\chapter{Formule parametriche, di prostaferesi, di Werner}\label{cap:GO-008}

\citazioneinizio{%
  Le formule di prostaferesi --- dal greco \emph{pros-thesis} (aggiunta) e \emph{aph-airesis} (sottrazione) --- furono inventate dagli astronomi del XVI secolo come scorciatoia per trasformare prodotti in somme, prima che John Napier inventasse i logaritmi (1614). Per circa cinquant'anni furono lo strumento principale del calcolo astronomico.%
}{Johannes Werner, \emph{De triangulis sph\ae ricis libri quattuor} (ca.~1505) --- prima formulazione sistematica delle identità prodotto-somma}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:go-008-01-introduzione-motivazionale}
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In questo capitolo derivare tre nuove famiglie di identità a partire dalle formule di addizione e duplicazione viste nei capitoli precedenti (\ref{cap:GO-006} e \ref{cap:GO-007}):
\begin{itemize}
  \item \emph{formule parametriche}: esprimono $\sen\alpha$, $\cos\alpha$, $\tg\alpha$ in funzione di un singolo parametro $t = \tg(\alpha/2)$. Sono lo strumento per convertire qualunque espressione goniometrica in una espressione razionale di $t$, indispensabile in analisi (\emph{sostituzione di Weierstrass} negli integrali);
  \item \emph{formule di prostaferesi}: trasformano \emph{somme e differenze} di seni o coseni in \emph{prodotti};
  \item \emph{formule di Werner}: trasformano \emph{prodotti} di seni e coseni in \emph{somme}.
\end{itemize}

\emph{A che cosa servono?} A scomporre le espressioni goniometriche complesse: una somma fattorizzata si risolve più facilmente (per esempio l'equazione $\sen 3x + \sen x = 0$ diventa $2\sen 2x\cos x = 0$, immediata). Storicamente le formule di prostaferesi precedono i logaritmi e li sostituirono in astronomia per circa mezzo secolo (XVI secolo): trasformare un prodotto in somma significava ridurre il calcolo numerico a operazioni più semplici.

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\section{Formule parametriche (in funzione di $t = \tg(\alpha/2)$)}\label{sec:go-008-02-parametriche}
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\emph{Idea}. Posto $t = \tg(\alpha/2)$, vogliamo esprimere $\sen\alpha$, $\cos\alpha$ e $\tg\alpha$ \emph{razionalmente} in funzione del solo $t$.

\subsection*{Derivazione}

Dalle formule di duplicazione (cap.~\ref{cap:GO-007}) applicate a $\alpha = 2 \cdot (\alpha/2)$:
\[
  \sen\alpha = 2 \sen(\alpha/2) \cos(\alpha/2), \qquad \cos\alpha = \cos^2(\alpha/2) - \sen^2(\alpha/2).
\]
Dividiamo e moltiplichiamo entrambe per $\cos^2(\alpha/2)$:
\[
  \sen\alpha = \frac{2 \sen(\alpha/2) \cos(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)} \cdot \cos^2(\alpha/2) = \frac{2 \tg(\alpha/2)}{1} \cdot \cos^2(\alpha/2).
\]
Ricordando che $1 + \tg^2(\alpha/2) = 1/\cos^2(\alpha/2)$, si ha $\cos^2(\alpha/2) = 1/(1 + t^2)$. Quindi:
\[
  \sen\alpha = \frac{2t}{1 + t^2}.
\]
Analogamente per il coseno, dividendo e moltiplicando per $\cos^2(\alpha/2)$:
\[
  \cos\alpha = \cos^2(\alpha/2) - \sen^2(\alpha/2) = (1 - \tg^2(\alpha/2)) \cos^2(\alpha/2) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}.
\]
Per la tangente, dividendo membro a membro:
\[
  \tg\alpha = \frac{\sen\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2t/(1+t^2)}{(1-t^2)/(1+t^2)} = \frac{2t}{1 - t^2}.
\]

\begin{formulabox}
\textbf{Formule parametriche} (posto $t = \tg(\alpha/2)$):
\[
  \sen\alpha = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \cos\alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad \tg\alpha = \frac{2t}{1 - t^2}.
\]
\end{formulabox}

\emph{Dominio}. Le formule valgono quando $\tg(\alpha/2)$ è definita, cioè $\alpha/2 \ne \pi/2 + k\pi$, ovvero $\alpha \ne \pi + 2k\pi$. La tangente $\tg\alpha$ aggiunge la condizione $1 - t^2 \ne 0$, cioè $t \ne \pm 1$ (equivalente a $\alpha \ne \pi/2 + k\pi$, come ci si aspetta).

