\chapter{Teorema del coseno di Carnot}\label{cap:GO-014} \citazioneinizio{% Il teorema di Carnot è la versione generale del teorema di Pitagora: la differenza fra il quadrato del lato opposto a un angolo e la somma dei quadrati degli altri due lati misura --- moltiplicata per due e divisa per il prodotto dei lati --- proprio il coseno dell'angolo. Quando l'angolo è retto, il coseno è zero e Pitagora riappare.% }{Lazare Carnot, \emph{G\'eom\'etrie de position} (1803) --- prima formulazione moderna, da cui il nome ``teorema di Carnot'' nei manuali italiani} % ============================================================ \section{Introduzione motivazionale}\label{sec:go-014-01-introduzione-motivazionale} % ============================================================ Il teorema dei seni del capitolo precedente (\ref{cap:GO-013}) lega lati e angoli opposti, ma in due casi \emph{non basta} per risolvere un triangolo: \begin{itemize} \item se si conoscono i \emph{tre lati} (caso LLL), nessun angolo è noto a priori per applicare il teorema dei seni; \item se si conoscono \emph{due lati e l'angolo compreso} (caso LAL), l'angolo dato non è opposto a uno dei lati noti. \end{itemize} Il \emph{teorema del coseno}, detto anche \emph{teorema di Carnot} nella tradizione italiana, colma questa lacuna. Lega il quadrato di un lato al quadrato degli altri due e al coseno dell'angolo compreso, ed è una generalizzazione del teorema di Pitagora a triangoli qualsiasi: quando l'angolo è retto, il termine col coseno si annulla e si riottiene Pitagora. Insieme al teorema dei seni, il teorema di Carnot permette di risolvere \emph{qualunque} triangolo, in qualunque dei quattro casi standard (LLL, LAL, ALA, LLA). Una sintesi completa è in cap.~\ref{cap:GO-015}. % ============================================================ \section{Enunciato e dimostrazione}\label{sec:go-014-02-enunciato-dimostrazione} % ============================================================ \begin{definizione}[Teorema del coseno di Carnot] In un triangolo $ABC$ qualsiasi, di lati $a, b, c$ opposti agli angoli $\alpha, \beta, \gamma$, vale \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha, \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\beta, \] \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma. \] In ognuna delle tre formule il lato a sinistra è opposto all'angolo che compare nel coseno. \end{definizione} \textit{Dimostrazione (per via geometrica, caso angolo acuto)}. Tracciamo l'altezza $h$ dal vertice $C$ al lato $AB$. Sia $H$ il piede dell'altezza. Indichiamo con $m = AH$ la proiezione di $b$ ($= CA$) su $c$. Si formano due triangoli rettangoli, $AHC$ e $BHC$: \begin{itemize} \item nel triangolo $AHC$: $h = b\sen\alpha$, $m = b\cos\alpha$; \item nel triangolo $BHC$: $BH = c - m = c - b\cos\alpha$, e per Pitagora $a^2 = h^2 + (c - m)^2$. \end{itemize} Sostituendo: \[ a^2 = (b\sen\alpha)^2 + (c - b\cos\alpha)^2 = b^2\sen^2\alpha + c^2 - 2bc\cos\alpha + b^2\cos^2\alpha. \] Raggruppando $b^2(\sen^2\alpha + \cos^2\alpha) = b^2$: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha. \] \begin{figure}[h] \centering \begin{tikzpicture}[scale=1.5] % triangolo ABC \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (4,0); \coordinate (C) at (1.4,2); % piede altezza \coordinate (H) at (1.4,0); % lati \draw[thick, BLU] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % altezza \draw[thick, ROSSO, dashed] (C) -- (H); % angolo retto in H \draw[GRIGIO] ($(H)+(-0.18,0)$) -- ($(H)+(-0.18,0.18)$) -- ($(H)+(0,0.18)$); % etichette vertici \node[below left] at (A) {$A$}; \node[below right] at (B) {$B$}; \node[above] at (C) {$C$}; \node[below, GRIGIO] at (H) {$H$}; % etichette lati \node[above left] at ($(A)!0.5!(C)$) {$b$}; \node[above right] at ($(B)!0.5!(C)$) {$a$}; \node[below] at ($(A)!0.5!