\chapter{Disequazioni goniometriche}\label{cap:GO-011}

\citazioneinizio{%
  Risolvere una disequazione goniometrica significa individuare gli archi della circonferenza in cui una certa funzione assume valori in un dato intervallo. La risposta non è mai un singolo punto, ma una collezione di archi --- da estendere poi periodicamente a tutta la retta reale.%
}{Adattato da Augustin-Louis Cauchy, \emph{Cours d'analyse} (1821) --- prima trattazione moderna delle disequazioni e dei loro insiemi di soluzioni}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:go-011-01-introduzione-motivazionale}
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Risolvere una \emph{disequazione goniometrica} significa determinare tutti gli angoli $x$ per cui una certa espressione contenente funzioni goniometriche assume valori coerenti con una disuguaglianza ($>, \ge, <, \le$).

A differenza delle equazioni del capitolo precedente (\ref{cap:GO-009}, \ref{cap:GO-010}), le soluzioni di una disequazione non sono punti isolati ma \emph{archi continui} sulla circonferenza --- replicati periodicamente a tutto $\R$.

Il metodo standard è \emph{grafico}: si visualizza la circonferenza goniometrica, si segna l'arco (o gli archi) in cui la condizione è soddisfatta, e si trasla in linguaggio analitico la risposta.

\begin{itemize}
  \item Per $\sen x \lessgtr m$ si traccia la retta orizzontale $y = m$ e si guarda quale parte del cerchio sta sopra (o sotto).
  \item Per $\cos x \lessgtr m$ si traccia la retta verticale $x_{\text{cart}} = m$ e si guarda quale parte del cerchio sta a destra (o sinistra).
  \item Per $\tg x \lessgtr m$ si usa l'asse delle tangenti (la retta tangente alla circonferenza in $(1, 0)$) e si individuano gli intervalli di $x$ in $(-\pi/2, \pi/2)$ in cui la tangente assume i valori richiesti.
\end{itemize}

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\section{Disequazioni elementari}\label{sec:go-011-02-disequazioni-elementari}
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\subsection*{Disequazione $\sen x > m$}

\textbf{Caso} $-1 < m < 1$. Tracciata la retta $y = m$, l'arco del cerchio dove $\sen x > m$ è la parte \emph{sopra} la retta. Posto $\alpha = \arcsen m$, l'arco va da $\alpha$ a $\pi - \alpha$:
\[
  \alpha + 2k\pi < x < \pi - \alpha + 2k\pi.
\]
Casi limite:
\begin{itemize}
  \item $m \ge 1$: nessuna soluzione (il cerchio non sale sopra $y = 1$);
  \item $m < -1$: tutti gli $x$ sono soluzione ($\sen x \ge -1 > m$);
  \item $m = -1$: tutti gli $x$ tranne $x = -\pi/2 + 2k\pi$ (dove vale uguaglianza);
  \item $m = 1$: nessuna soluzione (al massimo $\sen x = 1$, mai $> 1$).
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.6]
  % assi
  \draw[->, GRIGIO] (-1.4,0) -- (1.4,0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO] (0,-1.4) -- (0,1.4) node[above] {$y$};
  % circonferenza
  \draw[thick, GRIGIO] (0,0) circle (1);
  % retta y=m
  \def\m{0.5}
  \draw[thick, ARANCIO, dashed] (-1.3,\m) -- (1.4,\m) node[right] {\small $y = m$};
  % arco soluzione (in alto, da pi/6 a 5pi/6 in questo esempio con m=0.5)
  \pgfmathsetmacro{\angA}{asin(\m)}
  \pgfmathsetmacro{\angB}{180 - \angA}
  \draw[ultra thick, VERDE] (\angA:1) arc (\angA:\angB:1);
  % punti
  \filldraw[ROSSO] (\angA:1) circle (0.025) node[above right] {\small $\arcsen m$};
  \filldraw[ROSSO] (\angB:1) circle (0.025) node[above left] {\small $\pi-\arcsen m$};
  % etichetta
  \node[VERDE] at (90:0.55) {\small $\sen x > m$};
\end{tikzpicture}
\caption{Disequazione $\sen x > m$: l'arco verde è la parte di circonferenza dove $\sen x > m$. Corrisponde a $x \in (\arcsen m, \, \pi - \arcsen m)$ modulo $2\pi$.}\label{fig:go-011-disequazione-sen}
\end{figure}

\subsection*{Disequazione $\sen x < m$}

Simmetricamente, l'arco va dalla parte \emph{sotto} la retta $y = m$. Per $-1 < m < 1$:
\[
  -\pi - \alpha + 2k\pi < x < \alpha + 2k\pi, \quad \text{cioè} \quad \pi - \alpha + 2k\pi < x < 2\pi + \alpha + 2k\pi.
\]
Le due scritture sono equivalenti modulo $2\pi$; conviene usare quella che cade nel range richiesto.

