\chapter{Funzioni goniometriche fondamentali}\label{cap:GO-002}

\citazioneinizio{%
  In questo capitolo definiremo per la prima volta seno e coseno come \emph{numeri} associati a un \emph{angolo}, senza più alcun riferimento a un triangolo particolare. La circonferenza di raggio unitario diventa il dispositivo che traduce angoli in coordinate, e coordinate in angoli: un dizionario perfetto fra geometria e algebra.%
}{Leonhard Euler, \emph{Introductio in analysin infinitorum} (1748) --- la prima trattazione moderna delle funzioni goniometriche come funzioni di una variabile reale, libere dal contesto del triangolo rettangolo}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:go-002-01-introduzione-motivazionale}
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Nel capitolo precedente (\ref{cap:GO-001}) abbiamo imparato a \emph{misurare} gli angoli (in gradi e in radianti); in questo capitolo introduciamo le \emph{funzioni} che associano a ogni angolo dei numeri reali: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante.

Storicamente, queste funzioni sono nate nel contesto del \emph{triangolo rettangolo}: dato un angolo acuto $\alpha$, si definivano come rapporti fra i lati. Ma questa definizione ha due limiti:
\begin{itemize}
  \item è ristretta agli angoli compresi fra $0°$ e $90°$ (non si possono costruire triangoli con angoli ottusi o negativi);
  \item dipende dalla scelta del triangolo, anche se i rapporti non lo sono.
\end{itemize}

La svolta moderna --- formalizzata da Eulero nel Settecento --- consiste nel definire seno e coseno usando la \emph{circonferenza goniometrica}: un cerchio di raggio $1$ centrato nell'origine. In questo modo:
\begin{itemize}
  \item ogni angolo reale $\alpha \in \R$ (positivo, negativo, anche $> 2\pi$) ha un punto associato sul cerchio;
  \item seno e coseno diventano \emph{coordinate cartesiane} di quel punto, e quindi numeri reali ben definiti;
  \item le funzioni risultano \emph{periodiche} di periodo $2\pi$, riflettendo la struttura ciclica della circonferenza.
\end{itemize}

\emph{Nota storica}. Le prime ``tavole trigonometriche'' sono di Ipparco di Nicea (II sec.~a.C.) e Tolomeo (\emph{Almagesto}, II sec.~d.C.), che tabulavano le \emph{corde} di un cerchio --- precursore del nostro seno. Il termine ``seno'' nasce da una catena di traduzioni: l'indiano Aryabhata (V sec.) chiama \emph{jiva} (``corda d'arco'') la nostra quantità $r \sen\alpha$; gli arabi lo traslitterano in \emph{jaib} (``insenatura, golfo''); Gerardo da Cremona (XII sec.) lo traduce in latino con \emph{sinus}, dando origine al nome moderno.

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\section{Circonferenza goniometrica}\label{sec:go-002-02-circonferenza-goniometrica}
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\begin{definizione}[Circonferenza goniometrica]
Nel piano cartesiano $Oxy$, la \emph{circonferenza goniometrica} è la circonferenza di centro l'origine $O$ e raggio $1$. La sua equazione è
\[
  x^2 + y^2 = 1.
\]
\end{definizione}

\emph{Senso di percorrenza}. Fissiamo come \emph{positivo} il senso antiorario, contrario al moto delle lancette dell'orologio. Ogni angolo $\alpha$ identifica un punto $P_\alpha$ sulla circonferenza, ottenuto ruotando il punto $(1, 0)$ di un angolo $\alpha$ in senso positivo (antiorario) se $\alpha > 0$, in senso negativo (orario) se $\alpha < 0$.

\emph{Periodicità}. Poiché un giro completo corrisponde a $2\pi$ rad, sommare $2\pi$ all'angolo riporta nello stesso punto: $P_{\alpha + 2\pi} = P_\alpha$. Più in generale $P_{\alpha + 2k\pi} = P_\alpha$ per ogni $k \in \Z$.

