+b$ e altezza $h$. Il trapezio è metà del parallelogramma.}
\label{fig:ge-019-trapezio}
\end{figure}

\begin{formulabox}
\[
  A_{\text{trap}} = \frac{(B + b) \cdot h}{2}.
\]
\end{formulabox}

\begin{nota}[Trapezio rettangolo e trapezio isoscele]
La formula vale per ogni tipo di trapezio. Nel caso del \emph{trapezio rettangolo}, uno dei lati obliqui coincide con l'altezza. Nel caso del \emph{trapezio isoscele}, l'altezza può essere ricavata dai lati obliqui con Pitagora.
\end{nota}

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\section{Area del rombo}\label{sec:ge-019-05-area-del-rombo}
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\begin{teorema}[Area del rombo (e di ogni quadrilatero con diagonali perpendicolari)]
L'area di un rombo di diagonali $d_1$ e $d_2$ vale
\[
  A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}.
\]
La stessa formula vale per qualsiasi quadrilatero le cui diagonali siano perpendicolari (per esempio l'aquilone).
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Le diagonali di un rombo sono \emph{perpendicolari} e si bisecano (capitolo \ref{cap:GE-010}). Costruiamo il rettangolo i cui lati sono paralleli alle diagonali del rombo e passano per i suoi vertici: questo rettangolo ha lati $d_1$ e $d_2$, e contiene il rombo. Per simmetria, il rombo occupa esattamente la metà di questo rettangolo (i quattro triangoli rettangoli esterni al rombo, ciascuno con cateti $d_1/2$ e $d_2/2$, si possono ribaltare sui quattro triangoli rettangoli interni al rombo, ricoprendolo). Quindi
\[
  A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}.
\]

\begin{formulabox}
\[
  A_{\text{rombo}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}.
\]
\end{formulabox}

\begin{nota}[Rombo come parallelogramma]
Poiché il rombo è anche un parallelogramma, vale anche $A = b\cdot h$ (lato per altezza). Le due formule sono entrambe valide e devono dare lo stesso risultato. Si sceglie quella più comoda secondo i dati disponibili.

Caso speciale: il \emph{quadrato} è un rombo con $d_1 = d_2 = d$ (la diagonale). Quindi $A = d^2/2$. Confronto con $A = \ell^2$: i due valori coincidono perché $d = \ell\sqrt{2}$ e dunque $d^2/2 = 2\ell^2/2 = \ell^2$.
\end{nota}

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\section{Formula di Erone}\label{sec:ge-019-06-formula-di-erone}
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Spesso di un triangolo si conoscono i \emph{tre lati} ma non un'altezza. La formula di \textbf{Erone di Alessandria} (\textsc{i} sec.\,d.C.) permette di calcolare l'area direttamente dai lati.

\begin{teorema}[Formula di Erone]
Sia $ABC$ un triangolo di lati $a, b, c$, e sia
\[
  p = \frac{a + b + c}{2}
\]
il suo \emph{semiperimetro}. Allora l'area del triangolo è
\[
  A = \sqrt{p \,(p-a)\,(p-b)\,(p-c)}.
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  A = \sqrt{p (p-a)(p-b)(p-c)},\qquad p = \frac{a+b+c}{2}.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione (idea).} Si tracciano l'altezza $h$ relativa al lato $a$ e si esprime $h$ in funzione dei tre lati usando il teorema di Pitagora applicato ai due triangoli rettangoli in cui l'altezza divide $ABC$. Si ottiene
\[
  h^2 = b^2 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a}\right)^2,
\]
che, sostituita in $A = \tfrac{a\cdot h}{2}$ e dopo manipolazioni algebriche (differenza di quadrati ripetuta), conduce alla forma fattorizzata di Erone. La dimostrazione completa è elementare ma laboriosa; rimandiamo ad approfondimenti o a una verifica numerica negli esempi.

\begin{esempio}[Triangolo $13$-$14$-$15$ — terna pitagorica famosa]
Sia $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$. Allora $p = (13+14+15)/2 = 21$, e
\[
  A = \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \sqrt{7056} = 84.
\]
(Verifica: l'altezza relativa al lato $14$ vale $h = 2A/14 = 12$, e con Pitagora si controlla $5^2 + 12^2 = 13^2$ e $9^2 + 12^2 = 15^2$. \checkmark)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Triangolo $3$-$4$-$5$]
Triangolo rettangolo: $p = 6$, $A = \sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \sqrt{36} = 6$. Confronto con la formula del triangolo rettangolo: $A = 3\cdot 4/2 = 6$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{nota}[Quando usare Erone]
La formula di Erone è particolarmente utile quando i dati sono i \emph{tre lati} e non si vuole (o non si può) calcolare un'altezza. Se invece si conoscono base e altezza, usare direttamente $A = b\cdot h/2$ è più rapido.
\end{nota}

