\chapter{Teorema dei seni}\label{cap:GO-013}

\citazioneinizio{%
  In ogni triangolo, il rapporto fra un lato e il seno dell'angolo opposto è costante, e quella costante è il diametro del cerchio circoscritto. È sorprendente: una proprietà ``locale'' dei singoli vertici si trasforma in una proprietà ``globale'' del triangolo intero, legata al cerchio che lo contiene.%
}{Nasir al-Din al-Tusi, \emph{Kit\=ab al-Sh\=akl al-qatta} (XIII sec.) --- prima formulazione esplicita del teorema dei seni in forma autonoma rispetto all'astronomia tolemaica}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:go-013-01-introduzione-motivazionale}
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Nel capitolo precedente (\ref{cap:GO-012}) abbiamo studiato la trigonometria del triangolo \emph{rettangolo}, in cui un angolo retto semplifica la geometria. Cosa succede in un triangolo \emph{qualsiasi}, senza angolo retto?

Esistono due risultati fondamentali che permettono di trattare il caso generale:
\begin{itemize}
  \item il \emph{teorema dei seni} (questo capitolo);
  \item il \emph{teorema del coseno} di Carnot (capitolo successivo).
\end{itemize}

Il teorema dei seni stabilisce un legame profondo fra i lati di un triangolo, gli angoli opposti, e il cerchio circoscritto al triangolo: il rapporto $a/\sen\alpha$ è uguale per tutti e tre i vertici, e vale esattamente il diametro del cerchio circoscritto. È uno dei risultati più eleganti della trigonometria e ha applicazioni in topografia, navigazione, astronomia.

Convenzioni di notazione che useremo:
\begin{itemize}
  \item $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$ (o per brevità $\alpha, \beta, \gamma$) sono gli angoli interni del triangolo nei vertici $A, B, C$;
  \item $a, b, c$ sono le lunghezze dei lati \emph{opposti} ai rispettivi vertici (e quindi opposti ai rispettivi angoli);
  \item $R$ è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo (il cerchio che passa per i tre vertici).
\end{itemize}

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\section{Enunciato e dimostrazione}\label{sec:go-013-02-enunciato-dimostrazione}
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\begin{definizione}[Teorema dei seni]
In un triangolo $ABC$ qualsiasi, di lati $a, b, c$ opposti agli angoli $\alpha, \beta, \gamma$, e raggio del cerchio circoscritto $R$, vale
\[
  \frac{a}{\sen\alpha} = \frac{b}{\sen\beta} = \frac{c}{\sen\gamma} = 2R.
\]
\end{definizione}

\textit{Dimostrazione (versione con cerchio circoscritto)}. Consideriamo il cerchio circoscritto al triangolo $ABC$, di centro $O$ e raggio $R$. Sia $A'$ il punto diametralmente opposto a $B$ sul cerchio (cioè il prolungamento del raggio $OB$ fino al cerchio dalla parte opposta). Il triangolo $A'BC$ ha le proprietà:
\begin{itemize}
  \item l'angolo in $C$ è retto (è inscritto in una semicirconferenza, teorema di Talete);
  \item l'angolo in $A'$ è uguale all'angolo in $A$ del triangolo $ABC$, perché entrambi sono \emph{angoli alla circonferenza} che insistono sullo stesso arco $BC$.
\end{itemize}

Nel triangolo rettangolo $A'BC$, con ipotenusa $A'B = 2R$ (diametro), l'angolo in $A'$ è $\alpha$ e il cateto opposto è $BC = a$. Per la definizione del seno nel triangolo rettangolo (cap.~\ref{cap:GO-012}):
\[
  \sen\alpha = \frac{a}{A'B} = \frac{a}{2R} \iff \frac{a}{\sen\alpha} = 2R.
\]
Lo stesso argomento, applicato ad $A'$ diametralmente opposto a $A$ o a $C$, dà:
\[
  \frac{b}{\sen\beta} = 2R, \qquad \frac{c}{\sen\gamma} = 2R.
\]
Tutti e tre i rapporti sono uguali a $2R$. \hfill$\square$

