\chapter{Poliedri regolari}\label{cap:GS-006} \citazioneinizio{% Cinque, e solo cinque. La dimostrazione, vecchia di duemila anni, occupa le ultime pagine degli \emph{Elementi} di Euclide e si chiude in una scatola di vincoli combinatori: la somma degli angoli intorno a un vertice deve essere strettamente minore di $2\pi$. Cinque soluzioni di un sistema di disuguaglianze, cinque solidi che Platone associò agli elementi del cosmo. Non c'è altrove in matematica un fatto così piccolo che ha generato tanto pensiero.% }{Adattato da Euclide, \emph{Elementi} libro XIII (ca.~300 a.C.) --- ultimo libro della grande opera, dedicato interamente ai cinque poliedri regolari} % ============================================================ \section{Introduzione motivazionale}\label{sec:gs-006-01-introduzione-motivazionale} % ============================================================ In questo capitolo studiamo i \emph{poliedri regolari}, una famiglia molto particolare di solidi che la geometria classica ha sempre considerato con un mix di stupore e venerazione: ne esistono soltanto \emph{cinque}. Sono i poliedri ``massimamente simmetrici'': tutte le facce sono poligoni regolari \emph{congruenti}, e in ogni vertice si incontrano lo stesso numero di facce. Cubi, tetraedri, ottaedri sono i tre più familiari; ai due rimanenti --- il dodecaedro e l'icosaedro --- è dedicato l'intero libro XIII degli \emph{Elementi} di Euclide. Platone li associò agli elementi cosmici nel \emph{Timeo}, da cui il nome di \emph{solidi platonici}. La loro classificazione --- \emph{soltanto cinque}, dimostrato in tempi antichissimi --- è uno dei primi risultati di \emph{combinatoria geometrica}, e ha rappresentato per millenni un esempio mirabile di come da poche condizioni semplici si possano dedurre conclusioni inaspettate. % ============================================================ \section{Definizione di poliedro regolare}\label{sec:gs-006-02-definizione} % ============================================================ \begin{definizione}[Poliedro regolare] Un poliedro convesso si dice \emph{regolare} se: \begin{enumerate} \item tutte le facce sono \emph{poligoni regolari congruenti}; \item in ogni vertice si incontrano lo stesso numero di facce (cioè i vertici sono ``equivalenti''). \end{enumerate} \end{definizione} \emph{Esempi e non esempi}: \begin{itemize} \item il \emph{cubo} è regolare: tutte le facce sono quadrati congruenti, in ogni vertice se ne incontrano $3$; \item il \emph{tetraedro regolare} è regolare: $4$ facce triangolari equilatere, $3$ in ogni vertice; \item un \emph{parallelepipedo rettangolo} \emph{non} è regolare in generale: le facce, pur essendo rettangoli (poligoni regolari solo se quadrati), non sono congruenti se le tre dimensioni sono diverse; \item una \emph{piramide a base triangolare equilatera} con tutte le facce equilatere è un \emph{tetraedro regolare} (caso particolare di poliedro regolare); \item un \emph{antiprisma} (due basi poligonali ruotate, collegate da triangoli) \emph{non} è regolare: ha due tipi di facce (le basi e i triangoli). \end{itemize} % ============================================================ \section{I cinque solidi platonici}\label{sec:gs-006-03-cinque-platonici} % ============================================================ \begin{formulabox} \textbf{I cinque poliedri regolari}: \begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Solido} & \textbf{Faccia} & $V$ & $S$ & $F$ & \textbf{Facce/vertice} \\ \hline \emph{Tetraedro} & triangolo (3) & $4$ & $6$ & $4$ & $3$ \\ \emph{Cubo (esaedro)} & quadrato (4) & $8$ & $12$ & $6$ & $3$ \\ \emph{Ottaedro} & triangolo (3) & $6$ & $12$ & $8$ & $4$ \\ \emph{Dodecaedro} & pentagono (5) & $20$ & $30$ & $12$ & $3$ \\ \emph{Icosaedro} & triangolo (3) & $12$ & $30$ & $20$ & $5$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{formulabox} \emph{Verifica della formula di Eulero $V - S + F = 2$}: \begin{itemize} \item Tetraedro: $4 - 6 + 4 = 2$. \checkmark \item Cubo: $8 - 12 + 6 = 2$. \checkmark \item Ottaedro: $6 - 12 + 8 = 2$. \checkmark \item Dodecaedro: $20 - 30 + 12 = 2$. \checkmark \item Icosaedro: $12 - 30 + 20 = 2$. \checkmark \end{itemize} \subsection*{Dualità} \begin{formulabox} \textbf{Coppie duali}: \begin{itemize} \item \emph{Cubo $\leftrightarrow$ Ottaedro}: i centri delle facce di un cubo sono i vertici di un ottaedro, e viceversa. \item \emph{Dodecaedro $\leftrightarrow$ Icosaedro}: i centri delle facce di uno sono i vertici dell'altro. \item \emph{Tetraedro $\leftrightarrow$ Tetraedro}: il tetraedro è \emph{auto-duale}; i centri delle facce di un tetraedro regolare formano un altro tetraedro regolare (più piccolo). \end{itemize} \end{formulabox} \emph{Effetto della dualità sui numeri}. Nei poliedri duali si scambiano $V \leftrightarrow F$ (e $S$ resta invariato): cubo $(8, 12, 6) \leftrightarrow$ ottaedro $(6, 12, 8)$; dodecaedro $(20, 30, 12) \leftrightarrow$ icosaedro $(12, 30, 20)$. Coerente! \subsection*{Angoli diedri} \begin{formulabox} \textbf{Angoli diedri dei solidi platonici} (fra due facce adiacenti): \begin{center} \begin{tabular}{|l|c|} \hline \textbf{Solido} & \textbf{Angolo diedro} \\ \hline Tetraedro & $\arccos(1/3) \approx 70{,}53°$ \\ Cubo & $90°$ \\ Ottaedro & $\arccos(-1/3) \approx 109{,}47°$ \\ Dodecaedro & $\arccos(-\sqrt{5}/5) \approx 116{,}57°$ \\ Icosaedro & $\arccos(-\sqrt{5}/3) \approx 138{,}19°$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{formulabox} \emph{Coerenza dualità}: gli angoli diedri di solidi duali sono \emph{supplementari} (sommano a $180°$): \begin{itemize} \item cubo $90° \leftrightarrow$ ottaedro $90° + ?$ no: \emph{somma è $90° + 109{,}47° = 199{,}47°$, non $180°$. Errata corrige}: la relazione di supplementarità vale solo in casi speciali; in generale gli angoli duali sono \emph{complementari rispetto a $2\pi$ dell'angolo solido}, una nozione più sottile. \end{itemize} % ============================================================ \section{Dimostrazione della classificazione (perché solo cinque)}\label{sec:gs-006-04-dimostrazione-cinque} % ============================================================ \begin{formulabox} \textbf{Teorema di classificazione di Euclide}: esistono esattamente \emph{cinque} poliedri regolari convessi. \end{formulabox} \textit{Dimostrazione (di Euclide, libro XIII)}. Sia $p$ il numero di lati di ciascuna faccia ($p \ge 3$) e $q$ il numero di facce che si incontrano in ciascun vertice ($q \ge 3$). Ogni angolo di una faccia (poligono regolare di $p$ lati) misura \[ \theta_p = \frac{(p-2)\pi}{p}. \] In ogni vertice del poliedro si incontrano $q$ facce, con angoli che sommano a $q \theta_p$. Affinché il vertice sia ``a punta'' (non piatto), la somma deve essere \emph{strettamente minore} di $2\pi$ (altrimenti i poligoni stenderebbero in un piano): \[ q \theta_p < 2\pi \iff q \cdot \frac{(p-2)\pi}{p} < 2\pi \iff q(p-2) < 2p \iff \frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}. \] \textbf{Disuguaglianza chiave}: \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}, \quad p, q \ge 3. \] \textbf{Enumerazione delle soluzioni intere}: \begin{itemize} \item $p = 3, q = 3$: $1/3 + 1/3 = 2/3 > 1/2$. \checkmark $\to$ \emph{tetraedro}; \item $p = 3, q = 4$: $1/3 + 1/4 = 7/12 > 1/2$. \checkmark $\to$ \emph{ottaedro}; \item $p = 3, q = 5$: $1/3 + 1/5 = 8/15 > 1/2$. \checkmark $\to$ \emph{icosaedro}; \item $p = 3, q = 6$: $1/3 + 1/6 = 1/2$, non strettamente $> 1/2$ $\to$ degenerazione (tassellazione del piano con triangoli); \item $p = 4, q = 3$: $1/4 + 1/3 = 7/12 > 1/2$. \checkmark $\to$ \emph{cubo}; \item $p = 4, q = 4$: $1/4 + 1/4 = 1/2$ $\to$ degenerazione (tassellazione con quadrati); \item $p = 5, q = 3$: $1/5 + 1/3 = 8/15 > 1/2$. \checkmark $\to$ \emph{dodecaedro}; \item $p \ge 6, q \ge 3$: $1/p + 1/q \le 1/6 + 1/3 = 1/2$, non valida. \end{itemize} Cinque soluzioni, cinque poliedri. \hfill$\square$ \emph{Osservazione cruciale}. La dimostrazione mostra anche perché non esistano poliedri regolari con facce esagonali: l'angolo interno di un esagono regolare è $120°$, e tre esagoni in un vertice formano già $360°$ (tassellazione del piano, non vertice di poliedro). Per questo gli alveari (formazione esagonale) tassellano una superficie piana ma non possono ``chiudersi'' in un poliedro regolare. % ============================================================ \section{Formule per i solidi platonici}\label{sec:gs-006-05-formule} % ============================================================ Per uno \emph{spigolo unitario} $\ell = 1$, i poliedri regolari hanno valori notevoli di area e volume: \begin{formulabox} \textbf{Formule per spigolo $\ell$}: \begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|} \hline \textbf{Solido} & \textbf{Area totale} & \textbf{Volume} \\ \hline Tetraedro & $\sqrt{3}\,\ell^2$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{12}\ell^3 \approx 0{,}118\,\ell^3$ \\[3pt] Cubo & $6\ell^2$ & $\ell^3$ \\[3pt] Ottaedro & $2\sqrt{3}\,\ell^2$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{3}\ell^3 \approx 0{,}471\,\ell^3$ \\[3pt] Dodecaedro & $3\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}\,\ell^2$ & $\dfrac{15 + 7\sqrt{5}}{4}\ell^3 \approx 7{,}66\,\ell^3$ \\[3pt] Icosaedro & $5\sqrt{3}\,\ell^2$ & $\dfrac{5(3 + \sqrt{5})}{12}\ell^3 \approx 2{,}18\,\ell^3$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{formulabox} \emph{Dimostrazione (volume del tetraedro)}. Sia $\ell$ lo spigolo. L'area di una faccia (triangolo equilatero) è $A_b = \ell^2 \sqrt{3}/4$. L'altezza del tetraedro si calcola così: il piede della perpendicolare dall'apice cade nel \emph{baricentro} della base; la sua distanza da un vertice della base è $(2/3) \cdot (\ell\sqrt{3}/2) = \ell\sqrt{3}/3$. Per Pitagora: \[ h^2 = \ell^2 - (\ell\sqrt{3}/3)^2 = \ell^2 - \ell^2/3 = 2\ell^2/3, \quad h = \ell\sqrt{2/3} = \ell\sqrt{6}/3. \] Volume: \[ V = \frac{1}{3} A_b \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\ell\sqrt{6}}{3} = \frac{\ell^3 \sqrt{18}}{36} = \frac{\ell^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{\sqrt{2}}{12} \ell^3. \] % ============================================================ \section{Esempi svolti}\label{sec:gs-006-06-esempi-svolti} % ============================================================ \begin{esempio}[Volume di un tetraedro di spigolo dato] Calcolare volume e area totale di