\chapter{Rette e piani nello spazio: posizioni reciproche}\label{cap:GS-001}

\citazioneinizio{%
  Nel piano due rette o sono parallele o si incontrano: tertium non datur. Nello spazio aggiungiamo una terza possibilità --- le rette \emph{sghembe}, che non si incontrano e non sono parallele. Aggiungere una dimensione significa aggiungere una nuova categoria di posizione reciproca.%
}{Euclide, \emph{Elementi} libro XI, definizioni preliminari --- prima trattazione sistematica delle proprietà di rette e piani nello spazio}

% ============================================================
\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:gs-001-01-introduzione-motivazionale}
% ============================================================

Apriamo qui la parte di \emph{geometria solida}, ovvero la geometria delle figure nello spazio tridimensionale. Tutto quanto fatto finora --- triangoli, cerchi, poligoni --- viveva nel \emph{piano}, in due dimensioni. Spostandoci nello spazio guadagniamo una nuova dimensione e nuove possibilità:
\begin{itemize}
  \item due rette possono essere parallele, incidenti, oppure \emph{sghembe} (nuova categoria);
  \item retta e piano possono essere paralleli, incidenti, oppure la retta può \emph{giacere nel piano};
  \item due piani possono essere paralleli o incidenti (intersecandosi in una retta, non in un punto).
\end{itemize}

Le applicazioni della geometria dello spazio sono ovunque: architettura, ingegneria, computer grafica, fisica (cinematica del moto nello spazio, ottica), chimica (geometria molecolare), cartografia. Cominciamo dagli oggetti fondamentali --- punti, rette, piani --- e dalle loro \emph{posizioni reciproche}.

% ============================================================
\section{Postulati dello spazio}\label{sec:gs-001-02-postulati-spazio}
% ============================================================

I postulati fondamentali della geometria dello spazio estendono quelli del piano (cap.~\ref{cap:GE-002}). Considereremo come \emph{enti primitivi} i punti, le rette e i piani; le loro proprietà sono fissate dai seguenti postulati.

\begin{formulabox}
\textbf{Postulati di esistenza e determinazione (geometria dello spazio)}:
\begin{itemize}
  \item \emph{P1 (postulato del piano per tre punti)}: per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.
  \item \emph{P2 (postulato della retta nel piano)}: se due punti di una retta appartengono a un piano, l'intera retta appartiene al piano.
  \item \emph{P3 (postulato di Euclide nello spazio)}: per un punto esterno a un piano passa uno e un solo piano parallelo al primo.
  \item \emph{P4 (intersezione di due piani)}: se due piani distinti hanno un punto in comune, allora la loro intersezione è una retta.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\emph{Conseguenze dirette}.
\begin{itemize}
  \item Tre punti allineati \emph{non} individuano un piano: ne passano infiniti.
  \item Una retta e un punto fuori di essa individuano sempre un piano (corollario di P1: il punto e due punti distinti della retta sono tre non allineati).
  \item Due rette incidenti individuano un piano (corollario: due punti su una retta + un punto dell'altra retta fuori dalla prima, sono tre non allineati).
  \item Due rette parallele individuano un piano (per definizione di rette parallele nello spazio, vedi sotto).
\end{itemize}

\begin{formulabox}
\textbf{Cinque modi di determinare un piano}:
\begin{enumerate}
  \item tre punti non allineati;
  \item una retta e un punto fuori di essa;
  \item due rette incidenti;
  \item due rette parallele;
  \item un punto e una direzione di un vettore normale (vedi cap.~\ref{cap:GS-009}).
\end{enumerate}
\end{formulabox}

% ============================================================
\section{Posizioni di due rette nello spazio}\label{sec:gs-001-03-posizioni-due-rette}
% ============================================================

\begin{definizione}[Rette complanari, incidenti, parallele, sghembe]
Due rette $r$ e $s$ nello spazio si dicono:
\begin{itemize}
  \item \emph{complanari} se esiste un piano che le contiene entrambe;
  \item \emph{incidenti} se sono complanari e hanno un punto in comune;
  \item \emph{parallele} se sono complanari e non hanno punti in comune (oppure se coincidono, secondo alcune convenzioni); per indicare il parallelismo si scrive $r \parallel s$;
  \item \emph{sghembe} se non sono complanari (e quindi non hanno nemmeno punti in comune).
\end{itemize}
\end{definizione}

\emph{Differenza rispetto al piano}. Nel piano due rette o si incontrano o sono parallele: la categoria ``sghembe'' non esiste, perché tutte le rette del piano sono già complanari.

