\chapter{Poliedri: prismi, piramidi, parallelepipedi}\label{cap:GS-003}

\citazioneinizio{%
  Un poliedro è una pietra preziosa sfaccettata: facce piane, spigoli netti, vertici acuti. Eulero scoprì che fra queste tre quantità --- $V$, $S$, $F$ --- c'è una relazione cristallina, $V - S + F = 2$, valida per ogni poliedro convesso. È il primo invariante topologico della storia, e prelude alla teoria moderna delle superfici.%
}{Leonhard Euler, lettera a Goldbach del 1750 --- prima formulazione esplicita della relazione $V - S + F = 2$}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:gs-003-01-introduzione-motivazionale}
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In questo capitolo iniziamo lo studio sistematico dei \emph{poliedri}, le figure solide delimitate da poligoni piani. Sono gli oggetti più semplici della geometria solida: scatole, dadi, prismi triangolari, piramidi, tetraedri. In natura li troviamo nei \emph{cristalli} (la cui forma esterna riflette la struttura geometrica reticolare degli atomi), nelle costruzioni umane (case, edifici, casse di trasporto), nei materiali da imballaggio.

Studieremo le tre famiglie principali:
\begin{itemize}
  \item i \emph{prismi}: due basi parallele e congruenti, facce laterali parallelogrammi;
  \item le \emph{piramidi}: una base e un vertice ``in alto'', facce laterali triangoli;
  \item i \emph{parallelepipedi}: caso particolare di prisma con base parallelogramma.
\end{itemize}

Per ciascuna famiglia definiremo gli elementi (basi, facce, spigoli, vertici, altezza, apotema) e introdurremo le formule per area di superficie e volume (queste ultime in dettaglio nel cap.~\ref{cap:GS-005}).

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\section{Definizione di poliedro}\label{sec:gs-003-02-definizione-poliedro}
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\begin{definizione}[Poliedro]
Si chiama \emph{poliedro} una figura solida delimitata da un numero finito di \emph{poligoni piani}, detti \emph{facce}, che si toccano lungo \emph{spigoli} (lati comuni a due facce) e \emph{vertici} (punti comuni a tre o più facce).
\end{definizione}

\emph{Convenzione}. In questo capitolo ci limiteremo ai poliedri \emph{convessi}: poliedri tali che, presi due punti qualunque del solido, il segmento che li unisce è ancora interamente contenuto nel solido. I poliedri convessi sono per esempio cubi, parallelepipedi, piramidi, tetraedri. Esempi di poliedri non convessi: la ``stella'' a punte, alcuni cristalli.

\subsection*{Elementi di un poliedro}

\begin{formulabox}
\textbf{Elementi}: per un poliedro, denotiamo
\begin{itemize}
  \item $V$ = numero di \emph{vertici};
  \item $S$ = numero di \emph{spigoli};
  \item $F$ = numero di \emph{facce}.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\subsection*{Formula di Eulero per i poliedri convessi}

\begin{formulabox}
\textbf{Formula di Eulero}: per ogni poliedro convesso vale
\[
  V - S + F = 2.
\]
\end{formulabox}

\emph{Verifica su esempi}:
\begin{itemize}
  \item \emph{Cubo}: $V = 8, S = 12, F = 6 \Rightarrow 8 - 12 + 6 = 2$. \checkmark
  \item \emph{Tetraedro regolare}: $V = 4, S = 6, F = 4 \Rightarrow 4 - 6 + 4 = 2$. \checkmark
  \item \emph{Piramide a base quadrata}: $V = 5, S = 8, F = 5 \Rightarrow 5 - 8 + 5 = 2$. \checkmark
  \item \emph{Prisma triangolare}: $V = 6, S = 9, F = 5 \Rightarrow 6 - 9 + 5 = 2$. \checkmark
\end{itemize}

\emph{Significato}. La formula di Eulero è un'\emph{identità topologica}: dipende solo dalla ``forma generale'' del poliedro (essere convesso, o più in generale topologicamente equivalente a una sfera), non dalla specifica geometria (lunghezze, angoli). Per superfici diverse dalla sfera (es. il toro = ``ciambella''), $V - S + F$ assume valori diversi (per il toro: $0$). È il primo esempio storico di \emph{invariante topologico}.

