\chapter{Identità goniometrica fondamentale}\label{cap:GO-003}

\citazioneinizio{%
  Una sola relazione, $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, collega per sempre seno e coseno. Da essa discende l'intero edificio delle identità trigonometriche: conoscere una funzione goniometrica, e il quadrante in cui giace l'angolo, basta a determinare tutte le altre.%
}{Adattato da Carl Friedrich Gauss, \emph{Disquisitiones Arithmeticae} (1801) --- Gauss esprimeva con questa formula il legame ``pitagorico'' tra le coordinate di un punto sul cerchio unitario}

% ============================================================
\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:go-003-01-introduzione-motivazionale}
% ============================================================

Nel capitolo precedente (\ref{cap:GO-002}) abbiamo definito seno e coseno come coordinate del punto $P_\alpha$ sulla circonferenza goniometrica, e abbiamo già visto, di passaggio, l'identità $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. In questo capitolo le diamo la centralità che merita: è la \emph{relazione fondamentale} della goniometria, e da essa discendono praticamente tutte le altre identità.

A che cosa serve?
\begin{itemize}
  \item \emph{Calcolare} una funzione goniometrica conoscendone un'altra (es.: dato $\sen\alpha$ trovare $\cos\alpha$).
  \item \emph{Semplificare} espressioni trigonometriche complicate fino a una forma elementare.
  \item \emph{Dimostrare} l'equivalenza di due scritture diverse della stessa quantità.
  \item \emph{Risolvere} equazioni e disequazioni goniometriche, riducendo tutto a una sola funzione (o seno, o coseno, o tangente).
\end{itemize}

Imparare a manovrare l'identità fondamentale --- e i suoi corollari --- è il primo passo verso la fluidità in trigonometria.

% ============================================================
\section{La relazione fondamentale $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$}\label{sec:go-003-02-relazione-fondamentale}
% ============================================================

\begin{definizione}[Identità goniometrica fondamentale]
Per ogni angolo $\alpha \in \R$ vale
\[
  \sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.
\]
(Si scrive anche $\sen^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$; la potenza $^2$ qui significa $(\sen\alpha)^2$, non $\sen(\sen\alpha)$.)
\end{definizione}

\textit{Dimostrazione (per via geometrica analitica)}. Il punto $P_\alpha = (\cos\alpha, \, \sen\alpha)$ appartiene per definizione alla circonferenza goniometrica $x^2 + y^2 = 1$. Sostituendo $x = \cos\alpha$ e $y = \sen\alpha$ si ottiene direttamente la tesi.

\textit{Dimostrazione (col teorema di Pitagora)}. Sia $\alpha$ un angolo del I quadrante. Il triangolo rettangolo $OHP_\alpha$, dove $H = (\cos\alpha, 0)$ è il piede della perpendicolare da $P_\alpha$ all'asse $x$, ha cateti di lunghezza $|\cos\alpha|$ e $|\sen\alpha|$ e ipotenusa di lunghezza $1$ (raggio del cerchio). Per il teorema di Pitagora:
\[
  |\cos\alpha|^2 + |\sen\alpha|^2 = 1^2 \iff \cos^2\alpha + \sen^2\alpha = 1.
\]
Negli altri quadranti la stessa dimostrazione vale ripetendo il ragionamento con i moduli; il risultato è lo stesso perché compaiono solo quadrati. Vedi fig.~\ref{fig:go-003-pitagora-cerchio}.