\subsection*{Disequazione $\cos x > m$}

\textbf{Caso} $-1 < m < 1$. Tracciata la retta verticale $x_{\text{cart}} = m$, l'arco dove $\cos x > m$ è la parte a \emph{destra} della retta. Posto $\beta = \arccos m$:
\[
  -\beta + 2k\pi < x < \beta + 2k\pi.
\]

\subsection*{Disequazione $\cos x < m$}

L'arco è la parte a sinistra:
\[
  \beta + 2k\pi < x < 2\pi - \beta + 2k\pi.
\]

\subsection*{Disequazione $\tg x > m$}

La tangente attraversa ogni valore reale in ciascun intervallo $(-\pi/2 + k\pi, \pi/2 + k\pi)$. Posto $\gamma = \arctg m$ (con $\gamma \in (-\pi/2, \pi/2)$), la disequazione $\tg x > m$ vale per gli $x$ in cui la tangente è ``oltre'' $m$, cioè in
\[
  \gamma + k\pi < x < \pi/2 + k\pi.
\]
La disequazione $\tg x < m$ ha soluzioni:
\[
  -\pi/2 + k\pi < x < \gamma + k\pi.
\]

\begin{formulabox}
\textbf{Sintesi delle disequazioni elementari} (per $|m| < 1$, salvo tangente):
\begin{itemize}
  \item $\sen x > m$: \, $x \in (\arcsen m, \pi - \arcsen m) + 2k\pi$;
  \item $\sen x < m$: \, $x \in (\pi - \arcsen m, 2\pi + \arcsen m) + 2k\pi$;
  \item $\cos x > m$: \, $x \in (-\arccos m, \arccos m) + 2k\pi$;
  \item $\cos x < m$: \, $x \in (\arccos m, 2\pi - \arccos m) + 2k\pi$;
  \item $\tg x > m$: \, $x \in (\arctg m + k\pi, \pi/2 + k\pi)$;
  \item $\tg x < m$: \, $x \in (-\pi/2 + k\pi, \arctg m + k\pi)$.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\emph{Disuguaglianze non strette} ($\ge, \le$): si includono gli estremi (le soluzioni dell'equazione corrispondente sono ammesse).

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\section{Metodo della circonferenza goniometrica}\label{sec:go-011-03-circonferenza}
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Il \emph{metodo grafico} è sempre lo strumento più sicuro, anche quando le formule diventano scomode da ricordare. Funziona in modo unificato per ogni disequazione elementare.

\begin{procedura}[Disequazione elementare per via grafica]
Per risolvere $\sen x \lessgtr m$, $\cos x \lessgtr m$ o $\tg x \lessgtr m$:
\begin{enumerate}
  \item Disegnare la circonferenza goniometrica.
  \item Tracciare:
    \begin{itemize}
      \item la retta orizzontale $y = m$ per il \emph{seno};
      \item la retta verticale $x = m$ per il \emph{coseno};
      \item la retta tangente verticale $x = 1$ con il punto $(1, m)$ per la \emph{tangente}.
    \end{itemize}
  \item Identificare i punti di intersezione fra retta e cerchio (o l'asse delle tangenti): sono i ``confini'' dell'arco soluzione, calcolati con $\arcsen, \arccos, \arctg$.
  \item Selezionare l'arco (o gli archi) in cui la disuguaglianza è soddisfatta.
  \item Leggere gli intervalli di $x$ corrispondenti agli estremi, prestando attenzione al verso di percorrenza (antiorario, positivo).
  \item \emph{Estendere periodicamente}: aggiungere $+ 2k\pi$ ($+k\pi$ per la tangente).
\end{enumerate}
\end{procedura}

\emph{Vantaggio}. È visivo e quasi infallibile. Lo stesso schema si applica a equazioni con argomento composto: si trova l'arco per l'argomento, poi si risolve per $x$.

