\chapter{Equazioni goniometriche elementari}\label{cap:GO-009}

\citazioneinizio{%
  Le equazioni goniometriche differiscono da quelle algebriche per una caratteristica essenziale: hanno infinite soluzioni. La periodicità delle funzioni $\sen$, $\cos$, $\tg$ obbliga a esprimere le soluzioni come ``famiglie'' parametrizzate da $k \in \Z$. Risolverle significa trovare \emph{tutte} le famiglie, e poi eventualmente selezionare quelle che cadono in un intervallo dato.%
}{Joseph-Louis Lagrange, \emph{Le\c{c}ons sur le calcul des fonctions} (1806) --- prima esposizione sistematica della struttura delle soluzioni di equazioni trigonometriche}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:go-009-01-introduzione-motivazionale}
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In questo capitolo affrontiamo la risoluzione delle \emph{equazioni goniometriche}: equazioni in cui l'incognita compare come argomento di una o più funzioni goniometriche. Le più semplici, dette \emph{elementari}, sono nella forma
\[
  \sen x = m, \qquad \cos x = m, \qquad \tg x = m,
\]
dove $m$ è un numero reale assegnato.

Tre osservazioni fondamentali distinguono questo tipo di equazioni da quelle algebriche viste finora.
\begin{enumerate}
  \item \emph{Periodicità $\to$ infinite soluzioni}. Se $x_0$ è una soluzione, lo è anche $x_0 + 2k\pi$ per ogni $k \in \Z$ (e $x_0 + k\pi$ per la tangente). Le soluzioni vanno scritte come ``famiglie'' dipendenti da un parametro intero.
  \item \emph{Esistenza vincolata da $|m|$}. Per $\sen x = m$ e $\cos x = m$ ci sono soluzioni solo se $|m| \le 1$. Per $\tg x = m$ ci sono soluzioni per ogni $m \in \R$.
  \item \emph{Doppia famiglia di soluzioni}. In un periodo, $\sen x = m$ e $\cos x = m$ hanno generalmente \emph{due} soluzioni (l'angolo principale e il suo associato), mentre $\tg x = m$ ne ha una sola.
\end{enumerate}

Imparare a risolvere correttamente queste equazioni --- con la giusta gestione del segno e delle famiglie infinite --- è il primo passo verso la risoluzione delle equazioni più complesse (lineari, omogenee, parametriche) che vedremo nel capitolo \ref{cap:GO-010}.

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\section{Equazione $\sen x = m$}\label{sec:go-009-02-eq-sen-x-m}
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\subsection*{Condizione di esistenza}

Poiché $-1 \le \sen x \le 1$ per ogni $x \in \R$, l'equazione $\sen x = m$ ha soluzioni \emph{se e solo se} $-1 \le m \le 1$. Se $|m| > 1$, l'equazione è impossibile.

\subsection*{Struttura delle soluzioni}

Geometricamente, $\sen x = m$ chiede di trovare tutti gli angoli $x$ tali che il punto $P_x$ del cerchio goniometrico abbia ordinata pari a $m$. Tracciando la retta orizzontale $y = m$, essa interseca il cerchio in:
\begin{itemize}
  \item un solo punto se $m = \pm 1$ (la retta è tangente);
  \item due punti se $-1 < m < 1$, simmetrici rispetto all'asse $y$.
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.6]
  % assi
  \draw[->, GRIGIO] (-1.4,0) -- (1.4,0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO] (0,-1.4) -- (0,1.4) node[above] {$y$};
  % circonferenza
  \draw[thick, BLU] (0,0) circle (1);
  % retta y=m
  \def\m{0.5}
  \draw[thick, ARANCIO, dashed] (-1.3,\m) -- (1.4,\m) node[right] {\small $y = m$};
  % angolo principale
  \pgfmathsetmacro{\angA}{asin(\m)}
  \pgfmathsetmacro{\angB}{180 - \angA}
  % raggi
  \draw[thick, ROSSO] (0,0) -- (\angA:1);
  \draw[thick, VERDE] (0,0) -- (\angB:1);
  % punti soluzione
  \filldraw[ROSSO] (\angA:1) circle (0.025) node[above right] {\small $x_1$};
  \filldraw[VERDE] (\angB:1) circle (0.025) node[above left] {\small $x_2 = \pi - x_1$};
  % archi
  \draw[ROSSO] (0.18,0) arc (0:\angA:0.18);
  \node[ROSSO] at ({\angA/2}:0.27) {\tiny $x_1$};
  \draw[VERDE] (0.32,0) arc (0:\angB:0.32);
  \node[VERDE] at ({\angB-15}:0.45) {\tiny $x_2$};
\end{tikzpicture}
\caption{Risoluzione grafica di $\sen x = m$. La retta orizzontale $y = m$ taglia il cerchio in due punti: l'angolo principale $x_1 = \arcsen m$ (rosso) e il suo supplementare $x_2 = \pi - x_1$ (verde).}\label{fig:go-009-grafico-sen}
\end{figure}