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
  % assi
  \draw[->, GRIGIO] (-0.3,0) -- (1.4,0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO] (0,-0.3) -- (0,1.4) node[above] {$y$};
  % arco di circonferenza nel I quadrante
  \draw[thick, BLU] (1,0) arc (0:90:1);
  % angolo
  \def\ang{50}
  % raggio OP (ipotenusa)
  \draw[thick, ROSSO] (0,0) -- (\ang:1);
  % cateti del triangolo rettangolo
  \draw[thick, VERDE] (0,0) -- ({cos(\ang)},0);
  \draw[thick, ARANCIO] ({cos(\ang)},0) -- ({cos(\ang)},{sin(\ang)});
  % angolo retto in H
  \draw[GRIGIO] ({cos(\ang)-0.05},0) -- ({cos(\ang)-0.05},0.05) -- ({cos(\ang)},0.05);
  % arco angolo alpha
  \draw[thick, VIOLA] (0.18,0) arc (0:\ang:0.18);
  \node[VIOLA] at (\ang/2:0.3) {$\alpha$};
  % punti
  \filldraw[ROSSO] (\ang:1) circle (0.02) node[above right] {$P_\alpha$};
  \filldraw[GRIGIO] ({cos(\ang)},0) circle (0.02) node[below] {$H$};
  \filldraw[BLU] (0,0) circle (0.02) node[below left] {$O$};
  % etichette lati
  \node[VERDE, below] at ({cos(\ang)/2},0) {$\cos\alpha$};
  \node[ARANCIO, right] at ({cos(\ang)},{sin(\ang)/2}) {$\sen\alpha$};
  \node[ROSSO] at ({cos(\ang)/2 - 0.05},{sin(\ang)/2 + 0.05}) {$1$};
\end{tikzpicture}
\caption{Dimostrazione pitagorica dell'identità fondamentale: nel triangolo rettangolo $OHP_\alpha$ i cateti misurano $|\cos\alpha|$ e $|\sen\alpha|$, l'ipotenusa misura $1$ (il raggio). Pitagora dà $\cos^2\alpha + \sen^2\alpha = 1$.}\label{fig:go-003-pitagora-cerchio}
\end{figure}

\begin{attenzione}
La scrittura $\sen^2\alpha$ è una convenzione comoda ma ambigua a chi inizia: significa $(\sen\alpha)^2$, mai $\sen(\sen\alpha)$ né $\sen(\alpha^2)$. Per gli esponenti negativi, però, la convenzione \emph{non} si usa: $\sen^{-1}\alpha$ indica la funzione inversa $\arcsen\alpha$, \emph{non} $1/\sen\alpha$ (che si scrive $\operatorname{cosec}\alpha$ o $1/\sen\alpha$).
\end{attenzione}

% ============================================================
\section{Seno in funzione del coseno (e viceversa)}\label{sec:go-003-03-seno-in-funzione-coseno}
% ============================================================

Dall'identità fondamentale si ricavano subito le \emph{relazioni inverse}, che permettono di esprimere il seno conoscendo il coseno (o viceversa). La cosa importante --- e dove gli studenti sbagliano più spesso --- è la \emph{scelta del segno}, che dipende dal quadrante.

Risolvendo l'identità rispetto al seno:
\[
  \sen^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha \iff \sen\alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2\alpha}.
\]
Analogamente, risolvendo rispetto al coseno:
\[
  \cos^2\alpha = 1 - \sen^2\alpha \iff \cos\alpha = \pm \sqrt{1 - \sen^2\alpha}.
\]

\begin{formulabox}
\textbf{Relazioni inverse} (con scelta del segno secondo il quadrante):
\[
  \sen\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}, \qquad \cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sen^2\alpha}.
\]
\end{formulabox}

\subsection*{Regole per il segno}

\begin{formulabox}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{Quadrante} & $\sen\alpha$ & $\cos\alpha$ \\
\hline
I  & $+$ & $+$ \\
II & $+$ & $-$ \\
III & $-$ & $-$ \\
IV & $-$ & $+$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{formulabox}

\begin{procedura}[Da $\cos\alpha$ a $\sen\alpha$ (o viceversa)]
\begin{enumerate}
  \item Calcolare $\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$ (o $\sqrt{1 - \sen^2\alpha}$).
  \item Determinare il quadrante di $\alpha$ dalla traccia.
  \item Scegliere il segno coerente col quadrante.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Calcolo con il segno corretto]
Sapendo che $\cos\alpha = -3/5$ e che $\alpha \in (\pi/2, \pi)$ (II quadrante), determinare $\sen\alpha$.