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\section{Disequazioni più complesse}\label{sec:go-011-04-complesse}
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Per disequazioni \emph{non elementari} si applicano gli stessi metodi visti per le equazioni del capitolo precedente (riduzione $R\sen(x+\varphi)$, omogenee, sostituzione parametrica), \emph{più} una accortezza:

\begin{attenzione}
Quando si \emph{moltiplica} o \emph{divide} per una quantità che dipende da $x$, occorre verificarne il segno e gestire i casi separatamente (come nelle disequazioni algebriche). Esempio: in $\sen x / \cos x > 1$ si \emph{non} moltiplica direttamente per $\cos x$, perché il segno di $\cos x$ può cambiare.
\end{attenzione}

\subsection*{Disequazioni lineari $a\sen x + b\cos x \lessgtr c$}

Si applica la riduzione $R\sen(x + \varphi)$, riconducendo a:
\[
  R\sen(x + \varphi) \lessgtr c \iff \sen(x + \varphi) \lessgtr c/R,
\]
disequazione elementare nell'argomento $x + \varphi$.

\subsection*{Disequazioni omogenee di secondo grado}

Per $a\sen^2 x + b\sen x\cos x + c\cos^2 x \lessgtr 0$, dividere per $\cos^2 x$ (che è $\ge 0$ ovunque, ma può essere zero --- da gestire) riduce a una disequazione algebrica in $\tg x$.

\subsection*{Tabella di segno con disequazioni composte}

Per disequazioni \emph{fratte} o \emph{prodotti} di disequazioni si compone una \emph{tabella di segno} delle funzioni goniometriche coinvolte sui vari archi della circonferenza, esattamente come si farebbe per le disequazioni algebriche su intervalli di $\R$.

\begin{procedura}[Disequazione fratta o prodotto]
Per $f(x)/g(x) > 0$ o $f(x) \cdot g(x) > 0$ con $f, g$ espressioni goniometriche:
\begin{enumerate}
  \item Risolvere separatamente $f(x) = 0$ e $g(x) = 0$: si trovano gli ``zeri'' che dividono il giro in archi.
  \item Studiare il segno di $f$ e $g$ in ciascun arco.
  \item Comporre i segni col prodotto/quoziente (regola dei segni).
  \item Selezionare gli archi col segno coerente con la disuguaglianza.
\end{enumerate}
\end{procedura}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:go-011-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Disequazione elementare del seno]
Risolvere $\sen x > 1/2$ in $[0, 2\pi)$.

\textbf{Angoli di confine}: $\sen x = 1/2$ in $x = \pi/6$ e $x = 5\pi/6$.

\textbf{Arco soluzione}: dove la circonferenza sta sopra $y = 1/2$, cioè fra i due punti, andando da $\pi/6$ a $5\pi/6$ in senso antiorario.

\textbf{Soluzione in $[0, 2\pi)$}: $x \in (\pi/6, \, 5\pi/6)$.

\textbf{Soluzione generale in $\R$}: $x \in (\pi/6 + 2k\pi, \, 5\pi/6 + 2k\pi)$, $k \in \Z$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione elementare del coseno]
Risolvere $\cos x \le -\sqrt{2}/2$ in $[0, 2\pi)$.

\textbf{Angoli di confine}: $\cos x = -\sqrt{2}/2$ in $x = 3\pi/4$ e $x = 5\pi/4$.

\textbf{Arco soluzione}: dove la circonferenza sta a sinistra della retta verticale $x_{\text{cart}} = -\sqrt{2}/2$, cioè dall'angolo $3\pi/4$ all'angolo $5\pi/4$. Includendo gli estremi:

\textbf{Soluzione}: $x \in [3\pi/4, \, 5\pi/4]$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione della tangente]
Risolvere $\tg x \ge \sqrt{3}$ in $[0, 2\pi)$.

\textbf{Angoli di confine}: $\tg x = \sqrt{3}$ in $x = \pi/3 + k\pi$.

\textbf{Arco soluzione in $(-\pi/2, \pi/2)$}: $\tg$ è crescente in questo intervallo, vale $\sqrt{3}$ in $\pi/3$, e $\tg x \ge \sqrt{3}$ in $[\pi/3, \pi/2)$.

\textbf{Estensione per periodicità $\pi$}: $x \in [\pi/3 + k\pi, \, \pi/2 + k\pi)$.