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
  % primo piano: rette parallele
  \begin{scope}[xshift=0cm]
    \draw[thick, GRIGIO!50] (0,0) -- (3,0) -- (3.5,1) -- (0.5,1) -- cycle;
    \draw[thick, BLU] (0.3,0.2) -- (3.2,0.2);
    \draw[thick, ROSSO] (0.3,0.7) -- (3.2,0.7);
    \node at (1.7,-0.5) {\small parallele};
  \end{scope}
  % secondo piano: rette incidenti
  \begin{scope}[xshift=4.5cm]
    \draw[thick, GRIGIO!50] (0,0) -- (3,0) -- (3.5,1) -- (0.5,1) -- cycle;
    \draw[thick, BLU] (0.3,0.1) -- (3.2,0.8);
    \draw[thick, ROSSO] (0.3,0.8) -- (3.2,0.1);
    \node at (1.7,-0.5) {\small incidenti};
  \end{scope}
  % terzo piano: rette sghembe (due piani diversi)
  \begin{scope}[xshift=9cm]
    \draw[thick, GRIGIO!50] (0,0) -- (3,0) -- (3.5,1) -- (0.5,1) -- cycle;
    \draw[thick, BLU] (0.3,0.2) -- (3.2,0.2);
    \draw[thick, ROSSO] (0.5,1.5) -- (3,2.5);
    \node at (1.7,-0.5) {\small sghembe};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Le tre posizioni reciproche di due rette nello spazio: parallele (complanari, no punti in comune), incidenti (complanari, un punto in comune), sghembe (non complanari).}\label{fig:gs-001-rette}
\end{figure}

\subsection*{Come riconoscere se due rette sono sghembe}

Due rette sono sghembe se e solo se \emph{non esiste alcun piano} che le contiene entrambe. Operativamente:
\begin{itemize}
  \item se hanno una direzione comune (vettori direttori proporzionali), sono parallele o coincidenti;
  \item se hanno direzioni diverse e si intersecano, sono incidenti;
  \item se hanno direzioni diverse e \emph{non} si intersecano, sono sghembe.
\end{itemize}

\subsection*{Angolo fra due rette nello spazio}

Per due rette \emph{incidenti}, l'angolo è quello fra esse formato (uno qualunque dei due supplementari).

Per due rette \emph{sghembe}, l'\emph{angolo} si definisce come l'angolo formato da due rette parallele alle date, passanti per un qualunque punto $P$ dello spazio (l'angolo è ben definito perché non dipende dalla scelta di $P$, grazie al parallelismo).

% ============================================================
\section{Posizioni di retta e piano}\label{sec:gs-001-04-posizioni-retta-piano}
% ============================================================

\begin{definizione}[Retta giacente, incidente, parallela a un piano]
Una retta $r$ e un piano $\pi$ nello spazio possono presentarsi nelle seguenti posizioni:
\begin{itemize}
  \item $r$ \emph{giace} (è contenuta) in $\pi$ se ogni punto di $r$ appartiene a $\pi$;
  \item $r$ è \emph{incidente} a $\pi$ se ha un \emph{solo} punto in comune con $\pi$;
  \item $r$ è \emph{parallela} a $\pi$ se non ha alcun punto in comune con $\pi$ (e scriviamo $r \parallel \pi$).
\end{itemize}
\end{definizione}

\emph{Esistenza}. Per il postulato P2, se una retta ha due punti in comune con un piano, vi giace tutta. Quindi se ha più di un punto in comune con $\pi$, vi è contenuta. Da qui il \emph{tertium non datur}: una retta ha $0$, $1$, oppure $\infty$ punti in comune con un piano.

\subsection*{Criterio di parallelismo retta-piano}

\begin{formulabox}
\textbf{Criterio di parallelismo}: una retta $r$ esterna a un piano $\pi$ è parallela a $\pi$ se e solo se esiste una retta $s$ \emph{contenuta} in $\pi$ tale che $r \parallel s$.
\end{formulabox}

\emph{Visualizzazione}. La retta $r$ è ``parallela'' a una retta del piano: tirando una corda parallela a $r$ sul pavimento, l'intera $r$ resta a quota fissa sopra il pavimento.

\subsection*{Angolo fra retta e piano}

Quando una retta $r$ è incidente a un piano $\pi$ in un punto $P$, l'\emph{angolo} fra retta e piano si definisce come l'angolo fra $r$ e la sua \emph{proiezione ortogonale} $r'$ sul piano. È l'angolo \emph{minimo} fra $r$ e una qualunque retta di $\pi$ passante per $P$. Si ha sempre $0 \le \widehat{(r, \pi)} \le \pi/2$.