\textbf{Algebra}. $\sen^2\alpha = 1 - 9/25 = 16/25$, dunque $\sen\alpha = \pm 4/5$.

\textbf{Scelta del segno}. Nel II quadrante il seno è \emph{positivo}, dunque $\sen\alpha = +4/5$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Quadrante non specificato]
Sapendo solo che $\sen\alpha = -\num{0.6}$, determinare $\cos\alpha$.

\textbf{Algebra}. $\cos^2\alpha = 1 - \num{0.36} = \num{0.64}$, dunque $\cos\alpha = \pm \num{0.8}$.

\textbf{Senza informazioni sul quadrante} il segno del coseno resta indeterminato: $\alpha$ potrebbe essere nel III quadrante (con $\cos\alpha = -\num{0.8}$) o nel IV quadrante (con $\cos\alpha = +\num{0.8}$).

\textbf{Lezione}: l'informazione sul quadrante è \emph{essenziale}; senza, ci sono sempre due possibili soluzioni.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Tangente in funzione di seno e coseno}\label{sec:go-003-04-tangente-in-funzione-seno-coseno}
% ============================================================

Dalla definizione $\tg\alpha = \sen\alpha / \cos\alpha$ e dall'identità fondamentale si ricavano le espressioni della tangente in funzione di una sola fra le altre due funzioni.

\subsection*{Tangente da coseno}

Combinando $\sen\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$ con $\tg\alpha = \sen\alpha/\cos\alpha$:

\begin{formulabox}
\[
  \tg\alpha = \pm \frac{\sqrt{1 - \cos^2\alpha}}{\cos\alpha}.
\]
\end{formulabox}

Il segno è positivo nel I e III quadrante, negativo nel II e IV.

\subsection*{Tangente da seno}

Analogamente, da $\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sen^2\alpha}$:

\begin{formulabox}
\[
  \tg\alpha = \pm \frac{\sen\alpha}{\sqrt{1 - \sen^2\alpha}}.
\]
\end{formulabox}

Il segno è positivo nel I e III quadrante, negativo nel II e IV (cioè il segno della tangente).

\subsection*{Seno e coseno da tangente}

Talvolta serve l'operazione inversa: dato $\tg\alpha$, ricavare $\sen\alpha$ e $\cos\alpha$. Si parte dall'identità $\operatorname{sec}^2\alpha = 1 + \tg^2\alpha$ (dimostrata in cap.~\ref{cap:GO-002}):
\[
  \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tg^2\alpha \iff \cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tg^2\alpha} \iff \cos\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + \tg^2\alpha}}.
\]
Da cui $\sen\alpha = \tg\alpha \cdot \cos\alpha$.

\begin{formulabox}
\textbf{Da tangente a seno e coseno}:
\[
  \cos\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + \tg^2\alpha}}, \qquad \sen\alpha = \pm \frac{\tg\alpha}{\sqrt{1 + \tg^2\alpha}}.
\]
(Il segno si sceglie in base al quadrante.)
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Da tangente a seno e coseno]
Sapendo che $\tg\alpha = -2$ e che $\alpha \in (3\pi/2, 2\pi)$ (IV quadrante), determinare $\sen\alpha$ e $\cos\alpha$.

