\chapter{Archi associati e angoli notevoli}\label{cap:GO-004}

\citazioneinizio{%
  Le simmetrie del cerchio sono le simmetrie delle funzioni goniometriche: ogni asse di simmetria, ogni rotazione di un quarto di giro, ogni inversione attraverso l'origine si traduce in una identità tra seno, coseno e tangente. Memorizzare cinque tabelle è meno utile che capire le cinque figure da cui discendono.%
}{Felix Klein, \emph{Elementarmathematik vom h\"oheren Standpunkt aus} (1908) --- approccio geometrico unificato alla trigonometria}

% ============================================================
\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:go-004-01-introduzione-motivazionale}
% ============================================================

Nei capitoli precedenti abbiamo definito seno, coseno e tangente per un angolo $\alpha$ qualsiasi. In pratica però la calcolatrice (e la nostra memoria) sa fornire solo i \emph{valori notevoli} per gli angoli del I quadrante: $0, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2$. Come si fa quando l'angolo cade negli altri quadranti, oppure è negativo, oppure è più grande di un giro?

La risposta è negli \emph{archi associati}: angoli che, partendo da un dato $\alpha$, si ottengono per simmetria sul cerchio goniometrico. Per ognuno di essi le funzioni goniometriche valgono \emph{le stesse} dell'angolo $\alpha$, eventualmente cambiate di segno.

Cinque sono i casi fondamentali, corrispondenti alle cinque simmetrie naturali del cerchio:
\begin{itemize}
  \item $\pi - \alpha$ (angoli \emph{supplementari}) --- simmetria rispetto all'asse $y$;
  \item $\pi + \alpha$ (angoli che \emph{differiscono di} $\pi$) --- simmetria centrale rispetto all'origine;
  \item $-\alpha$ (angoli \emph{opposti}) --- simmetria rispetto all'asse $x$;
  \item $\pi/2 - \alpha$ (angoli \emph{complementari}) --- simmetria rispetto alla bisettrice $y = x$;
  \item $\pi/2 + \alpha$ (angoli che \emph{differiscono di} $\pi/2$) --- rotazione antioraria di un quarto di giro.
\end{itemize}

Imparare a usare queste cinque relazioni permette di \emph{ridurre} il calcolo di una funzione goniometrica su \emph{qualunque} angolo al calcolo sull'angolo notevole equivalente nel I quadrante.

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.6]
  % assi
  \draw[->, GRIGIO] (-1.4,0) -- (1.4,0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO] (0,-1.4) -- (0,1.4) node[above] {$y$};
  % circonferenza
  \draw[thick, BLU] (0,0) circle (1);
  % bisettrice y=x
  \draw[dashed, GRIGIO] (-1.2,-1.2) -- (1.2,1.2);
  % angolo base
  \def\ang{35}
  % punto P_alpha e i suoi simmetrici
  \filldraw[ROSSO] (\ang:1) circle (0.025) node[above right] {\small $P_\alpha$};
  \filldraw[VERDE] ({180-\ang}:1) circle (0.025) node[above left] {\small $P_{\pi-\alpha}$};
  \filldraw[ARANCIO] ({180+\ang}:1) circle (0.025) node[below left] {\small $P_{\pi+\alpha}$};
  \filldraw[VIOLA] (-\ang:1) circle (0.025) node[below right] {\small $P_{-\alpha}$};
  \filldraw[CELESTE] ({90-\ang}:1) circle (0.025) node[above] {\small $P_{\pi/2-\alpha}$};
  % collegamenti col centro
  \draw[ROSSO, very thin] (0,0) -- (\ang:1);
  \draw[VERDE, very thin] (0,0) -- ({180-\ang}:1);
  \draw[ARANCIO, very thin] (0,0) -- ({180+\ang}:1);
  \draw[VIOLA, very thin] (0,0) -- (-\ang:1);
  \draw[CELESTE, very thin] (0,0) -- ({90-\ang}:1);
\end{tikzpicture}
\caption{I cinque archi associati a $\alpha$: $\pi - \alpha$ (verde, riflesso rispetto all'asse $y$), $\pi + \alpha$ (arancio, simmetrico rispetto all'origine), $-\alpha$ (viola, riflesso rispetto all'asse $x$), $\pi/2 - \alpha$ (celeste, riflesso rispetto alla bisettrice $y=x$). Ogni simmetria si traduce in una identità sulle funzioni goniometriche.}\label{fig:go-004-archi-associati}
\end{figure}