Caso particolare: se $r \perp \pi$ (vedi cap.~\ref{cap:GS-002}), l'angolo è $\pi/2$.

% ============================================================
\section{Posizioni di due piani}\label{sec:gs-001-05-posizioni-due-piani}
% ============================================================

\begin{definizione}[Piani paralleli, incidenti, coincidenti]
Due piani $\pi_1$ e $\pi_2$ nello spazio possono essere:
\begin{itemize}
  \item \emph{coincidenti} se sono lo stesso piano (l'intersezione è tutto il piano);
  \item \emph{paralleli} se non hanno alcun punto in comune (scriviamo $\pi_1 \parallel \pi_2$);
  \item \emph{incidenti} (o \emph{secanti}) se hanno punti in comune ma non coincidono: per il postulato P4, l'intersezione è una \emph{retta}.
\end{itemize}
\end{definizione}

\emph{Tertium non datur}. Per i postulati, due piani distinti non possono avere come intersezione un solo punto: se hanno un punto in comune, hanno un'intera retta in comune.

\subsection*{Criterio di parallelismo fra piani}

\begin{formulabox}
\textbf{Criterio di parallelismo fra piani}: due piani $\pi_1$ e $\pi_2$ sono paralleli se e solo se esistono due rette \emph{incidenti} in $\pi_1$ entrambe parallele a $\pi_2$.
\end{formulabox}

\emph{Idea}. ``Bastano due direzioni indipendenti'' su un piano per garantire il parallelismo: se entrambe sono parallele all'altro piano, l'intero piano è ``orizzontale'' rispetto all'altro.

\subsection*{Diedro: anticipo}

Quando due piani sono incidenti, formano un \emph{diedro}, una figura solida che generalizza il concetto di angolo. Lo studieremo in dettaglio in cap.~\ref{cap:GS-002}.

% ============================================================
\section{Esempi svolti}\label{sec:gs-001-06-esempi-svolti}
% ============================================================

\begin{esempio}[Spigoli di un cubo: classificazione]
Considerare il cubo $ABCDEFGH$ con $ABCD$ faccia inferiore ed $EFGH$ faccia superiore (in corrispondenza diretta: $A$ sotto $E$, ecc.). Classificare le posizioni reciproche delle coppie di rette individuate da:
\begin{enumerate}
  \item $AB$ e $CD$ (spigoli opposti della faccia inferiore);
  \item $AB$ e $EF$ (spigoli paralleli su facce opposte);
  \item $AB$ e $BC$ (spigoli consecutivi della faccia inferiore);
  \item $AB$ e $DH$ (spigoli su facce diverse, non incidenti).
\end{enumerate}

\textbf{Risposte}.
\begin{enumerate}
  \item \emph{Parallele}: complanari (sulla faccia $ABCD$) e senza punti in comune.
  \item \emph{Parallele}: complanari sul piano che contiene la faccia laterale $ABFE$.
  \item \emph{Incidenti} in $B$.
  \item \emph{Sghembe}: non sono complanari (qualunque piano contenente $AB$ non contiene $DH$, perché $H$ non è coplanare con $AB$ e $D$).
\end{enumerate}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Posizione di una diagonale rispetto a una faccia]
Considerando ancora il cubo, qual è la posizione reciproca della diagonale $AG$ rispetto al piano della faccia $ABCD$?

\textbf{Risposta}. La diagonale $AG$ passa per il vertice $A$ (che appartiene al piano $ABCD$) e per il vertice $G$ (che non appartiene a $ABCD$, essendo sulla faccia superiore). Quindi $AG$ ha esattamente un punto in comune con $ABCD$ (il punto $A$): è \emph{incidente} al piano.

\textbf{Angolo fra $AG$ e il piano $ABCD$}. La proiezione di $G$ su $ABCD$ è $C$ (perpendicolare allo spigolo verticale). Quindi la proiezione di $AG$ sul piano è $AC$. L'angolo fra $AG$ e $AC$ è $\widehat{GAC}$, che nel cubo di lato $\ell$ ha:
\[
  AC = \ell\sqrt{2} \quad \text{(diagonale di faccia)}, \quad CG = \ell, \quad AG = \ell\sqrt{3} \quad \text{(diagonale del cubo)}.
\]
Nel triangolo rettangolo $ACG$ (rettangolo in $C$):
\[
  \tg\widehat{GAC} = \frac{CG}{AC} = \frac{\ell}{\ell\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad \widehat{GAC} = \arctg(1/\sqrt{2}) \approx \num{35.26}°.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Due piani paralleli e una retta secante]
Due piani paralleli $\pi_1$ e $\pi_2$ sono ``tagliati'' da una stessa retta $r$. Mostrare che $r$ interseca entrambi i piani.

