\chapter{Misura degli angoli: gradi e radianti}\label{cap:GO-001}

\citazioneinizio{%
  La misura di un angolo è il rapporto fra la lunghezza dell'arco di circonferenza che esso sottende e il raggio del cerchio. Questa misura, indipendente dal raggio scelto, ha la sorprendente proprietà di tradurre i calcoli trigonometrici in formule analitiche immediate: la derivata del seno è il coseno solo se la variabile è in radianti.%
}{Roger Cotes, \emph{Logometria} (postumo 1722) e \emph{Harmonia mensurarum} (postumo 1722) --- una delle prime trattazioni della misura naturale degli angoli; il termine ``radian'' fu introdotto solo nel 1873 da James Thomson (fratello di Lord Kelvin)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:go-001-01-introduzione-motivazionale}
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Le funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente, e le loro inverse) sono fra gli oggetti più importanti della matematica. Compaiono in geometria (triangoli, cerchi), in fisica (oscillazioni, onde, moto circolare), in ingegneria (segnali, elettronica), e in analisi (sviluppi di Fourier, equazioni differenziali). Prima di studiarle, però, dobbiamo precisare \emph{come si misura un angolo}.

Esistono due unità di misura principali per gli angoli:
\begin{itemize}
  \item Il \emph{grado sessagesimale}, di tradizione babilonese ($360°$ = angolo giro), usato in geografia, astronomia descrittiva, vita quotidiana.
  \item Il \emph{radiante}, di tradizione analitica ($2\pi$ rad = angolo giro), \emph{indispensabile in matematica avanzata}: senza radianti, formule come $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sen x = \cos x$ o $\lim_{x \to 0} \frac{\sen x}{x} = 1$ non funzionano.
\end{itemize}
In questo capitolo introduciamo entrambe le unità, la \emph{conversione} fra le due, e due formule applicate fondamentali: \emph{lunghezza di un arco di circonferenza} e \emph{area del settore circolare}.

\medskip

\emph{Nota storica}. La divisione del cerchio in $360$ parti risale ai Babilonesi (II millennio a.C.), che adottavano la base $60$ per il loro sistema numerico (eredità ancora visibile in ora $= 60$ minuti, minuto $= 60$ secondi). Il radiante come misura naturale fu intuito da Roger Cotes (1714, opera postuma 1722) e Leonhard Euler (\emph{Introductio} 1748), che lo usò sistematicamente. Il \emph{nome} ``radian'' (da \emph{radius}) fu coniato solo nel 1873 dal fisico irlandese James Thomson (fratello di Lord Kelvin).

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\section{Misura sessagesimale (in gradi)}\label{sec:go-001-02-misura-sessagesimale}
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\begin{definizione}[Grado sessagesimale]
Il \emph{grado sessagesimale} ($°$) è l'unità di misura dell'angolo definita dividendo l'angolo giro in $360$ parti uguali. Si scrive $\theta°$ per indicare la misura in gradi.

Sottomultipli del grado:
\begin{itemize}
  \item \emph{Primo} ($'$): $1° = 60'$. Quindi $1' = (1/60)° \approx \num{0.01667}°$.
  \item \emph{Secondo} ($''$): $1' = 60''$. Quindi $1'' = (1/3600)° \approx \num{2.78e-4}°$.
\end{itemize}
\end{definizione}

\subsection*{Angoli notevoli in gradi}

\begin{formulabox}
\begin{tabular}{|l|c|}
\hline
\textbf{Angolo notevole} & \textbf{Misura} \\
\hline
Angolo giro & $360°$ \\
Angolo piatto & $180°$ \\
Angolo retto & $90°$ \\
Mezzo retto & $45°$ \\
Terzo di retto & $30°$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Notazione mista]
$37° 24' 18'' = 37 + 24/60 + 18/3600 \approx \num{37.405}°$ in forma decimale.
\end{esempio}

\emph{Perché $360$?} La scelta non è naturale ma storica: $360$ è altamente divisibile (è divisibile per $1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, \ldots$), e $360 \approx 365$ giorni dell'anno (forse non casualmente). Il sistema babilonese in base $60$ ha lasciato una eredità intrecciata con la cultura matematica e astronomica.