\subsection*{Osservazione geometrica: parametrizzazione del cerchio}

Le prime due formule parametriche, viste insieme, dicono qualcosa di profondo: il punto $P_\alpha = (\cos\alpha, \sen\alpha)$ della circonferenza goniometrica si parametrizza \emph{razionalmente} in funzione di un parametro reale $t$:
\[
  P(t) = \left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \, \frac{2t}{1 + t^2} \right), \qquad t \in \R.
\]
Al variare di $t \in \R$, il punto $P(t)$ percorre la circonferenza unitaria tranne il punto $(-1, 0)$ (che si ottiene per $t \to \pm\infty$). Questa è la \emph{parametrizzazione razionale} del cerchio, di importanza centrale in geometria algebrica.

\subsection*{Applicazione: sostituzione di Weierstrass}

In analisi, quando occorre calcolare un integrale del tipo $\int R(\sen x, \cos x) \, dx$ con $R$ una funzione razionale, si pone $t = \tg(x/2)$: l'integrale si trasforma in un integrale di funzione razionale di $t$, calcolabile coi metodi algebrici visti negli integrali (cap.~\ref{cap:AN-022}). Questa è la \emph{sostituzione di Weierstrass}, e dipende essenzialmente dalle formule parametriche.

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\section{Formule di prostaferesi (somma e differenza in prodotto)}\label{sec:go-008-03-prostaferesi}
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\emph{Idea}. Vogliamo trasformare $\sen p \pm \sen q$ (e analoghi col coseno) in un prodotto di seni e coseni. Partiamo dalle formule di addizione del seno:
\[
  \sen(\alpha + \beta) = \sen\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sen\beta,
\]
\[
  \sen(\alpha - \beta) = \sen\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sen\beta.
\]
\textbf{Sommando} e \textbf{sottraendo} membro a membro:
\[
  \sen(\alpha + \beta) + \sen(\alpha - \beta) = 2\sen\alpha\cos\beta,
\]
\[
  \sen(\alpha + \beta) - \sen(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\sen\beta.
\]
Posto $p = \alpha + \beta$ e $q = \alpha - \beta$ (cioè $\alpha = (p + q)/2$ e $\beta = (p - q)/2$):

\begin{formulabox}
\textbf{Formule di prostaferesi (seno)}:
\[
  \sen p + \sen q = 2 \sen\!\left(\frac{p + q}{2}\right) \cos\!\left(\frac{p - q}{2}\right),
\]
\[
  \sen p - \sen q = 2 \cos\!\left(\frac{p + q}{2}\right) \sen\!\left(\frac{p - q}{2}\right).
\]
\end{formulabox}

Analogamente, partendo dalle formule di addizione del coseno e sommando/sottraendo:

\begin{formulabox}
\textbf{Formule di prostaferesi (coseno)}:
\[
  \cos p + \cos q = 2 \cos\!\left(\frac{p + q}{2}\right) \cos\!\left(\frac{p - q}{2}\right),
\]
\[
  \cos p - \cos q = -2 \sen\!\left(\frac{p + q}{2}\right) \sen\!\left(\frac{p - q}{2}\right).
\]
\end{formulabox}

\emph{Attenzione al segno}. La quarta formula --- coseno meno coseno --- ha un \emph{segno meno} davanti al prodotto. È l'unica fra le quattro: ricordarsene.

\subsection*{Schema mnemonico}

\begin{formulabox}
\textbf{Riassunto delle prostaferesi}:
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|}
\hline
\textbf{Somma/differenza} & \textbf{Prodotto} \\
\hline
$\sen p + \sen q$ & $+ 2 \sen\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right) \cos\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$ \\[6pt]
$\sen p - \sen q$ & $+ 2 \cos\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right) \sen\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$ \\[6pt]
$\cos p + \cos q$ & $+ 2 \cos\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right) \cos\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$ \\[6pt]
$\cos p - \cos q$ & $- 2 \sen\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right) \sen\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{formulabox}

\emph{Pattern}: $(p+q)/2$ compare \emph{sempre} nel primo fattore, $(p-q)/2$ nel secondo. Il primo fattore eredita la funzione del primo termine se è una somma (sen+sen → sen, cos+cos → cos), o quella ``opposta'' se è una differenza (sen-sen → cos×sen, cos-cos → sen×sen col meno).