% ============================================================
\section{Angoli supplementari: $\pi - \alpha$}\label{sec:go-004-02-angoli-supplementari}
% ============================================================

Due angoli $\alpha$ e $\beta$ si dicono \emph{supplementari} se $\alpha + \beta = \pi$ (cioè $\beta = \pi - \alpha$). Sulla circonferenza goniometrica, il punto $P_{\pi - \alpha}$ è il \emph{simmetrico} di $P_\alpha$ rispetto all'asse $y$: ha stessa ordinata e ascissa opposta. Dunque:

\begin{formulabox}
\textbf{Angoli supplementari} ($\beta = \pi - \alpha$):
\[
  \sen(\pi - \alpha) = \sen\alpha, \qquad \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha, \qquad \tg(\pi - \alpha) = -\tg\alpha.
\]
\end{formulabox}

\emph{Visualizzare}: se $\alpha$ è nel I quadrante, $\pi - \alpha$ è nel II; il seno (ordinata) si conserva, il coseno (ascissa) cambia segno. Esempio: $\sen(2\pi/3) = \sen(\pi - \pi/3) = \sen(\pi/3) = \sqrt{3}/2$.

\textit{Dimostrazione formale}. Ruotando di $\pi$ il punto $(1, 0)$ si arriva in $(-1, 0)$. Ruotando \emph{indietro} di $\alpha$ (cioè di $-\alpha$ partendo dal nuovo orientamento) si arriva nel punto simmetrico di $P_\alpha$ rispetto all'asse $y$: $(-\cos\alpha, \sen\alpha)$. Quindi $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ e $\sen(\pi - \alpha) = \sen\alpha$. Per la tangente: $\tg(\pi-\alpha) = \sen(\pi-\alpha)/\cos(\pi-\alpha) = \sen\alpha/(-\cos\alpha) = -\tg\alpha$.

% ============================================================
\section{Angoli che differiscono di $\pi$: $\pi + \alpha$}\label{sec:go-004-03-angoli-differiscono-pi}
% ============================================================

Il punto $P_{\pi + \alpha}$ è il \emph{simmetrico} di $P_\alpha$ rispetto all'origine: ha ascissa e ordinata opposte. Geometricamente $P_{\pi + \alpha} = -P_\alpha$. Dunque:

\begin{formulabox}
\textbf{Angoli che differiscono di $\pi$} (cioè $\beta = \pi + \alpha$):
\[
  \sen(\pi + \alpha) = -\sen\alpha, \qquad \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha, \qquad \tg(\pi + \alpha) = \tg\alpha.
\]
\end{formulabox}

\emph{Osservazione importante}. La tangente \emph{non cambia}: questo è un altro modo di vedere il fatto che la tangente ha periodo $\pi$ (cap.~\ref{cap:GO-002}), invece di $2\pi$. $\sen$ e $\cos$ cambiano entrambi segno, ma il loro rapporto resta invariato.

