\chapter{Grafici delle funzioni goniometriche e trasformazioni}\label{cap:GO-005}

\citazioneinizio{%
  Tracciare il grafico di una funzione goniometrica significa srotolare la circonferenza unitaria lungo l'asse delle ascisse. Le oscillazioni che vediamo --- onde sonore, vibrazioni meccaniche, correnti alternate --- non sono altro che la versione lineare della rotazione circolare.%
}{Jean-Baptiste Joseph Fourier, \emph{Th\'eorie analytique de la chaleur} (1822) --- la prima opera che mostra come ogni fenomeno periodico si scomponga in armonici di seno e coseno}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:go-005-01-introduzione-motivazionale}
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Finora abbiamo trattato seno, coseno, tangente come \emph{numeri} associati a un angolo. In questo capitolo li guardiamo come \emph{funzioni} $f : \R \to \R$ e ne tracciamo il grafico nel piano cartesiano.

Ricaviamo i grafici direttamente dalla circonferenza goniometrica:
\begin{itemize}
  \item all'angolo $\alpha = 0$ il punto $P_0 = (1, 0)$ ha ordinata $0$ e ascissa $1$: dunque il grafico di $\sen\alpha$ parte da $0$ e il grafico di $\cos\alpha$ parte da $1$;
  \item al crescere di $\alpha$, $P_\alpha$ percorre il cerchio in senso antiorario; l'ordinata (seno) sale da $0$ a $1$, scende a $0$, poi a $-1$, e torna a $0$;
  \item l'ascissa (coseno) percorre la stessa traiettoria ma sfasata di un quarto di periodo.
\end{itemize}
Le funzioni così generate sono \emph{periodiche} di periodo $2\pi$ (o $\pi$ per la tangente): cioè $f(x + T) = f(x)$ per ogni $x$, dove $T$ è il \emph{periodo}.

Le applicazioni delle funzioni goniometriche sono ovunque: oscillazioni meccaniche (un pendolo, una molla), onde elettromagnetiche (luce, radio), correnti alternate, acustica, segnali digitali (FFT). La capacità di leggere e modificare il loro grafico --- traslandolo, comprimendolo, dilatandolo --- è un prerequisito per fisica, ingegneria e analisi.

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\section{Grafico di $y = \sen x$}\label{sec:go-005-02-grafico-sen-x}
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La funzione $y = \sen x$ ha dominio $\R$ e codominio $[-1, 1]$. È periodica di periodo $2\pi$ e dispari. Il suo grafico è la \emph{sinusoide} di base: una curva ondulata che oscilla fra $-1$ e $1$, con zeri nei multipli di $\pi$.

\begin{formulabox}
\textbf{Caratteristiche di $y = \sen x$}:
\begin{itemize}
  \item dominio: $\R$; \quad codominio: $[-1, 1]$;
  \item periodicità: $\sen(x + 2\pi) = \sen x$ (periodo $T = 2\pi$);
  \item parità: $\sen(-x) = -\sen x$ (\emph{dispari}, simmetria rispetto all'origine);
  \item zeri: $x = k\pi$ con $k \in \Z$;
  \item massimi $y = 1$ in $x = \pi/2 + 2k\pi$;
  \item minimi $y = -1$ in $x = 3\pi/2 + 2k\pi$;
  \item crescente in $[-\pi/2 + 2k\pi, \, \pi/2 + 2k\pi]$, decrescente altrove.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
  width=12cm, height=5cm,
  axis lines=middle,
  xlabel={$x$}, ylabel={$y$},
  xtick={-6.2832, -4.7124, -3.1416, -1.5708, 0, 1.5708, 3.1416, 4.7124, 6.2832},
  xticklabels={$-2\pi$, $-3\pi/2$, $-\pi$, $-\pi/2$, $0$, $\pi/2$, $\pi$, $3\pi/2$, $2\pi$},
  ytick={-1, -0.5, 0.5, 1},
  ymin=-1.4, ymax=1.4,
  xmin=-6.7, xmax=6.7,
  samples=200,
  domain=-6.2832:6.2832,
  grid=both,
  major grid style={GRIGIO!30},
]
  \addplot[thick, BLU] {sin(deg(x))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Grafico della funzione $y = \sen x$ su due periodi. La curva è simmetrica rispetto all'origine (funzione dispari) e oscilla fra $-1$ e $1$ con periodo $2\pi$.}\label{fig:go-005-grafico-sen}
\end{figure}