\textbf{Algebra}. $1 + \tg^2\alpha = 1 + 4 = 5$, dunque
\[
  \cos\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}, \qquad \sen\alpha = \pm \frac{-2}{\sqrt{5}} = \mp \frac{2}{\sqrt{5}}.
\]
Nel IV quadrante il coseno è positivo, dunque
\[
  \cos\alpha = +\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}, \qquad \sen\alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}.
\]

\textbf{Verifica}: $\sen\alpha/\cos\alpha = -2$ \checkmark; \, $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 4/5 + 1/5 = 1$ \checkmark.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Identità derivate e tecniche di dimostrazione}\label{sec:go-003-05-identita-derivate-dimostrazione}
% ============================================================

\begin{definizione}[Identità goniometrica]
Un'\emph{identità goniometrica} è un'uguaglianza che coinvolge funzioni goniometriche e che è vera per \emph{tutti} i valori dell'angolo per cui i due membri sono definiti.
\end{definizione}

\emph{Identità vs equazione}. Un'\emph{equazione} goniometrica è invece vera solo per certi valori particolari dell'angolo (che vanno trovati). Per esempio:
\begin{itemize}
  \item identità: $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ (vera per ogni $\alpha$);
  \item equazione: $\sen\alpha = 1/2$ (vera per $\alpha = \pi/6 + 2k\pi$ o $\alpha = 5\pi/6 + 2k\pi$).
\end{itemize}

\subsection*{Identità derivate fondamentali}

\begin{formulabox}
\textbf{Identità ricorrenti, derivate dalla fondamentale}:
\[
  1 - \cos^2\alpha = \sen^2\alpha, \qquad 1 - \sen^2\alpha = \cos^2\alpha,
\]
\[
  \tg^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha} = \operatorname{sec}^2\alpha, \qquad \cotg^2\alpha + 1 = \frac{1}{\sen^2\alpha} = \operatorname{cosec}^2\alpha.
\]
\end{formulabox}

\subsection*{Tecniche per dimostrare un'identità}

\begin{procedura}[Verifica di un'identità goniometrica]
\begin{enumerate}
  \item Lavorare \emph{separatamente} sul primo e sul secondo membro: non passare quantità da una parte all'altra (potrebbe sembrare un'equazione).
  \item Trasformare il membro più ``complicato'' (più termini, frazioni, potenze) per ricondurlo all'altro.
  \item Strumenti standard:
    \begin{itemize}
      \item sostituire $\sen^2\alpha$ con $1 - \cos^2\alpha$ o viceversa;
      \item esprimere $\tg, \cotg, \operatorname{sec}, \operatorname{cosec}$ in termini di $\sen$ e $\cos$;
      \item portare a denominatore comune le frazioni;
      \item raccogliere fattori comuni, riconoscere prodotti notevoli (somma per differenza, quadrato di binomio).
    \end{itemize}
  \item \emph{Verificare} il dominio: l'identità vale dove entrambi i membri sono definiti.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Identità con prodotto notevole]
Dimostrare che $(\sen\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 + 2\sen\alpha\cos\alpha$.

\textbf{Sviluppo del primo membro}. Quadrato di binomio:
\[
  (\sen\alpha + \cos\alpha)^2 = \sen^2\alpha + 2\sen\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha.
\]

\textbf{Identità fondamentale}: $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Sostituendo:
\[
  = 1 + 2\sen\alpha\cos\alpha,
\]
che è il secondo membro. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Riduzione a $\sen$ e $\cos$]
Dimostrare che $\tg\alpha + \cotg\alpha = \dfrac{1}{\sen\alpha \cos\alpha}$, per $\sen\alpha, \cos\alpha \ne 0$.

\textbf{Primo membro a $\sen$ e $\cos$}:
\[
  \tg\alpha + \cotg\alpha = \frac{\sen\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sen\alpha}.
\]

\textbf{Denominatore comune}:
\[
  = \frac{\sen^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sen\alpha \cos\alpha} = \frac{1}{\sen\alpha \cos\alpha},
\]
usando l'identità fondamentale. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Differenza di quadrati]
Dimostrare che $\sen^4\alpha - \cos^4\alpha = \sen^2\alpha - \cos^2\alpha$.