(B)$) {$c$}; % etichette altezza e proiezione \node[right, ROSSO] at ($(H)!0.5!(C)$) {$h$}; \node[below] at ($(A)!0.5!(H)$) {\small $m$}; % angolo alpha \draw[VERDE, thick] (0.4,0) arc (0:55:0.4); \node[VERDE] at (28:0.55) {$\alpha$}; \end{tikzpicture} \caption{Dimostrazione del teorema di Carnot: l'altezza dal vertice $C$ divide il triangolo in due triangoli rettangoli. Dal primo, $h = b\sen\alpha$ e $m = b\cos\alpha$. Applicando Pitagora al secondo, $a^2 = h^2 + (c-m)^2$, da cui la formula.}\label{fig:go-014-dimostrazione-carnot} \end{figure} \textit{Caso angolo ottuso $\alpha$}. Il piede $H$ dell'altezza cade \emph{fuori} dal segmento $AB$ (dalla parte opposta a $B$). Si ha allora $\cos\alpha < 0$ e $m = b\cos\alpha < 0$, mentre $BH = c - m = c + |m|$. La formula resta valida: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ con $\cos\alpha < 0$ (e quindi $-2bc\cos\alpha > 0$, contribuendo positivamente). Coerente. \textit{Caso angolo retto $\alpha = \pi/2$}. $\cos\alpha = 0$, dunque $a^2 = b^2 + c^2$ (Pitagora). Trattato nella prossima sezione. \subsection*{Formule risolutive per il coseno} Le formule possono essere ribaltate per esprimere il coseno di un angolo in funzione dei lati: \begin{formulabox} \textbf{Coseno di un angolo in funzione dei tre lati}: \[ \cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \] \[ \cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}, \] \[ \cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}. \] \end{formulabox} Da queste si ricava $\alpha = \arccos(\cdot)$, e quindi l'angolo. Il vantaggio rispetto al teorema dei seni: \emph{nessuna ambiguità}, perché $\arccos$ restituisce un unico angolo in $(0, \pi)$. % ============================================================ \section{Pitagora come caso particolare}\label{sec:go-014-03-pitagora-caso-particolare} % ============================================================ Quando il triangolo è rettangolo --- supponiamo l'angolo retto in $A$, cioè $\alpha = \pi/2$ --- abbiamo $\cos\alpha = 0$. Il teorema di Carnot $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ diventa \[ a^2 = b^2 + c^2. \] Riconosciamo il \emph{teorema di Pitagora}: in un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa ($a$, opposta all'angolo retto) è uguale alla somma dei quadrati dei cateti. \begin{formulabox} \textbf{Teorema di Pitagora come caso particolare di Carnot}: $\alpha = \pi/2 \Rightarrow \cos\alpha = 0 \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2$. \end{formulabox} \emph{Senso del termine $-2bc\cos\alpha$}. Il teorema di Carnot mostra che in un triangolo qualsiasi il termine $-2bc\cos\alpha$ \emph{corregge} Pitagora: \begin{itemize} \item se $\alpha < \pi/2$ (acuto): $\cos\alpha > 0$, dunque $a^2 < b^2 + c^2$ (lato opposto ad acuto è ``piccolo''); \item se $\alpha = \pi/2$: $a^2 = b^2 + c^2$ (Pitagora); \item se $\alpha > \pi/2$ (ottuso): $\cos\alpha < 0$, dunque $a^2 > b^2 + c^2$ (lato opposto a ottuso è ``grande''). \end{itemize} Questo dà un criterio rapido per riconoscere triangoli acuti, rettangoli o ottusi: basta confrontare $a^2$ con $b^2 + c^2$, dove $a$ è il lato maggiore. % ============================================================ \section{Applicazioni}\label{sec:go-014-04-applicazioni} % ============================================================ \subsection*{Caso LLL: dai tre lati agli angoli} Conoscendo i tre lati $a, b, c$ di un triangolo, i tre angoli si calcolano tramite le formule del coseno: \[ \alpha = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right), \qquad \beta = \arccos\!\left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right), \] e $\gamma = \pi - \alpha - \beta$ (o calcolato direttamente). \subsection*{Caso LAL: due lati e l'angolo compreso} Conoscendo due lati e l'angolo compreso (es.