% ============================================================
\section{Angoli opposti: $-\alpha$}\label{sec:go-004-04-angoli-opposti}
% ============================================================

Il punto $P_{-\alpha}$ è il \emph{simmetrico} di $P_\alpha$ rispetto all'asse $x$: stessa ascissa, ordinata opposta. È la situazione che fa di seno una funzione \emph{dispari} e di coseno una funzione \emph{pari}.

\begin{formulabox}
\textbf{Angoli opposti} ($\beta = -\alpha$):
\[
  \sen(-\alpha) = -\sen\alpha, \qquad \cos(-\alpha) = \cos\alpha, \qquad \tg(-\alpha) = -\tg\alpha.
\]
\end{formulabox}

\emph{Conseguenza}. La tangente è dispari: $\tg(-\alpha) = -\tg\alpha$. Si verifica dividendo le due relazioni precedenti: $\tg(-\alpha) = \sen(-\alpha)/\cos(-\alpha) = -\sen\alpha/\cos\alpha = -\tg\alpha$.

Lo stesso vale, ovviamente, per cotangente e cosecante (dispari) e per secante (pari, come il coseno).

% ============================================================
\section{Angoli complementari: $\pi/2 - \alpha$}\label{sec:go-004-05-angoli-complementari}
% ============================================================

Due angoli $\alpha$ e $\beta$ si dicono \emph{complementari} se $\alpha + \beta = \pi/2$ (cioè $\beta = \pi/2 - \alpha$). Sulla circonferenza, $P_{\pi/2 - \alpha}$ è il \emph{simmetrico} di $P_\alpha$ rispetto alla bisettrice del I quadrante ($y = x$). La simmetria rispetto a quella retta \emph{scambia} le coordinate $(x, y) \to (y, x)$:

\begin{formulabox}
\textbf{Angoli complementari} ($\beta = \pi/2 - \alpha$):
\[
  \sen\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha, \qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sen\alpha, \qquad \tg\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cotg\alpha.
\]
\end{formulabox}

\emph{Etimologia}. È da questa relazione che ``co-seno'' (latino \emph{cosinus}, da \emph{complementi sinus}, ``seno del complemento'') prende il nome: $\cos\alpha = \sen(\pi/2 - \alpha)$. Analogamente \emph{cotangente} e \emph{cosecante} sono tangente e secante dell'angolo complementare.

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.6]
  % assi
  \draw[->, GRIGIO] (-0.3,0) -- (1.4,0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO] (0,-0.3) -- (0,1.4) node[above] {$y$};
  % circonferenza (solo I quadrante)
  \draw[thick, BLU] (1,0) arc (0:90:1);
  % bisettrice y=x
  \draw[dashed, GRIGIO] (0,0) -- (1.1,1.1) node[above right] {\small $y=x$};
  % angolo alpha
  \def\ang{30}
  % punto P_alpha
  \filldraw[ROSSO] (\ang:1) circle (0.025) node[right] {\small $P_\alpha$};
  \draw[ROSSO, thin] (0,0) -- (\ang:1);
  \draw[dashed, GRIGIO] (\ang:1) -- ({cos(\ang)},0);
  \draw[dashed, GRIGIO] (\ang:1) -- (0,{sin(\ang)});
  \node[below, ROSSO] at ({cos(\ang)},0) {\small $\cos\alpha$};
  \node[left, ROSSO] at (0,{sin(\ang)}) {\small $\sen\alpha$};
  % punto P_{pi/2 - alpha}
  \filldraw[CELESTE] ({90-\ang}:1) circle (0.025) node[above right] {\small $P_{\pi/2-\alpha}$};
  \draw[CELESTE, thin] (0,0) -- ({90-\ang}:1);
  \draw[dashed, GRIGIO] ({90-\ang}:1) -- ({cos(90-\ang)},0);
  \draw[dashed, GRIGIO] ({90-\ang}:1) -- (0,{sin(90-\ang)});
  \node[below, CELESTE] at ({cos(90-\ang)},-0.1) {\small $\sen\alpha$};
  \node[left, CELESTE] at (0,{sin(90-\ang) + 0.1}) {\small $\cos\alpha$};
  % archi degli angoli
  \draw[thick, ROSSO] (0.18,0) arc (0:\ang:0.18);
  \node[ROSSO] at ({\ang/2}:0.27) {\tiny $\alpha$};
  \draw[thick, CELESTE] ({90-\ang/2}:0.4) arc ({90-\ang/2}:90:0.4);
  \node[CELESTE] at ({90-\ang/4}:0.5) {\tiny $\frac{\pi}{2}{-}\alpha$};
\end{tikzpicture}
\caption{Angoli complementari: $P_{\pi/2 - \alpha}$ è il riflesso di $P_\alpha$ rispetto alla bisettrice $y = x$. Le coordinate si scambiano: ascissa e ordinata di un punto sono ordinata e ascissa dell'altro. Da qui $\sen(\pi/2 - \alpha) = \cos\alpha$ e $\cos(\pi/2 - \alpha) = \sen\alpha$.}\label{fig:go-004-complementari}
\end{figure}