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\section{Area dei poligoni regolari}\label{sec:ge-019-07-area-dei-poligoni-regolari}
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Per i \emph{poligoni regolari} (capitolo \ref{cap:GE-018}) esiste una formula generale che usa l'\emph{apotema} $a$, cioè la distanza dal centro al punto medio di ogni lato.

\begin{teorema}[Area di un poligono regolare]
L'area di un poligono regolare di perimetro $2p$ e apotema $a$ vale
\[
  A = \frac{2p \cdot a}{2} = p \cdot a,
\]
dove $p$ è il \emph{semiperimetro}.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Un poligono regolare con $n$ lati si scompone in $n$ triangoli congruenti, ciascuno avente per base un lato del poligono ($\ell$) e per altezza l'apotema ($a$). L'area di ciascun triangolo è $\tfrac{\ell\cdot a}{2}$. Sommando:
\[
  A = n \cdot \frac{\ell\cdot a}{2} = \frac{(n\ell)\cdot a}{2} = \frac{2p \cdot a}{2} = p\cdot a.
\]

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % Esagono regolare centrato in origine
  \foreach \i in {0, 1, ..., 5}{
    \pgfmathsetmacro{\xa}{2.5*cos(\i*60)}
    \pgfmathsetmacro{\ya}{2.5*sin(\i*60)}
    \pgfmathsetmacro{\xb}{2.5*cos((\i+1)*60)}
    \pgfmathsetmacro{\yb}{2.5*sin((\i+1)*60)}
    \draw[thick, BLU, fill=BLU!10] (0, 0) -- (\xa, \ya) -- (\xb, \yb) -- cycle;
    \draw[GRIGIO, very thin] (0, 0) -- (\xa, \ya);
  }
  % Apotema su un lato (lato superiore tra angoli 60 e 120)
  \draw[thick, ROSSO] (0, 0) -- (0, {2.5*sin(60)});
  \node[ROSSO, right] at (0.1, 1.0) {$a$};
  % Etichetta lato
  \draw[<->, ARANCIO] ({2.5*cos(60)}, {2.5*sin(60)+0.2}) -- ({2.5*cos(120)}, {2.5*sin(120)+0.2});
  \node[ARANCIO, above] at (0, 2.4) {$\ell$};
  % Centro
  \fill (0, 0) circle (1.5pt);
  \node[below right] at (0, 0) {$O$};
\end{tikzpicture}
\caption{Esagono regolare scomposto nei suoi $6$ triangoli congruenti con vertice nel centro $O$. Ciascun triangolo ha base $\ell$ (lato del poligono) e altezza $a$ (apotema). L'area totale è $A = 6\cdot \tfrac{\ell\cdot a}{2} = p\cdot a$.}
\label{fig:ge-019-poligono-regolare}
\end{figure}

\begin{formulabox}
\[
  A_{\text{poligono regolare}} = p \cdot a = \frac{2p \cdot a}{2}.
\]
\end{formulabox}

\subsection*{Il numero fisso}

In pratica, dato un poligono regolare con $n$ lati, il rapporto apotema/lato dipende \emph{solo} da $n$. Si chiama \textbf{numero fisso}:
\[
  f_n = \frac{a}{\ell},\qquad \text{cosicché}\qquad a = f_n \cdot \ell.
\]

\begin{esempio}[Valori notevoli del numero fisso]
\[
  \begin{array}{c|c}
    n & f_n = a/\ell \\
    \hline
    3\ \text{(triangolo equilatero)} & \dfrac{\sqrt{3}}{6} \approx \num{0.2887} \\[4pt]
    4\ \text{(quadrato)} & \dfrac{1}{2} = \num{0.5} \\[4pt]
    5\ \text{(pentagono)} & \approx \num{0.6882} \\[4pt]
    6\ \text{(esagono)} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx \num{0.8660} \\[4pt]
    8\ \text{(ottagono)} & \approx \num{1.2071} \\
  \end{array}
\]
\end{esempio}

Nota che per l'esagono regolare $f_6 = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ coincide con la metà del lato del triangolo equilatero costruito sull'apotema: l'esagono regolare è infatti composto da $6$ triangoli \emph{equilateri} di lato $\ell$.

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\section{Esempi svolti}\label{sec:ge-019-09-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Parallelogramma]
Un parallelogramma ha base $\SI{12}{\centi\meter}$ e altezza relativa $\SI{7}{\centi\meter}$. Calcolare l'area.