\begin{formulabox}
\textbf{Soluzioni di $\sen x = m$} (per $|m| \le 1$):
\[
  x = \arcsen m + 2k\pi \quad \text{oppure} \quad x = \pi - \arcsen m + 2k\pi, \qquad k \in \Z.
\]
Si scrive anche in forma compatta:
\[
  x = (-1)^k \arcsen m + k\pi, \qquad k \in \Z.
\]
\end{formulabox}

\emph{Funzione $\arcsen$}. La funzione $\arcsen : [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ è l'inversa del seno ristretto a $[-\pi/2, \pi/2]$. Restituisce l'\emph{angolo principale}: l'unico angolo in $[-\pi/2, \pi/2]$ il cui seno vale $m$.

\subsection*{Casi particolari}

\begin{formulabox}
\textbf{Soluzioni notevoli (memorizzare)}:
\begin{itemize}
  \item $\sen x = 0 \iff x = k\pi$;
  \item $\sen x = 1 \iff x = \pi/2 + 2k\pi$;
  \item $\sen x = -1 \iff x = -\pi/2 + 2k\pi = 3\pi/2 + 2k\pi$;
  \item $\sen x = 1/2 \iff x = \pi/6 + 2k\pi$ oppure $x = 5\pi/6 + 2k\pi$;
  \item $\sen x = -1/2 \iff x = -\pi/6 + 2k\pi$ oppure $x = 7\pi/6 + 2k\pi$;
  \item $\sen x = \sqrt{2}/2 \iff x = \pi/4 + 2k\pi$ oppure $x = 3\pi/4 + 2k\pi$;
  \item $\sen x = \sqrt{3}/2 \iff x = \pi/3 + 2k\pi$ oppure $x = 2\pi/3 + 2k\pi$.
\end{itemize}
\end{formulabox}

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\section{Equazione $\cos x = m$}\label{sec:go-009-03-eq-cos-x-m}
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\subsection*{Condizione di esistenza}

Come per il seno, l'equazione $\cos x = m$ ha soluzioni se e solo se $-1 \le m \le 1$.

\subsection*{Struttura delle soluzioni}

Geometricamente, $\cos x = m$ chiede gli angoli $x$ tali che $P_x$ abbia ascissa $m$. La retta verticale $x_{\text{cart}} = m$ taglia il cerchio in:
\begin{itemize}
  \item un solo punto se $m = \pm 1$;
  \item due punti se $-1 < m < 1$, simmetrici rispetto all'asse $x$.
\end{itemize}

\begin{formulabox}
\textbf{Soluzioni di $\cos x = m$} (per $|m| \le 1$):
\[
  x = \arccos m + 2k\pi \quad \text{oppure} \quad x = -\arccos m + 2k\pi, \qquad k \in \Z.
\]
Si scrive anche in forma compatta:
\[
  x = \pm \arccos m + 2k\pi, \qquad k \in \Z.
\]
\end{formulabox}

\emph{Funzione $\arccos$}. La funzione $\arccos : [-1, 1] \to [0, \pi]$ è l'inversa del coseno ristretto a $[0, \pi]$. Restituisce l'\emph{angolo principale}: l'unico angolo in $[0, \pi]$ il cui coseno vale $m$.