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
  % assi
  \draw[->, GRIGIO] (-1.4,0) -- (1.4,0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO] (0,-1.4) -- (0,1.4) node[above] {$y$};
  % circonferenza unitaria
  \draw[thick, BLU] (0,0) circle (1);
  % angolo
  \def\ang{50}
  % raggio OP
  \draw[thick, ROSSO] (0,0) -- (\ang:1) node[midway, above left] {$1$};
  % arco angolo
  \draw[thick, VERDE] (0.25,0) arc (0:\ang:0.25);
  \node[VERDE] at (\ang/2:0.4) {$\alpha$};
  % proiezioni
  \draw[dashed, GRIGIO] (\ang:1) -- ({cos(\ang)},0);
  \draw[dashed, GRIGIO] (\ang:1) -- (0,{sin(\ang)});
  % punti
  \filldraw[ROSSO] (\ang:1) circle (0.02) node[above right] {$P_\alpha = (\cos\alpha, \sen\alpha)$};
  \filldraw[BLU] (1,0) circle (0.02) node[below right] {$(1,0)$};
  % etichette coseno e seno
  \node[below] at ({cos(\ang)},0) {$\cos\alpha$};
  \node[left] at (0,{sin(\ang)}) {$\sen\alpha$};
  % quadranti
  \node[GRIGIO, font=\small] at (0.6,0.6) {I};
  \node[GRIGIO, font=\small] at (-0.6,0.6) {II};
  \node[GRIGIO, font=\small] at (-0.6,-0.6) {III};
  \node[GRIGIO, font=\small] at (0.6,-0.6) {IV};
\end{tikzpicture}
\caption{Circonferenza goniometrica. Il punto $P_\alpha$ ottenuto ruotando $(1,0)$ di un angolo $\alpha$ ha coordinate $(\cos\alpha, \sen\alpha)$. I quattro quadranti sono numerati in senso antiorario.}\label{fig:go-002-cerchio-goniometrico}
\end{figure}

\emph{Quadranti}. La circonferenza è divisa dagli assi cartesiani in quattro \emph{quadranti}, numerati I, II, III, IV in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle $x$ (vedi fig.~\ref{fig:go-002-cerchio-goniometrico}). Un angolo $\alpha \in [0, 2\pi)$ cade nel:
\begin{itemize}
  \item I quadrante se $\alpha \in (0, \pi/2)$;
  \item II quadrante se $\alpha \in (\pi/2, \pi)$;
  \item III quadrante se $\alpha \in (\pi, 3\pi/2)$;
  \item IV quadrante se $\alpha \in (3\pi/2, 2\pi)$.
\end{itemize}

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\section{Definizione di seno e coseno}\label{sec:go-002-03-definizione-di-seno-e-coseno}
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\begin{definizione}[Seno e coseno]
Sia $\alpha \in \R$ un angolo (in radianti). Si chiamano \emph{coseno} e \emph{seno} di $\alpha$, rispettivamente, l'\emph{ascissa} e l'\emph{ordinata} del punto $P_\alpha$ della circonferenza goniometrica:
\[
  P_\alpha = (\cos\alpha, \, \sen\alpha).
\]
Equivalentemente, $\cos\alpha$ e $\sen\alpha$ sono gli unici numeri reali che soddisfano contemporaneamente:
\[
  P_\alpha = (\cos\alpha, \sen\alpha) \in \text{circonferenza goniometrica}, \qquad \widehat{(1,0) \, O \, P_\alpha} = \alpha.
\]
\end{definizione}

\emph{Dominio e codominio}. Dalla definizione segue immediatamente che $\sen, \cos : \R \to \R$ sono definiti per ogni $\alpha \in \R$ e i loro valori cadono nell'intervallo $[-1, 1]$ (perché coordinate di un punto su un cerchio di raggio $1$).

\begin{formulabox}
\textbf{Proprietà fondamentali di seno e coseno}:
\begin{itemize}
  \item $-1 \le \sen\alpha \le 1$ e $-1 \le \cos\alpha \le 1$ per ogni $\alpha \in \R$;
  \item $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ (identità fondamentale, conseguenza di $x^2 + y^2 = 1$);
  \item $\sen(\alpha + 2k\pi) = \sen\alpha$, \, $\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha$ per ogni $k \in \Z$ (periodicità $2\pi$);
  \item $\sen(-\alpha) = -\sen\alpha$ (seno è funzione \emph{dispari});
  \item $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ (coseno è funzione \emph{pari}).
\end{itemize}
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione (identità fondamentale)}. Il punto $P_\alpha = (\cos\alpha, \sen\alpha)$ appartiene alla circonferenza di equazione $x^2 + y^2 = 1$. Sostituendo $x = \cos\alpha$, $y = \sen\alpha$: $\cos^2\alpha + \sen^2\alpha = 1$.