\textbf{Primo membro}, scomponendo come differenza di quadrati:
\[
  \sen^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sen^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sen^2\alpha + \cos^2\alpha) = (\sen^2\alpha - \cos^2\alpha) \cdot 1.
\]

\textbf{Conclusione}: l'espressione è uguale a $\sen^2\alpha - \cos^2\alpha$, come voluto. \checkmark
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Esempi svolti}\label{sec:go-003-06-esempi-svolti}
% ============================================================

\begin{esempio}[Da $\sen$ a $\cos$, con scelta del segno]
Sapendo che $\sen\alpha = \sqrt{3}/3$ e che $\alpha \in (\pi/2, \pi)$, determinare $\cos\alpha$ e $\tg\alpha$.

\textbf{Algebra}. $\cos^2\alpha = 1 - 1/3 = 2/3$, dunque $\cos\alpha = \pm\sqrt{2/3} = \pm\sqrt{6}/3$.

\textbf{Scelta del segno}: nel II quadrante il coseno è negativo, dunque $\cos\alpha = -\sqrt{6}/3$.

\textbf{Tangente}: $\tg\alpha = \sen\alpha / \cos\alpha = (\sqrt{3}/3) / (-\sqrt{6}/3) = -\sqrt{3}/\sqrt{6} = -\sqrt{1/2} = -\sqrt{2}/2$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Espressione semplificata]
Semplificare $\dfrac{\sen^2\alpha}{1 - \cos\alpha}$ per $\cos\alpha \ne 1$.

\textbf{Algebra}. Sostituendo $\sen^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = (1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)$:
\[
  \frac{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{1 - \cos\alpha} = 1 + \cos\alpha.
\]

\textbf{Risultato}: $\dfrac{\sen^2\alpha}{1 - \cos\alpha} = 1 + \cos\alpha$ (per $\cos\alpha \ne 1$, cioè $\alpha \ne 2k\pi$).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Verifica di un'identità con tangente]
Dimostrare che $(1 - \cos^2\alpha) \cdot \operatorname{sec}\alpha = \sen\alpha \tg\alpha$, per $\cos\alpha \ne 0$.

\textbf{Primo membro}: $(1 - \cos^2\alpha) \cdot \dfrac{1}{\cos\alpha} = \dfrac{\sen^2\alpha}{\cos\alpha}$.

\textbf{Secondo membro}: $\sen\alpha \cdot \dfrac{\sen\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\sen^2\alpha}{\cos\alpha}$.

\textbf{Conclusione}: i due membri coincidono. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Espressione in termini di tangente]
Esprimere $\sen\alpha \cos\alpha$ in funzione di $\tg\alpha$.

\textbf{Algebra}. Moltiplichiamo e dividiamo per $\cos^2\alpha$:
\[
  \sen\alpha\cos\alpha = \frac{\sen\alpha\cos\alpha \cdot \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\sen\alpha/\cos\alpha}{1/\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = \tg\alpha \cdot \cos^2\alpha.
\]
E poiché $\cos^2\alpha = 1/(1 + \tg^2\alpha)$:
\[
  \sen\alpha\cos\alpha = \frac{\tg\alpha}{1 + \tg^2\alpha}.
\]
(Formula utilissima negli integrali e nelle sostituzioni $t = \tg(\alpha/2)$.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Razionalizzazione di un'espressione goniometrica]
Mostrare che $\dfrac{1}{1 - \sen\alpha} + \dfrac{1}{1 + \sen\alpha} = 2 \operatorname{sec}^2\alpha$.

\textbf{Algebra}. Denominatore comune (prodotto somma per differenza):
\[
  \frac{(1 + \sen\alpha) + (1 - \sen\alpha)}{(1 - \sen\alpha)(1 + \sen\alpha)} = \frac{2}{1 - \sen^2\alpha} = \frac{2}{\cos^2\alpha} = 2 \operatorname{sec}^2\alpha.
\]
\checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Verifica con valori notevoli]
Verificare numericamente l'identità $\tg^2\alpha + 1 = 1/\cos^2\alpha$ per $\alpha = \pi/3$.