\subsection*{Casi particolari}

\begin{formulabox}
\textbf{Soluzioni notevoli}:
\begin{itemize}
  \item $\cos x = 0 \iff x = \pi/2 + k\pi$;
  \item $\cos x = 1 \iff x = 2k\pi$;
  \item $\cos x = -1 \iff x = \pi + 2k\pi$;
  \item $\cos x = 1/2 \iff x = \pm \pi/3 + 2k\pi$;
  \item $\cos x = -1/2 \iff x = \pm 2\pi/3 + 2k\pi$;
  \item $\cos x = \sqrt{2}/2 \iff x = \pm \pi/4 + 2k\pi$;
  \item $\cos x = \sqrt{3}/2 \iff x = \pm \pi/6 + 2k\pi$.
\end{itemize}
\end{formulabox}

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\section{Equazione $\tg x = m$}\label{sec:go-009-04-eq-tg-x-m}
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\subsection*{Condizione di esistenza}

A differenza di seno e coseno, la tangente \emph{non è limitata}: ha codominio $\R$. Quindi l'equazione $\tg x = m$ ha soluzioni \emph{per ogni} $m \in \R$.

\subsection*{Struttura delle soluzioni}

La tangente ha periodo $\pi$ (non $2\pi$): in ogni intervallo del tipo $(-\pi/2 + k\pi, \, \pi/2 + k\pi)$ la funzione è strettamente crescente da $-\infty$ a $+\infty$, quindi attraversa una sola volta ogni valore. Le soluzioni di $\tg x = m$ sono dunque tutte distanziate di $\pi$.

\begin{formulabox}
\textbf{Soluzioni di $\tg x = m$} (per ogni $m \in \R$):
\[
  x = \arctg m + k\pi, \qquad k \in \Z.
\]
\end{formulabox}

\emph{Funzione $\arctg$}. La funzione $\arctg : \R \to (-\pi/2, \pi/2)$ è l'inversa della tangente ristretta a $(-\pi/2, \pi/2)$.

\subsection*{Casi particolari}

\begin{formulabox}
\textbf{Soluzioni notevoli}:
\begin{itemize}
  \item $\tg x = 0 \iff x = k\pi$;
  \item $\tg x = 1 \iff x = \pi/4 + k\pi$;
  \item $\tg x = -1 \iff x = -\pi/4 + k\pi = 3\pi/4 + k\pi$;
  \item $\tg x = \sqrt{3} \iff x = \pi/3 + k\pi$;
  \item $\tg x = \sqrt{3}/3 \iff x = \pi/6 + k\pi$;
  \item $\tg x \to \pm \infty$ in $x = \pi/2 + k\pi$ (non è una soluzione, è un asintoto!).
\end{itemize}
\end{formulabox}

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\section{Equazioni $\sen f(x) = m$, $\cos f(x) = m$, $\tg f(x) = m$}\label{sec:go-009-05-equazioni-riconducibili}
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Quando l'argomento dell'equazione non è semplicemente $x$ ma una sua trasformazione $f(x)$ (per esempio $2x + \pi/3$, $x/2$, ecc.), si applica lo stesso metodo: prima si trovano tutti i valori di $f(x)$ che soddisfano l'equazione elementare, poi si risolve per $x$.

\begin{procedura}[Equazioni con argomento composto]
Per risolvere $\sen f(x) = m$:
\begin{enumerate}
  \item Calcolare $\arcsen m$ (e/o $\pi - \arcsen m$) per ottenere le due famiglie di valori di $f(x)$.
  \item Scrivere $f(x) = \arcsen m + 2k\pi$ e $f(x) = \pi - \arcsen m + 2k\pi$.
  \item Risolvere ciascuna delle due equazioni rispetto a $x$.
  \item \emph{Verificare} che le soluzioni cadano nel dominio della funzione $f$ (per esempio, se $f(x) = \tg x$, escludere $\pi/2 + k\pi$).
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Equazione con doppio angolo]
Risolvere $\sen 2x = 1/2$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$.

\textbf{Equazione elementare}. $\sen 2x = 1/2$ implica:
\[
  2x = \pi/6 + 2k\pi \quad \text{o} \quad 2x = 5\pi/6 + 2k\pi.
\]

\textbf{Risoluzione rispetto a $x$}:
\[
  x = \pi/12 + k\pi \quad \text{o} \quad x = 5\pi/12 + k\pi.
\]

\textbf{Selezione in $[0, 2\pi)$}: per ciascuna famiglia prendo $k = 0, 1$:
\[
  x \in \{\pi/12, \, 5\pi/12, \, 13\pi/12, \, 17\pi/12\}.
\]
Sono \emph{quattro} soluzioni in $[0, 2\pi)$ (mentre $\sen x = 1/2$ ne ha solo \emph{due}). Coerente: $2x$ ricopre due volte $[0, 2\pi)$ quando $x$ lo ricopre una.
\end{esempio}