\emph{Costruzione punto per punto}. Si ricava il grafico calcolando $\sen x$ sui valori notevoli e poi unendo i punti con curva regolare:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & $0$ & $\pi/6$ & $\pi/4$ & $\pi/3$ & $\pi/2$ & $2\pi/3$ & $\pi$ & $3\pi/2$ \\
\hline
$\sen x$ & $0$ & $0{,}5$ & $\approx 0{,}71$ & $\approx 0{,}87$ & $1$ & $\approx 0{,}87$ & $0$ & $-1$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

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\section{Grafico di $y = \cos x$}\label{sec:go-005-03-grafico-cos-x}
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La funzione $y = \cos x$ ha le stesse caratteristiche di $\sen x$ (dominio $\R$, codominio $[-1,1]$, periodo $2\pi$), \emph{ma è pari} ($\cos(-x) = \cos x$, simmetria rispetto all'asse $y$) e parte dal massimo $y=1$ in $x=0$. Il suo grafico è una sinusoide \emph{traslata} di $\pi/2$ a sinistra rispetto a $\sen x$:
\[
  \cos x = \sen\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right).
\]

\begin{formulabox}
\textbf{Caratteristiche di $y = \cos x$}:
\begin{itemize}
  \item dominio: $\R$; \quad codominio: $[-1, 1]$;
  \item periodicità: $\cos(x + 2\pi) = \cos x$;
  \item parità: $\cos(-x) = \cos x$ (\emph{pari}, simmetria rispetto all'asse $y$);
  \item zeri: $x = \pi/2 + k\pi$;
  \item massimi $y = 1$ in $x = 2k\pi$;
  \item minimi $y = -1$ in $x = \pi + 2k\pi$;
  \item decrescente in $[2k\pi, \, \pi + 2k\pi]$, crescente altrove.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
  width=12cm, height=5cm,
  axis lines=middle,
  xlabel={$x$}, ylabel={$y$},
  xtick={-6.2832, -4.7124, -3.1416, -1.5708, 0, 1.5708, 3.1416, 4.7124, 6.2832},
  xticklabels={$-2\pi$, $-3\pi/2$, $-\pi$, $-\pi/2$, $0$, $\pi/2$, $\pi$, $3\pi/2$, $2\pi$},
  ytick={-1, -0.5, 0.5, 1},
  ymin=-1.4, ymax=1.4,
  xmin=-6.7, xmax=6.7,
  samples=200,
  domain=-6.2832:6.2832,
  grid=both,
  major grid style={GRIGIO!30},
]
  \addplot[thick, ARANCIO] {cos(deg(x))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Grafico della funzione $y = \cos x$ su due periodi. La curva è simmetrica rispetto all'asse $y$ (funzione pari): coincide col grafico di $\sen x$ traslato a sinistra di $\pi/2$.}\label{fig:go-005-grafico-cos}
\end{figure}

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\section{Grafico di $y = \tg x$}\label{sec:go-005-04-grafico-tan-x}
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La funzione $y = \tg x = \sen x / \cos x$ ha un grafico molto diverso da quelli di seno e coseno: \emph{non limitato} e con \emph{infiniti asintoti verticali}.