\ $b, c, \alpha$), il terzo lato si calcola direttamente: \[ a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha}. \] Gli altri due angoli si ricavano poi col teorema dei seni o di nuovo con Carnot. Nel primo caso (seni), si ha \emph{una sola} soluzione perché $\arcsen$ usato su un angolo che sappiamo essere acuto (i due angoli non noti sommano al complemento di $\alpha$, dunque almeno uno è acuto). \subsection*{Diagonali di un parallelogramma} In un parallelogramma di lati $a, b$ e angoli interni $\alpha$ (e $\pi - \alpha$), le diagonali $d_1, d_2$ hanno lunghezze: \[ d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha, \qquad d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\pi - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha. \] Sommando: \[ d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2), \] \emph{identità del parallelogramma}: la somma dei quadrati delle diagonali è il doppio della somma dei quadrati dei lati. Un risultato classico, indipendente dall'angolo $\alpha$. \subsection*{Distanza fra due punti note le coordinate} Tracciando i due raggi vettori a $P_1 = (r_1\cos\theta_1, r_1\sen\theta_1)$ e $P_2 = (r_2\cos\theta_2, r_2\sen\theta_2)$ in coordinate polari, la distanza fra $P_1$ e $P_2$ si calcola col teorema di Carnot nel triangolo $OP_1P_2$: \[ |P_1 P_2|^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1). \] È un caso particolarmente elegante del teorema, naturale in coordinate polari. % ============================================================ \section{Esempi svolti}\label{sec:go-014-05-esempi-svolti} % ============================================================ \begin{esempio}[Caso LAL] In un triangolo $a = ?$, $b = \SI{7}{\meter}$, $c = \SI{5}{\meter}$, $\alpha = 60°$. Calcolare il lato $a$. \textbf{Carnot}: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha = 49 + 25 - 70 \cdot \num{0.5} = 74 - 35 = 39$. \textbf{Risultato}: $a = \sqrt{39} \approx \SI{6.24}{\meter}$. \end{esempio} \begin{esempio}[Caso LLL] Calcolare gli angoli del triangolo di lati $a = 5$, $b = 6$, $c = 7$. \textbf{Coseni}: \[ \cos\alpha = \frac{36 + 49 - 25}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7} \approx 0{,}714, \] dunque $\alpha = \arccos(5/7) \approx \num{44.42}°$. \[ \cos\beta = \frac{25 + 49 - 36}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{38}{70} \approx 0{,}543, \] dunque $\beta \approx \num{57.12}°$. \textbf{Terzo angolo}: $\gamma = 180° - \alpha - \beta \approx \num{78.46}°$. \textbf{Verifica}: $\cos\gamma = (25 + 36 - 49)/(2 \cdot 5 \cdot 6) = 12/60 = 0{,}2$, dunque $\gamma = \arccos 0{,}2 \approx \num{78.46}°$. \checkmark \end{esempio} \begin{esempio}[Riconoscere acuto/ottuso/rettangolo] Un triangolo ha lati $a = 6$, $b = 8$, $c = 11$. Stabilire se è acuto, rettangolo o ottuso. \textbf{Confronto}. $a^2 + b^2 = 36 + 64 = 100$; \, $c^2 = 121 > 100$. Quindi $\gamma$ (opposto al lato maggiore) è \emph{ottuso}. \textbf{Verifica numerica}: $\cos\gamma = (36 + 64 - 121)/(2 \cdot 6 \cdot 8) = -21/96 \approx -0{,}219$, dunque $\gamma = \arccos(-0{,}219) \approx \num{102.6}°$. Conferma: $\gamma > 90°$. \end{esempio} \begin{esempio}[Diagonale di un parallelogramma] Un parallelogramma ha lati $a = 5$, $b = 8$ e angolo interno $\alpha = 70°$. Calcolare le due diagonali. \textbf{Diagonale ``corta''} (opposta a $\alpha$): \[ d_1^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos 70° = 89 - 80 \cdot 0{,}342 \approx 89 - 27{,}36 \approx 61{,}64. \] $d_1 \approx 7{,}85$. \textbf{Diagonale ``lunga''} (opposta a $\pi - \alpha = 110°$): \[ d_2^2 = 25 + 64 + 80\cos 70° \approx 89 + 27{,}36 \approx 116{,}36. \] $d_2 \approx 10{,}79$. \textbf{Verifica con identità}: $d_1^2 + d_2^2 \approx 61{,}64 + 116{,}36 = 178 = 2(25 + 64) = 2(a^2 + b^2)$. \checkmark \end{esempio} \begin{esempio}[Mediana di un triangolo] La \emph{mediana} di un triangolo $ABC$ relativa al lato $a$ è il segmento dal vertice $A$ al