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
  % cerchio circoscritto
  \draw[thick, GRIGIO] (0,0) circle (2);
  \node[GRIGIO] at (0.1,-0.1) {\small $O$};
  \filldraw[GRIGIO] (0,0) circle (0.04);
  % triangolo ABC
  \coordinate (A) at (60:2);
  \coordinate (B) at (180:2);
  \coordinate (C) at (-40:2);
  \draw[thick, BLU] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  % punto A' diametralmente opposto a B
  \coordinate (Apr) at (0:2);
  \draw[thick, ROSSO, dashed] (B) -- (Apr);
  \draw[thick, ROSSO, dashed] (Apr) -- (C);
  \filldraw[ROSSO] (Apr) circle (0.05);
  % etichette vertici
  \node[above right] at (A) {$A$};
  \node[above left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[right, ROSSO] at (Apr) {$A'$};
  % angolo retto in C nel triangolo A'BC
  \draw[GRIGIO] ($(C)+(-0.18,0.08)$) -- ($(C)+(-0.10,0.30)$) -- ($(C)+(0.08,0.22)$);
  % etichetta a
  \node[below right] at ($(B)!0.5!(C)$) {\small $a$};
\end{tikzpicture}
\caption{Dimostrazione del teorema dei seni. Il punto $A'$ è diametralmente opposto a $B$ sul cerchio circoscritto. Il triangolo $A'BC$ è rettangolo in $C$ (Talete) e l'angolo in $A'$ vale $\alpha$ (angoli alla circonferenza sullo stesso arco $BC$). Da qui $\sen\alpha = a/2R$.}\label{fig:go-013-cerchio-circoscritto}
\end{figure}

\textit{Dimostrazione alternativa (con altezza)}. Sia $h$ l'altezza del triangolo $ABC$ relativa al lato $c = AB$. Considerando i due triangoli rettangoli formati dall'altezza:
\[
  h = b\sen\alpha = a\sen\beta \iff \frac{a}{\sen\alpha} = \frac{b}{\sen\beta}.
\]
Ripetendo con un'altra altezza si ottiene la terza uguaglianza. (Questa dimostrazione non rivela però che il valore comune sia $2R$.)

\subsection*{Conseguenza: legame area--lati--angoli}

Dalla formula dell'area come ``base $\times$ altezza diviso $2$'', usando $h = b\sen\alpha$:
\[
  A_{\text{tri}} = \frac{1}{2} c h = \frac{1}{2} bc \sen\alpha.
\]
Più in generale:

\begin{formulabox}
\textbf{Area di un triangolo in funzione di due lati e dell'angolo compreso}:
\[
  A_{\text{tri}} = \frac{1}{2} bc \sen\alpha = \frac{1}{2} ac \sen\beta = \frac{1}{2} ab \sen\gamma.
\]
\end{formulabox}

Usando il teorema dei seni si ricava anche:

\begin{formulabox}
\textbf{Area in funzione del cerchio circoscritto}:
\[
  A_{\text{tri}} = \frac{abc}{4R}.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione}. Da $A = (1/2)bc\sen\alpha$ e $\sen\alpha = a/(2R)$: $A = (1/2)bc \cdot a/(2R) = abc/(4R)$.

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\section{Applicazioni: risoluzione del triangolo qualsiasi}\label{sec:go-013-03-applicazioni}
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Il teorema dei seni si applica direttamente in \emph{due} situazioni in cui si vuole risolvere un triangolo qualsiasi (cap.~\ref{cap:GO-015}):

\begin{procedura}[Quando applicare il teorema dei seni]
\begin{itemize}
  \item \emph{Caso ALA} (angolo--lato--angolo, oppure due angoli e un lato qualsiasi): noti $\alpha, \beta$ e un lato, si calcola il terzo angolo da $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ e gli altri lati col teorema dei seni.
  \item \emph{Caso LLA} (lato--lato--angolo opposto a uno dei lati): noti due lati e un angolo opposto a uno di essi, si ricava il secondo angolo col teorema dei seni. \emph{Attenzione}: questo caso è \emph{ambiguo} (può dare $0, 1$ o $2$ triangoli).
\end{itemize}
\end{procedura}