\begin{formulabox}
\textbf{Caratteristiche di $y = \tg x$}:
\begin{itemize}
  \item dominio: $\{x \in \R : x \ne \pi/2 + k\pi, k \in \Z\}$; \quad codominio: $\R$;
  \item periodicità: $\tg(x + \pi) = \tg x$ (periodo $T = \pi$);
  \item parità: $\tg(-x) = -\tg x$ (dispari);
  \item zeri: $x = k\pi$;
  \item \emph{asintoti verticali}: $x = \pi/2 + k\pi$;
  \item monotona \emph{crescente} su ciascun intervallo $(-\pi/2 + k\pi, \, \pi/2 + k\pi)$;
  \item nessun massimo o minimo assoluto: la funzione diverge a $\pm\infty$ vicino agli asintoti.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
  width=12cm, height=6cm,
  axis lines=middle,
  xlabel={$x$}, ylabel={$y$},
  xtick={-4.7124, -3.1416, -1.5708, 0, 1.5708, 3.1416, 4.7124},
  xticklabels={$-3\pi/2$, $-\pi$, $-\pi/2$, $0$, $\pi/2$, $\pi$, $3\pi/2$},
  ytick={-4, -2, 2, 4},
  ymin=-5, ymax=5,
  xmin=-5, xmax=5,
  samples=200,
  grid=both,
  major grid style={GRIGIO!30},
  restrict y to domain=-5:5,
]
  \addplot[thick, VIOLA, domain=-4.6:-1.6708] {tan(deg(x))};
  \addplot[thick, VIOLA, domain=-1.4708:1.4708] {tan(deg(x))};
  \addplot[thick, VIOLA, domain=1.6708:4.6] {tan(deg(x))};
  \draw[dashed, GRIGIO] (axis cs:-4.7124,-5) -- (axis cs:-4.7124,5);
  \draw[dashed, GRIGIO] (axis cs:-1.5708,-5) -- (axis cs:-1.5708,5);
  \draw[dashed, GRIGIO] (axis cs:1.5708,-5) -- (axis cs:1.5708,5);
  \draw[dashed, GRIGIO] (axis cs:4.7124,-5) -- (axis cs:4.7124,5);
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Grafico della funzione $y = \tg x$. La funzione è discontinua: ha asintoti verticali in $x = \pi/2 + k\pi$ (linee tratteggiate). Su ogni intervallo fra due asintoti consecutivi è monotona crescente da $-\infty$ a $+\infty$.}\label{fig:go-005-grafico-tan}
\end{figure}

\emph{Confronto coi grafici di seno e coseno}. Mentre $\sen$ e $\cos$ sono limitate fra $-1$ e $1$ e continue ovunque, $\tg$ diverge agli asintoti e ha periodo dimezzato ($\pi$ invece di $2\pi$).

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\section{Trasformazioni: ampiezza, periodo, fase, traslazione verticale}\label{sec:go-005-05-trasformazioni}
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A partire da $y = \sen x$ (o $\cos x$) si costruisce una famiglia generale di sinusoidi:
\[
  y = A \sen(\omega x + \varphi) + k.
\]
Ciascuno dei quattro parametri $A, \omega, \varphi, k$ ha un significato geometrico preciso.

\subsection*{Parametro $A$ --- ampiezza}

Moltiplicare il seno per $A$ \emph{dilata verticalmente} il grafico di un fattore $|A|$:
\begin{itemize}
  \item se $|A| > 1$, la curva si \emph{allunga} verticalmente (oscilla fra $-|A|$ e $+|A|$);
  \item se $0 < |A| < 1$, la curva si \emph{schiaccia} verso l'asse $x$;
  \item se $A < 0$, c'è in più una riflessione rispetto all'asse $x$.
\end{itemize}
$|A|$ si chiama \emph{ampiezza} della sinusoide e rappresenta la massima distanza della curva dall'asse $x$ (o dalla linea di base, se c'è una traslazione verticale).

\subsection*{Parametro $\omega$ --- pulsazione (frequenza angolare)}

Sostituire $x$ con $\omega x$ \emph{comprime orizzontalmente} il grafico di un fattore $1/|\omega|$:
\begin{itemize}
  \item $\omega > 1$ comprime (più oscillazioni nello stesso intervallo);
  \item $0 < \omega < 1$ dilata (oscillazioni più lente);
  \item $\omega < 0$ riflette rispetto all'asse $y$ (ma per il seno è equivalente a un cambio di segno dell'ampiezza).
\end{itemize}
Il \emph{periodo} risultante è
\begin{formulabox}
\[
  T = \frac{2\pi}{|\omega|}.
\]
\end{formulabox}
Cioè la curva $y = A \sen(\omega x + \varphi) + k$ si ripete identica quando $x$ aumenta di $T$.