\textbf{Calcolo}. $\tg(\pi/3) = \sqrt{3}$, $\cos(\pi/3) = 1/2$.

\textbf{Primo membro}: $\tg^2(\pi/3) + 1 = 3 + 1 = 4$.

\textbf{Secondo membro}: $1/\cos^2(\pi/3) = 1/(1/4) = 4$. \checkmark
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Esercizi proposti}\label{sec:go-003-07-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Per ciascuna delle seguenti tracce, determinare le altre due funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente). Attenzione alla scelta del segno!
  \begin{enumerate}
    \item $\sen\alpha = 4/5$, $\alpha \in (\pi/2, \pi)$;
    \item $\cos\alpha = -5/13$, $\alpha \in (\pi, 3\pi/2)$;
    \item $\tg\alpha = -7/24$, $\alpha \in (3\pi/2, 2\pi)$;
    \item $\sen\alpha = -1/3$, $\alpha \in (\pi, 3\pi/2)$;
    \item $\cos\alpha = \num{0.6}$, $\alpha \in (-\pi/2, 0)$.
  \end{enumerate}

  \item Verificare le seguenti identità (cioè dimostrarle):
  \begin{enumerate}
    \item $\sen^2\alpha (1 + \cotg^2\alpha) = 1$;
    \item $\cos^2\alpha (1 + \tg^2\alpha) = 1$;
    \item $(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) = \sen^2\alpha$;
    \item $\tg\alpha \cdot \cotg\alpha = 1$ (specificando il dominio);
    \item $\sen\alpha \operatorname{cosec}\alpha = 1$ (specificando il dominio).
  \end{enumerate}

  \item Verificare le seguenti identità un po' più ricche:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2 \sen^2\alpha \cos^2\alpha$;
    \item $\sen^2\alpha - \sen^4\alpha = \sen^2\alpha \cos^2\alpha$;
    \item $\dfrac{\cos\alpha}{1 - \sen\alpha} = \dfrac{1 + \sen\alpha}{\cos\alpha}$ (con $\sen\alpha \ne 1$, $\cos\alpha \ne 0$);
    \item $\dfrac{1}{1 + \cos\alpha} + \dfrac{1}{1 - \cos\alpha} = 2 \operatorname{cosec}^2\alpha$;
    \item $\tg^2\alpha - \sen^2\alpha = \tg^2\alpha \cdot \sen^2\alpha$.
  \end{enumerate}

  \item Semplificare le espressioni:
  \begin{enumerate}
    \item $(1 - \sen\alpha)(1 + \sen\alpha)$;
    \item $\dfrac{\sen\alpha + \cos\alpha \tg\alpha}{\cos\alpha}$;
    \item $\dfrac{1 - \cos^2\alpha}{\sen\alpha}$ (per $\sen\alpha \ne 0$);
    \item $\cos^2\alpha - \sen^2\alpha - 1$;
    \item $\dfrac{\sen\alpha}{1 + \cos\alpha} + \dfrac{1 + \cos\alpha}{\sen\alpha}$.
  \end{enumerate}

  \item Esprimere in funzione della sola tangente:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen^2\alpha$ (formula utile per le sostituzioni in integrali);
    \item $\cos^2\alpha$;
    \item $\sen\alpha \cos\alpha$ (verificare il risultato dell'esempio: $\tg\alpha/(1+\tg^2\alpha)$);
    \item $1 + \sen\alpha \cos\alpha$.
  \end{enumerate}

  \item Sapendo che $\sen\alpha + \cos\alpha = \num{1.2}$, calcolare $\sen\alpha \cdot \cos\alpha$. (Suggerimento: elevare al quadrato e usare l'identità fondamentale.)

  \item Sapendo che $\sen\alpha - \cos\alpha = k$, esprimere $\sen\alpha \cdot \cos\alpha$ in funzione di $k$.