un tetraedro regolare di spigolo $\SI{6}{\centi\meter}$. \textbf{Volume}: $V = (\sqrt{2}/12) \cdot 216 = 18\sqrt{2} \approx \SI{25.46}{\centi\meter\cubed}$. \textbf{Area totale}: $A = \sqrt{3} \cdot 36 = 36\sqrt{3} \approx \SI{62.35}{\centi\meter\squared}$. \end{esempio} \begin{esempio}[Dualità cubo-ottaedro] In un cubo di spigolo $\SI{4}{\centi\meter}$, i centri delle facce formano un ottaedro regolare. Calcolare lo spigolo di questo ottaedro. \textbf{Geometria}. I centri di due facce \emph{adiacenti} del cubo si trovano a distanza pari al lato del cubo, ma misurata fra due punti centrali di facce con angolo retto. Concretamente: sia $C_1$ il centro della faccia inferiore ($z = 0$) e $C_2$ il centro di una faccia laterale (per esempio $x = 4$). Coordinate: $C_1 = (2, 2, 0)$, $C_2 = (4, 2, 2)$. Distanza: $\sqrt{4 + 0 + 4} = 2\sqrt{2}$. \textbf{Spigolo dell'ottaedro}: $\ell' = 2\sqrt{2} \approx \SI{2.83}{\centi\meter}$. \textbf{Verifica numero vertici}. L'ottaedro ha $6$ vertici = $6$ centri delle facce del cubo. \checkmark \end{esempio} \begin{esempio}[Sfera circoscritta a un cubo] Calcolare il rapporto fra il raggio della sfera circoscritta a un cubo di spigolo $\ell$ e lo spigolo stesso. \textbf{Geometria}. La sfera circoscritta passa per gli $8$ vertici del cubo. Il suo centro è il centro del cubo. Il raggio è la distanza dal centro a un vertice = metà della diagonale del cubo. \textbf{Calcolo}: $R = \ell\sqrt{3}/2$, dunque $R/\ell = \sqrt{3}/2 \approx 0{,}866$. \end{esempio} \begin{esempio}[Verifica della formula di classificazione] Verificare che $p = 6, q = 3$ \emph{non} darebbe un poliedro regolare. \textbf{Calcolo}: $1/6 + 1/3 = 1/2$, esattamente uguale a $1/2$ (non strettamente maggiore). \textbf{Interpretazione geometrica}: tre esagoni regolari in un vertice sommano $3 \cdot 120° = 360°$, cioè un giro intero. Il vertice è ``piatto'': la configurazione tassella il piano (alveare delle api), non chiude un poliedro. \end{esempio} \begin{esempio}[Tetraedro inscritto in un cubo] Mostrare che i $4$ vertici alternati di un cubo formano un tetraedro regolare. Calcolarne lo spigolo per cubo di spigolo $\ell$. \textbf{Costruzione}. Etichettiamo i vertici del cubo come $A, B, C, D, E, F, G, H$ in modo standard (faccia inferiore $ABCD$, faccia superiore $EFGH$ con $A$ sotto $E$). Scegliamo i $4$ vertici alternati $A, C, F, H$ (quelli con la somma delle coordinate pari, per esempio). \textbf{Spigolo del tetraedro}: distanza fra due dei $4$ vertici scelti = diagonale di una faccia del cubo = $\ell\sqrt{2}$. \textbf{Verifica congruenza}. Tutte le $6$ coppie ($A$-$C$, $A$-$F$, $A$-$H$, $C$-$F$, $C$-$H$, $F$-$H$) sono diagonali di faccia, congruenti: spigolo $\ell\sqrt{2}$. \textbf{Rapporto fra volumi}. Volume cubo $= \ell^3$. Volume tetraedro = $(\sqrt{2}/12)(\ell\sqrt{2})^3 = (\sqrt{2}/12) \cdot 2\sqrt{2} \ell^3 = (4/12)\ell^3 = \ell^3/3$. Rapporto: cubo / tetraedro = $3$. \end{esempio} \begin{esempio}[Angolo diedro del cubo] Mostrare che l'angolo diedro fra due facce di un cubo è $90°$. \textbf{Geometria}. Le due facce condividono uno spigolo. Tracciando la sezione normale (perpendicolare a uno spigolo) si ottiene un triangolo nei piani delle due facce: ognuno è formato da una semiretta orizzontale e una verticale. L'angolo fra loro è $\pi/2$. \textbf{Conclusione}: $\arccos(0) = \pi/2 = 90°$. \end{esempio} % ============================================================ \section{Esercizi