\emph{Frequenza}. La \emph{frequenza} è il reciproco del periodo, $f = 1/T = |\omega|/(2\pi)$, e indica quante oscillazioni complete si compiono in un'unità di $x$. In fisica $\omega$ si chiama \emph{pulsazione} o \emph{frequenza angolare} e $f$ è la frequenza in Hertz quando $x$ è il tempo.

\subsection*{Parametro $\varphi$ --- fase}

Aggiungere $\varphi$ all'argomento \emph{trasla orizzontalmente} il grafico. Più precisamente:
\[
  y = A \sen(\omega x + \varphi) = A \sen\!\left(\omega \left(x + \frac{\varphi}{\omega}\right)\right),
\]
cioè il grafico è quello di $A\sen(\omega x)$ traslato a \emph{sinistra} di $\varphi/\omega$ se $\varphi > 0$, a destra se $\varphi < 0$. La quantità $\varphi/\omega$ si chiama \emph{sfasamento}; $\varphi$ in radianti si chiama \emph{fase}.

\subsection*{Parametro $k$ --- traslazione verticale}

Sommare $k$ trasla l'intero grafico \emph{verso l'alto} di $k$ (verso il basso se $k<0$). La curva oscilla allora attorno alla retta $y = k$ invece che attorno all'asse $x$.

\subsection*{Sintesi}

\begin{formulabox}
\textbf{Trasformazioni standard di} $y = A \sen(\omega x + \varphi) + k$ (con $A, \omega > 0$):
\begin{itemize}
  \item \emph{ampiezza} $|A|$: oscilla fra $k - |A|$ e $k + |A|$;
  \item \emph{periodo} $T = 2\pi/\omega$;
  \item \emph{frequenza} $f = 1/T = \omega/(2\pi)$;
  \item \emph{sfasamento}: $-\varphi/\omega$ (a sinistra se $\varphi > 0$);
  \item \emph{linea di base} (centro delle oscillazioni): $y = k$.
\end{itemize}
\end{formulabox}

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\section{Funzioni del tipo $y = A\sen(\omega x + \varphi) + k$}\label{sec:go-005-06-funzioni-asin}
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Riuniamo i quattro parametri in un esempio paradigmatico.

\begin{esempio}[Analisi di una sinusoide composta]
Studiare la funzione $y = 3 \sen\!\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 1$ e determinarne ampiezza, periodo, sfasamento, linea di base, massimo, minimo.

\textbf{Identificazione dei parametri}. $A = 3$, $\omega = 2$, $\varphi = -\pi/3$, $k = 1$.

\textbf{Ampiezza}: $|A| = 3$. La curva oscilla in un intervallo di altezza $6$.

\textbf{Linea di base}: $y = k = 1$. Le oscillazioni avvengono attorno a $y = 1$.

\textbf{Massimo}: $y_{\max} = k + |A| = 1 + 3 = 4$.

\textbf{Minimo}: $y_{\min} = k - |A| = 1 - 3 = -2$.

\textbf{Periodo}: $T = 2\pi/\omega = 2\pi/2 = \pi$.

\textbf{Sfasamento}: $-\varphi/\omega = -(-\pi/3)/2 = \pi/6$. La curva è quella di $3\sen(2x) + 1$ traslata a destra di $\pi/6$.
\end{esempio}

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
  width=12cm, height=6cm,
  axis lines=middle,
  xlabel={$x$}, ylabel={$y$},
  xtick={-3.1416, -1.5708, 0, 0.5236, 1.5708, 3.1416, 4.7124},
  xticklabels={$-\pi$, $-\pi/2$, $0$, $\pi/6$, $\pi/2$, $\pi$, $3\pi/2$},
  ytick={-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4},
  ymin=-3, ymax=5,
  xmin=-3.5, xmax=4.5,
  samples=200,
  domain=-3.1416:4.1416,
  grid=both,
  major grid style={GRIGIO!30},
]
  \addplot[thick, BLU!30] {sin(deg(x))};
  \addplot[thick, ROSSO] {3*sin(2*deg(x) - 60) + 1};
  \draw[dashed, VERDE] (axis cs:-3.5,1) -- (axis cs:4.5,1) node[right] {\small $y=1$};
  \draw[dashed, GRIGIO] (axis cs:-3.5,4) -- (axis cs:4.5,4) node[right] {\small $y=4$};
  \draw[dashed, GRIGIO] (axis cs:-3.5,-2) -- (axis cs:4.5,-2) node[right] {\small $y=-2$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Grafico di $y = 3 \sen(2x - \pi/3) + 1$ (rosso) confrontato con $y = \sen x$ (blu chiaro di riferimento). La curva rossa ha ampiezza $3$, periodo $\pi$, sfasamento $\pi/6$ a destra, e oscilla attorno alla linea di base $y = 1$ (verde) fra i valori $-2$ e $4$.}\label{fig:go-005-trasformazioni}
\end{figure}