\subsection*{Ambiguità del caso LLA}

Supponiamo di conoscere $a$, $b$ e $\alpha$, e di voler ricavare $\beta$. Dal teorema dei seni:
\[
  \sen\beta = \frac{b \sen\alpha}{a}.
\]
Dipendendo dal valore di $b\sen\alpha/a$, abbiamo:
\begin{itemize}
  \item $b\sen\alpha/a > 1$: \emph{nessuna soluzione} (il triangolo non esiste);
  \item $b\sen\alpha/a = 1$: \emph{una soluzione}, $\beta = \pi/2$ (triangolo rettangolo limite);
  \item $0 < b\sen\alpha/a < 1$: \emph{due possibili valori di $\beta$}, uno acuto ($\beta_1 = \arcsen(\cdot)$) e uno ottuso ($\beta_2 = \pi - \beta_1$). Bisogna verificare quale (o quali) di essi è geometricamente compatibile con il triangolo, controllando che $\alpha + \beta < \pi$.
\end{itemize}

\subsection*{Triangolazione e topografia}

Il teorema dei seni è alla base della \emph{triangolazione}, la tecnica con cui per secoli i geometri hanno costruito carte topografiche:
\begin{itemize}
  \item si fissa una \emph{base} di lunghezza nota fra due punti accessibili;
  \item si misurano gli angoli sotto cui un terzo punto (anche inaccessibile) è visto da entrambi gli estremi della base;
  \item col teorema dei seni si calcolano le distanze dai due estremi al terzo punto.
\end{itemize}
Ripetendo il procedimento si copre un'intera regione con una rete di triangoli, ottenendo una mappa accurata.

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\section{Teorema della corda}\label{sec:go-013-04-corda}
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Una conseguenza diretta del teorema dei seni: una corda di una circonferenza ha lunghezza pari al \emph{diametro} per il \emph{seno dell'angolo alla circonferenza} che la sottende.

\begin{definizione}[Teorema della corda]
In un cerchio di raggio $R$, una corda $AB$ vista da un punto $P$ del cerchio (dalla stessa parte rispetto alla corda) sotto un angolo $\theta$ alla circonferenza ha lunghezza
\[
  AB = 2R \sen\theta.
\]
\end{definizione}

\textit{Dimostrazione}. Nel triangolo $APB$ inscritto nel cerchio di raggio $R$, applicando il teorema dei seni con angolo $\theta$ in $P$ e lato opposto $AB$:
\[
  \frac{AB}{\sen\theta} = 2R \iff AB = 2R\sen\theta.
\]

\emph{Caso limite (angolo retto)}. Se $\theta = \pi/2$, $\sen\theta = 1$ e $AB = 2R$: la corda è il diametro, e tutti gli angoli alla circonferenza che la sottendono sono retti (teorema di Talete sul cerchio).

\emph{Applicazione}. Il teorema della corda permette di passare ``in entrambe le direzioni'' fra lunghezza di un arco/corda e angoli alla circonferenza, ed è la base di molti calcoli di geometria circolare.

\begin{esempio}[Lato di un poligono regolare]
Un poligono regolare di $n$ lati inscritto in un cerchio di raggio $R$ ha lati di lunghezza:
\[
  \ell_n = 2R \sen\!\left(\frac{\pi}{n}\right).
\]
Infatti, ciascun lato è una corda del cerchio sottesa da un arco di ampiezza $2\pi/n$; l'angolo alla circonferenza relativo è la metà di quello al centro, cioè $\pi/n$.

Per $n = 6$ (esagono): $\ell_6 = 2R\sen(\pi/6) = R$. Il lato dell'esagono regolare inscritto vale il raggio del cerchio. (Risultato classico.)
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:go-013-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Caso ALA]
In un triangolo si conoscono $a = \SI{10}{\meter}$, $\alpha = 30°$, $\beta = 70°$. Calcolare gli altri elementi.

\textbf{Terzo angolo}: $\gamma = 180° - 30° - 70° = 80°$.

\textbf{Teorema dei seni}: $a/\sen\alpha = b/\sen\beta = c/\sen\gamma$. Risolvendo per $b$ e $c$:
\[
  b = a \cdot \frac{\sen\beta}{\sen\alpha} = 10 \cdot \frac{\sen 70°}{\sen 30°} = 10 \cdot \frac{0{,}9397}{0{,}5} \approx \SI{18.79}{\meter}.
\]
\[
  c = a \cdot \frac{\sen\gamma}{\sen\alpha} = 10 \cdot \frac{\sen 80°}{\sen 30°} \approx 10 \cdot \frac{0{,}9848}{0{,}5} \approx \SI{19.70}{\meter}.
\]

\textbf{Raggio circoscritto}: $R = a/(2\sen\alpha) = 10/(2 \cdot 0{,}5) = \SI{10}{\meter}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Caso LLA (ambiguo, due soluzioni)]
Dati $a = \SI{4}{\meter}$, $b = \SI{6}{\meter}$, $\alpha = 30°$. Determinare $\beta$.