\textit{Dimostrazione (parità del coseno e disparità del seno)}. L'angolo $-\alpha$ corrisponde alla rotazione opposta: il punto $P_{-\alpha}$ è il simmetrico di $P_\alpha$ rispetto all'asse $x$. Dunque ha la stessa ascissa ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) e ordinata opposta ($\sen(-\alpha) = -\sen\alpha$).

\subsection*{Segno di seno e coseno nei quadranti}

\begin{formulabox}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{Quadrante} & $\sen\alpha$ & $\cos\alpha$ \\
\hline
I \, ($0 < \alpha < \pi/2$) & $> 0$ & $> 0$ \\
II \, ($\pi/2 < \alpha < \pi$) & $> 0$ & $< 0$ \\
III \, ($\pi < \alpha < 3\pi/2$) & $< 0$ & $< 0$ \\
IV \, ($3\pi/2 < \alpha < 2\pi$) & $< 0$ & $> 0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{formulabox}

\emph{Mnemonico} (TSTC, ``Tutte Sono, Tangente, Coseno''): nel I quadrante \emph{tutte} le funzioni sono positive; nel II è positivo il \emph{seno}; nel III la \emph{tangente}; nel IV il \emph{coseno}.

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\section{Definizione di tangente}\label{sec:go-002-04-definizione-di-tangente}
% ============================================================

\begin{definizione}[Tangente]
Sia $\alpha \in \R$ tale che $\cos\alpha \ne 0$. Si chiama \emph{tangente} di $\alpha$ il numero reale
\[
  \tg\alpha = \frac{\sen\alpha}{\cos\alpha}.
\]
\end{definizione}

\emph{Dominio della tangente}. La tangente non è definita quando $\cos\alpha = 0$, ovvero per $\alpha = \pi/2 + k\pi$ con $k \in \Z$. Il suo dominio è dunque
\[
  D_{\tg} = \{ \alpha \in \R : \alpha \ne \pi/2 + k\pi, \, k \in \Z \}.
\]

\emph{Codominio}. Il rapporto $\sen\alpha / \cos\alpha$ può assumere \emph{qualunque} valore reale: il codominio della tangente è $\R$ (al contrario di seno e coseno, limitati a $[-1, 1]$).

\subsection*{Interpretazione geometrica della tangente}

La tangente ha una bella interpretazione sulla circonferenza goniometrica. Tracciamo la retta verticale $x = 1$, tangente al cerchio nel punto $(1, 0)$. Prolunghiamo il raggio $OP_\alpha$ fino a intersecare questa retta nel punto $T_\alpha$ (vedi fig.~\ref{fig:go-002-tangente-geometrica}). Allora:

\begin{formulabox}
\textbf{Interpretazione geometrica della tangente}:
\[
  T_\alpha = (1, \, \tg\alpha), \qquad \text{ovvero la tangente di } \alpha \text{ è l'ordinata di } T_\alpha.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione}. I triangoli $OHP_\alpha$ (con $H$ piede della perpendicolare da $P_\alpha$ all'asse $x$) e $OAT_\alpha$ (con $A = (1, 0)$) sono simili (entrambi rettangoli, con angolo $\alpha$ in $O$). Dunque
\[
  \frac{AT_\alpha}{HP_\alpha} = \frac{OA}{OH} \iff \frac{\tg\alpha}{\sen\alpha} = \frac{1}{\cos\alpha} \iff \tg\alpha = \frac{\sen\alpha}{\cos\alpha},
\]
in accordo con la definizione algebrica.