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\section{Formule di Werner (prodotto in somma)}\label{sec:go-008-04-werner}
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\emph{Idea}. Riprendiamo le stesse equazioni di addizione, ma ora le risolviamo rispetto al \emph{prodotto}, non alla somma. Da:
\[
  \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta,
\]
si ricava direttamente:

\begin{formulabox}
\textbf{Formule di Werner}:
\[
  \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\bigl[ \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \bigr],
\]
\[
  \sen\alpha\sen\beta = \frac{1}{2}\bigl[ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \bigr],
\]
\[
  \sen\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\bigl[ \sen(\alpha + \beta) + \sen(\alpha - \beta) \bigr].
\]
\end{formulabox}

\emph{Le tre formule corrispondono alle tre combinazioni del prodotto}: $\cos \cdot \cos$, $\sen \cdot \sen$, $\sen \cdot \cos$ (essendo il prodotto commutativo, $\cos\alpha\sen\beta$ rientra nell'ultima per simmetria).

\subsection*{Quando usare prostaferesi e quando Werner?}

\begin{procedura}[Strategia di trasformazione]
\begin{itemize}
  \item \emph{Hai una somma o differenza e ti serve un prodotto}? → \textbf{Prostaferesi}.
    \begin{itemize}
      \item Esempio tipico: equazioni della forma $\sen p + \sen q = 0$ si fattorizzano e quindi si risolvono.
    \end{itemize}
  \item \emph{Hai un prodotto e ti serve una somma}? → \textbf{Werner}.
    \begin{itemize}
      \item Esempio tipico: integrali $\int \sen 3x \cos 5x \, dx$ diventano somme di integrali di seni semplici.
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{procedura}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:go-008-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Valore di $\sen\alpha$ con la formula parametrica]
Sapendo che $\tg(\alpha/2) = 3$, calcolare $\sen\alpha$ e $\cos\alpha$.

\textbf{Algebra}. Posto $t = 3$:
\[
  \sen\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 + 9} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.
\]
\[
  \cos\alpha = \frac{1 - 9}{1 + 9} = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}.
\]

\textbf{Verifica}: $\sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 9/25 + 16/25 = 1$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Da prodotto a somma con Werner]
Trasformare $\cos 7x \cos 3x$ in somma di coseni.

\textbf{Werner}: con $\alpha = 7x$, $\beta = 3x$:
\[
  \cos 7x \cos 3x = \frac{1}{2}\bigl[ \cos(7x - 3x) + \cos(7x + 3x) \bigr] = \frac{1}{2}\bigl[\cos 4x + \cos 10x\bigr].
\]
\textbf{Utilità}: trasforma un prodotto difficile da integrare in una somma di coseni con coefficienti elementari.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Da somma a prodotto con prostaferesi]
Trasformare $\sen 80° + \sen 20°$ in prodotto.

\textbf{Prostaferesi}: con $p = 80°$, $q = 20°$:
\[
  \sen 80° + \sen 20° = 2 \sen\!\left(\frac{80° + 20°}{2}\right) \cos\!\left(\frac{80° - 20°}{2}\right) = 2 \sen 50° \cos 30°.
\]
Poiché $\sen 50° = \cos 40°$ e $\cos 30° = \sqrt{3}/2$:
\[
  = 2 \cos 40° \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cos 40°.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione goniometrica con prostaferesi]
Risolvere $\sen 3x + \sen x = 0$ in $[0, 2\pi)$.

\textbf{Prostaferesi}: $\sen 3x + \sen x = 2 \sen\!\left(\dfrac{3x + x}{2}\right) \cos\!\left(\dfrac{3x - x}{2}\right) = 2 \sen 2x \cos x$.

\textbf{Equazione fattorizzata}: $2 \sen 2x \cos x = 0 \iff \sen 2x = 0 \text{ o } \cos x = 0$.

\textbf{Soluzioni di $\sen 2x = 0$}: $2x = k\pi$, ovvero $x = k\pi/2$. In $[0, 2\pi)$: $x = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$.

\textbf{Soluzioni di $\cos x = 0$}: $x = \pi/2 + k\pi$. In $[0, 2\pi)$: $x = \pi/2, 3\pi/2$ (già incluse).

\textbf{Soluzioni totali in $[0, 2\pi)$}: $x \in \{0, \pi/2, \pi, 3\pi/2\}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Identità mista]
Mostrare che $\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x = 4 \cos x \cos 2x \cos 4x$.