\textbf{Soluzione in $[0, 2\pi)$}: $x \in [\pi/3, \pi/2) \cup [4\pi/3, 3\pi/2)$.

\textbf{Nota}: gli estremi $\pi/2$ e $3\pi/2$ sono \emph{esclusi} perché la tangente non è definita lì (asintoti verticali).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione con argomento composto]
Risolvere $\sen(2x - \pi/3) > -1/2$ in $[0, 2\pi)$.

\textbf{Posto $u = 2x - \pi/3$}. Si parte da $\sen u > -1/2$.

\textbf{Disequazione elementare in $u$}: $\sen u = -1/2$ in $u = -\pi/6 + 2k\pi$ e $u = 7\pi/6 + 2k\pi$. La disequazione $\sen u > -1/2$ è soddisfatta nell'arco che \emph{esclude} la zona dove $\sen u \le -1/2$:
\[
  u \in (-\pi/6 + 2k\pi, \, 7\pi/6 + 2k\pi).
\]

\textbf{Sostituire $u = 2x - \pi/3$ e risolvere per $x$}: $-\pi/6 + 2k\pi < 2x - \pi/3 < 7\pi/6 + 2k\pi$, ovvero $\pi/6 + 2k\pi < 2x < 3\pi/2 + 2k\pi$, ovvero $\pi/12 + k\pi < x < 3\pi/4 + k\pi$.

\textbf{In $[0, 2\pi)$}: $k = 0$ dà $x \in (\pi/12, 3\pi/4)$; $k = 1$ dà $x \in (13\pi/12, 7\pi/4)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione fattorizzata]
Risolvere $(2\sen x - 1)(\cos x + 1/2) > 0$ in $[0, 2\pi)$.

\textbf{Zeri}: $2\sen x - 1 = 0 \iff x = \pi/6, 5\pi/6$. $\cos x + 1/2 = 0 \iff x = 2\pi/3, 4\pi/3$.

\textbf{Tabella di segno} (su $[0, 2\pi)$, in ordine: $0, \pi/6, 2\pi/3, 5\pi/6, 4\pi/3, 2\pi$):
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|cccccccc|}
\hline
arco & $0..\pi/6$ & $\pi/6$ & $..2\pi/3$ & $2\pi/3$ & $..5\pi/6$ & $5\pi/6$ & $..4\pi/3$ & $4\pi/3..2\pi$ \\
\hline
$2\sen x - 1$ & $-$ & $0$ & $+$ & $+$ & $+$ & $0$ & $-$ & $-$ \\
$\cos x + 1/2$ & $+$ & $+$ & $+$ & $0$ & $-$ & $-$ & $-$ & $+$ (ricalc.) \\
\hline
prodotto & $-$ & & $+$ & & $-$ & & $+$ & $-$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Nota}: la riga $\cos x + 1/2$ va ricontrollata: in $4\pi/3$ è zero, poi $\cos x$ aumenta da $-1/2$ a $1$ (passando da $4\pi/3$ a $2\pi$), quindi è positivo lì.

\textbf{Soluzioni} (dove prodotto $> 0$): $x \in (\pi/6, 2\pi/3) \cup (5\pi/6, 4\pi/3)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione lineare con $R\sen$]
Risolvere $\sen x + \cos x > 1$ in $[0, 2\pi)$.

\textbf{Riduzione $R\sen$}: $R = \sqrt{2}$, $\varphi = \pi/4$. L'equazione diventa:
\[
  \sqrt{2}\sen(x + \pi/4) > 1 \iff \sen(x + \pi/4) > \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]

\textbf{Disequazione elementare} in $u = x + \pi/4$: $\sen u > \sqrt{2}/2$ vale in $u \in (\pi/4, 3\pi/4) + 2k\pi$.

\textbf{Tornando a $x$}: $\pi/4 < x + \pi/4 < 3\pi/4 \iff 0 < x < \pi/2$.

\textbf{Soluzione in $[0, 2\pi)$}: $x \in (0, \pi/2)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione omogenea]
Risolvere $\sen^2 x - 3\sen x\cos x + 2\cos^2 x > 0$.

\textbf{Verifica $\cos x = 0$}: sostituendo $\sen x = \pm 1$, $\cos x = 0$, otteniamo $1 - 0 + 0 = 1 > 0$. \checkmark $x = \pi/2 + k\pi$ è soluzione.