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
  % assi
  \draw[->, GRIGIO] (-1.4,0) -- (1.7,0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO] (0,-1.4) -- (0,1.7) node[above] {$y$};
  % circonferenza unitaria
  \draw[thick, BLU] (0,0) circle (1);
  % retta tangente x=1
  \draw[thick, ARANCIO, dashed] (1,-1.4) -- (1,1.7) node[above] {$x=1$};
  % angolo
  \def\ang{55}
  % raggio OP (pieno) e prolungamento PT (tratteggiato) fino alla retta x=1
  \draw[thick, ROSSO] (0,0) -- (\ang:1);
  \draw[thick, ROSSO, dotted] (\ang:1) -- (1,{tan(\ang)});
  % arco angolo
  \draw[thick, VERDE] (0.25,0) arc (0:\ang:0.25);
  \node[VERDE] at (\ang/2:0.4) {$\alpha$};
  % proiezione su asse x
  \draw[dashed, GRIGIO] (\ang:1) -- ({cos(\ang)},0);
  % punti chiave
  \filldraw[ROSSO] (\ang:1) circle (0.02) node[above left] {$P_\alpha$};
  \filldraw[ARANCIO] (1,{tan(\ang)}) circle (0.02) node[right] {$T_\alpha = (1,\tg\alpha)$};
  \filldraw[BLU] (1,0) circle (0.02) node[below right] {$A=(1,0)$};
  % etichetta segmento tangente
  \draw[<->, ARANCIO, thick] (1.05,0) -- (1.05,{tan(\ang)});
  \node[ARANCIO, right] at (1.05,{tan(\ang)/2}) {$\tg\alpha$};
\end{tikzpicture}
\caption{Interpretazione geometrica della tangente. Il prolungamento del raggio $OP_\alpha$ incontra la retta $x=1$ nel punto $T_\alpha$ di ordinata $\tg\alpha$. Per $\alpha = \pi/2$ il raggio è verticale e non incontra mai la retta $x=1$: la tangente non è definita.}\label{fig:go-002-tangente-geometrica}
\end{figure}

\subsection*{Proprietà della tangente}

\begin{formulabox}
\textbf{Proprietà fondamentali della tangente}:
\begin{itemize}
  \item dominio: $\alpha \ne \pi/2 + k\pi$;
  \item codominio: $\R$;
  \item $\tg(\alpha + k\pi) = \tg\alpha$ per ogni $k \in \Z$ (periodicità $\pi$, \emph{non} $2\pi$);
  \item $\tg(-\alpha) = -\tg\alpha$ (funzione dispari);
  \item segno nei quadranti: $> 0$ in I e III, $< 0$ in II e IV.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\emph{Periodicità $\pi$}. È una proprietà diversa da quella di seno e coseno. Aumentando $\alpha$ di $\pi$, sia $\sen\alpha$ che $\cos\alpha$ cambiano segno; il loro rapporto resta invariato.

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\section{Cotangente, secante, cosecante}\label{sec:go-002-05-cotangente-secante-cosecante}
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Oltre a seno, coseno e tangente, si introducono tre funzioni \emph{reciproche}.

\begin{definizione}[Cotangente, secante, cosecante]
Per gli angoli $\alpha$ per cui i denominatori non si annullano:
\[
  \cotg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sen\alpha} = \frac{1}{\tg\alpha}, \qquad
  \operatorname{sec}\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}, \qquad
  \operatorname{cosec}\alpha = \frac{1}{\sen\alpha}.
\]
\end{definizione}

\begin{formulabox}
\textbf{Dominio delle funzioni reciproche}:
\begin{itemize}
  \item $\cotg\alpha$ definita per $\sen\alpha \ne 0$, cioè $\alpha \ne k\pi$;
  \item $\operatorname{sec}\alpha$ definita per $\cos\alpha \ne 0$, cioè $\alpha \ne \pi/2 + k\pi$;
  \item $\operatorname{cosec}\alpha$ definita per $\sen\alpha \ne 0$, cioè $\alpha \ne k\pi$.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\emph{Uso pratico}. In ambito didattico italiano si usano molto seno, coseno e tangente; la cotangente compare in qualche identità ($\cotg\alpha = 1/\tg\alpha$), mentre secante e cosecante si incontrano soprattutto in analisi (sostituzioni trigonometriche, integrali). Sono comunque utili per scrivere certe identità in forma più simmetrica.