  \item Sapendo che $\sen\alpha + \cos\alpha = a$ e $\sen\alpha \cos\alpha = b$, mostrare che $a^2 - 2b = 1$. (Lega fra due quantità simmetriche.)

  \item Mostrare che, per ogni $\alpha$ con $\cos\alpha \ne 0$, vale $1 + \tg^2\alpha \ge 1$, e quindi $|\cos\alpha| \le 1$.

  \item \emph{Sfida}. Mostrare che $\sen^6\alpha + \cos^6\alpha = 1 - 3 \sen^2\alpha \cos^2\alpha$. (Suggerimento: $\sen^6 + \cos^6 = (\sen^2 + \cos^2)(\sen^4 - \sen^2\cos^2 + \cos^4)$.)

  \item Determinare per quali $\alpha \in [0, 2\pi)$ l'espressione $\sqrt{1 - \cos^2\alpha} - \sen\alpha$ è uguale a $0$. (Suggerimento: la radice è $|\sen\alpha|$, dunque l'espressione vale $0$ quando $\sen\alpha \ge 0$, cioè $\alpha \in [0, \pi]$.)

  \item Una calcolatrice difettosa fornisce $\cos\alpha = -\num{0.97}$ ma cancella ogni informazione sul quadrante. Quali sono i due possibili valori di $\sen\alpha$?

  \item \emph{Sfida algebrica}. Mostrare che, per ogni $\alpha$ in cui le funzioni sono definite,
  \[
    \frac{\tg\alpha - \sen\alpha}{\sen^3\alpha} = \frac{1}{\cos\alpha (1 + \cos\alpha)}.
  \]
  (Suggerimento: a primo membro raccogliere $\sen\alpha$ al numeratore.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% ============================================================
\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:go-003-08-riepilogo-del-capitolo}
% ============================================================

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Identità goniometrica fondamentale}: $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, valida per ogni $\alpha \in \R$. Si dimostra in due modi: equivalentemente come ``$P_\alpha$ sta sul cerchio unitario'' o col teorema di Pitagora applicato al triangolo $OHP_\alpha$.
  \item \emph{Convenzione di scrittura}: $\sen^2\alpha = (\sen\alpha)^2$. Eccezione: $\sen^{-1}\alpha = \arcsen\alpha$, \emph{non} $1/\sen\alpha$.
  \item \emph{Relazioni inverse} (uno in funzione dell'altro):
  \[
    \sen\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}, \qquad \cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sen^2\alpha},
  \]
  con il segno scelto in base al quadrante.
  \item \emph{Tangente da seno o coseno} (con segno da quadrante):
  \[
    \tg\alpha = \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2\alpha}}{\cos\alpha} = \pm \frac{\sen\alpha}{\sqrt{1 - \sen^2\alpha}}.
  \]
  \item \emph{Seno e coseno da tangente}: $\cos\alpha = \pm 1/\sqrt{1 + \tg^2\alpha}$, $\sen\alpha = \pm \tg\alpha/\sqrt{1 + \tg^2\alpha}$.
  \item \emph{Identità di Pitagora generalizzate}: $\operatorname{sec}^2\alpha = 1 + \tg^2\alpha$, $\operatorname{cosec}^2\alpha = 1 + \cotg^2\alpha$.
  \item \emph{Identità vs equazione}: un'identità è vera per ogni angolo in cui i due membri sono definiti; un'equazione solo per certi valori particolari.
  \item \emph{Tecniche per dimostrare un'identità}: lavorare separatamente sui due membri; ridurre tutto a $\sen$ e $\cos$; portare a denominatore comune; riconoscere prodotti notevoli (somma per differenza, quadrato di binomio, differenza di quadrati).
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GO-004}) studiamo come trasformano seno e coseno per \emph{archi associati}: $\pi - \alpha$, $\pi + \alpha$, $-\alpha$, $\pi/2 - \alpha$, $\pi/2 + \alpha$.
\end{itemize}
\end{riepilogo}