% ============================================================
\section{Angoli che differiscono di $\pi/2$: $\pi/2 + \alpha$}\label{sec:go-004-06-angoli-differiscono-pi-mezzi}
% ============================================================

Il punto $P_{\pi/2 + \alpha}$ si ottiene da $P_\alpha$ con una \emph{rotazione antioraria di} $\pi/2$. La rotazione di un quarto di giro nel piano cartesiano manda $(x, y) \to (-y, x)$. Quindi:

\begin{formulabox}
\textbf{Angoli che differiscono di $\pi/2$} ($\beta = \pi/2 + \alpha$):
\[
  \sen\!\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha, \qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sen\alpha, \qquad \tg\!\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\cotg\alpha.
\]
\end{formulabox}

\emph{Osservazione}. La differenza rispetto ai \emph{complementari} è il segno del coseno: $\cos(\pi/2 - \alpha) = +\sen\alpha$, mentre $\cos(\pi/2 + \alpha) = -\sen\alpha$. Bisogna prestare attenzione a distinguere $\pi/2 - \alpha$ (sottrazione) da $\pi/2 + \alpha$ (addizione).

\subsection*{Tabella riassuntiva}

\begin{formulabox}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Arco associato} & $\sen$ & $\cos$ & $\tg$ \\
\hline
$\pi - \alpha$ (supplementare) & $+\sen\alpha$ & $-\cos\alpha$ & $-\tg\alpha$ \\
$\pi + \alpha$ & $-\sen\alpha$ & $-\cos\alpha$ & $+\tg\alpha$ \\
$-\alpha$ (opposto) & $-\sen\alpha$ & $+\cos\alpha$ & $-\tg\alpha$ \\
$\pi/2 - \alpha$ (complementare) & $+\cos\alpha$ & $+\sen\alpha$ & $+\cotg\alpha$ \\
$\pi/2 + \alpha$ & $+\cos\alpha$ & $-\sen\alpha$ & $-\cotg\alpha$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{formulabox}

\subsection*{Strategia operativa: ridurre al I quadrante}

\begin{procedura}[Ridurre il calcolo al I quadrante]
Per calcolare $\sen\alpha$, $\cos\alpha$, $\tg\alpha$ di un angolo $\alpha$ qualsiasi:
\begin{enumerate}
  \item \emph{Periodicità}: portare $\alpha$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$ sommando o sottraendo multipli di $2\pi$.
  \item \emph{Quadrante}: identificare in quale quadrante cade $\alpha$.
  \item \emph{Riduzione}: scrivere $\alpha$ come $\pi - \alpha'$, $\pi + \alpha'$, $2\pi - \alpha'$ ($= -\alpha'$), con $\alpha'$ nel I quadrante.
  \item \emph{Applicare} l'identità degli archi associati per ottenere il valore in funzione di $\sen\alpha'$, $\cos\alpha'$, $\tg\alpha'$.
  \item \emph{Calcolare} il valore numerico se $\alpha'$ è un angolo notevole.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Riduzione di un angolo del II quadrante]
Calcolare $\sen(5\pi/6)$ e $\cos(5\pi/6)$.

\textbf{Quadrante}: $5\pi/6 = \pi - \pi/6$, è nel II quadrante.