\subsection*{Identità reciproche immediate}

\begin{formulabox}
\[
  \operatorname{sec}^2\alpha = 1 + \tg^2\alpha, \qquad \operatorname{cosec}^2\alpha = 1 + \cotg^2\alpha.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione (della prima)}. Partendo dall'identità fondamentale $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ e dividendo entrambi i membri per $\cos^2\alpha$ (lecito quando $\cos\alpha \ne 0$):
\[
  \frac{\sen^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \iff \tg^2\alpha + 1 = \operatorname{sec}^2\alpha.
\]
La seconda identità si ottiene analogamente dividendo per $\sen^2\alpha$.

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\section{Valori per angoli notevoli}\label{sec:go-002-06-valori-per-angoli-notevoli}
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I valori delle funzioni goniometriche su alcuni angoli particolari --- $0, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2$ e i loro multipli --- sono ricorrenti e \emph{vanno memorizzati}. Si ricavano con argomenti geometrici elementari.

\subsection*{Valori in $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$}

Per questi angoli ``cardinali'' il punto $P_\alpha$ è sull'asse $x$ o sull'asse $y$, dunque una delle coordinate è $0$ e l'altra è $\pm 1$:

\begin{formulabox}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$\alpha$ & $P_\alpha$ & $\sen\alpha$ & $\cos\alpha$ & $\tg\alpha$ \\
\hline
$0$ & $(1, 0)$ & $0$ & $1$ & $0$ \\
$\pi/2$ & $(0, 1)$ & $1$ & $0$ & non definita \\
$\pi$ & $(-1, 0)$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\
$3\pi/2$ & $(0, -1)$ & $-1$ & $0$ & non definita \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{formulabox}

\subsection*{Valore in $\pi/4$ (mezzo retto)}

Per $\alpha = \pi/4 = 45°$, il punto $P_\alpha$ giace sulla bisettrice del I quadrante, quindi ha ascissa e ordinata uguali: $\cos(\pi/4) = \sen(\pi/4)$. Dall'identità fondamentale $\sen^2 + \cos^2 = 1$ si ricava $2 \cos^2(\pi/4) = 1$, da cui $\cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2$ (positivo essendo nel I quadrante).

\begin{formulabox}
\[
  \sen\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tg\frac{\pi}{4} = 1.
\]
\end{formulabox}

\subsection*{Valori in $\pi/6$ e $\pi/3$ (terzo di retto e suo complemento)}

Costruiamo un triangolo equilatero di lato $1$. I suoi angoli sono tutti di $\pi/3$. Tracciando l'altezza da un vertice otteniamo due triangoli rettangoli con angoli $\pi/2, \pi/3, \pi/6$ e cateti $1/2$ (metà del lato) e $\sqrt{3}/2$ (altezza, calcolabile dal teorema di Pitagora). Le definizioni nel triangolo rettangolo danno:

\begin{formulabox}
\[
  \sen\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \qquad \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.
\]
\[
  \sen\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \qquad \tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}.
\]
\end{formulabox}

\emph{Osservazione (angoli complementari)}. $\pi/6 + \pi/3 = \pi/2$: i due angoli sono \emph{complementari}, e infatti il seno di uno è il coseno dell'altro. Questa proprietà si generalizza: $\sen(\pi/2 - \alpha) = \cos\alpha$ (vedi cap.~\ref{cap:GO-004} sugli archi associati).

\subsection*{Tabella riassuntiva degli angoli notevoli}

\begin{formulabox}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{gradi} & $0°$ & $30°$ & $45°$ & $60°$ & $90°$ \\
\textbf{radianti} & $0$ & $\pi/6$ & $\pi/4$ & $\pi/3$ & $\pi/2$ \\
\hline
$\sen\alpha$ & $0$ & $1/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $\sqrt{3}/2$ & $1$ \\
$\cos\alpha$ & $1$ & $\sqrt{3}/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $1/2$ & $0$ \\
$\tg\alpha$  & $0$ & $\sqrt{3}/3$ & $1$ & $\sqrt{3}$ & --- \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{formulabox}

\emph{Trucco mnemonico}. I valori di $\sen\alpha$ sui cinque angoli notevoli $0, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2$ si possono scrivere come
\[
  \frac{\sqrt{0}}{2}, \quad \frac{\sqrt{1}}{2}, \quad \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{\sqrt{4}}{2}.
\]
I valori del coseno seguono la stessa sequenza letta al contrario.