\subsection*{Equazioni riconducibili tramite identità}

Spesso un'equazione apparentemente complicata si riconduce a una elementare usando le identità studiate nei capitoli precedenti (fondamentale, archi associati, duplicazione, prostaferesi). Per esempio:
\begin{itemize}
  \item $\sen^2 x = 1/4$ (vedi cap.~\ref{cap:GO-003}) → $\sen x = \pm 1/2$;
  \item $2 \sen x \cos x = \sqrt{3}/2$ → $\sen 2x = \sqrt{3}/2$ (duplicazione del seno);
  \item $\sen x + \cos x = 1$ → $\sqrt{2}\sen(x + \pi/4) = 1$ (riduzione $R\sen$, cap.~\ref{cap:GO-006}).
\end{itemize}
Quando vedete un'equazione complicata, il primo passo è \emph{guardare} se una identità nota la semplifica.

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\section{Esempi svolti}\label{sec:go-009-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Equazione classica del seno]
Risolvere $\sen x = -\sqrt{3}/2$.

\textbf{Angolo principale}: $\arcsen(-\sqrt{3}/2) = -\pi/3$.

\textbf{Due famiglie di soluzioni}:
\[
  x = -\pi/3 + 2k\pi \quad \text{o} \quad x = \pi - (-\pi/3) + 2k\pi = 4\pi/3 + 2k\pi.
\]

\textbf{In $[0, 2\pi)$}: $x = 4\pi/3$ (II famiglia, $k=0$) e $x = 5\pi/3$ (I famiglia, prendendo $k=1$ e ottenendo $-\pi/3 + 2\pi = 5\pi/3$).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione del coseno con $m$ negativo]
Risolvere $\cos x = -1/2$.

\textbf{Angolo principale}: $\arccos(-1/2) = 2\pi/3$.

\textbf{Soluzioni}:
\[
  x = \pm 2\pi/3 + 2k\pi.
\]

\textbf{In $[0, 2\pi)$}: $x = 2\pi/3$ e $x = -2\pi/3 + 2\pi = 4\pi/3$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione della tangente]
Risolvere $\tg x = \sqrt{3}$.

\textbf{Angolo principale}: $\arctg \sqrt{3} = \pi/3$.

\textbf{Soluzioni}: $x = \pi/3 + k\pi$.

\textbf{In $[0, 2\pi)$}: $x = \pi/3$ e $x = 4\pi/3$ (corrispondenti a $k=0, 1$).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione con $\sen^2 x$]
Risolvere $\sen^2 x - 1/4 = 0$ in $[0, 2\pi)$.

\textbf{Algebra}. $\sen^2 x = 1/4 \iff \sen x = \pm 1/2$.

\textbf{Caso $\sen x = 1/2$}: $x = \pi/6 + 2k\pi$ o $x = 5\pi/6 + 2k\pi$. In $[0, 2\pi)$: $\pi/6, \, 5\pi/6$.

\textbf{Caso $\sen x = -1/2$}: $x = 7\pi/6 + 2k\pi$ o $x = 11\pi/6 + 2k\pi$. In $[0, 2\pi)$: $7\pi/6, \, 11\pi/6$.

\textbf{Soluzioni totali}: $x \in \{\pi/6, 5\pi/6, 7\pi/6, 11\pi/6\}$ --- quattro soluzioni (spaziate di $\pi/3$ alternato).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione con tangente sull'argomento composto]
Risolvere $\tg(2x - \pi/3) = 1$ in $[0, 2\pi)$.

\textbf{Equazione elementare}. $\tg \alpha = 1 \iff \alpha = \pi/4 + k\pi$.

\textbf{Sostituendo $\alpha = 2x - \pi/3$}:
\[
  2x - \pi/3 = \pi/4 + k\pi \iff 2x = \pi/4 + \pi/3 + k\pi = 7\pi/12 + k\pi.
\]

\textbf{Risoluzione}: $x = 7\pi/24 + k\pi/2$.

\textbf{In $[0, 2\pi)$}: $k = 0, 1, 2, 3$ danno
\[
  x = 7\pi/24, \, 19\pi/24, \, 31\pi/24, \, 43\pi/24.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione che usa duplicazione]
Risolvere $\sen 2x = \cos x$ in $[0, 2\pi)$.