\textbf{Riduzione (supplementare)}:
\[
  \sen\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sen\!\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sen\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.
\]
\[
  \cos\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\!\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Esempi svolti}\label{sec:go-004-07-esempi-svolti}
% ============================================================

\begin{esempio}[Angolo del III quadrante]
Calcolare $\sen(7\pi/6)$ e $\tg(7\pi/6)$.

\textbf{Quadrante}: $7\pi/6 = \pi + \pi/6$, nel III quadrante.

\textbf{Riduzione (differenza di $\pi$)}:
\[
  \sen\!\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sen\!\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sen\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}.
\]
\[
  \tg\!\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \tg\!\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Angolo del IV quadrante]
Calcolare $\cos(11\pi/6)$.

\textbf{Quadrante}: $11\pi/6 = 2\pi - \pi/6 = -\pi/6 + 2\pi$. Nel IV quadrante.

\textbf{Riduzione (opposto)}:
\[
  \cos\!\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Angolo negativo grande]
Calcolare $\sen(-19\pi/4)$.

\textbf{Periodicità}: $-19\pi/4 + 6\pi = -19\pi/4 + 24\pi/4 = 5\pi/4$. (Abbiamo sommato $3 \cdot 2\pi = 6\pi$.)

\textbf{Quadrante}: $5\pi/4 = \pi + \pi/4$, nel III quadrante.

\textbf{Riduzione}:
\[
  \sen\!\left(-\frac{19\pi}{4}\right) = \sen\frac{5\pi}{4} = \sen\!\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sen\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Espressione con il complementare]
Semplificare $\sen\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos\!\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$.

\textbf{Algebra}:
\[
  \sen\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha, \qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sen\alpha.
\]
Dunque l'espressione vale $\cos\alpha - \sen\alpha$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Catena di riduzioni]
Semplificare $\sen(\pi - \alpha) \cdot \cos(-\alpha) - \cos(\pi + \alpha) \cdot \sen(-\alpha)$.

\textbf{Riduzioni una a una}:
\[
  \sen(\pi - \alpha) = \sen\alpha, \quad \cos(-\alpha) = \cos\alpha, \quad \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha, \quad \sen(-\alpha) = -\sen\alpha.
\]

\textbf{Sostituendo}:
\[
  \sen\alpha \cdot \cos\alpha - (-\cos\alpha)(-\sen\alpha) = \sen\alpha \cos\alpha - \sen\alpha\cos\alpha = 0.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Tabella estesa di valori notevoli]
Determinare i valori di $\sen$ e $\cos$ per tutti gli angoli ``notevoli'' di $[0, 2\pi)$ multipli di $\pi/6$ o $\pi/4$.

\textbf{Tecnica}: ridurre ciascun angolo a uno del I quadrante usando le formule degli archi associati. Si ottiene la tabella estesa:

\begin{center}
\small
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$\alpha$ & $\pi/6$ & $\pi/4$ & $\pi/3$ & $\pi/2$ & $2\pi/3$ & $3\pi/4$ & $5\pi/6$ & $\pi$ \\
\hline
$\sen\alpha$ & $1/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $\sqrt{3}/2$ & $1$ & $\sqrt{3}/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $1/2$ & $0$ \\
$\cos\alpha$ & $\sqrt{3}/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $1/2$ & $0$ & $-1/2$ & $-\sqrt{2}/2$ & $-\sqrt{3}/2$ & $-1$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
\begin{center}
\small
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$\alpha$ & $7\pi/6$ & $5\pi/4$ & $4\pi/3$ & $3\pi/2$ & $5\pi/3$ & $7\pi/4$ & $11\pi/6$ \\
\hline
$\sen\alpha$ & $-1/2$ & $-\sqrt{2}/2$ & $-\sqrt{3}/2$ & $-1$ & $-\sqrt{3}/2$ & $-\sqrt{2}/2$ & $-1/2$ \\
$\cos\alpha$ & $-\sqrt{3}/2$ & $-\sqrt{2}/2$ & $-1/2$ & $0$ & $1/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $\sqrt{3}/2$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Esercizi proposti}\label{sec:go-004-08-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcolare a mente, riducendo a un angolo notevole del I quadrante, le seguenti quantità:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen(3\pi/4)$;
    \item $\cos(5\pi/4)$;
    \item $\tg(4\pi/3)$;
    \item $\sen(7\pi/4)$;
    \item $\cos(11\pi/6)$;
    \item $\tg(2\pi/3)$;
    \item $\sen(-\pi/3)$;
    \item $\cos(-5\pi/6)$.
  \end{enumerate}