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\section{Esempi svolti}\label{sec:go-002-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Calcolo a partire dalla definizione]
Determinare $\sen\alpha$ e $\cos\alpha$ per $\alpha = 7\pi/6$.

\textbf{Algebra}. L'angolo $7\pi/6 = \pi + \pi/6$ cade nel III quadrante (dove sia seno che coseno sono negativi). La rotazione di $\pi/6$ oltre $\pi$ porta in un punto simmetrico rispetto all'origine del punto $P_{\pi/6}$.

\textbf{Conclusione}: $\sen(7\pi/6) = -\sen(\pi/6) = -1/2$, \quad $\cos(7\pi/6) = -\cos(\pi/6) = -\sqrt{3}/2$.

\textbf{Verifica con l'identità fondamentale}: $(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 = 1/4 + 3/4 = 1$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Da seno a coseno e tangente]
Sapendo che $\sen\alpha = 3/5$ e che $\alpha$ è nel II quadrante, determinare $\cos\alpha$ e $\tg\alpha$.

\textbf{Algebra}. Dall'identità fondamentale: $\cos^2\alpha = 1 - \sen^2\alpha = 1 - 9/25 = 16/25$, dunque $\cos\alpha = \pm 4/5$. Poiché $\alpha$ è nel II quadrante, il coseno è negativo: $\cos\alpha = -4/5$.

\textbf{Tangente}: $\tg\alpha = \sen\alpha / \cos\alpha = (3/5) / (-4/5) = -3/4$.

\textbf{Verifica}: $\sen^2 + \cos^2 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Da tangente a seno e coseno]
Sapendo che $\tg\alpha = \num{2}$ e che $\alpha \in (0, \pi/2)$, determinare $\sen\alpha$ e $\cos\alpha$.

\textbf{Algebra}. Da $\tg\alpha = 2$ segue $\sen\alpha = 2 \cos\alpha$. Sostituendo nell'identità fondamentale:
\[
  (2\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1 \iff 5 \cos^2\alpha = 1 \iff \cos\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}.
\]
Poiché $\alpha \in (0, \pi/2)$ (I quadrante), $\cos\alpha > 0$: $\cos\alpha = 1/\sqrt{5} = \sqrt{5}/5$.

Allora $\sen\alpha = 2 \cos\alpha = 2\sqrt{5}/5$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Uso della periodicità]
Calcolare $\cos(\num{17}\pi/4)$.

\textbf{Algebra}. Riconduciamo l'argomento all'intervallo $[0, 2\pi)$ sottraendo multipli di $2\pi$:
\[
  \frac{17\pi}{4} = \frac{16\pi + \pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4} = 2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{4}.
\]

\textbf{Conclusione}: $\cos(17\pi/4) = \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disparità del seno e parità del coseno]
Verificare numericamente che $\sen(-5\pi/6) = -\sen(5\pi/6)$ e $\cos(-5\pi/6) = \cos(5\pi/6)$.

\textbf{Calcolo}. L'angolo $5\pi/6 = \pi - \pi/6$ è nel II quadrante: $\sen(5\pi/6) = +1/2$, $\cos(5\pi/6) = -\sqrt{3}/2$.

L'angolo $-5\pi/6$ è ottenuto ruotando in senso orario di $5\pi/6$; cade nel III quadrante (simmetrico del precedente rispetto all'asse $x$): $\sen(-5\pi/6) = -1/2$, $\cos(-5\pi/6) = -\sqrt{3}/2$.

\textbf{Conferma}: $-\sen(5\pi/6) = -1/2 = \sen(-5\pi/6)$ e $\cos(5\pi/6) = -\sqrt{3}/2 = \cos(-5\pi/6)$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione goniometrica elementare]
Risolvere $\cos\alpha = 1/2$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$.

