\chapter{Risoluzione di triangoli qualsiasi e applicazioni}\label{cap:GO-015}

\citazioneinizio{%
  Risolvere un triangolo significa, dati alcuni dei suoi elementi, determinare tutti gli altri. È un problema millenario --- da Tolomeo ai geometri arabi, da Regiomontano a Cassini --- e ha la struttura più semplice possibile: tre lati, tre angoli, due teoremi (seni e coseno), una formula di chiusura ($\alpha + \beta + \gamma = \pi$).%
}{Adattato da Jacques Cassini, \emph{De la grandeur et de la figure de la terre} (1720) --- una delle prime opere a sistematizzare la triangolazione su scala geografica}

% ============================================================
\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:go-015-01-introduzione-motivazionale}
% ============================================================

In questo capitolo riuniamo i risultati dei due capitoli precedenti --- teorema dei seni (\ref{cap:GO-013}) e teorema del coseno (\ref{cap:GO-014}) --- in una sintesi operativa. Mostriamo come si risolve un triangolo \emph{qualsiasi} a partire da tre dei suoi elementi (lati e angoli), in ognuno dei quattro casi classici.

\emph{Risolvere un triangolo} significa determinare \emph{tutti} e sei i suoi elementi (tre lati $a, b, c$ e tre angoli $\alpha, \beta, \gamma$) a partire dai dati assegnati. È un'operazione che ha occupato la matematica applicata per millenni: dal calcolo astronomico classico (Tolomeo, Aryabhata) alla triangolazione cartografica moderna (Cassini, Gauss), fino alle moderne tecniche di posizionamento GPS.

% ============================================================
\section{Triangolo qualsiasi: dati conosciuti}\label{sec:go-015-02-dati-conosciuti}
% ============================================================

Un triangolo ha $6$ elementi (3 lati + 3 angoli), legati da $3$ relazioni indipendenti (somma degli angoli $\pi$, e due fra teorema dei seni/coseno/Pitagora). Quindi servono \emph{3 elementi indipendenti} per determinarlo univocamente (a meno di simmetria).

I quattro casi standard sono:

\begin{formulabox}
\textbf{I quattro casi di risoluzione del triangolo}:
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
\textbf{Caso} & \textbf{Dati} & \textbf{Strumento} & \textbf{Soluzioni} \\
\hline
LLL & 3 lati & Carnot ($\to$ angoli) & 1 (se $a < b+c$ ecc.) \\
LAL & 2 lati e angolo compreso & Carnot ($\to$ 3$^{\circ}$ lato), poi seni & 1 \\
ALA & 1 lato e 2 angoli & Seni & 1 \\
LLA & 2 lati e angolo opposto a uno & Seni & 0, 1 o 2 (ambiguo) \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{formulabox}

\emph{Caso non ben definito}. Dati \emph{tre angoli} (AAA), il triangolo non è univocamente determinato: tutti i triangoli simili soddisfano le condizioni. Serve almeno un \emph{lato}.

\emph{Compatibilità dei dati}. Non tutte le combinazioni di tre numeri portano a un triangolo:
\begin{itemize}
  \item per tre lati: deve valere la \emph{disuguaglianza triangolare} ($a < b + c$ e tutte le permutazioni);
  \item per due lati e un angolo opposto: il valore $\sen\beta = b\sen\alpha/a$ può eccedere $1$;
  \item per due angoli: deve valere $\alpha + \beta < \pi$.
\end{itemize}

\subsection*{Schema unificato dei due teoremi}

\begin{formulabox}
\textbf{Teorema dei seni}: $\dfrac{a}{\sen\alpha} = \dfrac{b}{\sen\beta} = \dfrac{c}{\sen\gamma} = 2R$ (con $R$ raggio circoscritto).

\textbf{Teorema del coseno}: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ (e cicliche).