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\section{Misura in radianti}\label{sec:go-001-03-misura-in-radianti}
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\begin{definizione}[Radiante]
Consideriamo un cerchio di raggio $r$. Un angolo al centro $\theta$ che sottende un arco di circonferenza di lunghezza $s$ ha misura, in \emph{radianti}, pari a
\[
  \theta = \frac{s}{r}.
\]
In particolare, un radiante è l'angolo al centro che sottende un arco di lunghezza pari al raggio: $\theta = 1$ rad $\iff s = r$.
\end{definizione}

\emph{Indipendenza dal raggio}: il rapporto $s/r$ non dipende dal raggio scelto (cerchi concentrici hanno stesso $s/r$ a parità di angolo), quindi la misura è ben definita.

\subsection*{Angolo giro in radianti}

L'arco corrispondente all'angolo giro è l'intera circonferenza, di lunghezza $2\pi r$. Dunque:
\[
  \theta_{\text{giro}} = \frac{2 \pi r}{r} = 2 \pi \text{ rad}.
\]

\begin{formulabox}
\textbf{Equivalenze fondamentali}:
\[
  360° = 2 \pi \text{ rad}, \qquad 180° = \pi \text{ rad}, \qquad 90° = \frac{\pi}{2} \text{ rad}, \qquad 1 \text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx \num{57.296}°.
\]
\end{formulabox}

\emph{Curiosità}: $1$ radiante è circa $57°$, un angolo strano dal punto di vista geometrico. La misura ``naturale'' è il \emph{radiante}, anche se il grado è più intuitivo.

\subsection*{Angoli notevoli in radianti}

\begin{formulabox}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\textbf{Gradi} & \textbf{Radianti} \\
\hline
$0°$ & $0$ \\
$30°$ & $\pi/6$ \\
$45°$ & $\pi/4$ \\
$60°$ & $\pi/3$ \\
$90°$ & $\pi/2$ \\
$120°$ & $2\pi/3$ \\
$135°$ & $3\pi/4$ \\
$150°$ & $5\pi/6$ \\
$180°$ & $\pi$ \\
$270°$ & $3\pi/2$ \\
$360°$ & $2\pi$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{formulabox}

\emph{Memorizzare}: $\pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2$ sono ricorrenti. La memoria fluida di questi valori è essenziale in goniometria.

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\section{Conversione tra gradi e radianti}\label{sec:go-001-04-conversione-tra-gradi-e-radianti}
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Dall'equivalenza $\pi$ rad $= 180°$ si deduce la formula di conversione per proporzione:

\begin{formulabox}
\textbf{Conversione gradi $\leftrightarrow$ radianti}:
\[
  \theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}, \qquad \theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}.
\]
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Da gradi a radianti]
$\num{72}°$ in radianti: $72 \cdot \pi/180 = 2\pi/5 \approx \num{1.257}$ rad.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Da radianti a gradi]
$\dfrac{5\pi}{12}$ rad in gradi: $(5\pi/12) \cdot 180/\pi = 5 \cdot 15 = 75°$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Trucco mnemonico]
Per i ``classici'' $30, 45, 60, 90, \ldots$ si memorizzano direttamente $\pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2, \ldots$ senza riapplicare la formula ogni volta.
\end{esempio}

\begin{attenzione}
Sulla calcolatrice scientifica c'è un selettore \emph{DEG/RAD} (talvolta anche GRAD, $400$ gradi centesimali). Per le funzioni goniometriche $\sen, \cos, \tg$ è cruciale che la modalità sia corretta, altrimenti i risultati sono sbagliati. \emph{In matematica avanzata si lavora sempre in radianti}; in geometria elementare e fisica applicata, talvolta in gradi.
\end{attenzione}