\textbf{Argomento}. Se $r$ fosse parallela a $\pi_1$ (e diversa da una sua retta), non lo intersecherebbe; per la stessa ragione sarebbe parallela a $\pi_2$ (per il parallelismo di $\pi_1$ e $\pi_2$). Ma una retta o è parallela a entrambi i piani o li interseca entrambi: non ci sono casi misti, perché $\pi_1$ e $\pi_2$ sono congruenti rispetto alle direzioni.

\emph{Lezione}. La distanza fra due piani paralleli è costante: la lunghezza del segmento $r \cap \pi_1 \, r \cap \pi_2$, se $r$ è perpendicolare ad entrambi, è la \emph{distanza} fra i due piani.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Tre rette concorrenti: complanari?]
Tre rette $r, s, t$ a coppie incidenti si dicono \emph{concorrenti}. Sono necessariamente complanari?

\textbf{Risposta}. No, in generale: tre spigoli di un tetraedro uscenti dallo stesso vertice si incontrano nel vertice (a coppie), ma non sono complanari.

\textbf{Caso speciale}. Tre rette a coppie incidenti sono complanari se e solo se passano per uno \emph{stesso} punto, oppure se sono a due a due incidenti in tre punti diversi che giacciono su uno stesso piano (caso degenere).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Determinazione del piano da una retta e un punto esterno]
Date la retta $r$ e il punto $P$ esterno a $r$, descrivere il piano determinato.

\textbf{Geometria}. Prendiamo due punti distinti $A, B \in r$. Il piano è determinato dai tre punti non allineati $A, B, P$ (P1).

\textbf{Concretamente}, è il piano che contiene $r$ e che ``si solleva'' verso $P$. Tutti i punti di $r$ vi appartengono (P2), e anche $P$ vi appartiene per costruzione.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Esercizi proposti}\label{sec:gs-001-07-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Considerare un cubo $ABCDEFGH$ (con $EFGH$ sopra $ABCD$). Classificare la posizione reciproca delle seguenti coppie di rette:
  \begin{enumerate}
    \item $AB$ e $GH$;
    \item $AE$ e $CG$;
    \item $AB$ e $EH$;
    \item $AC$ (diagonale della faccia inferiore) e $EG$;
    \item $AC$ ed $EH$;
    \item $AB$ e $DG$ (diagonale di una faccia laterale).
  \end{enumerate}

  \item Sia $\pi$ il piano della faccia $ABCD$ del cubo. Per ciascuna retta, stabilire se è parallela, incidente o giacente in $\pi$:
  \begin{enumerate}
    \item $EF$;
    \item $AE$;
    \item $BD$;
    \item $EG$ (diagonale della faccia superiore);
    \item $AG$ (diagonale del cubo).
  \end{enumerate}

  \item Classificare la posizione reciproca dei seguenti piani in un cubo $ABCDEFGH$:
  \begin{enumerate}
    \item piano $ABCD$ e piano $EFGH$;
    \item piano $ABCD$ e piano $ABFE$;
    \item piano $ABFE$ e piano $DCGH$;
    \item piano $ABCD$ e piano $ACGE$ (passante per la diagonale del cubo).
  \end{enumerate}

  \item Vero o falso (giustificando):
  \begin{enumerate}
    \item se due rette nello spazio non si intersecano, sono parallele;
    \item se una retta è parallela a due rette di un piano, è parallela al piano;
    \item due rette parallele a una stessa retta sono parallele fra loro;
    \item due piani paralleli a una stessa retta sono paralleli fra loro;
    \item due rette parallele a uno stesso piano sono parallele fra loro.
  \end{enumerate}

  \item Mostrare che, dati una retta $r$ e un piano $\pi$ paralleli, esiste una sola retta $s$ contenuta in $\pi$ e parallela a $r$ passante per un punto fissato $P \in \pi$.

  \item In un tetraedro regolare $ABCD$ (le quattro facce sono triangoli equilateri), classificare la posizione reciproca delle coppie di spigoli:
  \begin{enumerate}
    \item $AB$ e $AC$;
    \item $AB$ e $CD$.
  \end{enumerate}

  \item Mostrare che, dati tre punti non allineati nello spazio, il piano da essi determinato è \emph{unico}. (Suggerimento: per assurdo, due piani distinti per i tre punti avrebbero almeno tre punti in comune, contraddicendo P4.)