\textbf{Somma degli angoli}: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

\textbf{Area}: $A = (1/2) bc \sen\alpha = (1/2) ac \sen\beta = (1/2) ab \sen\gamma = abc/(4R)$.
\end{formulabox}

% ============================================================
\section{Caso LLL: tre lati noti}\label{sec:go-015-03-caso-LLL}
% ============================================================

\begin{procedura}[Risoluzione caso LLL]
Dati i tre lati $a, b, c$:
\begin{enumerate}
  \item Verificare la disuguaglianza triangolare: $a + b > c$, $a + c > b$, $b + c > a$. Se violata, il triangolo non esiste.
  \item Calcolare due angoli con Carnot (uno alla volta):
  \[
    \alpha = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right), \quad \beta = \arccos\!\left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right).
  \]
  \item Calcolare il terzo angolo con $\gamma = \pi - \alpha - \beta$ (o di nuovo Carnot, come controllo).
  \item Eventualmente calcolare area $A = abc/(4R)$ con $R = a/(2\sen\alpha)$ del teorema dei seni, o $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ con Erone.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\emph{Consiglio pratico}. Conviene partire dal coseno del lato \emph{maggiore}: se è negativo, l'angolo è ottuso (il maggiore degli angoli); se è positivo, il triangolo è acuto.

% ============================================================
\section{Caso LAL: due lati e angolo compreso}\label{sec:go-015-04-caso-LAL}
% ============================================================

\begin{procedura}[Risoluzione caso LAL]
Dati due lati $b, c$ e l'angolo compreso $\alpha$:
\begin{enumerate}
  \item Calcolare il terzo lato con Carnot: $a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha}$.
  \item Calcolare un secondo angolo col teorema dei seni: $\sen\beta = b\sen\alpha/a$, $\beta = \arcsen(\cdot)$. \emph{Non c'è ambiguità}: almeno uno fra $\beta$ e $\gamma$ è acuto (perché $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ con $\alpha$ già parzialmente impegnato), e l'arcsen restituisce l'angolo acuto.
  \item $\gamma = \pi - \alpha - \beta$.
  \item Area: $A = (1/2)bc\sen\alpha$ (immediata!).
\end{enumerate}
\end{procedura}

\emph{Attenzione}. Se entrambi $\beta$ e $\gamma$ devono risultare ottusi, l'arcsen sbaglia. Per sicurezza, scegliere come ``secondo angolo'' quello opposto al \emph{più piccolo} dei due lati (sicuramente acuto).

% ============================================================
\section{Caso ALA (o LAA): un lato e due angoli}\label{sec:go-015-05-caso-ALA}
% ============================================================

\begin{procedura}[Risoluzione caso ALA / LAA]
Dati un lato (per esempio $a$) e due angoli (per esempio $\beta, \gamma$, oppure $\alpha, \beta$):
\begin{enumerate}
  \item Calcolare il terzo angolo: $\alpha = \pi - \beta - \gamma$ (verificando che sia positivo).
  \item Calcolare i lati mancanti col teorema dei seni:
  \[
    b = a \cdot \frac{\sen\beta}{\sen\alpha}, \qquad c = a \cdot \frac{\sen\gamma}{\sen\alpha}.
  \]
  \item Area: $A = (1/2) bc \sen\alpha$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\emph{Soluzione unica}. Il caso ALA dà sempre un triangolo \emph{unico} (a meno di simmetria), perché i due angoli e il lato fra essi sono sufficienti a fissare la geometria completamente.