\subsection*{Superficie e volume}

\begin{definizione}[Area totale e volume di un poliedro]
\begin{itemize}
  \item \emph{Area totale} (o \emph{superficie}): somma delle aree delle singole facce.
  \item \emph{Area laterale}: area delle facce laterali (esclude le basi, per prismi e piramidi).
  \item \emph{Volume}: misura tridimensionale dello spazio racchiuso dal poliedro.
\end{itemize}
\end{definizione}

Le formule specifiche dipendono dal tipo di poliedro; vedremo cilindri e coni in cap.~\ref{cap:GS-004} e una sintesi delle formule in cap.~\ref{cap:GS-005}.

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\section{Prismi}\label{sec:gs-003-03-prismi}
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\begin{definizione}[Prisma]
Si chiama \emph{prisma} il poliedro delimitato da:
\begin{itemize}
  \item due poligoni congruenti e paralleli, le \emph{basi};
  \item un numero di parallelogrammi (le \emph{facce laterali}) ottenuti unendo i lati corrispondenti delle due basi.
\end{itemize}
La distanza fra le due basi (misurata perpendicolarmente) è l'\emph{altezza} del prisma.
\end{definizione}

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
  % base inferiore (triangolo)
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (2,0);
  \coordinate (C) at (1,1.2);
  % base superiore (traslata in alto)
  \coordinate (Ap) at (0.5,2.5);
  \coordinate (Bp) at (2.5,2.5);
  \coordinate (Cp) at (1.5,3.7);
  % base inferiore (linee piene)
  \draw[thick, BLU] (A) -- (B);
  \draw[thick, BLU, dashed] (A) -- (C);
  \draw[thick, BLU, dashed] (B) -- (C);
  % facce laterali
  \draw[thick, BLU] (A) -- (Ap);
  \draw[thick, BLU] (B) -- (Bp);
  \draw[thick, BLU, dashed] (C) -- (Cp);
  % base superiore
  \draw[thick, BLU] (Ap) -- (Bp) -- (Cp) -- cycle;
  % etichette
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (Ap) {$A'$};
  \node[above right] at (Bp) {$B'$};
  \node[above] at (Cp) {$C'$};
\end{tikzpicture}
\caption{Prisma triangolare obliquo: due basi triangolari congruenti $ABC$ e $A'B'C'$ collegate da tre facce laterali parallelogramme. In un prisma \emph{retto} gli spigoli laterali $AA', BB', CC'$ sono perpendicolari alle basi.}\label{fig:gs-003-prisma}
\end{figure}

\subsection*{Tipologie di prismi}

\begin{formulabox}
\textbf{Classificazione dei prismi}:
\begin{itemize}
  \item \emph{prisma retto}: gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi (le facce laterali sono \emph{rettangoli});
  \item \emph{prisma obliquo}: gli spigoli laterali sono \emph{inclinati} rispetto alle basi (le facce laterali sono parallelogrammi non rettangoli);
  \item \emph{prisma regolare}: prisma retto in cui le basi sono poligoni \emph{regolari}.
\end{itemize}

In base al numero di lati della base: prisma triangolare ($3$ lati), quadrangolare ($4$), pentagonale ($5$), esagonale ($6$), $n$-gonale.
\end{formulabox}

\subsection*{Elementi numerici di un prisma a base $n$-gonale}

\begin{formulabox}
Per un prisma a base $n$-gonale:
\begin{itemize}
  \item $V = 2n$ vertici ($n$ per ogni base);
  \item $S = 3n$ spigoli ($n$ per base, $\times 2$ basi, $+ n$ spigoli laterali);
  \item $F = n + 2$ facce ($n$ facce laterali $+ 2$ basi).
\end{itemize}
\emph{Verifica di Eulero}: $V - S + F = 2n - 3n + (n+2) = 2$. \checkmark
\end{formulabox}

\subsection*{Area laterale di un prisma retto}

In un prisma retto, le facce laterali sono rettangoli con base = lato della base, altezza = altezza $h$ del prisma. L'area laterale totale è:

\begin{formulabox}
\textbf{Area laterale di un prisma retto}:
\[
  A_\ell = 2p \cdot h,
\]
dove $2p$ è il perimetro della base e $h$ l'altezza del prisma.
\end{formulabox}

\emph{Area totale}: $A_{\text{tot}} = A_\ell + 2 A_{\text{base}}$.