\textbf{Divisione per $\cos^2 x$} (dove $\cos x \ne 0$): $\tg^2 x - 3\tg x + 2 > 0 \iff (\tg x - 1)(\tg x - 2) > 0$.

\textbf{Disequazione algebrica in $t = \tg x$}: $(t-1)(t-2) > 0 \iff t < 1$ o $t > 2$.

\textbf{Tornando a $x$}: $\tg x < 1$ vale in $(-\pi/2 + k\pi, \pi/4 + k\pi)$; $\tg x > 2$ vale in $(\arctg 2 + k\pi, \pi/2 + k\pi)$.

\textbf{Unione (per ogni $k$)}: $(-\pi/2 + k\pi, \pi/4 + k\pi) \cup (\arctg 2 + k\pi, \pi/2 + k\pi)$, più i punti $x = \pi/2 + k\pi$.

\emph{Nota}: i punti $x = \pi/2 + k\pi$ sono inclusi nelle soluzioni (sono i confini dei due intervalli aperti, e funzionano per continuità).
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:go-011-06-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Risolvere le seguenti disequazioni elementari in $[0, 2\pi)$:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen x > \sqrt{3}/2$;
    \item $\sen x \le -1/2$;
    \item $\cos x \ge -1/2$;
    \item $\cos x < \sqrt{2}/2$;
    \item $\tg x \le 1$;
    \item $\tg x > -\sqrt{3}$;
    \item $\sen x > 2$ (attenzione!);
    \item $\cos x \ge -2$ (attenzione!).
  \end{enumerate}

  \item Risolvere in $[0, 2\pi)$ le disequazioni con argomento composto:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen 2x > 1/2$;
    \item $\cos(x/2) < \sqrt{2}/2$;
    \item $\tg(x - \pi/4) \ge 1$;
    \item $\sen(2x + \pi/3) < -1/2$;
    \item $\cos(3x) \ge 0$.
  \end{enumerate}

  \item Risolvere in $[0, 2\pi)$ usando identità preliminari:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen^2 x > 1/4$ (suggerimento: $|\sen x| > 1/2$);
    \item $\cos^2 x \le 1/2$;
    \item $\sen^2 x - 1 < 0$;
    \item $2\sen^2 x - 1 \ge 0$ (suggerimento: linearizzazione → $\cos 2x \le 0$);
    \item $\sen x\cos x > 1/4$ (suggerimento: duplicazione).
  \end{enumerate}

  \item Risolvere in $[0, 2\pi)$ le disequazioni lineari (riduzione $R\sen$):
  \begin{enumerate}
    \item $\sen x + \sqrt{3}\cos x > 1$;
    \item $\sen x - \cos x \le \sqrt{2}$;
    \item $\sqrt{3}\sen x + \cos x > -1$;
    \item $3\sen x - 4\cos x \ge 5$ (sfida: quante soluzioni?).
  \end{enumerate}

  \item Risolvere in $[0, 2\pi)$ le omogenee:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen^2 x - \cos^2 x > 0$;
    \item $\sen^2 x - \sen x\cos x \ge 0$;
    \item $\sen x\cos x < 0$;
    \item $\sqrt{3}\sen x + \cos x > 0$ (omogenea di primo grado).
  \end{enumerate}

  \item Studiare il segno delle seguenti espressioni in $[0, 2\pi)$ tramite tabella di segno:
  \begin{enumerate}
    \item $\sen x \cdot \cos x$;
    \item $(2\sen x - 1) \cdot \tg x$;
    \item $\dfrac{\sen x}{\cos x - 1/2}$ (specificando le esclusioni);
    \item $\dfrac{1 + \sen x}{1 - \cos x}$.
  \end{enumerate}

  \item Determinare il dominio delle seguenti funzioni:
  \begin{enumerate}
    \item $f(x) = \sqrt{2\sen x - 1}$;
    \item $g(x) = \sqrt{\cos x + 1/2}$;
    \item $h(x) = \ln(\sen x)$;
    \item $\ell(x) = \dfrac{1}{\cos x - 1/2}$.
  \end{enumerate}

  \item Una nave si avvicina al porto seguendo una rotta tale che il segnale luminoso del faro la raggiunge solo quando l'angolo tra la sua direzione e il faro supera $\pi/4$. Modellando l'angolo come $\theta(t) = \pi/2 - t/T$ (con $T$ il tempo totale di avvicinamento), per quali istanti la nave non vede il faro?