% ============================================================
\section{Caso LLA: due lati e angolo opposto (ambiguo)}\label{sec:go-015-06-caso-LLA}
% ============================================================

\begin{procedura}[Risoluzione caso LLA, con discussione delle soluzioni]
Dati due lati $a, b$ e l'angolo $\alpha$ opposto al primo:
\begin{enumerate}
  \item Calcolare $\sen\beta = b\sen\alpha / a$ (teorema dei seni).
  \item Discutere il valore:
    \begin{itemize}
      \item se $\sen\beta > 1$: nessuna soluzione (triangolo impossibile);
      \item se $\sen\beta = 1$: una sola soluzione, $\beta = \pi/2$ (triangolo rettangolo limite);
      \item se $0 < \sen\beta < 1$: due possibili valori $\beta_1 = \arcsen(\cdot)$ e $\beta_2 = \pi - \beta_1$.
    \end{itemize}
  \item Per ciascun $\beta_i$, verificare la compatibilità $\alpha + \beta_i < \pi$.
  \item Per ogni $\beta$ valida, $\gamma = \pi - \alpha - \beta$, $c = a\sen\gamma/\sen\alpha$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\emph{Quando c'è una sola soluzione?} Quando $a > b$ (lato opposto all'angolo dato è il maggiore) c'è sempre una sola soluzione. Quando $a < b$ ci possono essere $0, 1$ o $2$ soluzioni a seconda di $\sen\beta$.

\subsection*{Riepilogo del caso LLA in tabella}

\begin{formulabox}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline
\textbf{Condizione} & \textbf{Geometria} & \textbf{Soluzioni} \\
\hline
$b \sen\alpha > a$ & il lato $a$ non raggiunge & 0 \\
$b \sen\alpha = a$ & tangente; $\beta = \pi/2$ & 1 \\
$b \sen\alpha < a$ e $b \le a$ & lato $a$ è maggiore o uguale & 1 \\
$b \sen\alpha < a$ e $b > a$ & due intersezioni & 2 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{formulabox}

% ============================================================
\section{Area del triangolo con il seno}\label{sec:go-015-07-area-con-seno}
% ============================================================

Riepiloghiamo le tre forme principali dell'area:

\begin{formulabox}
\textbf{Tre forme della formula dell'area di un triangolo}:
\begin{enumerate}
  \item con due lati e l'angolo compreso: $A = (1/2) bc \sen\alpha$;
  \item con tutti i lati (Erone): $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, $s = (a+b+c)/2$;
  \item col raggio circoscritto: $A = abc/(4R)$.
\end{enumerate}
\end{formulabox}

\emph{Quando usare quale?}
\begin{itemize}
  \item Forma 1: se sono noti due lati e l'angolo compreso (caso LAL diretto).
  \item Forma 2: se sono noti i tre lati (caso LLL).
  \item Forma 3: utile quando $R$ è dato, o quando si vogliono legare quattro elementi metrici.
\end{itemize}

\subsection*{Formula del raggio inscritto}

Anche il raggio $r$ del cerchio \emph{inscritto} si lega all'area:
\[
  r = \frac{A}{s},
\]
dove $s = (a+b+c)/2$ è il semiperimetro. Si dimostra notando che l'area di un triangolo si può scomporre nella somma delle aree dei tre triangoli con vertice nell'incentro e base sui lati: ciascuno ha altezza $r$, dunque $A = (1/2)(a+b+c)r = sr$.

% ============================================================
\section{Applicazioni a problemi di topografia e fisica}\label{sec:go-015-08-applicazioni}
% ============================================================

\subsection*{Triangolazione topografica}

La triangolazione, base storica della cartografia (Cassini, Snell), funziona così:
\begin{enumerate}
  \item Si fissa una \emph{base} di lunghezza nota tra due punti accessibili.
  \item Si misurano gli angoli sotto cui un terzo punto è visto dai due estremi della base.
  \item Col teorema dei seni si calcolano le distanze dai due estremi al terzo punto.
  \item Si itera, prendendo come nuova base uno dei lati calcolati.
\end{enumerate}
La precisione cresce evitando angoli ``acuti'' (vicini a $0$) o ``ottusi'' estremi: triangoli equilateri o quasi sono i più precisi.