  \item Usando la periodicità e gli archi associati, ridurre all'intervallo $[0, \pi/2]$ e poi calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen(25\pi/6)$;
    \item $\cos(-13\pi/4)$;
    \item $\tg(17\pi/3)$;
    \item $\sen(-31\pi/6)$.
  \end{enumerate}

  \item Semplificare, usando gli archi associati, le seguenti espressioni:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen(\pi - \alpha) + \cos(\pi + \alpha)$;
    \item $\sen(-\alpha) \cdot \cos(\pi - \alpha)$;
    \item $\cos(\pi/2 - \alpha) - \sen(\pi/2 + \alpha)$;
    \item $\tg(\pi - \alpha) + \cotg(\pi/2 - \alpha)$;
    \item $\sen(\pi/2 + \alpha) \cdot \cos(-\alpha) - \sen(\pi - \alpha) \cdot \cos(\pi + \alpha)$.
  \end{enumerate}

  \item Mostrare che, per ogni $\alpha$,
  \[
    \sen^2(\pi - \alpha) + \cos^2(\pi/2 + \alpha) = 1.
  \]
  (Suggerimento: ridurre entrambe le funzioni a $\sen\alpha$ e $\cos\alpha$.)

  \item Mostrare che
  \[
    \sen(\pi/2 + \alpha) \cdot \sen(\pi - \alpha) = \sen\alpha \cos\alpha.
  \]

  \item Verificare le identità (cioè dimostrarle):
  \begin{enumerate}
    \item $\sen(\pi + \alpha) \cdot \cos(\pi - \alpha) = \sen\alpha \cos\alpha$;
    \item $\dfrac{\tg(\pi - \alpha)}{\tg(-\alpha)} = 1$ (specificando il dominio);
    \item $\cos(\pi/2 - \alpha) + \sen(\pi - \alpha) = 2 \sen\alpha$.
  \end{enumerate}

  \item Determinare l'angolo $\alpha \in [0, 2\pi)$ tale che $\sen\alpha = \sen(\pi/7)$ ma $\alpha \ne \pi/7$. (Suggerimento: usare la formula degli angoli supplementari.)

  \item Determinare tutti gli angoli $\alpha \in [0, 2\pi)$ tali che $\cos\alpha = \cos(2\pi/9)$. (Suggerimento: oltre allo stesso $2\pi/9$, c'è il suo opposto modulo $2\pi$.)

  \item Calcolare la somma $\sen(\pi/6) + \sen(2\pi/6) + \sen(3\pi/6) + \sen(4\pi/6) + \sen(5\pi/6)$. (Suggerimento: notare le coppie supplementari.)

  \item \emph{Sfida}. Mostrare che
  \[
    \sen\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \cos(\pi - \alpha) + \cos\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \sen(\pi + \alpha)
  \]
  vale $-1$ \emph{per ogni} $\alpha$. (Suggerimento: ridurre e usare $\sen^2 + \cos^2 = 1$.)

  \item Mostrare che la somma $\sen\alpha + \sen(\pi/2 + \alpha) + \sen(\pi + \alpha) + \sen(3\pi/2 + \alpha)$ è identicamente nulla per ogni $\alpha$. Lo stesso vale per la corrispondente somma di coseni.