  \item Considerando una stanza rettangolare (come un parallelepipedo), elencare:
  \begin{enumerate}
    \item tutte le coppie di spigoli paralleli che escono da un vertice;
    \item tutte le coppie di facce parallele;
    \item tutte le coppie di facce perpendicolari;
    \item un esempio di spigoli sghembi.
  \end{enumerate}

  \item Una retta $r$ è parallela a un piano $\pi$. La sua proiezione ortogonale sul piano è una retta $r'$. Mostrare che $r \parallel r'$.

  \item In un cubo di lato $\ell = \SI{1}{\meter}$, calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item la lunghezza della diagonale di una faccia;
    \item la lunghezza della diagonale del cubo;
    \item l'angolo fra la diagonale del cubo e una faccia (vedi esempio svolto);
    \item l'angolo fra la diagonale del cubo e uno spigolo.
  \end{enumerate}

  \item \emph{Sfida}. Mostrare che nello spazio è possibile disporre quattro rette a due a due sghembe (cioè ogni coppia di rette è sghemba). Esempio: i prolungamenti di quattro spigoli di un cubo opportunamente scelti.

  \item \emph{Sfida (rette sghembe)}. Date due rette sghembe $r$ e $s$, esiste un'unica \emph{perpendicolare comune}: una retta che incontra entrambe formando angolo retto con entrambe. (Risultato classico, da accettare per ora.) Verificarne l'unicità in un esempio: cubo con $r = AB$ e $s = EH$.

  \item Dimostrare il \emph{teorema di Talete nello spazio}: tre piani paralleli intersecano due rette trasversali secondo segmenti proporzionali. (Suggerimento: ridursi a un piano usando una retta ausiliaria.)

  \item In un parallelepipedo rettangolo di dimensioni $a, b, c$ (parallelepipedo retto a base rettangolare), calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item la lunghezza della diagonale principale (suggerimento: due applicazioni di Pitagora);
    \item l'angolo che la diagonale forma con la base.
  \end{enumerate}

  \item Dimostrare che, se una retta $r$ è parallela a un piano $\pi$ e $\pi$ è parallelo a un altro piano $\pi'$, allora $r$ è parallela a $\pi'$ (oppure giace in $\pi'$). (Transitività debole.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% ============================================================
\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:gs-001-08-riepilogo-del-capitolo}
% ============================================================

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Postulati della geometria dello spazio}:
    \begin{itemize}
      \item per tre punti non allineati passa un unico piano (P1);
      \item se due punti di una retta sono in un piano, l'intera retta è nel piano (P2);
      \item per un punto esterno passa un unico piano parallelo a un piano dato (P3);
      \item due piani distinti con un punto in comune si intersecano in una retta (P4).
    \end{itemize}
  \item \emph{Modi di determinare un piano}: tre punti non allineati; retta + punto esterno; due rette incidenti; due rette parallele; punto + direzione normale.
  \item \emph{Posizioni di due rette nello spazio}:
    \begin{itemize}
      \item \emph{incidenti} (complanari, un punto in comune);
      \item \emph{parallele} (complanari, nessun punto in comune);
      \item \emph{sghembe} (non complanari, ovviamente senza punti in comune).
    \end{itemize}
  \item \emph{Posizioni di retta e piano}: la retta giace nel piano ($\infty$ punti in comune), oppure è incidente (1 punto in comune), oppure è parallela ($0$ punti in comune).
  \item \emph{Posizioni di due piani}: coincidenti, paralleli (nessun punto in comune), incidenti (intersezione = una retta).
  \item \emph{Criterio di parallelismo retta-piano}: $r \parallel \pi$ sse esiste $s \subset \pi$ con $r \parallel s$.
  \item \emph{Criterio di parallelismo fra piani}: $\pi_1 \parallel \pi_2$ sse esistono due rette incidenti in $\pi_1$ entrambe parallele a $\pi_2$.
  \item \emph{Angolo fra due rette sghembe}: angolo fra rette parallele alle date, passanti per un punto comune (definizione indipendente dal punto).
  \item \emph{Angolo fra retta e piano} (retta incidente al piano): angolo fra la retta e la sua proiezione ortogonale sul piano.
  \item \emph{Categoria nuova}: le \emph{rette sghembe}, assenti nel piano, sono la novità della geometria nello spazio.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GS-002}) introduciamo \emph{diedri}, \emph{perpendicolarità retta-piano} e il \emph{teorema delle tre perpendicolari}.
\end{itemize}
\end{riepilogo}