punto medio $M$ di $BC$. Calcolare la lunghezza $m_a = AM$ in funzione dei lati. \textbf{Geometria}. Nel triangolo $ABM$ (con $BM = a/2$), applicando Carnot: \[ m_a^2 = c^2 + (a/2)^2 - 2c(a/2)\cos\beta = c^2 + a^2/4 - ac\cos\beta. \] \textbf{Sostituendo} $\cos\beta = (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac)$ (Carnot nel triangolo originale): \[ m_a^2 = c^2 + a^2/4 - ac \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = c^2 + a^2/4 - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}. \] Riducendo allo stesso denominatore: \[ m_a^2 = \frac{2c^2 + a^2/2 - a^2 - c^2 + b^2}{1} \cdot \frac{1}{1}\ldots \] \emph{Riformulando con calcolo più diretto} ($\cdot 4$): \[ 4 m_a^2 = 4c^2 + a^2 - 2(a^2 + c^2 - b^2) = 2b^2 + 2c^2 - a^2. \] \textbf{Formula finale}: $m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$. Risultato classico (teorema di Apollonio). \end{esempio} \begin{esempio}[Distanza in coordinate polari] Due punti hanno coordinate polari $(r_1, \theta_1) = (3, \pi/6)$ e $(r_2, \theta_2) = (5, 2\pi/3)$. Calcolare la distanza. \textbf{Algebra}: \[ |P_1 P_2|^2 = 9 + 25 - 30 \cos(2\pi/3 - \pi/6) = 34 - 30 \cos(\pi/2) = 34 - 0 = 34. \] \textbf{Distanza}: $|P_1 P_2| = \sqrt{34} \approx 5{,}83$. \textbf{Verifica con coordinate cartesiane}: $P_1 = (3\cos 30°, 3\sen 30°) = (3\sqrt{3}/2, 3/2) \approx (2{,}60, 1{,}5)$; $P_2 = (5\cos 120°, 5\sen 120°) = (-5/2, 5\sqrt{3}/2) \approx (-2{,}5, 4{,}33)$. Distanza euclidea: $\sqrt{(2{,}60+2{,}5)^2 + (1{,}5-4{,}33)^2} = \sqrt{26{,}01 + 8{,}01} \approx \sqrt{34{,}02}$. \checkmark \end{esempio} % ============================================================ \section{Esercizi proposti}\label{sec:go-014-06-esercizi-proposti} % ============================================================ \begin{eserciziobox} \begin{enumerate} \item Calcolare il terzo lato di un triangolo dati: \begin{enumerate} \item $b = 4, c = 6, \alpha = 60°$; \item $a = 7, c = 9, \beta = 45°$; \item $a = 10, b = 12, \gamma = 120°$; \item $b = 5, c = 5, \alpha = 90°$ (Pitagora!); \item $b = 8, c = 12, \alpha = 30°$. \end{enumerate} \item Calcolare i tre angoli di un triangolo dati i lati: \begin{enumerate} \item $a = 3, b = 4, c = 5$ (Pitagora; identificare l'angolo retto); \item $a = 5, b = 7, c = 9$; \item $a = 4, b = 4, c = 4$ (equilatero!); \item $a = 13, b = 14, c = 15$; \item $a = 8, b = 10, c = 15$. \end{enumerate} \item Per ciascun triangolo, stabilire (senza calcolatrice) se è acuto, rettangolo o ottuso: \begin{enumerate} \item lati $5, 12, 13$; \item lati $5, 6, 7$; \item lati $5, 6, 9$; \item lati $3, 4, 6$; \item lati $7, 24, 25$. \end{enumerate} \item Calcolare le diagonali del parallelogramma: \begin{enumerate} \item lati $6, 9$, angolo interno $\alpha = 50°$; \item lati $a, a$, angolo interno $\alpha$ (rombo). \end{enumerate} \item Una nave naviga per $\SI{40}{\kilo\meter}$ in direzione nord-est ($N 45° E$), poi cambia rotta e percorre altri $\SI{30}{\kilo\meter}$ in direzione est-sud-est ($E 30° S$). Calcolare la distanza dal punto di partenza. (Suggerimento: triangolo con i due tratti come lati e angolo compreso da determinare.) \item In un triangolo $ABC$, $a = 8$, $b = 5$ e l'angolo $\gamma$ è di $\num{120}°$. Calcolare $c$, $\alpha$, $\beta$ e l'area. \item Tre paesi $A, B, C$ distano: $AB = \SI{50}{\kilo\meter}$, $BC = \SI{70}{\kilo\meter}$, $CA = \SI{45}{\kilo\meter}$. Calcolare gli angoli interni del ``triangolo'' che collega i tre paesi. \item Una squadra di calcio è in attacco. Il giocatore $G$ tira da una distanza $d_1 = \SI{15}{\meter}$ dal palo sinistro e $d_2 = \SI{18}{\meter}$ dal palo destro, sapendo che la distanza fra i pali è $\SI{7.32}{\meter}$. Sotto quale angolo (rispetto alla porta) vede la porta? \item Mostrare che, in un triangolo, vale la \emph{disuguaglianza triangolare} $a < b + c$ a partire dal teorema di Carnot