\textbf{Duplicazione}: $\sen 2x = 2\sen x\cos x$. Quindi:
\[
  2\sen x\cos x = \cos x \iff \cos x (2\sen x - 1) = 0.
\]

\textbf{Soluzioni di $\cos x = 0$}: $x = \pi/2 + k\pi$. In $[0, 2\pi)$: $\pi/2, \, 3\pi/2$.

\textbf{Soluzioni di $2\sen x - 1 = 0$}: $\sen x = 1/2$. $x = \pi/6$ o $x = 5\pi/6$.

\textbf{Soluzioni totali}: $x \in \{\pi/6, \pi/2, 5\pi/6, 3\pi/2\}$.

\textbf{Attenzione}: errore comune è ``semplificare'' dividendo entrambi i lati per $\cos x$. Questo \emph{perde} le soluzioni con $\cos x = 0$. Bisogna sempre \emph{fattorizzare}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione con prostaferesi]
Risolvere $\sen 5x + \sen x = 0$ in $[0, 2\pi)$.

\textbf{Prostaferesi}: $\sen 5x + \sen x = 2\sen 3x \cos 2x$.

\textbf{Equazione fattorizzata}: $\sen 3x \cos 2x = 0$.

\textbf{Caso $\sen 3x = 0$}: $3x = k\pi$, ovvero $x = k\pi/3$. In $[0, 2\pi)$: $\{0, \pi/3, 2\pi/3, \pi, 4\pi/3, 5\pi/3\}$.

\textbf{Caso $\cos 2x = 0$}: $2x = \pi/2 + k\pi$, ovvero $x = \pi/4 + k\pi/2$. In $[0, 2\pi)$: $\{\pi/4, 3\pi/4, 5\pi/4, 7\pi/4\}$.

\textbf{Soluzioni totali}: dieci angoli, unione dei due insiemi (nessuna intersezione in questo caso).
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:go-009-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Risolvere le seguenti equazioni elementari (scrivere tutte le soluzioni in $\R$, parametrizzate da $k \in \Z$):
  \begin{enumerate}
    \item $\sen x = 0$;
    \item $\sen x = -1$;
    \item $\cos x = \sqrt{2}/2$;
    \item $\cos x = -\sqrt{3}/2$;
    \item $\tg x = -1$;
    \item $\tg x = \sqrt{3}/3$;
    \item $\sen x = \num{0.6}$ (forma simbolica con $\arcsen$);
    \item $\cos x = -\num{0.25}$.
  \end{enumerate}

  \item Risolvere le seguenti equazioni in $[0, 2\pi)$:
  \begin{enumerate}
    \item $2\sen x - 1 = 0$;
    \item $\sqrt{3} - 2\cos x = 0$;
    \item $\sen x + 1 = 0$;
    \item $2\cos x + \sqrt{2} = 0$;
    \item $\tg x - \sqrt{3} = 0$;
    \item $\sen x = \cos(\pi/6)$ (suggerimento: ridurre all'angolo notevole).
  \end{enumerate}

  \item Risolvere in $[0, 2\pi)$ le equazioni con argomento composto:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen 2x = \sqrt{3}/2$;
    \item $\cos(x/2) = -1/2$;
    \item $\tg(x + \pi/4) = 1$;
    \item $\sen(2x - \pi/6) = -1$;
    \item $\cos(3x) = 0$.
  \end{enumerate}

  \item Risolvere in $[0, 2\pi)$ le equazioni che richiedono prima una semplificazione algebrica o un'identità:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen^2 x = 1/2$;
    \item $\cos^2 x - 3/4 = 0$;
    \item $1 - 2\sen^2 x = 0$ (suggerimento: linearizzazione → $\cos 2x = 0$);
    \item $\sen x \cdot \cos x = 1/2$ (suggerimento: duplicazione → $\sen 2x = 1$);
    \item $\sen^2 x = \sen x$ (suggerimento: fattorizzare).
  \end{enumerate}

  \item Risolvere in $[0, 2\pi)$ usando prostaferesi o Werner:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen 3x - \sen x = 0$;
    \item $\cos x + \cos 5x = 0$;
    \item $\sen 4x + \sen 2x = 0$;
    \item $\cos 3x = \cos x$.
  \end{enumerate}

  \item Risolvere in $[0, 2\pi)$ usando duplicazione, bisezione o identità fondamentale:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen 2x = -\sen x$;
    \item $\cos 2x = \cos x$;
    \item $\cos 2x = 1 - \sen x$ (suggerimento: usare $\cos 2x = 1 - 2\sen^2 x$);
    \item $\sen^4 x = \cos^4 x$.
  \end{enumerate}

  \item Determinare il numero di soluzioni di $\sen 3x = 1/2$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$.