\subsection*{Procedura sintetica}

\begin{procedura}[Tracciare il grafico di $y = A\sen(\omega x + \varphi) + k$]
\begin{enumerate}
  \item Calcolare \emph{ampiezza} $|A|$, \emph{periodo} $T = 2\pi/\omega$, \emph{sfasamento} $-\varphi/\omega$, \emph{linea di base} $y = k$.
  \item Tracciare la linea di base $y = k$ orizzontale.
  \item Identificare il punto di partenza di un ciclo: $x_0 = -\varphi/\omega$, $y = k$ (la curva attraversa la linea di base in salita lì, se $A>0$).
  \item Disegnare un periodo completo da $x_0$ a $x_0 + T$: la curva sale fino a $y = k + |A|$ in $x_0 + T/4$, ritorna a $k$ in $x_0 + T/2$, scende a $k - |A|$ in $x_0 + 3T/4$, risale a $k$ in $x_0 + T$.
  \item Replicare per periodicità a destra e a sinistra.
\end{enumerate}
\end{procedura}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:go-005-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Riconoscere i parametri da un grafico]
Una curva è una sinusoide con ampiezza $2$, periodo $4\pi$, oscilla attorno a $y = 3$ e ha massimo in $x = \pi/2$. Trovarne l'equazione.

\textbf{Parametri}. $|A| = 2$, $T = 4\pi$ implica $\omega = 2\pi/T = 1/2$, $k = 3$.

\textbf{Fase dal massimo}. Per $y = A\sen(\omega x + \varphi) + k$ con $A > 0$, il massimo si ha quando $\omega x + \varphi = \pi/2 + 2k\pi$. In $x = \pi/2$: $(1/2)(\pi/2) + \varphi = \pi/2 \Rightarrow \varphi = \pi/2 - \pi/4 = \pi/4$.

\textbf{Equazione}: $y = 2 \sen\!\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right) + 3$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Da seno a coseno e viceversa]
Riscrivere $y = \sen x$ usando il coseno.

\textbf{Algebra}. Dalla relazione $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sen x$ (archi associati, cap.~\ref{cap:GO-004}):
\[
  \sen x = \cos\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos\!\left(x - \frac{\pi}{2}\right),
\]
sfruttando la parità del coseno. Dunque $y = \sen x$ si scrive anche come $y = \cos\!\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)$: stesso grafico, espressione diversa.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Onde sonore: ampiezza e frequenza]
Una nota musicale ``La'' (440 Hz) ha forma d'onda
\[
  y(t) = A \sen(2\pi \cdot 440 \cdot t),
\]
dove $t$ è il tempo in secondi e $A$ è l'intensità (ampiezza) del segnale.

\textbf{Periodo}: $T = 1/440 \approx \SI{2.27}{\milli\second}$ (intervallo fra due picchi).

\textbf{Pulsazione}: $\omega = 2\pi \cdot 440 \approx \num{2765}$ rad/s.

\textbf{Frequenza}: $f = 440$ Hz (numero di oscillazioni al secondo).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sinusoide con coefficiente negativo]
Studiare $y = -2 \cos\!\left(\pi x + \dfrac{\pi}{2}\right)$.