\textbf{Calcolo}: $\sen\beta = b\sen\alpha/a = 6 \cdot 0{,}5/4 = 0{,}75$. Poiché $0 < 0{,}75 < 1$:
\[
  \beta_1 = \arcsen 0{,}75 \approx 48{,}59°, \qquad \beta_2 = 180° - \beta_1 \approx 131{,}41°.
\]

\textbf{Verifica della compatibilità}:
\begin{itemize}
  \item $\beta_1 \approx 48{,}59°$: $\alpha + \beta_1 \approx 78{,}59° < 180°$. \checkmark Compatibile. Allora $\gamma_1 \approx 101{,}41°$.
  \item $\beta_2 \approx 131{,}41°$: $\alpha + \beta_2 \approx 161{,}41° < 180°$. \checkmark Compatibile. Allora $\gamma_2 \approx 18{,}59°$.
\end{itemize}

Entrambe le soluzioni sono valide: esistono \emph{due} triangoli distinti.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Caso LLA, soluzione unica]
Dati $a = \SI{8}{\meter}$, $b = \SI{4}{\meter}$, $\alpha = 60°$. Determinare $\beta$.

\textbf{Calcolo}: $\sen\beta = 4 \cdot \sen 60°/8 = 4 \cdot (\sqrt{3}/2)/8 = \sqrt{3}/4 \approx 0{,}433$.

\textbf{Due possibili valori}: $\beta_1 \approx 25{,}66°$, $\beta_2 \approx 154{,}34°$.

\textbf{Verifica}: $\alpha + \beta_2 \approx 60° + 154{,}34° = 214{,}34° > 180°$. Impossibile. Solo $\beta_1$ è valida.

Risposta unica: $\beta \approx 25{,}66°$.

\emph{Lezione}. Quando $b < a$ (il lato opposto all'angolo dato è il maggiore), c'è una sola soluzione.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Caso LLA, nessuna soluzione]
Dati $a = \SI{3}{\meter}$, $b = \SI{10}{\meter}$, $\alpha = 45°$.

\textbf{Calcolo}: $\sen\beta = 10 \cdot \sen 45°/3 = 10 \cdot (\sqrt{2}/2)/3 = 5\sqrt{2}/3 \approx 2{,}357$.

\textbf{Impossibilità}: $\sen\beta > 1$, dunque non esiste $\beta$. Il triangolo \emph{non esiste}.

\emph{Geometria}. Il lato $a$ è troppo corto per ``raggiungere'' la posizione richiesta dalla coppia $(b, \alpha)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Area con il teorema dei seni]
Un triangolo ha lati $a = 7$, $b = 9$ e angolo $\gamma = 50°$ (compreso fra essi). Calcolare l'area e il raggio del cerchio circoscritto.

\textbf{Area}: $A = (1/2) ab \sen\gamma = (1/2) \cdot 7 \cdot 9 \cdot \sen 50° = (63/2) \cdot 0{,}766 \approx \num{24.13}$.

\textbf{Terzo lato} (col teorema del coseno, anticipo cap.~\ref{cap:GO-014}): $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma = 49 + 81 - 126 \cdot 0{,}643 \approx 49{,}0$, dunque $c \approx 7{,}0$.

\textbf{Raggio circoscritto}: $R = abc/(4A) = (7 \cdot 9 \cdot 7)/(4 \cdot 24{,}13) \approx 441/96{,}5 \approx 4{,}57$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Distanza fra due punti sullo stesso lato di un fiume]
Sulla riva di un fiume due punti $A$ e $B$ distano \SI{200}{\meter}. Dalla riva opposta un punto $P$ è visto da $A$ con angolo $\widehat{A} = 70°$ e da $B$ con angolo $\widehat{B} = 60°$. Calcolare $AP$ e la larghezza del fiume.

\textbf{Terzo angolo}: $\widehat{P} = 180° - 70° - 60° = 50°$.