\textbf{Strategia}. Raggruppiamo a coppie e applichiamo prostaferesi due volte.
\[
  (\cos x + \cos 7x) + (\cos 3x + \cos 5x) = 2\cos 4x\cos 3x + 2\cos 4x\cos x = 2\cos 4x (\cos x + \cos 3x).
\]
Applichiamo di nuovo:
\[
  \cos x + \cos 3x = 2\cos 2x \cos x.
\]

\textbf{Conclusione}:
\[
  \cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x = 2\cos 4x \cdot 2 \cos 2x \cos x = 4 \cos x \cos 2x \cos 4x.
\]
\checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Werner per un integrale]
Calcolare $\int \sen 5x \cos 2x \, dx$.

\textbf{Werner}: $\sen 5x \cos 2x = (1/2)\bigl[\sen(5x + 2x) + \sen(5x - 2x)\bigr] = (1/2)(\sen 7x + \sen 3x)$.

\textbf{Integrale}:
\[
  \int \sen 5x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \int (\sen 7x + \sen 3x) \, dx = -\frac{1}{14} \cos 7x - \frac{1}{6} \cos 3x + C.
\]
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:go-008-06-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Usando le formule parametriche, calcolare $\sen\alpha$, $\cos\alpha$, $\tg\alpha$ sapendo che:
  \begin{enumerate}
    \item $\tg(\alpha/2) = 2$;
    \item $\tg(\alpha/2) = -1/3$;
    \item $\tg(\alpha/2) = 5$;
    \item $\tg(\alpha/2) = 1$ (attenzione: $\tg\alpha$ non è definita; perché?).
  \end{enumerate}

  \item Trasformare in prodotto, usando le formule di prostaferesi:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen 5x + \sen 3x$;
    \item $\sen 4x - \sen 2x$;
    \item $\cos 6x + \cos 2x$;
    \item $\cos x - \cos 3x$;
    \item $\sen 75° + \sen 15°$;
    \item $\cos(\pi/12) - \cos(5\pi/12)$.
  \end{enumerate}

  \item Trasformare in somma, usando le formule di Werner:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen 5x \sen 3x$;
    \item $\cos 7x \cos x$;
    \item $\sen 4x \cos 2x$;
    \item $\cos 3x \sen 5x$;
    \item $\sen(\pi/12) \cos(5\pi/12)$.
  \end{enumerate}

  \item Risolvere le seguenti equazioni in $[0, 2\pi)$ usando le prostaferesi:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen 3x = \sen x$;
    \item $\cos 5x = \cos 3x$;
    \item $\sen 3x + \sen x = \cos x$;
    \item $\cos 2x - \cos 4x = 0$;
    \item $\sen 2x + \sen 4x + \sen 6x = 0$.
  \end{enumerate}

  \item Calcolare i seguenti integrali usando le formule di Werner:
  \begin{enumerate}
    \item $\int \sen 3x \cos 5x \, dx$;
    \item $\int \cos 2x \cos 4x \, dx$;
    \item $\int \sen 7x \sen 3x \, dx$;
    \item $\int \sen x \sen 2x \sen 3x \, dx$ (suggerimento: applicare Werner due volte).
  \end{enumerate}

  \item Verificare le seguenti identità:
  \begin{enumerate}
    \item $\dfrac{\sen p + \sen q}{\cos p + \cos q} = \tg\!\left(\dfrac{p + q}{2}\right)$;
    \item $\dfrac{\sen p - \sen q}{\cos p + \cos q} = \tg\!\left(\dfrac{p - q}{2}\right)$;
    \item $\dfrac{\cos p - \cos q}{\sen p + \sen q} = -\tg\!\left(\dfrac{p - q}{2}\right)$;
    \item $\dfrac{\sen p + \sen q}{\sen p - \sen q} = \tg\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right) \cotg\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$.
  \end{enumerate}

  \item Mostrare che, per ogni $\alpha$,
  \[
    \sen\alpha + \sen(\alpha + 2\pi/3) + \sen(\alpha + 4\pi/3) = 0.
  \]
  (Suggerimento: applicare prostaferesi alle prime due, semplificare, sommare con la terza. Risultato classico: la somma di tre seni equiripartiti su un giro vale zero.)

  \item Verificare l'identità di Lagrange (anticipo):
  \[
    \sum_{k=1}^{n} \cos k\theta = \frac{\sen(n\theta/2) \cos((n+1)\theta/2)}{\sen(\theta/2)},
  \]
  almeno per $n = 2$ e $n = 3$. (Suggerimento: induzione, o moltiplicazione per $2\sen(\theta/2)$ e prostaferesi.)