\textbf{Riscrittura}. Usando $-\cos\beta = \cos(\beta + \pi)$: $y = 2 \cos(\pi x + \pi/2 + \pi) = 2 \cos(\pi x + 3\pi/2)$. Oppure usando $\cos(\beta + \pi/2) = -\sen\beta$: $y = -2 \cdot (-\sen(\pi x)) = 2 \sen(\pi x)$. Quindi la funzione è semplicemente $y = 2 \sen(\pi x)$.

\textbf{Parametri}. $A = 2$, $\omega = \pi$, $\varphi = 0$, $k = 0$. Periodo $T = 2\pi/\pi = 2$. Ampiezza $2$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Punti di intersezione]
Determinare i punti in cui le curve $y = \sen x$ e $y = \cos x$ si intersecano nell'intervallo $[0, 2\pi)$.

\textbf{Equazione}. $\sen x = \cos x \iff \tg x = 1$ (per $\cos x \ne 0$).

\textbf{Soluzioni}: $x = \pi/4$ e $x = 5\pi/4$, entrambe valide (in nessuna $\cos x = 0$). In $x = \pi/4$ entrambe valgono $\sqrt{2}/2$; in $x = 5\pi/4$ entrambe valgono $-\sqrt{2}/2$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Dominio di una funzione con tangente]
Determinare il dominio di $y = \tg(2x - \pi/4)$.

\textbf{Condizione}. $\cos(2x - \pi/4) \ne 0$, cioè $2x - \pi/4 \ne \pi/2 + k\pi$.

\textbf{Risolvendo}: $2x \ne 3\pi/4 + k\pi \iff x \ne 3\pi/8 + k\pi/2$.

\textbf{Dominio}: $D = \{x \in \R : x \ne 3\pi/8 + k\pi/2, \, k \in \Z\}$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:go-005-08-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Per ciascuna delle seguenti funzioni, determinare ampiezza, periodo, sfasamento, linea di base, massimo, minimo:
  \begin{enumerate}
    \item $y = 2 \sen x$;
    \item $y = \sen(3x)$;
    \item $y = \cos(x/2)$;
    \item $y = \sen(x - \pi/4)$;
    \item $y = -3 \cos(\pi x) + 2$;
    \item $y = 5 \sen(2x + \pi/6) - 1$;
    \item $y = (1/2) \cos(3x - \pi/4) + 3$.
  \end{enumerate}

  \item Tracciare a mano (o con GeoGebra) i grafici delle funzioni dell'esercizio precedente, indicando chiaramente massimi, minimi, zeri, e la linea di base.

  \item Determinare l'equazione della sinusoide che ha:
  \begin{enumerate}
    \item ampiezza $4$, periodo $2\pi$, sfasamento $0$, linea di base $y = 0$;
    \item ampiezza $1$, periodo $\pi$, sfasamento $\pi/4$ a destra, linea di base $y = -2$;
    \item ampiezza $3$, periodo $4$, sfasamento $1$ a sinistra, linea di base $y = 5$.
  \end{enumerate}

  \item Determinare il dominio delle seguenti funzioni:
  \begin{enumerate}
    \item $y = \tg(3x)$;
    \item $y = \tg(x + \pi/6)$;
    \item $y = 1/\sen x$;
    \item $y = 1/\cos(2x)$;
    \item $y = \tg(x/2 - \pi/3)$.
  \end{enumerate}

  \item Determinare i massimi e minimi assoluti delle seguenti funzioni (cioè $\max$ e $\min$ della funzione su $\R$):
  \begin{enumerate}
    \item $y = 1 + 2 \sen(3x)$;
    \item $y = -4 \cos(x + \pi/3)$;
    \item $y = 5 - 3 \sen(x)$;
    \item $y = 2 + |\sen x|$ (attenzione: il valore assoluto cambia il codominio!).
  \end{enumerate}

  \item Risolvere graficamente l'equazione $\sen x = 1/2$ nell'intervallo $[0, 4\pi]$, contando il numero di soluzioni.

  \item Risolvere graficamente l'equazione $\cos x = x/4$ nell'intervallo $[0, 4\pi]$, individuando approssimativamente le soluzioni (numero e ascissa).

  \item Riscrivere $y = \cos x$ come $y = \sen(\omega x + \varphi) + k$ scegliendo opportunamente i parametri.