\textbf{Algebra}. Cerchiamo i punti della circonferenza goniometrica con ascissa $1/2$. Sono due, simmetrici rispetto all'asse $x$: uno nel I quadrante, l'altro nel IV. Il valore notevole è $\pi/3$.

\textbf{Soluzioni}: $\alpha_1 = \pi/3$ (I quadrante), $\alpha_2 = 2\pi - \pi/3 = 5\pi/3$ (IV quadrante).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Espressione in forma compatta]
Semplificare $\dfrac{\sen\alpha \cos\alpha}{\tg\alpha}$.

\textbf{Algebra}. Sostituendo $\tg\alpha = \sen\alpha/\cos\alpha$:
\[
  \frac{\sen\alpha \cos\alpha}{\sen\alpha/\cos\alpha} = \sen\alpha \cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sen\alpha} = \cos^2\alpha.
\]

\textbf{Conclusione}: l'espressione è uguale a $\cos^2\alpha$ (per $\sen\alpha \ne 0$ e $\cos\alpha \ne 0$).
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:go-002-08-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcolare a memoria, senza calcolatrice, $\sen\alpha$, $\cos\alpha$ e $\tg\alpha$ per:
  \begin{enumerate}
    \item $\alpha = 2\pi/3$;
    \item $\alpha = 5\pi/4$;
    \item $\alpha = 11\pi/6$;
    \item $\alpha = -\pi/4$;
    \item $\alpha = 7\pi/3$.
  \end{enumerate}
  \item Per ciascun angolo, indicare il quadrante e i segni di $\sen\alpha$, $\cos\alpha$, $\tg\alpha$:
  \begin{enumerate}
    \item $\alpha = 100°$;
    \item $\alpha = 200°$;
    \item $\alpha = -50°$;
    \item $\alpha = 3\pi/7$;
    \item $\alpha = 17\pi/8$.
  \end{enumerate}
  \item Sapendo che $\sen\alpha = -\num{0.6}$ e che $\alpha$ è nel III quadrante, determinare $\cos\alpha$ e $\tg\alpha$.
  \item Sapendo che $\cos\alpha = \num{0.8}$ e che $\alpha \in (3\pi/2, 2\pi)$, determinare $\sen\alpha$ e $\tg\alpha$.
  \item Sapendo che $\tg\alpha = -3$ e che $\alpha \in (\pi/2, \pi)$, determinare $\sen\alpha$ e $\cos\alpha$.
  \item Verificare che il punto $P = (\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2)$ appartiene alla circonferenza goniometrica e determinare l'angolo $\alpha \in [0, 2\pi)$ a cui corrisponde.
  \item Determinare $\sen\alpha$ e $\cos\alpha$ sapendo che $P_\alpha = (\num{0.6}, k)$ con $k > 0$.
  \item Calcolare, usando la periodicità:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen(\num{13}\pi/6)$;
    \item $\cos(\num{19}\pi/4)$;
    \item $\tg(\num{25}\pi/3)$;
    \item $\sen(-\num{17}\pi/6)$.
  \end{enumerate}
  \item Verificare le seguenti identità (cioè dimostrarle, non risolvere):
  \begin{enumerate}
    \item $(\sen\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 + 2 \sen\alpha \cos\alpha$;
    \item $\sen^2\alpha - \cos^2\alpha = 1 - 2\cos^2\alpha$;
    \item $\dfrac{1 - \cos^2\alpha}{\sen\alpha} = \sen\alpha$ (con $\sen\alpha \ne 0$);
    \item $\tg\alpha + \cotg\alpha = \dfrac{1}{\sen\alpha \cos\alpha}$.
  \end{enumerate}
  \item Risolvere nell'intervallo $[0, 2\pi)$ le equazioni elementari:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen\alpha = \sqrt{3}/2$;
    \item $\cos\alpha = -1/2$;
    \item $\tg\alpha = -1$;
    \item $\sen\alpha = 0$;
    \item $\cos\alpha = \num{1.5}$ (attenzione!).
  \end{enumerate}
  \item Determinare per quali valori di $\alpha \in [0, 2\pi)$ è verificata simultaneamente la condizione $\sen\alpha > 0$ e $\cos\alpha < 0$.