  \item \emph{Sfida}. Risolvere $\sen x > \cos x$ in $[0, 2\pi)$ in due modi: (a) graficamente, (b) algebricamente con la riduzione $\sen x - \cos x > 0 \iff \sqrt{2}\sen(x - \pi/4) > 0$.

  \item \emph{Sfida}. Risolvere $\tg x + \cotg x > 2$ in $[0, 2\pi)$. (Suggerimento: $\tg x + \cotg x = 2/\sen 2x$.)

  \item Risolvere il sistema:
  \[
    \begin{cases}
      \sen x > 1/2 \\
      \cos x < 0
    \end{cases}
  \]
  in $[0, 2\pi)$.

  \item Verificare graficamente che la disequazione $\sen x < x$ è verificata per ogni $x > 0$ e si trasforma in $\sen x > x$ per $x < 0$. (Suggerimento: studio del grafico di $f(x) = \sen x - x$.)

  \item Trovare il \emph{massimo} valore di $a$ tale che $a \le \sen x + \cos x$ per ogni $x \in [0, 2\pi)$. (Suggerimento: cercare il minimo di $\sen x + \cos x$.)

  \item Risolvere in $[0, 2\pi)$ la disequazione $\sen^4 x - \cos^4 x > 0$. (Suggerimento: differenza di quadrati.)

  \item \emph{Sfida}. Risolvere in $[0, 2\pi)$:
  \[
    \frac{\sen 2x - 1}{\cos x + 1/2} < 0.
  \]
  Costruire la tabella di segno completa.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:go-011-07-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Le \emph{disequazioni goniometriche elementari} sono $\sen x \lessgtr m$, $\cos x \lessgtr m$, $\tg x \lessgtr m$. Le soluzioni sono \emph{archi} di circonferenza, replicati periodicamente.
  \item \emph{Metodo grafico standard}:
    \begin{itemize}
      \item retta orizzontale $y = m$ per il seno;
      \item retta verticale $x = m$ per il coseno;
      \item asse delle tangenti ($x = 1$, punto $(1, m)$) per la tangente.
    \end{itemize}
    Si selezionano gli archi dove la disuguaglianza è soddisfatta.
  \item \emph{Soluzioni elementari} (per $|m|<1$, salvo tangente):
  \[
    \sen x > m: \quad x \in (\arcsen m, \, \pi - \arcsen m) + 2k\pi,
  \]
  \[
    \cos x > m: \quad x \in (-\arccos m, \, \arccos m) + 2k\pi,
  \]
  \[
    \tg x > m: \quad x \in (\arctg m + k\pi, \, \pi/2 + k\pi).
  \]
  \item \emph{Disequazioni con argomento composto} $\sen f(x) \lessgtr m$: prima si risolve come elementare in $f(x)$, poi si torna a $x$.
  \item \emph{Disequazioni lineari} $a\sen x + b\cos x \lessgtr c$: applicare la riduzione $R\sen(x + \varphi)$ con $R = \sqrt{a^2+b^2}$.
  \item \emph{Disequazioni omogenee di secondo grado}: dividere per $\cos^2 x$ (verificando il caso $\cos x = 0$) e risolvere come disequazione algebrica in $\tg x$.
  \item \emph{Disequazioni fratte o prodotti}: costruire la \emph{tabella di segno} delle funzioni componenti sugli archi della circonferenza.
  \item \emph{Errori comuni}:
    \begin{itemize}
      \item moltiplicare per $\cos x$ o $\sen x$ senza considerare il segno;
      \item dimenticare le esclusioni del dominio (asintoti di tangente, denominatori nulli, argomenti di radice negativi);
      \item dimenticare la periodicità ($+2k\pi$ per seno/coseno, $+k\pi$ per tangente);
      \item dimenticare che $|m| > 1$ rende impossibile $\sen x = m$ e $\cos x = m$, ma può dare disequazioni sempre vere o sempre false.
    \end{itemize}
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GO-012}) chiudiamo la parte di goniometria pura e iniziamo la \emph{trigonometria}, partendo dal triangolo rettangolo: relazioni fra angoli e lati, problemi di altezze e distanze.
\end{itemize}
\end{riepilogo}