% ============================================================
\section{Parallelepipedi e cubo}\label{sec:gs-003-04-parallelepipedi}
% ============================================================

\begin{definizione}[Parallelepipedo]
Si chiama \emph{parallelepipedo} il prisma a base parallelogramma. Ha $6$ facce, tutte parallelogrammi, a due a due parallele e congruenti.
\end{definizione}

\begin{formulabox}
\textbf{Tipologie di parallelepipedo}:
\begin{itemize}
  \item \emph{parallelepipedo retto}: prisma retto a base parallelogramma (basi parallelogrammi, facce laterali rettangoli);
  \item \emph{parallelepipedo rettangolo} (o \emph{parallelepipedo retto a base rettangolare}): tutte le $6$ facce sono rettangoli; ha tre coppie di dimensioni $a, b, c$;
  \item \emph{cubo}: parallelepipedo rettangolo con $a = b = c$: tutte le $6$ facce sono quadrati congruenti.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\subsection*{Diagonali del parallelepipedo rettangolo}

In un parallelepipedo rettangolo di dimensioni $a, b, c$:

\begin{formulabox}
\textbf{Diagonale della base} (rettangolo): $d_{\text{base}} = \sqrt{a^2 + b^2}$.

\textbf{Diagonale del parallelepipedo} (segmento che congiunge vertici opposti):
\[
  d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione}. Due applicazioni di Pitagora: prima si calcola la diagonale della base $d_{\text{base}}$ nel triangolo rettangolo con cateti $a$ e $b$; poi nel triangolo rettangolo formato da $d_{\text{base}}$, dall'altezza $c$ e dalla diagonale del parallelepipedo, si ottiene $d^2 = d_{\text{base}}^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

\subsection*{Cubo}

Il cubo è il parallelepipedo regolare per eccellenza:

\begin{formulabox}
\textbf{Cubo di spigolo $\ell$}:
\begin{itemize}
  \item $V = 8, S = 12, F = 6$;
  \item area di una faccia: $\ell^2$;
  \item area totale: $6 \ell^2$;
  \item diagonale di faccia: $\ell\sqrt{2}$;
  \item diagonale del cubo: $\ell\sqrt{3}$;
  \item volume: $\ell^3$.
\end{itemize}
\end{formulabox}

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\section{Piramidi}\label{sec:gs-003-05-piramidi}
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\begin{definizione}[Piramide]
Si chiama \emph{piramide} il poliedro delimitato da:
\begin{itemize}
  \item un poligono detto \emph{base};
  \item un vertice $V$, detto \emph{apice}, non appartenente al piano della base;
  \item i triangoli che congiungono $V$ a ciascun lato della base, detti \emph{facce laterali}.
\end{itemize}
La \emph{altezza} $h$ della piramide è la distanza dal vertice $V$ al piano della base.
\end{definizione}

\subsection*{Tipologie di piramidi}

\begin{formulabox}
\textbf{Classificazione}:
\begin{itemize}
  \item \emph{piramide retta}: la proiezione ortogonale dell'apice cade nel \emph{centro} della base (se la base ha un centro, cioè per poligoni regolari);
  \item \emph{piramide obliqua}: la proiezione cade fuori dal centro;
  \item \emph{piramide regolare}: piramide retta con base poligono regolare. Le facce laterali sono triangoli isosceli \emph{congruenti}.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\subsection*{Elementi numerici di una piramide a base $n$-gonale}

\begin{formulabox}
\begin{itemize}
  \item $V = n + 1$ ($n$ vertici della base + l'apice);
  \item $S = 2n$ ($n$ spigoli della base + $n$ spigoli laterali);
  \item $F = n + 1$ ($n$ facce laterali + $1$ base).
\end{itemize}
\emph{Verifica di Eulero}: $V - S + F = (n+1) - 2n + (n+1) = 2$. \checkmark
\end{formulabox}

\subsection*{Apotema}

\begin{definizione}[Apotema della piramide regolare]
In una piramide regolare, l'\emph{apotema} (o \emph{apotema laterale}) è la distanza dall'apice a uno spigolo della base, misurata lungo una faccia laterale. Equivale all'altezza di una faccia laterale (triangolo isoscele) relativa alla base.
\end{definizione}

\begin{formulabox}
\textbf{Relazione fra altezza piramide $h$, apotema della base $a_b$ (= distanza dal centro della base a un lato), e apotema della piramide $a_p$}:
\[
  a_p^2 = h^2 + a_b^2.
\]
\end{formulabox}

(Pitagora nel triangolo rettangolo con cateti $h$ e $a_b$ e ipotenusa $a_p$.)