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\section{Lunghezza dell'arco e area del settore circolare}\label{sec:go-001-05-lunghezza-dell-arco-e-area-del-settore-circolare}
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Dalla definizione del radiante segue subito una formula utilissima:

\begin{formulabox}
\textbf{Lunghezza dell'arco}: in un cerchio di raggio $r$, un angolo al centro $\theta$ (in radianti) sottende un arco di lunghezza
\[
  s = r \theta.
\]
\textbf{Attenzione}: $\theta$ \emph{deve} essere in radianti; in gradi la formula sarebbe $s = r \theta_{\text{deg}} \cdot \pi/180$.
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Lunghezza di un arco]
Un cerchio ha raggio $\SI{10}{\centi\meter}$. Un angolo di $\pi/4$ rad ($= 45°$) sottende un arco di lunghezza $s = 10 \cdot \pi/4 \approx \SI{7.85}{\centi\meter}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equatore terrestre]
La Terra ha raggio $R \approx \SI{6371}{\kilo\meter}$. Un grado di latitudine corrisponde a un arco di lunghezza $s = R \cdot (1° \cdot \pi/180) = R \cdot \pi/180 \approx \SI{111}{\kilo\meter}$. Questo è il motivo per cui le latitudini sono ``leggibili'' immediatamente come distanza sul globo (un primo $1'$ di latitudine $\approx \SI{1.85}{\kilo\meter}$, da cui il \emph{miglio nautico} di $\SI{1852}{\meter}$ = $\num{1}'$ di latitudine).
\end{esempio}

\subsection*{Area del settore circolare}

Un \emph{settore circolare} è la regione delimitata da due raggi e dall'arco compreso. La sua area è proporzionale all'angolo al centro.

\begin{formulabox}
\textbf{Area del settore circolare} di raggio $r$ e angolo al centro $\theta$ (in radianti):
\[
  A = \frac{1}{2} r^2 \theta.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione}. L'area del settore sta all'area dell'intero cerchio come l'angolo $\theta$ sta all'angolo giro $2\pi$: $A/(\pi r^2) = \theta/(2\pi) \iff A = r^2 \theta/2$.

\begin{esempio}[Area di un settore]
Un cerchio di raggio $\SI{5}{\meter}$ con un angolo al centro di $60° = \pi/3$ rad ha settore di area:
\[
  A = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{25 \pi}{6} \approx \SI{13.09}{\meter\squared}.
\]
\end{esempio}

\subsection*{Formula equivalente con la corda}

In alcuni problemi è utile esprimere l'area del settore con la lunghezza dell'arco $s = r\theta$:
\[
  A = \frac{1}{2} r s.
\]
È formalmente l'analogo dell'area di un ``triangolo curvilineo'' (base $s$, altezza $r$).

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\section{Esempi svolti}\label{sec:go-001-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Conversioni miste]
Convertire:
\begin{itemize}
  \item $\num{210}°$ in radianti: $210 \cdot \pi/180 = 7\pi/6 \approx \num{3.665}$ rad.
  \item $-\pi/9$ rad in gradi: $-180/9 = -20°$.
  \item $1$ rad in gradi: $180/\pi \approx \num{57.296}°$.
  \item $\num{1}°$ in radianti: $\pi/180 \approx \num{0.01745}$ rad.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Settore di pizza]
Una pizza di diametro $\SI{30}{\centi\meter}$ è divisa in $\num{8}$ fette uguali. Calcolare:
\begin{itemize}
  \item Angolo al centro di una fetta: $360°/8 = 45° = \pi/4$ rad.
  \item Lunghezza della crosta di una fetta: $s = r \theta = 15 \cdot \pi/4 \approx \SI{11.78}{\centi\meter}$.
  \item Area di una fetta: $A = (1/2) \cdot 15^2 \cdot \pi/4 \approx \SI{88.4}{\centi\meter\squared}$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Orologio analogico]
La lancetta dei minuti di un orologio è lunga $\SI{12}{\centi\meter}$. Quanto cammino fa la punta in $\num{15}$ minuti?