\subsection*{Composizione di vettori (fisica)}

Due vettori $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ di moduli $F_1, F_2$ e angolo compreso $\theta$ hanno una risultante $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ il cui modulo si calcola col teorema di Carnot applicato al parallelogramma di forze:
\[
  F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos\theta}.
\]
(Attenzione: il \emph{più} segno deriva dal fatto che nel parallelogramma di forze l'angolo opposto alla risultante è $\pi - \theta$, da cui $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$, che nella formula standard diventa segno positivo.)

L'angolo $\varphi$ fra $\vec{F}$ e $\vec{F}_1$ si calcola col teorema dei seni:
\[
  \frac{\sen\varphi}{F_2} = \frac{\sen\theta}{F},
\]
dove $\theta$ è l'angolo fra $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$.

\subsection*{Determinazione della posizione (trilaterazione)}

Conoscendo la distanza da tre punti di riferimento noti (GPS, fari, antenne), si determina la propria posizione come intersezione di tre cerchi. Il calcolo dell'intersezione usa essenzialmente il teorema di Carnot.

% ============================================================
\section{Esempi svolti}\label{sec:go-015-09-esempi-svolti}
% ============================================================

\begin{esempio}[Triangolo LAL completo]
Dati $b = \SI{10}{\meter}$, $c = \SI{14}{\meter}$, $\alpha = 50°$. Risolvere il triangolo e calcolarne l'area.

\textbf{Terzo lato (Carnot)}: $a^2 = 100 + 196 - 280\cos 50° = 296 - 280 \cdot 0{,}643 \approx 116{,}0$, dunque $a \approx \SI{10.77}{\meter}$.

\textbf{Angolo $\beta$ (seni)}: $\sen\beta = b\sen\alpha/a = 10 \cdot 0{,}766/10{,}77 \approx 0{,}711$, dunque $\beta \approx \num{45.32}°$.

\textbf{Verifica scelta}: $b < c$, quindi $\beta < \gamma$ e $\beta$ è acuto. \checkmark Sono nel ramo principale dell'arcsen.

\textbf{Terzo angolo}: $\gamma = 180° - 50° - 45{,}32° \approx \num{84.68}°$.

\textbf{Area}: $A = (1/2)bc\sen\alpha = (1/2) \cdot 10 \cdot 14 \cdot 0{,}766 \approx \SI{53.6}{\meter\squared}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Triangolo LLL: tutti gli angoli e l'area]
Dati $a = 7$, $b = 9$, $c = 12$. Risolvere e calcolare l'area.

\textbf{Verifica della disuguaglianza}: $7 + 9 = 16 > 12$, OK.

\textbf{Angoli (Carnot)}:
\[
  \cos\alpha = \frac{81 + 144 - 49}{216} = \frac{176}{216} \approx 0{,}8148, \quad \alpha \approx \num{35.42}°.
\]
\[
  \cos\beta = \frac{49 + 144 - 81}{168} = \frac{112}{168} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667, \quad \beta \approx \num{48.19}°.
\]
\[
  \gamma = 180° - 35{,}42° - 48{,}19° \approx \num{96.39}°.
\]
($\gamma$ è ottuso: il lato $c$ è il maggiore, e infatti $c^2 = 144 > 49 + 81 = 130 = a^2 + b^2$.)

\textbf{Area (Erone)}: $s = (7+9+12)/2 = 14$. $A = \sqrt{14 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2} = \sqrt{980} \approx \num{31.3}$.

\textbf{Verifica con formula del seno}: $A = (1/2)ab\sen\gamma = (1/2) \cdot 7 \cdot 9 \cdot \sen 96{,}39° \approx 31{,}5 \cdot 0{,}994 \approx 31{,}3$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Composizione di due forze]
Due forze di modulo $F_1 = \SI{20}{\newton}$ e $F_2 = \SI{15}{\newton}$ formano un angolo di $60°$. Calcolare il modulo e la direzione della risultante.