\subsection*{Area laterale di una piramide regolare}

In una piramide regolare, le $n$ facce laterali sono triangoli isosceli congruenti, ciascuno di base = lato della base e altezza = apotema $a_p$. L'area di una faccia è $(\ell \cdot a_p)/2$; sommando:

\begin{formulabox}
\textbf{Area laterale di una piramide regolare}:
\[
  A_\ell = \frac{1}{2} \cdot 2p \cdot a_p,
\]
dove $2p$ è il perimetro della base e $a_p$ l'apotema della piramide.
\end{formulabox}

\emph{Area totale}: $A_{\text{tot}} = A_\ell + A_{\text{base}}$.

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\section{Tronchi di piramide}\label{sec:gs-003-06-tronchi-piramide}
% ============================================================

\begin{definizione}[Tronco di piramide]
Si chiama \emph{tronco di piramide} la parte di una piramide compresa fra la base e una sezione \emph{piana parallela} alla base (effettuata fra la base e l'apice). Ha:
\begin{itemize}
  \item due \emph{basi}: il poligono originale (base maggiore) e il poligono ottenuto dalla sezione (base minore), \emph{simili} e \emph{parallele};
  \item facce laterali \emph{trapezi} (uno per ciascun lato delle basi).
\end{itemize}
\end{definizione}

\subsection*{Apotema del tronco di piramide regolare}

Per un tronco di piramide \emph{regolare} (cioè ottenuto da una piramide regolare), le facce laterali sono trapezi isosceli. L'altezza di un trapezio laterale si chiama \emph{apotema del tronco}.

\begin{formulabox}
\textbf{Apotema del tronco regolare}: indicando con $a_b, a'_b$ gli apotemi delle due basi (distanza dal centro al lato) e con $h$ l'altezza del tronco:
\[
  a_p = \sqrt{h^2 + (a_b - a'_b)^2}.
\]
\end{formulabox}

\subsection*{Area laterale del tronco di piramide regolare}

\begin{formulabox}
\textbf{Area laterale}:
\[
  A_\ell = \frac{1}{2}(2p + 2p') \cdot a_p,
\]
dove $2p$ e $2p'$ sono i perimetri delle due basi.
\end{formulabox}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:gs-003-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Verifica di Eulero su un ottaedro]
L'ottaedro regolare ha $8$ facce triangolari equilatere. Calcolare $V$ e $S$ e verificare la formula di Eulero.

\textbf{Vertici}. L'ottaedro è duale del cubo: ha tanti vertici quanti il cubo ha facce, cioè $V = 6$.

\textbf{Spigoli}. Ogni faccia ha $3$ lati, ogni spigolo è condiviso da $2$ facce: $S = 8 \cdot 3 / 2 = 12$.

\textbf{Eulero}: $V - S + F = 6 - 12 + 8 = 2$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Diagonale del parallelepipedo]
Un parallelepipedo rettangolo ha dimensioni $\SI{3}{\meter}$, $\SI{4}{\meter}$, $\SI{12}{\meter}$. Calcolare la diagonale.

\textbf{Pitagora doppia}: $d = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = \SI{13}{\meter}$.

\textbf{Curiosità}. Questa è una \emph{terna pitagorica spaziale}: $3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2$. Le terne $(3, 4, 12, 13)$ e $(1, 4, 8, 9)$ sono fra le più semplici.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Apotema e area laterale di una piramide regolare]
Una piramide regolare a base quadrata ha lato di base $\SI{6}{\meter}$ e altezza $\SI{4}{\meter}$. Calcolare apotema e area laterale.

\textbf{Apotema della base}. Per un quadrato di lato $\ell$, l'apotema (distanza dal centro al lato) vale $a_b = \ell/2 = \SI{3}{\meter}$.

\textbf{Apotema della piramide}: $a_p = \sqrt{h^2 + a_b^2} = \sqrt{16 + 9} = \SI{5}{\meter}$.

\textbf{Area laterale}: $A_\ell = (1/2) \cdot 2p \cdot a_p = (1/2) \cdot 24 \cdot 5 = \SI{60}{\meter\squared}$.

\textbf{Area totale}: $A_{\text{tot}} = A_\ell + \ell^2 = 60 + 36 = \SI{96}{\meter\squared}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Piramide a base esagonale]
Una piramide regolare ha base esagonale di lato $\SI{4}{\centi\meter}$ e apotema della piramide $\SI{10}{\centi\meter}$. Calcolare altezza e area totale.

\textbf{Apotema della base esagonale}. Per un esagono regolare di lato $\ell$, l'apotema vale $a_b = \ell\sqrt{3}/2 = 4\sqrt{3}/2 = 2\sqrt{3} \approx \num{3.46}\,\si{\centi\meter}$.