$\num{15}$ minuti corrispondono a $1/4$ di giro, ovvero $\pi/2$ rad. La punta percorre $s = r \theta = 12 \cdot \pi/2 = 6\pi \approx \SI{18.85}{\centi\meter}$.

In un'ora: $2\pi \cdot 12 = 24\pi \approx \SI{75.4}{\centi\meter}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Ruota e cammino]
Una ruota di raggio $\SI{30}{\centi\meter}$ rotola senza strisciare per una rotazione completa. Quanto avanza?

Una rotazione completa corrisponde a $2\pi$ rad. Il punto di contatto avanza esattamente come la lunghezza dell'arco di circonferenza che si svolge: $s = r \theta = 30 \cdot 2\pi = 60\pi \approx \SI{188.5}{\centi\meter}$.

\emph{Lezione}: il moto di rotolamento converte l'angolo (in radianti, $\theta$) in spostamento lineare ($r \theta$). Da qui la naturalezza dei radianti in cinematica.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Latitudine e distanza]
Roma è a circa $\num{42}° N$, Parigi a $\num{49}° N$. Qual è la distanza ``meridiana'' (lungo il meridiano) fra le due città?

Differenza di latitudine: $7°$. Distanza: $R \cdot 7° \cdot \pi/180 \approx 6371 \cdot \num{0.1222} \approx \SI{779}{\kilo\meter}$.

(La distanza ``geodetica'' reale, in linea retta sulla superficie, è simile ma considera anche la differenza di longitudine; per latitudini diverse a stessa longitudine, la formula sopra è esatta.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Area di una corona settoriale]
Calcolare l'area della regione fra due cerchi concentrici di raggi $r_1 = 4$ e $r_2 = 6$, racchiusa da un angolo al centro $\theta = \pi/3$ (cioè $60°$).