  \item Determinare a quale altezza si trova la marea $h(t) = 3 \sen\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) + 4$ (in metri) per:
  \begin{enumerate}
    \item $t = 0$ ore;
    \item $t = 3$ ore (massimo!);
    \item $t = 6$ ore;
    \item $t = 9$ ore (minimo).
  \end{enumerate}
  Verificare che il periodo è $12$ ore (compatibile con il fenomeno reale delle maree semidiurne).

  \item \emph{Sfida}. Mostrare che la funzione $f(x) = \sen x + \cos x$ è anch'essa una sinusoide e determinarne ampiezza, periodo, fase. (Suggerimento: si può riscrivere come $\sqrt{2} \sen(x + \pi/4)$.)

  \item Generalizzare l'esercizio precedente: mostrare che $a \sen x + b \cos x = R \sen(x + \varphi)$ con $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ e $\tg\varphi = b/a$. (Formula importantissima per le equazioni goniometriche lineari, cap.~\ref{cap:GO-010}.)

  \item Un'altalena oscilla con angolo $\theta(t) = 0{,}3 \sen(2t + \pi/6)$ rad (con $t$ in secondi). Determinare:
  \begin{enumerate}
    \item l'angolo massimo (in gradi);
    \item il periodo dell'oscillazione;
    \item l'angolo a $t = 0$;
    \item l'istante in cui l'angolo è massimo per la prima volta dopo $t = 0$.
  \end{enumerate}

  \item Tracciare il grafico di $y = \sen(1/x)$ per $x \ne 0$ in un intorno dell'origine. (\emph{Sfida visiva}: la funzione oscilla infinitamente più volte vicino a $x = 0$.) Cosa si può dire del limite $\lim_{x\to 0} \sen(1/x)$?

  \item Una corrente alternata in un circuito elettrico ha la forma $I(t) = I_0 \sen(2\pi f t)$ con $I_0 = \SI{10}{\ampere}$ e $f = \SI{50}{\hertz}$. Calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item il periodo $T$ in millisecondi;
    \item la corrente a $t = \SI{2.5}{\milli\second}$;
    \item gli istanti del primo periodo in cui $I(t) = 5$ A.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:go-005-09-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Grafico di $\sen x$}: sinusoide standard, dominio $\R$, codominio $[-1, 1]$, periodo $2\pi$, dispari, zeri in $k\pi$, massimo $1$ in $\pi/2 + 2k\pi$, minimo $-1$ in $3\pi/2 + 2k\pi$.
  \item \emph{Grafico di $\cos x$}: identico al precedente, traslato a sinistra di $\pi/2$. Pari, zeri in $\pi/2 + k\pi$, massimo $1$ in $2k\pi$, minimo $-1$ in $\pi + 2k\pi$.
  \item \emph{Grafico di $\tg x$}: periodo $\pi$, dispari, codominio $\R$, asintoti verticali in $x = \pi/2 + k\pi$, monotona crescente fra due asintoti consecutivi.
  \item \emph{Funzione sinusoidale generale}: $y = A \sen(\omega x + \varphi) + k$.
    \begin{itemize}
      \item ampiezza $|A|$: max distanza dalla linea di base;
      \item periodo $T = 2\pi/|\omega|$;
      \item frequenza $f = 1/T$ (oscillazioni per unità di $x$);
      \item sfasamento $-\varphi/\omega$ (positivo a sinistra);
      \item linea di base $y = k$, attorno cui la curva oscilla.
    \end{itemize}
  \item \emph{Massimi e minimi}: $y_{\max} = k + |A|$, $y_{\min} = k - |A|$.
  \item Per riscrivere $\cos$ come $\sen$ (o viceversa): $\cos x = \sen(x + \pi/2)$.
  \item Per riconoscere una sinusoide nascosta in $a\sen x + b\cos x$: c'è sempre una scrittura $R\sen(x + \varphi)$ con $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GO-006}) introduciamo le \emph{formule di addizione e sottrazione}, che generalizzano $\sen(\alpha \pm \beta)$ e $\cos(\alpha \pm \beta)$.
\end{itemize}
\end{riepilogo}