  \item Determinare il numero di soluzioni di $\tg(2x + \pi/4) = 0$ nell'intervallo $[0, \pi]$.

  \item Per quali valori reali del parametro $a$ l'equazione $\sen x = a^2 - 2$ ha soluzioni? (Suggerimento: serve $|a^2 - 2| \le 1$.)

  \item Per quali valori del parametro $b$ l'equazione $\cos x = (b+1)/(b-1)$ ha soluzioni?

  \item \emph{Sfida}. Risolvere $\sen x + \sen 2x + \sen 3x = 0$ in $[0, 2\pi)$. (Suggerimento: prostaferesi applicata al primo e terzo termine.)

  \item Risolvere $\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0$ in $[0, 2\pi)$ (analogo dell'esercizio precedente).

  \item Risolvere il sistema:
  \[
    \begin{cases}
      \sen x = \sen y \\
      x + y = \pi/2.
    \end{cases}
  \]

  \item \emph{Sfida con equazione trascendente}. Mostrare graficamente che l'equazione $\sen x = x/2$ ha esattamente tre soluzioni in $\R$. (Suggerimento: studiare l'intersezione delle curve $y = \sen x$ e $y = x/2$.)

  \item L'altezza dell'acqua sopra un molo si modella con $h(t) = 2 + \sen(\pi t/6)$ (in metri, con $t$ in ore). A quali istanti del primo giorno l'altezza è esattamente $\SI{3}{\meter}$? E quando è massima/minima?
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:go-009-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Le \emph{equazioni goniometriche elementari} sono $\sen x = m$, $\cos x = m$, $\tg x = m$. Hanno infinite soluzioni, da scrivere come famiglie parametrizzate da $k \in \Z$.
  \item \emph{Equazione $\sen x = m$} (esiste sse $|m| \le 1$):
  \[
    x = \arcsen m + 2k\pi \quad \text{o} \quad x = \pi - \arcsen m + 2k\pi.
  \]
  \item \emph{Equazione $\cos x = m$} (esiste sse $|m| \le 1$):
  \[
    x = \pm\arccos m + 2k\pi.
  \]
  \item \emph{Equazione $\tg x = m$} (esiste per ogni $m \in \R$):
  \[
    x = \arctg m + k\pi.
  \]
  \item \emph{Funzioni inverse}: $\arcsen : [-1,1] \to [-\pi/2, \pi/2]$, $\arccos : [-1,1] \to [0, \pi]$, $\arctg : \R \to (-\pi/2, \pi/2)$. Restituiscono l'angolo principale.
  \item \emph{Equazioni con argomento composto} $\sen f(x) = m$: prima si risolve come elementare nell'argomento $f(x)$, poi si risolve per $x$.
  \item \emph{Errori comuni da evitare}:
    \begin{itemize}
      \item dimenticare $|m| \le 1$ per seno e coseno;
      \item scrivere una sola famiglia di soluzioni invece di due (per seno e coseno);
      \item dividere per una funzione goniometrica che potrebbe essere nulla --- \emph{fattorizzare} invece;
      \item dimenticare di selezionare le soluzioni nell'intervallo richiesto;
      \item per equazioni con argomento $nx$, ricordare che ci sono $n$ volte più soluzioni in $[0, 2\pi)$.
    \end{itemize}
  \item \emph{Strategia generale}: prima di tutto, riconoscere se l'equazione è già elementare. Altrimenti: identità fondamentale, duplicazione/bisezione, prostaferesi/Werner, riduzione $R\sen(x+\varphi)$. Si riconduce alle elementari, poi si applicano le formule risolutive sopra.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GO-010}) affrontiamo le \emph{equazioni goniometriche non elementari}: lineari ($a\sen x + b\cos x = c$) e omogenee.
\end{itemize}
\end{riepilogo}