\textbf{Modulo (Carnot al parallelogramma)}:
\[
  F = \sqrt{400 + 225 + 600\cos 60°} = \sqrt{625 + 300} = \sqrt{925} \approx \SI{30.41}{\newton}.
\]

\textbf{Angolo $\varphi$ fra $\vec{F}$ e $\vec{F}_1$ (seni)}:
\[
  \sen\varphi = \frac{F_2 \sen 60°}{F} = \frac{15 \cdot 0{,}866}{30{,}41} \approx 0{,}427, \quad \varphi \approx \num{25.3}°.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Topografia: distanza inaccessibile]
Per misurare la distanza fra due punti $X$ e $Y$ separati da un lago, un topografo sceglie un punto $A$ accessibile sulla riva, misura $AX = \SI{120}{\meter}$, $AY = \SI{180}{\meter}$, e l'angolo $\widehat{XAY} = 65°$ (LAL). Calcolare $XY$.

\textbf{Carnot}:
\[
  XY^2 = 120^2 + 180^2 - 2 \cdot 120 \cdot 180 \cos 65° = 14400 + 32400 - 43200 \cdot 0{,}4226 \approx 28543.
\]

\textbf{Risultato}: $XY \approx \SI{169}{\meter}$.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Esercizi proposti}\label{sec:go-015-10-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Risolvere il triangolo (calcolare lati, angoli e area) nei casi:
  \begin{enumerate}
    \item LAL: $b = 8$, $c = 11$, $\alpha = 65°$;
    \item LLL: $a = 9$, $b = 10$, $c = 14$;
    \item ALA: $a = 12$, $\beta = 40°$, $\gamma = 75°$;
    \item LLA: $a = 6$, $b = 10$, $\alpha = 30°$ (quante soluzioni?).
  \end{enumerate}

  \item Per i seguenti dati, stabilire se il triangolo è acuto, rettangolo o ottuso (senza risolverlo):
  \begin{enumerate}
    \item $a = 7, b = 24, c = 25$;
    \item $a = 6, b = 8, c = 11$;
    \item $a = 5, b = 5, c = 5$.
  \end{enumerate}

  \item Un appezzamento triangolare ha lati di $\SI{80}{\meter}$, $\SI{100}{\meter}$, $\SI{120}{\meter}$. Calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item l'area in $\si{\meter\squared}$;
    \item gli angoli interni;
    \item il raggio del cerchio inscritto.
  \end{enumerate}

  \item Una nave naviga in mare aperto. Da un punto $A$ il faro si vede sotto un angolo di $70°$ rispetto alla prua; dopo aver navigato per $\SI{1.5}{\kilo\meter}$ in linea retta fino a $B$, lo stesso faro è ora a $40°$ dalla prua. Calcolare la distanza $BF$ del faro dalla nave al punto $B$.

  \item Due forze di moduli $\SI{30}{\newton}$ e $\SI{40}{\newton}$ formano un angolo di $\num{120}°$. Calcolare la risultante e l'angolo che essa forma con la forza maggiore.

  \item In un triangolo isoscele di base $\SI{14}{\centi\meter}$ e lati congruenti $\SI{25}{\centi\meter}$, calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item l'altezza;
    \item l'area;
    \item gli angoli;
    \item il raggio circoscritto.
  \end{enumerate}

  \item Un triangolo ha area $\SI{60}{\centi\meter\squared}$, lati $a = \SI{10}{\centi\meter}$ e $b = \SI{15}{\centi\meter}$. Calcolare l'angolo $\gamma$ compreso fra essi e il terzo lato $c$. (Due soluzioni: $\gamma$ acuto e $\gamma$ ottuso!)

  \item In un parallelogramma di lati $\SI{12}{\meter}$ e $\SI{20}{\meter}$ una diagonale misura $\SI{16}{\meter}$. Calcolare l'altra diagonale e gli angoli interni.

  \item Un triangolo equilatero è inscritto in un cerchio di raggio $\SI{6}{\centi\meter}$. Calcolare il suo lato, la sua area, e il raggio del cerchio inscritto.