\textit{Soluzione.} $A = b\cdot h = 12\cdot 7 = \SI{84}{\centi\meter\squared}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Trapezio rettangolo]
Un trapezio rettangolo ha basi $B = \SI{15}{\centi\meter}$ e $b = \SI{9}{\centi\meter}$, e altezza $h = \SI{6}{\centi\meter}$. Calcolare l'area.

\textit{Soluzione.}
\[
  A = \frac{(B+b)\cdot h}{2} = \frac{(15+9)\cdot 6}{2} = \frac{144}{2} = \SI{72}{\centi\meter\squared}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Rombo dalle diagonali]
Un rombo ha diagonali $\SI{16}{\centi\meter}$ e $\SI{12}{\centi\meter}$. Calcolare area e lato.

\textit{Soluzione.} Area: $A = d_1\cdot d_2/2 = 16\cdot 12/2 = \SI{96}{\centi\meter\squared}$.

Lato: per Pitagora applicato al triangolo rettangolo formato da metà delle due diagonali,
\[
  \ell = \sqrt{(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = \SI{10}{\centi\meter}.
\]

(Verifica: l'altezza del rombo, calcolata da $A = \ell\cdot h$, vale $h = A/\ell = 96/10 = \SI{9.6}{\centi\meter}$.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Triangolo con Erone]
Calcolare l'area di un triangolo di lati $\SI{6}{\centi\meter}$, $\SI{8}{\centi\meter}$, $\SI{10}{\centi\meter}$.

\textit{Soluzione.} È un triangolo rettangolo (terna $(6,8,10) = 2\cdot(3,4,5)$), ma usiamo Erone come verifica.

$p = (6+8+10)/2 = 12$.
\[
  A = \sqrt{12\cdot 6\cdot 4\cdot 2} = \sqrt{576} = \SI{24}{\centi\meter\squared}.
\]

Verifica diretta come triangolo rettangolo: $A = 6\cdot 8/2 = \SI{24}{\centi\meter\squared}$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Triangolo equilatero — verifica con Erone]
Calcolare con Erone l'area di un triangolo equilatero di lato $\SI{10}{\centi\meter}$.

\textit{Soluzione.} $p = 30/2 = 15$.
\[
  A = \sqrt{15\cdot 5\cdot 5\cdot 5} = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3} \approx \SI{43.30}{\centi\meter\squared}.
\]

Verifica con la formula $A = \ell^2\sqrt{3}/4$: $A = 100\sqrt{3}/4 = 25\sqrt{3}$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Esagono regolare]
Calcolare l'area di un esagono regolare di lato $\SI{6}{\centi\meter}$.

\textit{Soluzione.} Apotema: $a = f_6\cdot \ell = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 6 = 3\sqrt{3} \approx \SI{5.196}{\centi\meter}$.

Semiperimetro: $p = 6\cdot 6/2 = 18$.

Area: $A = p\cdot a = 18\cdot 3\sqrt{3} = 54\sqrt{3} \approx \SI{93.53}{\centi\meter\squared}$.

(Verifica: l'esagono è composto da $6$ triangoli equilateri di lato $6$, ciascuno di area $36\sqrt{3}/4 = 9\sqrt{3}$. Totale: $54\sqrt{3}$. \checkmark)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Quadrato dalla diagonale]
Calcolare l'area di un quadrato di diagonale $\SI{8}{\centi\meter}$.

\textit{Soluzione.} Usiamo la formula del rombo con $d_1 = d_2 = 8$:
\[
  A = \frac{d_1\cdot d_2}{2} = \frac{64}{2} = \SI{32}{\centi\meter\squared}.
\]