\textbf{Teorema dei seni}:
\[
  \frac{AP}{\sen\widehat{B}} = \frac{AB}{\sen\widehat{P}} \iff AP = \frac{200 \cdot \sen 60°}{\sen 50°} \approx \frac{200 \cdot 0{,}866}{0{,}766} \approx \SI{226}{\meter}.
\]

\textbf{Larghezza del fiume}. È la distanza di $P$ dalla retta $AB$. Tracciando la perpendicolare da $P$ ad $AB$, si forma un triangolo rettangolo: distanza $= AP \sen\widehat{A} = 226 \cdot \sen 70° \approx 226 \cdot 0{,}9397 \approx \SI{212}{\meter}$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:go-013-06-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Risolvere il triangolo dati:
  \begin{enumerate}
    \item $a = 5$, $\alpha = 40°$, $\beta = 60°$;
    \item $b = 12$, $\beta = 75°$, $\gamma = 45°$;
    \item $c = 8$, $\alpha = 30°$, $\gamma = 90°$ (notare: in realtà rettangolo!);
    \item $a = 10$, $b = 8$, $\alpha = 50°$ (caso LLA --- ambiguo o no?);
    \item $a = 6$, $b = 9$, $\beta = 80°$.
  \end{enumerate}

  \item Per ciascun caso LLA, stabilire quanti triangoli esistono (0, 1, o 2):
  \begin{enumerate}
    \item $a = 4$, $b = 7$, $\alpha = 60°$;
    \item $a = 8$, $b = 7$, $\alpha = 50°$;
    \item $a = 5$, $b = 10$, $\alpha = 30°$;
    \item $a = 3$, $b = 8$, $\alpha = 25°$;
    \item $a = 10$, $b = 12$, $\alpha = 70°$.
  \end{enumerate}

  \item Calcolare il raggio del cerchio circoscritto al triangolo:
  \begin{enumerate}
    \item lati $5, 12, 13$ (riconoscere il triangolo notevole!);
    \item lati $6, 8, 10$;
    \item lati $a = 7$, $\alpha = 30°$ (sufficiente!).
  \end{enumerate}

  \item Calcolare l'area dei seguenti triangoli:
  \begin{enumerate}
    \item lati $a = 5, b = 8$, angolo compreso $\gamma = 60°$;
    \item lati $b = 10, c = 12$, angolo compreso $\alpha = 45°$;
    \item triangolo isoscele di lati congruenti $\ell = 4$ e angolo al vertice $\theta = 50°$ (suggerimento: $A = (1/2) \ell^2 \sen\theta$).
  \end{enumerate}

  \item Un terreno di forma triangolare ha lati di $\SI{50}{\meter}$, $\SI{70}{\meter}$ e angolo compreso fra di essi di $80°$. Calcolare l'area e il terzo lato.

  \item Due fari sulla costa distano $\SI{1.2}{\kilo\meter}$. Una nave in mare aperto vede il faro $A$ a sinistra con angolo $\alpha = 50°$ dalla direzione di prua e il faro $B$ a sinistra con angolo $\beta = 75°$. Determinare le distanze della nave dai due fari.

  \item Un albero alto $h$ proietta un'ombra che cade su una strada in salita con pendenza del $10\%$. L'ombra è lunga $L$ misurata sulla strada (non in orizzontale). L'angolo di elevazione del sole è $\alpha$. Trovare $h$ in funzione di $L$ e $\alpha$. (Suggerimento: triangolo qualsiasi con due angoli noti e il lato $L$.)

  \item Mostrare che, per ogni triangolo $ABC$ con cerchio circoscritto di raggio $R$, vale
  \[
    a + b + c = 2R(\sen\alpha + \sen\beta + \sen\gamma).
  \]
  Da cui dedurre la \emph{somma} dei seni degli angoli di un triangolo.

  \item Per ogni triangolo $ABC$, mostrare che $a\cos\alpha + b\cos\beta + c\cos\gamma$ è uguale al doppio dell'area divisa per il raggio circoscritto: $\dfrac{a\cos\alpha + b\cos\beta + c\cos\gamma}{R} = \dfrac{4A}{R^2}$ (in versione semplificata). (Suggerimento: usare $a = 2R\sen\alpha$ ecc. e formule di duplicazione.)