  \item Mostrare che il raggio inscritto $r$ e il raggio circoscritto $R$ di un triangolo soddisfano $r/R = \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1$. (Identità classica.)

  \item Un satellite si trova a un'altezza $h$ sopra la superficie terrestre. Da due stazioni di terra $A$ e $B$ allineate sul meridiano del satellite, distanti $\SI{1000}{\kilo\meter}$, si misurano gli angoli di elevazione: $\alpha = 70°$ da $A$ e $\beta = 65°$ da $B$. Calcolare $h$ (trascurando la curvatura terrestre).

  \item \emph{Sfida (problema di Snell, triangolazione)}. Per misurare la distanza di una torre $T$ inaccessibile da un punto $P$, si fissa una base $AB = \SI{50}{\meter}$ con $A, B, P$ allineati. Da $A$ si vede $T$ con angolo $\widehat{TAB} = 75°$, da $B$ con angolo $\widehat{TBA} = 100°$ (notare: ottuso!). Calcolare $PT$.

  \item Una persona alta $\SI{1.8}{\meter}$ proietta un'ombra di $\SI{2.4}{\meter}$ su una strada in salita di pendenza $10°$. L'ombra è misurata lungo la strada (non in orizzontale). Calcolare l'angolo di elevazione del sole.

  \item Un poligono regolare di $n$ lati è inscritto in un cerchio di raggio $R$. Mostrare che la sua area è $A = (n/2) R^2 \sen(2\pi/n)$. Calcolare il limite per $n \to \infty$ e verificare che vale $\pi R^2$ (area del cerchio).

  \item \emph{Sfida finale (geodesia)}. Due punti $A$ e $B$ sulla superficie terrestre hanno latitudini $\phi_A, \phi_B$ e longitudini $\lambda_A, \lambda_B$. Mostrare che la distanza geodetica (lungo l'arco di grande cerchio) è $d = R \arccos(\sen\phi_A \sen\phi_B + \cos\phi_A \cos\phi_B \cos(\lambda_B - \lambda_A))$, dove $R$ è il raggio terrestre. (Suggerimento: \emph{teorema del coseno sferico}, generalizzazione del Carnot piano alla sfera.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% ============================================================
\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:go-015-11-riepilogo-del-capitolo}
% ============================================================

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Strumenti}: somma angoli ($\alpha + \beta + \gamma = \pi$), teorema dei seni ($a/\sen\alpha = 2R$), teorema del coseno ($a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$).
  \item \emph{I quattro casi di risoluzione}:
    \begin{itemize}
      \item LLL: tre lati → Carnot per gli angoli;
      \item LAL: due lati e angolo compreso → Carnot per il terzo lato, poi seni;
      \item ALA: un lato e due angoli → seni per gli altri lati;
      \item LLA: due lati e angolo opposto (\emph{ambiguo}: $0, 1$ o $2$ triangoli).
    \end{itemize}
  \item \emph{Compatibilità}: per tre lati, disuguaglianza triangolare; per LLA, $\sen\beta \le 1$.
  \item \emph{Formule dell'area}:
    \begin{itemize}
      \item $A = (1/2) bc \sen\alpha$ (due lati e angolo compreso);
      \item $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ (Erone, tre lati);
      \item $A = abc/(4R)$ (col cerchio circoscritto);
      \item $A = sr$ ($s$ semiperimetro, $r$ raggio inscritto).
    \end{itemize}
  \item \emph{Applicazioni}: triangolazione topografica, composizione di forze, problemi di navigazione e astronomia, trilaterazione GPS.
  \item \emph{Estensione naturale}: \emph{trigonometria sferica}, che generalizza i teoremi a triangoli su una sfera (rilevante per geodesia, astronomia, navigazione transoceanica).
  \item Si chiude qui la parte di goniometria/trigonometria della Quarta. Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GS-001}) iniziamo la \emph{geometria solida}: rette e piani nello spazio.
\end{itemize}
\end{riepilogo}