In alternativa, dal lato: $\ell = d/\sqrt{2} = 8/\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$, e $A = \ell^2 = 32\cdot \SI{}{\centi\meter\squared}$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:ge-019-10-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcola l'area dei seguenti rettangoli:\quad
        (a) $b = \SI{12}{\centi\meter}$, $h = \SI{5}{\centi\meter}$;\quad
        (b) $b = \SI{2.5}{\meter}$, $h = \SI{1.8}{\meter}$;\quad
        (c) quadrato di lato $\SI{7}{\centi\meter}$.
  \item Un parallelogramma ha lati $\SI{10}{\centi\meter}$ e $\SI{6}{\centi\meter}$, e l'altezza relativa al lato di $\SI{10}{\centi\meter}$ misura $\SI{4}{\centi\meter}$. Calcola l'area e poi l'altezza relativa al lato di $\SI{6}{\centi\meter}$.
  \item Calcola l'area dei seguenti triangoli (base e altezza):\quad
        (a) $b = \SI{14}{\centi\meter}$, $h = \SI{9}{\centi\meter}$;\quad
        (b) $b = \SI{5.5}{\centi\meter}$, $h = \SI{4}{\centi\meter}$;\quad
        (c) triangolo rettangolo di cateti $\SI{9}{\centi\meter}$ e $\SI{12}{\centi\meter}$.
  \item Un triangolo equilatero ha lato $\SI{8}{\centi\meter}$. Calcola altezza e area (esatte e approssimate).
  \item Un trapezio isoscele ha basi $\SI{20}{\centi\meter}$ e $\SI{12}{\centi\meter}$, e i lati obliqui misurano $\SI{5}{\centi\meter}$. Calcola altezza e area.
  \item Un trapezio rettangolo ha basi $\SI{18}{\centi\meter}$ e $\SI{10}{\centi\meter}$, e il lato obliquo misura $\SI{17}{\centi\meter}$. Calcola altezza, perimetro e area.
  \item Calcola l'area di un rombo di diagonali:\quad
        (a) $\SI{10}{\centi\meter}$ e $\SI{24}{\centi\meter}$;\quad
        (b) $\SI{18}{\centi\meter}$ e $\SI{14}{\centi\meter}$. \\
        Per il caso (a), calcola anche il lato del rombo.
  \item Usa la formula di Erone per calcolare l'area dei triangoli di lati:\quad
        (a) $5, 5, 6$;\quad (b) $7, 8, 9$;\quad (c) $13, 14, 15$;\quad (d) $9, 10, 17$.
  \item Calcola l'area di un esagono regolare di lato $\SI{4}{\centi\meter}$. Confronta poi con l'area di un quadrato avente lo stesso perimetro: quale figura ha area maggiore?
  \item Un pentagono regolare ha lato $\SI{6}{\centi\meter}$. Sapendo che $f_5 \approx \num{0.6882}$, calcola apotema, perimetro e area.
  \item (Discussione.) Tra tutti i rettangoli di perimetro $\SI{20}{\centi\meter}$, quale ha area massima? E tra tutti i quadrilateri di perimetro $\SI{20}{\centi\meter}$? (Risposta intuitiva — verrà dimostrata in analisi, \ref{cap:AN-018}.)
  \item (Erone alternativo.) Un triangolo ha lati $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$. Calcola l'area con Erone, poi ricava le tre altezze relative ai tre lati. Verifica che $A = b\cdot h_b/2$ dia lo stesso risultato per tutte e tre le scelte di base.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:ge-019-11-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Rettangolo} (postulato di base): $A = b\cdot h$. Quadrato: $A = \ell^2$.
  \item \emph{Parallelogramma}: $A = b\cdot h$, con $h$ \textbf{altezza} (perpendicolare alla base), non lato obliquo. Si dimostra trasformandolo per equiscomponibilità in un rettangolo.
  \item \emph{Triangolo}: $A = \dfrac{b\cdot h}{2}$. Si dimostra raddoppiando il triangolo per ottenere un parallelogramma. Casi notevoli:
        \begin{itemize}
          \item Triangolo rettangolo: $A = \dfrac{c_1\cdot c_2}{2}$ (semiprodotto dei cateti);
          \item Triangolo equilatero di lato $\ell$: $A = \dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4}$.
        \end{itemize}
  \item \emph{Trapezio}: $A = \dfrac{(B+b)\cdot h}{2}$, somma delle basi per altezza, diviso $2$. Dimostrazione: affiancando il trapezio al suo ribaltato si ottiene un parallelogramma.
  \item \emph{Rombo} (e aquiloni con diagonali perpendicolari): $A = \dfrac{d_1\cdot d_2}{2}$.
  \item \emph{Formula di Erone}: per un triangolo di lati $a, b, c$ e semiperimetro $p = (a+b+c)/2$,
        \[
          A = \sqrt{p\,(p-a)\,(p-b)\,(p-c)}.
        \]
        Utile quando si conoscono solo i tre lati.
  \item \emph{Poligono regolare}: $A = p\cdot a$, dove $p$ è il semiperimetro e $a$ l'apotema. Il rapporto $f_n = a/\ell$ dipende solo dal numero di lati (``numero fisso''). Casi: $f_3 = \sqrt{3}/6$, $f_4 = 1/2$, $f_6 = \sqrt{3}/2$.
  \item \emph{Idea-guida}: ogni formula si ricava da quella del rettangolo per \emph{equivalenza} (raddoppio, ribaltamento, scomposizione in triangoli). Vedi capitolo \ref{cap:GE-013}.
  \item \emph{Prossimi passi}: le aree dei poligoni servono come base in geometria solida (volumi di prismi, piramidi, solidi di rotazione) e in geometria analitica (\ref{cap:GA-001}). La generalizzazione alle figure curve (cerchio) sarà nel capitolo \ref{cap:GE-020}.
\end{itemize}
\end{riepilogo}