  \item Semplificare le espressioni:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen^2\alpha (1 + \cotg^2\alpha)$;
    \item $\dfrac{1 - \sen^2\alpha}{\cos\alpha}$ (con $\cos\alpha \ne 0$);
    \item $(\operatorname{sec}\alpha - \cos\alpha) \cdot \cotg\alpha$;
    \item $\tg\alpha \cos\alpha + \cotg\alpha \sen\alpha$.
  \end{enumerate}
  \item Calcolare $\operatorname{sec}\alpha$ e $\operatorname{cosec}\alpha$ sapendo che $\sen\alpha = 5/13$ e che $\alpha \in (\pi/2, \pi)$.
  \item Un punto $P$ percorre la circonferenza goniometrica in senso antiorario partendo da $(1, 0)$. Dopo aver percorso un arco di lunghezza $s = \num{5}$, in quale quadrante si trova $P$?
  \item Determinare le coordinate cartesiane del punto della circonferenza di raggio $r = 3$ centrata nell'origine, che corrisponde all'angolo $\alpha = 2\pi/3$. (Suggerimento: il punto è $r (\cos\alpha, \sen\alpha)$.)
  \item \emph{Sfida}. Mostrare, senza usare la calcolatrice, che $\sen 15° = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$. (Suggerimento: scrivere $15° = 45° - 30°$ e usare la formula di sottrazione, che vedremo formalmente nel capitolo \ref{cap:GO-006}, ma che è già nota dalla geometria: $\sen(\alpha - \beta) = \sen\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sen\beta$.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:go-002-09-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Circonferenza goniometrica}: cerchio di centro $O$ e raggio $1$ ($x^2 + y^2 = 1$). Il punto $P_\alpha$ è ottenuto ruotando $(1, 0)$ di un angolo $\alpha$ (positivo = antiorario).
  \item \emph{Definizione di seno e coseno}: $P_\alpha = (\cos\alpha, \sen\alpha)$. Coseno = ascissa, seno = ordinata.
  \item \emph{Dominio e codominio}: $\sen, \cos : \R \to [-1, 1]$, definite per ogni $\alpha \in \R$.
  \item \emph{Identità fondamentale}: $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ (conseguenza diretta di $x^2 + y^2 = 1$).
  \item \emph{Parità}: $\sen$ è dispari ($\sen(-\alpha) = -\sen\alpha$), $\cos$ è pari ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$).
  \item \emph{Periodicità}: $\sen$ e $\cos$ hanno periodo $2\pi$; $\tg$ e $\cotg$ hanno periodo $\pi$.
  \item \emph{Tangente}: $\tg\alpha = \sen\alpha/\cos\alpha$, dominio $\alpha \ne \pi/2 + k\pi$, codominio $\R$. Interpretazione geometrica: ordinata del punto $T_\alpha$ in cui il prolungamento di $OP_\alpha$ incontra la retta $x=1$.
  \item \emph{Cotangente, secante, cosecante}: reciproche di tangente, coseno, seno (a meno di scambi di argomenti).
  \item \emph{Identità reciproche}: $\operatorname{sec}^2\alpha = 1 + \tg^2\alpha$, $\operatorname{cosec}^2\alpha = 1 + \cotg^2\alpha$.
  \item \emph{Segni nei quadranti}: TSTC --- in I tutte positive, in II solo seno, in III solo tangente, in IV solo coseno.
  \item \emph{Valori notevoli} (memorizzare!): $\sen(0,\pi/6,\pi/4,\pi/3,\pi/2) = (0, 1/2, \sqrt{2}/2, \sqrt{3}/2, 1)$. Trucco: $\sqrt{n}/2$ per $n=0,1,2,3,4$. Il coseno legge la stessa tabella al contrario.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GO-003}) approfondiamo l'\emph{identità goniometrica fondamentale} e ne deduciamo varie identità derivate.
\end{itemize}
\end{riepilogo}