\textbf{Altezza}: $h = \sqrt{a_p^2 - a_b^2} = \sqrt{100 - 12} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22} \approx \num{9.38}\,\si{\centi\meter}$.

\textbf{Area laterale}: $A_\ell = (1/2) \cdot (6 \cdot 4) \cdot 10 = \SI{120}{\centi\meter\squared}$.

\textbf{Area della base esagonale}: $A_b = (3\sqrt{3}/2) \ell^2 = (3\sqrt{3}/2) \cdot 16 = 24\sqrt{3} \approx \SI{41.57}{\centi\meter\squared}$.

\textbf{Area totale}: $A_{\text{tot}} = 120 + 24\sqrt{3} \approx \SI{161.6}{\centi\meter\squared}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Spigolo del cubo dato il volume]
Un cubo ha volume $\SI{125}{\centi\meter\cubed}$. Calcolare spigolo, area totale e diagonale.

\textbf{Spigolo}: $\ell = \sqrt[3]{125} = \SI{5}{\centi\meter}$.

\textbf{Area totale}: $A_{\text{tot}} = 6\ell^2 = \SI{150}{\centi\meter\squared}$.

\textbf{Diagonale}: $d = \ell\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \approx \SI{8.66}{\centi\meter}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Tronco di piramide quadrangolare]
Un tronco di piramide regolare ha basi quadrate di lati $\SI{8}{\centi\meter}$ e $\SI{4}{\centi\meter}$, e altezza $\SI{3}{\centi\meter}$. Calcolare apotema del tronco e area laterale.

\textbf{Apotemi delle basi}: $a_b = 4$, $a'_b = 2$ (metà dei lati).

\textbf{Apotema del tronco}: $a_p = \sqrt{h^2 + (a_b - a'_b)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx \SI{3.61}{\centi\meter}$.

\textbf{Area laterale}: $A_\ell = (1/2)(2p + 2p') \cdot a_p = (1/2)(32 + 16)\sqrt{13} = 24\sqrt{13} \approx \SI{86.5}{\centi\meter\squared}$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:gs-003-08-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Per ciascun poliedro, calcolare $V, S, F$ e verificare Eulero $V - S + F = 2$:
  \begin{enumerate}
    \item prisma esagonale;
    \item piramide a base pentagonale;
    \item tronco di piramide quadrangolare (suggerimento: $V = 8, F = 6, S = 12$);
    \item dodecaedro regolare ($12$ facce pentagonali; calcolare $V, S$);
    \item icosaedro regolare ($20$ facce triangolari).
  \end{enumerate}

  \item Un parallelepipedo rettangolo ha dimensioni $\SI{6}{\meter} \times \SI{8}{\meter} \times \SI{10}{\meter}$. Calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item diagonale di ciascuna faccia;
    \item diagonale del parallelepipedo;
    \item area totale;
    \item somma di tutti gli spigoli.
  \end{enumerate}

  \item Un cubo ha area totale $\SI{96}{\centi\meter\squared}$. Calcolare spigolo, volume, diagonale.

  \item Una piramide regolare a base triangolare equilatera ha lato di base $\SI{6}{\centi\meter}$ e altezza $\SI{4}{\centi\meter}$. Calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item apotema della base ($= \ell\sqrt{3}/6$ per il triangolo equilatero --- attenzione: è metà altezza);
    \item apotema della piramide;
    \item area laterale;
    \item area totale.
  \end{enumerate}

  \item Una piramide regolare a base quadrata ha apotema della piramide $\SI{13}{\centi\meter}$ e altezza $\SI{5}{\centi\meter}$. Calcolare il lato di base e l'area totale.

  \item Un prisma retto a base esagonale regolare ha lato di base $\SI{5}{\centi\meter}$ e altezza $\SI{12}{\centi\meter}$. Calcolare area laterale e area totale.

  \item Un prisma retto ha base un triangolo rettangolo con cateti $\SI{3}{\centi\meter}$ e $\SI{4}{\centi\meter}$ e altezza $\SI{10}{\centi\meter}$. Calcolare area laterale, totale, e la diagonale dello spigolo laterale ``massimo''.

  \item Un cubo è inscritto in una sfera di raggio $R$. Calcolare lo spigolo del cubo. (Suggerimento: la diagonale del cubo è il diametro della sfera.)