  \item Disegnare sul cerchio goniometrico, per $\alpha = \pi/5$, i cinque punti $P_\alpha$, $P_{\pi - \alpha}$, $P_{\pi + \alpha}$, $P_{-\alpha}$, $P_{\pi/2 - \alpha}$. Verificare graficamente le simmetrie.

  \item Si consideri la funzione $f(\alpha) = \sen\alpha + \sen(\pi - \alpha)$. Mostrare che $f(\alpha) = 2\sen\alpha$, e dedurre che $f$ assume valori in $[-2, 2]$ (e non in $[-1, 1]$ come ci si potrebbe aspettare per il solo seno).

  \item Una calcolatrice scientifica fornisce $\sen(\num{1.234})\approx \num{0.9436}$ (in radianti). Senza usare la calcolatrice, dedurne i valori approssimati di $\sen(\pi - \num{1.234})$, $\sen(\pi + \num{1.234})$, $\cos(\pi/2 - \num{1.234})$, $\cos(\pi/2 + \num{1.234})$.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% ============================================================
\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:go-004-09-riepilogo-del-capitolo}
% ============================================================

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Gli \emph{archi associati} a $\alpha$ sono cinque angoli ottenuti per simmetria sul cerchio goniometrico: $\pi - \alpha$, $\pi + \alpha$, $-\alpha$, $\pi/2 - \alpha$, $\pi/2 + \alpha$.
  \item Ognuno corrisponde a una simmetria del piano cartesiano:
    \begin{itemize}
      \item $\pi - \alpha$: riflessione rispetto all'asse $y$;
      \item $\pi + \alpha$: simmetria centrale rispetto all'origine;
      \item $-\alpha$: riflessione rispetto all'asse $x$;
      \item $\pi/2 - \alpha$: riflessione rispetto alla bisettrice $y = x$;
      \item $\pi/2 + \alpha$: rotazione antioraria di $\pi/2$.
    \end{itemize}
  \item \emph{Identità chiave} (memorizzare la tabella):
  \[
    \sen(\pi - \alpha) = +\sen\alpha, \quad \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha;
  \]
  \[
    \sen(\pi + \alpha) = -\sen\alpha, \quad \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha;
  \]
  \[
    \sen(-\alpha) = -\sen\alpha, \quad \cos(-\alpha) = +\cos\alpha;
  \]
  \[
    \sen(\pi/2 - \alpha) = \cos\alpha, \quad \cos(\pi/2 - \alpha) = \sen\alpha;
  \]
  \[
    \sen(\pi/2 + \alpha) = \cos\alpha, \quad \cos(\pi/2 + \alpha) = -\sen\alpha.
  \]
  \item Da queste si deducono le relazioni per $\tg$, $\cotg$ ecc.\ dividendo seno per coseno: la tangente è dispari ($\tg(-\alpha) = -\tg\alpha$) e ha periodo $\pi$ ($\tg(\pi + \alpha) = \tg\alpha$).
  \item \emph{Etimologia}: il prefisso ``co-'' (coseno, cotangente, cosecante) viene da \emph{complementi}: $\cos\alpha = \sen(\pi/2 - \alpha)$, $\cotg\alpha = \tg(\pi/2 - \alpha)$, $\operatorname{cosec}\alpha = \operatorname{sec}(\pi/2 - \alpha)$.
  \item \emph{Procedura operativa di calcolo}: $(1)$ portare l'angolo in $[0, 2\pi)$ con la periodicità; $(2)$ identificare il quadrante; $(3)$ ricondurre a un angolo $\alpha'$ del I quadrante; $(4)$ applicare la formula corrispondente; $(5)$ calcolare $\sen\alpha'$, $\cos\alpha'$, $\tg\alpha'$ sul valore notevole.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GO-005}) studiamo i \emph{grafici} delle funzioni goniometriche e le loro trasformazioni (ampiezza, periodo, fase).
\end{itemize}
\end{riepilogo}