  \item Dato $f(x) = \sen x \sen 2x \sen 3x$, riscrivere $f(x)$ come somma di seni o coseni di multipli di $x$. (Suggerimento: applicare prima Werner a $\sen x \sen 3x$ e poi a quello che resta.)

  \item \emph{Sfida (parametrizzazione razionale del cerchio)}. Mostrare che, al variare di $t \in \R$, il punto
  \[
    P(t) = \left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \, \frac{2t}{1 + t^2} \right)
  \]
  percorre tutti i punti del cerchio unitario $x^2 + y^2 = 1$ tranne $(-1, 0)$ (escluso). Verificare che la retta passante per $(-1, 0)$ con pendenza $t$ interseca la circonferenza nel punto $P(t)$. (Geometria proiettiva!)

  \item Calcolare $\cos(\pi/12)$ usando la formula parametrica con $t = \tg(\pi/24)$. Comparare con il risultato ottenuto in cap.~\ref{cap:GO-007} usando la bisezione.

  \item \emph{Sfida storica}. Tradurre nelle prostaferesi e Werner gli ``incartamenti'' di Tycho Brahe (XVI sec.) per calcolare prodotti astronomici. Esempio: per moltiplicare due numeri $a, b \in [-1, 1]$ si pone $a = \cos x$, $b = \cos y$ (tramite tavole goniometriche) e si calcola $a \cdot b = (\cos(x-y) + \cos(x+y))/2$, riducendo il prodotto a una somma di numeri ottenibili da tavole. È così che si calcolava la moltiplicazione prima dei logaritmi (1614).

  \item Risolvere il sistema goniometrico:
  \[
    \begin{cases}
      \sen x + \sen y = 1 \\
      \cos x + \cos y = 1
    \end{cases}
  \]
  con $x, y \in [0, 2\pi)$. (Suggerimento: applicare prostaferesi ad entrambe le equazioni, ridursi a un sistema in $(x+y)/2$ e $(x-y)/2$.)

  \item Mostrare che $\sen 3\alpha = \sen\alpha(2\cos 2\alpha + 1)$. (Suggerimento: scrivere $\sen 3\alpha = \sen\alpha + (\sen 3\alpha - \sen\alpha)$ e usare prostaferesi.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:go-008-07-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Formule parametriche} (posto $t = \tg(\alpha/2)$):
  \[
    \sen\alpha = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos\alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad \tg\alpha = \frac{2t}{1-t^2}.
  \]
  Dominio: $\alpha \ne \pi + 2k\pi$ (per le prime due) e $\alpha \ne \pi/2 + k\pi$ (per la terza).
  \item \emph{Parametrizzazione razionale del cerchio}: $P(t) = ((1-t^2)/(1+t^2), 2t/(1+t^2))$ copre tutto il cerchio unitario tranne $(-1, 0)$, al variare di $t \in \R$.
  \item \emph{Applicazione in analisi}: la sostituzione di Weierstrass $t = \tg(x/2)$ permette di ridurre $\int R(\sen x, \cos x) \, dx$ a un integrale di funzione razionale di $t$.
  \item \emph{Formule di prostaferesi} (somma/differenza $\to$ prodotto), con $\alpha = (p+q)/2$, $\beta = (p-q)/2$:
  \begin{align*}
    \sen p + \sen q &= 2 \sen\alpha\cos\beta, & \sen p - \sen q &= 2 \cos\alpha\sen\beta, \\
    \cos p + \cos q &= 2 \cos\alpha\cos\beta, & \cos p - \cos q &= -2 \sen\alpha\sen\beta.
  \end{align*}
  Attenzione al \emph{segno meno} nell'ultima formula.
  \item \emph{Formule di Werner} (prodotto $\to$ somma/differenza):
  \begin{align*}
    \cos\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)], \\
    \sen\alpha\sen\beta &= \tfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)], \\
    \sen\alpha\cos\beta &= \tfrac{1}{2}[\sen(\alpha+\beta) + \sen(\alpha-\beta)].
  \end{align*}
  \item \emph{Strategia operativa}: prostaferesi per fattorizzare somme/differenze (utile in equazioni), Werner per spezzare prodotti in somme (utile in integrali).
  \item \emph{Storia}: le formule di prostaferesi (Werner, 1505) precedono i logaritmi (Napier, 1614) e furono il principale strumento di calcolo astronomico per quasi un secolo --- trasformando prodotti, difficili, in somme, facili.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GO-009}) usiamo tutte le formule viste finora per risolvere le \emph{equazioni goniometriche elementari}: $\sen x = m$, $\cos x = m$, $\tg x = m$.
\end{itemize}
\end{riepilogo}