\textbf{Area}: differenza fra i settori dei due cerchi:
\[
  A = \frac{1}{2} r_2^2 \theta - \frac{1}{2} r_1^2 \theta = \frac{\theta}{2} (r_2^2 - r_1^2) = \frac{\pi/3}{2}(36 - 16) = \frac{20\pi}{6} = \frac{10\pi}{3} \approx \num{10.47}.
\]
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:go-001-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Convertire in radianti:
  \begin{enumerate}
    \item $\num{30}°$;
    \item $\num{120}°$;
    \item $\num{225}°$;
    \item $\num{300}°$;
    \item $\num{36}°$.
  \end{enumerate}
  \item Convertire in gradi:
  \begin{enumerate}
    \item $\pi/12$ rad;
    \item $7\pi/6$ rad;
    \item $5\pi/4$ rad;
    \item $11\pi/9$ rad;
    \item $2$ rad (valore approssimato).
  \end{enumerate}
  \item Convertire $\num{35}° 24' 36''$ in gradi decimali, e poi in radianti.
  \item Convertire $\num{1.5}$ rad in gradi, primi e secondi (forma sessagesimale).
  \item Per ciascun angolo, identificare il quadrante (I, II, III, IV) e l'angolo notevole equivalente nell'intervallo $[0, 2\pi)$:
  \begin{enumerate}
    \item $\num{750}°$;
    \item $-\num{45}°$;
    \item $\num{13}\pi/6$ rad;
    \item $-\num{4}\pi/3$ rad.
  \end{enumerate}
  \item Calcolare la lunghezza dell'arco di cerchio:
  \begin{enumerate}
    \item raggio $\SI{8}{\centi\meter}$, angolo $\pi/3$ rad;
    \item raggio $\SI{15}{\meter}$, angolo $\num{120}°$;
    \item raggio $\SI{0.5}{\meter}$, angolo $\num{40}°$.
  \end{enumerate}
  \item Calcolare l'area del settore circolare:
  \begin{enumerate}
    \item raggio $\SI{10}{\centi\meter}$, angolo $\pi/6$ rad;
    \item raggio $\SI{4}{\meter}$, angolo $\num{135}°$.
  \end{enumerate}
  \item Una ruota di bicicletta ha raggio $\SI{33}{\centi\meter}$. Quanti giri compie per percorrere $\SI{1}{\kilo\meter}$? (Suggerimento: una rotazione = circonferenza = $2\pi r$.)
  \item La Terra ruota su se stessa in $\num{24}$ ore. Calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item velocità angolare in rad/s ($\omega = 2\pi/T$);
    \item velocità lineare di un punto all'equatore (raggio terrestre $\SI{6371}{\kilo\meter}$);
    \item velocità lineare di un punto alla latitudine $\num{45}°$ (raggio del parallelo $= R \cos 45°$).
  \end{enumerate}
  \item Un orologio ha la lancetta delle ore lunga $\SI{8}{\centi\meter}$. In quanti secondi la punta si sposta di $\SI{1}{\milli\meter}$?
  \item Mostrare che, se $\theta$ è espresso in gradi, la formula per la lunghezza dell'arco è $s = r \theta \cdot \pi/180$.
  \item Una ruota panoramica ha diametro $\SI{40}{\meter}$ e fa un giro in $\SI{10}{\minute}$. Quale velocità lineare ha un passeggero?
  \item L'area di un settore è $\SI{15}{\centi\meter\squared}$. Se il raggio è $\SI{6}{\centi\meter}$, qual è l'angolo al centro in radianti?
  \item Un cerchio ha raggio $\SI{12}{\centi\meter}$. Calcolare l'angolo al centro che sottende un arco di $\SI{18}{\centi\meter}$ in radianti e in gradi.
  \item Mostrare che, per $\theta$ piccolo (radianti), la corda di un arco $s = r\theta$ è approssimabile con $s$ stesso (cioè $\text{corda} \approx \text{arco}$ per piccoli angoli). Stima dell'errore.
  \item Determinare l'area della porzione di cerchio compresa fra due raggi e una corda (\emph{segmento circolare}), per raggio $r$ e angolo $\theta$. (Suggerimento: area settore meno area triangolo isoscele di lati $r$, $r$ e angolo $\theta$.)
  \item \emph{Sfida (definizione storica del metro)}. Originariamente (1791) il metro fu definito come $1/\num{10000000}$ del quadrante meridiano terrestre. Stimare il raggio della Terra a partire da questa definizione (suggerimento: il quadrante meridiano vale $\pi R/2$, dunque $1$ m = $\pi R / (2 \cdot 10^7)$, da cui $R = 2 \cdot 10^7/\pi \approx \SI{6.37e6}{\meter}$). Confronto col valore moderno: $\SI{6371}{\kilo\meter}$, errore $< 0.1\%$.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:go-001-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Grado sessagesimale} $°$: $360°$ = angolo giro. Sottomultipli: $1° = 60' = 3600''$.
  \item \emph{Radiante} (rad): definito come $\theta = s/r$ (lunghezza arco diviso raggio). $2\pi$ rad = angolo giro.
  \item \emph{Equivalenze chiave}: $180° = \pi$ rad; $1$ rad $\approx 57.296°$; $1° \approx \num{0.01745}$ rad.
  \item \emph{Angoli notevoli}: $30°/45°/60°/90° = \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2$ (memorizzare!).
  \item \emph{Conversione}: $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \pi/180$, $\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \cdot 180/\pi$.
  \item \emph{Lunghezza arco}: $s = r \theta$ (con $\theta$ in radianti).
  \item \emph{Area settore}: $A = r^2 \theta/2 = r s/2$.
  \item \emph{Perché preferire i radianti?} In analisi $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sen x = \cos x$ e $\lim_{x \to 0} \sen x/x = 1$ valgono \emph{solo} in radianti. Senza radianti, comparirebbero costanti come $\pi/180$ in ogni formula.
  \item \emph{Applicazioni}: cinematica del moto rotatorio ($s = r\theta$, $v = r\omega$), navigazione (miglio nautico = $1'$ di latitudine), astronomia, ingegneria.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GO-002}) introduciamo le \emph{funzioni goniometriche fondamentali}: seno, coseno, tangente, definite sul cerchio goniometrico.
\end{itemize}
\end{riepilogo}