  \item Calcolare il lato di un poligono regolare di:
  \begin{enumerate}
    \item $n = 3$ lati (triangolo equilatero) inscritto in un cerchio di raggio $R$;
    \item $n = 4$ lati (quadrato);
    \item $n = 5$ lati (pentagono regolare);
    \item $n = 8$ lati (ottagono);
    \item $n = 12$ lati (dodecagono).
  \end{enumerate}

  \item \emph{Sfida (Erone)}. Mostrare che l'area di un triangolo di lati $a, b, c$ può essere calcolata con la \emph{formula di Erone}
  \[
    A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},
  \]
  dove $s = (a+b+c)/2$ è il semiperimetro. (Suggerimento: partire da $A = (1/2)ab\sen\gamma$, esprimere $\sen^2\gamma = 1 - \cos^2\gamma$, usare il teorema del coseno (anticipo) per $\cos\gamma$ in funzione dei lati.)

  \item In un triangolo $ABC$, $\alpha = 60°$, $b = 5$, $c = 4$. Calcolare $a$ e l'area (usando area $= (1/2)bc\sen\alpha$).

  \item Dimostrare che, se in un triangolo $\sen\alpha/\sen\beta = a/b$ (teorema dei seni), allora vale anche
  \[
    \frac{\sen\alpha - \sen\beta}{\sen\alpha + \sen\beta} = \frac{a - b}{a + b}.
  \]
  (Identità detta \emph{di Mollweide}, base per controlli di consistenza nei calcoli trigonometrici.)

  \item Una nave si avvicina a un porto. Da un punto $A$ la cima di una torre alta \SI{60}{\meter} è vista con angolo di elevazione di $15°$. Dopo aver percorso \SI{200}{\meter} in linea retta verso la torre, l'angolo di elevazione è $25°$. Calcolare la distanza attuale della nave dalla base della torre. (Suggerimento: il triangolo formato dalla nave e dalla torre cambia angolo.)

  \item \emph{Sfida (parallasse)}. Due osservatori a $\SI{1}{\kilo\meter}$ di distanza guardano la Luna nello stesso istante e misurano la differenza angolare nella posizione apparente: $0{,}00015$ rad (cioè circa $\num{0.0086}°$). Stimare la distanza della Luna. (Suggerimento: triangolo isoscele molto allungato; usare l'approssimazione di piccoli angoli $\sen\theta \approx \theta$ in radianti.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:go-013-07-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Teorema dei seni}: in un triangolo qualsiasi con lati $a, b, c$ opposti agli angoli $\alpha, \beta, \gamma$ e raggio del cerchio circoscritto $R$,
  \[
    \frac{a}{\sen\alpha} = \frac{b}{\sen\beta} = \frac{c}{\sen\gamma} = 2R.
  \]
  \item \emph{Dimostrazione standard}: si costruisce il punto diametralmente opposto a un vertice; si ottiene un triangolo rettangolo con ipotenusa $2R$ e angolo $\alpha$ corrispondente (per il teorema dell'angolo alla circonferenza).
  \item \emph{Area del triangolo qualsiasi}:
  \[
    A = \frac{1}{2} ab \sen\gamma = \frac{1}{2} ac \sen\beta = \frac{1}{2} bc \sen\alpha = \frac{abc}{4R}.
  \]
  \item \emph{Casi di applicazione}: ALA (angolo--lato--angolo, soluzione unica) e LLA (lato--lato--angolo opposto, \emph{ambiguo}). Nel caso LLA si verifica se $\sen\beta = b\sen\alpha/a$ dà $0, 1$ o $2$ soluzioni.
  \item \emph{Teorema della corda}: una corda $AB$ di un cerchio di raggio $R$, vista da un punto del cerchio con angolo $\theta$ alla circonferenza, vale $AB = 2R\sen\theta$.
  \item \emph{Lato del poligono regolare inscritto}: $\ell_n = 2R\sen(\pi/n)$. Per $n = 6$, $\ell_6 = R$ (esagono).
  \item \emph{Applicazioni}: triangolazione topografica, navigazione, parallasse astronomica, formula di Erone.
  \item \emph{Storia}: la prima formulazione esplicita è di Nasir al-Din al-Tusi (XIII sec.); nella tradizione occidentale fu sistemata da Regiomontano (1464). In passato si studiava il teorema dei seni \emph{sferico}, alla base della cartografia.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GO-014}) studiamo il \emph{teorema del coseno} (di Carnot), che fornisce il legame mancante quando il teorema dei seni non è sufficiente (per esempio quando si conoscono i tre lati, o due lati e l'angolo compreso).
\end{itemize}
\end{riepilogo}