  \item Un cubo è circoscritto a una sfera di raggio $r$. Calcolare lo spigolo del cubo. (Suggerimento: il diametro della sfera è il lato del cubo --- la sfera tocca le facce dall'interno.)

  \item In una piramide regolare a base quadrata di lato $\SI{10}{\centi\meter}$ e altezza $\SI{12}{\centi\meter}$, calcolare lo \emph{spigolo laterale} (segmento dall'apice a un vertice di base). (Suggerimento: piano contenente apice, centro base, vertice di base.)

  \item Mostrare che, in una piramide regolare, gli spigoli laterali sono tutti congruenti.

  \item Un tronco di piramide regolare a base quadrata ha basi di lato $\SI{12}{\centi\meter}$ e $\SI{6}{\centi\meter}$. La sua altezza è $\SI{4}{\centi\meter}$. Calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item apotema del tronco;
    \item area laterale;
    \item spigolo laterale.
  \end{enumerate}

  \item \emph{Sfida (formula di Eulero generale)}. Considerare un poliedro non convesso ottenuto ``incavando'' una faccia (per esempio un parallelepipedo a cui togliamo un cubetto da un vertice). Verificare la formula di Eulero generalizzata sul caso specifico. In generale, per una superficie con $g$ ``manici'' (genere $g$), $V - S + F = 2 - 2g$.

  \item In un parallelepipedo rettangolo di dimensioni $a, b, c$, mostrare che le diagonali \emph{principali} (che congiungono vertici opposti) sono tutte e quattro congruenti e di lunghezza $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

  \item In un prisma regolare a base quadrata di lato $\ell$ e altezza $h$, calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item la diagonale di una faccia laterale;
    \item la diagonale dello stesso prisma (segmento da un vertice di base a un vertice opposto dell'altra base);
    \item l'angolo che la diagonale forma con la base.
  \end{enumerate}

  \item Un casco da motociclista ha forma approssimata di mezza sfera (anticipo cap.~\ref{cap:GS-004}) appoggiata su un cubo. Se la sfera ha raggio $\SI{10}{\centi\meter}$ e il cubo ha spigolo $\SI{8}{\centi\meter}$, calcolare l'altezza totale del casco.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% ============================================================
\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:gs-003-09-riepilogo-del-capitolo}
% ============================================================

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Poliedro}: figura solida delimitata da un numero finito di poligoni piani (facce), con spigoli (lati comuni a due facce) e vertici (punti comuni a più facce). Ci limitiamo ai poliedri convessi.
  \item \emph{Formula di Eulero per poliedri convessi}: $V - S + F = 2$. È un invariante topologico (vale per ogni poliedro topologicamente equivalente a una sfera).
  \item \emph{Prisma}: due basi congruenti e parallele, $n$ facce laterali parallelogramme. Retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi (facce laterali rettangoli). Regolare se retto a base regolare.
  \item Per un prisma a base $n$-gonale: $V = 2n$, $S = 3n$, $F = n + 2$.
  \item Area laterale prisma retto: $A_\ell = 2p \cdot h$ (perimetro base $\times$ altezza).
  \item \emph{Parallelepipedo}: prisma a base parallelogramma. \emph{Rettangolo}: facce tutte rettangoli (dimensioni $a, b, c$). \emph{Cubo}: $a = b = c$.
  \item Diagonale del parallelepipedo rettangolo: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Cubo di spigolo $\ell$: diagonale $\ell\sqrt{3}$, area totale $6\ell^2$, volume $\ell^3$.
  \item \emph{Piramide}: base (poligono) + apice (vertice). \emph{Retta}: apice sopra il centro della base. \emph{Regolare}: retta a base regolare; facce laterali triangoli isosceli congruenti.
  \item Per una piramide a base $n$-gonale: $V = n+1$, $S = 2n$, $F = n+1$.
  \item \emph{Apotema della piramide} $a_p$: altezza di una faccia laterale. Relazione: $a_p^2 = h^2 + a_b^2$ (apotema della base).
  \item Area laterale piramide regolare: $A_\ell = (1/2)(2p) a_p$.
  \item \emph{Tronco di piramide}: parte fra base e una sezione parallela. Basi simili e parallele; facce laterali trapezi.
  \item Apotema del tronco: $a_p = \sqrt{h^2 + (a_b - a'_b)^2}$. Area laterale: $A_\ell = (1/2)(2p + 2p') a_p$.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GS-004}) studiamo i \emph{solidi di rotazione}: cilindro, cono, sfera.
\end{itemize}
\end{riepilogo}