e dalla condizione $-1 < \cos\alpha < 1$. (Suggerimento: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha < b^2 + c^2 + 2bc = (b+c)^2$.) \item Dato il triangolo di lati $a = 6$, $b = 8$ e mediana $m_c = \sqrt{17{,}5}$ (relativa al lato $c$), determinare $c$. (Usare la formula della mediana.) \item Si consideri un triangolo isoscele di lati congruenti $\ell$ e base $b$. Mostrare, tramite il teorema di Carnot, che l'angolo al vertice $\theta$ soddisfa $\cos\theta = 1 - b^2/(2\ell^2)$. \item \emph{Sfida (formula di Erone, completamento)}. Usando $A = (1/2)bc\sen\alpha$ e $\cos\alpha = (b^2+c^2-a^2)/(2bc)$, mostrare che \[ A = \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \] con $s = (a+b+c)/2$. (Risultato già anticipato in cap.~\ref{cap:GO-013}.) \item Un parallelogramma ha diagonali $d_1 = 10$ e $d_2 = 16$, con angolo fra esse di $50°$. Calcolare i lati del parallelogramma. (Suggerimento: applicare Carnot nei quattro triangoli formati dalle diagonali.) \item In un cerchio di raggio $R$, si considerino due corde $AB$ e $CD$ che si intersecano in un punto $P$ interno. Mostrare che $AP \cdot PB = CP \cdot PD$ (teorema delle corde). (Suggerimento: triangoli simili $APC$ e $DPB$.) Esprimere poi $AB$ in funzione di $AP$, $PB$ e dell'angolo $\widehat{APC}$. \item \emph{Sfida (gabbiano e antenne)}. Due antenne $A$ e $B$ distano $\SI{500}{\meter}$. Un gabbiano si trova in un punto $P$ tale che $PA = \SI{300}{\meter}$ e $\widehat{APB} = 75°$. Calcolare la distanza $PB$. (Caso LLA con Carnot risolto come quadratica in $PB$.) \end{enumerate} \end{eserciziobox} % ============================================================ \section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:go-014-07-riepilogo-del-capitolo} % ============================================================ \begin{riepilogo} \begin{itemize} \item \emph{Teorema del coseno (Carnot)}: in un triangolo qualsiasi di lati $a, b, c$ opposti agli angoli $\alpha, \beta, \gamma$, \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \] (e analoghe per $b^2$, $c^2$, ciascuna col proprio angolo opposto). \item \emph{Dimostrazione}: tracciando l'altezza dal terzo vertice si formano due triangoli rettangoli, e applicando Pitagora a uno di essi si ottiene la formula. \item \emph{Caso particolare} $\alpha = \pi/2$: il termine col coseno si annulla, e si ottiene Pitagora: $a^2 = b^2 + c^2$ (con $a$ = ipotenusa). \item \emph{Formula inversa per il coseno}: \[ \cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \] che dà $\alpha = \arccos(\cdot)$, \emph{senza ambiguità} (a differenza del seno). \item \emph{Criterio acuto/rettangolo/ottuso} (con $a$ lato maggiore): \begin{itemize} \item se $a^2 < b^2 + c^2$: acuto; \item se $a^2 = b^2 + c^2$: rettangolo; \item se $a^2 > b^2 + c^2$: ottuso. \end{itemize} \item \emph{Casi di applicazione}: LLL (tre lati noti, calcola gli angoli) e LAL (due lati e angolo compreso, calcola il terzo lato). \item \emph{Conseguenze classiche}: \begin{itemize} \item identità del parallelogramma: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$; \item formula della mediana (Apollonio): $4 m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$; \item distanza in coordinate polari: $|P_1 P_2|^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)$; \item formula di Erone (vedi cap.~\ref{cap:GO-013}, dimostrata combinando Carnot e $A = (1/2)bc\sen\alpha$). \end{itemize} \item \emph{Storia}: la versione classica risale a Euclide (\emph{Elementi}, Libro II, prop.~12 e 13), in forma geometrica senza coseno; la formulazione moderna con $\cos$ è di Lazare Carnot (1803), da cui il nome italiano. \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GO-015}) usiamo i due teoremi (seni e coseno) per risolvere sistematicamente tutti i quattro casi di triangolo qualsiasi. \end{itemize} \end{riepilogo}