proposti}\label{sec:gs-006-07-esercizi-proposti} % ============================================================ \begin{eserciziobox} \begin{enumerate} \item Calcolare volume e area totale per ciascun solido platonico di spigolo $\SI{2}{\centi\meter}$: \begin{enumerate} \item tetraedro; \item cubo; \item ottaedro; \item icosaedro. \end{enumerate} \item Verificare la formula di Eulero per ciascun solido platonico (sostituendo i valori di $V, S, F$). \item Per il dodecaedro regolare, calcolare: \begin{enumerate} \item il numero di vertici e di spigoli partendo da $F = 12$ e dal fatto che ogni faccia ha $5$ lati e ogni vertice ha $3$ facce (suggerimento: $2S = 5F$ e $2S = qV$ con $q = 3$); \item la verifica di Eulero. \end{enumerate} \item Mostrare, usando la disuguaglianza $1/p + 1/q > 1/2$, che non esistono poliedri regolari con $p \ge 6$. \item Calcolare il raggio della sfera \emph{inscritta} in un cubo di spigolo $\ell$. (Suggerimento: la sfera è tangente alle facce; il raggio è $\ell/2$.) \item Calcolare il raggio della sfera \emph{circoscritta} a un tetraedro regolare di spigolo $\ell$. (Suggerimento: il centro è sul segmento dal vertice al baricentro della base opposta; usare proporzionalità nel triangolo formato.) \item Mostrare che, in un ottaedro regolare di spigolo $\ell$, la distanza fra due vertici opposti (cioè la diagonale dell'ottaedro) è $\ell\sqrt{2}$. \item Un dado da gioco è un cubo. Esiste un dado a $12$ facce ($1, 2, \ldots, 12$, su un dodecaedro) e a $20$ facce (su un icosaedro). Quanti spigoli ha: \begin{enumerate} \item il dado a $12$ facce? \item il dado a $20$ facce? \item un ottaedro? \end{enumerate} \item \emph{Sfida (sezione aurea)}. Mostrare che il rapporto fra spigolo del dodecaedro regolare e spigolo del cubo in cui è inscritto è connesso alla sezione aurea $\phi = (1 + \sqrt{5})/2$. (Risultato classico; richiede coordinate cartesiane in $\R^3$.) \item Riconoscere quali dei seguenti solidi sono regolari (rispondere SÌ/NO con giustificazione): \begin{enumerate} \item piramide quadrata con apice equidistante da tutti i vertici di base; \item prisma esagonale regolare; \item antiprisma quadrato (due quadrati ruotati di $45°$ collegati da triangoli); \item ottaedro regolare. \end{enumerate} \item Dimostrare che il numero di facce di un poliedro regolare $\{p, q\}$ (notazione di Schläfli: $p$ lati per faccia, $q$ facce in un vertice) è dato da \[ F = \frac{4q}{2p + 2q - pq}, \] e verificare per i cinque solidi platonici. \item Calcolare l'angolo diedro del tetraedro regolare a partire dalla geometria delle altezze delle facce. (Risultato: $\arccos(1/3) \approx 70{,}53°$, vedi cap.~\ref{cap:GS-002}.) \item \emph{Sfida storica}. Platone nel \emph{Timeo} associò ciascun solido a un elemento: \begin{itemize} \item tetraedro $\to$ fuoco; \item cubo $\to$ terra; \item ottaedro $\to$ aria; \item icosaedro $\to$ acqua; \item dodecaedro $\to$ cosmo (etere). \end{itemize} Discutere brevemente le ragioni geometriche/intuitive di questa associazione (per esempio: punte aguzze del tetraedro $\to$ ``brucia''). \item Mostrare che ogni poliedro regolare ha una sfera \emph{circoscritta} (passa per tutti i vertici) e una sfera \emph{inscritta} (tangente a tutte le facce), concentriche. \item Calcolare il volume di un dodecaedro regolare di spigolo $\SI{1}{\centi\meter}$, sfruttando la formula in tabella. Confrontare con la sfera circoscritta dello stesso ``raggio approssimativo''. \item \emph{Sfida finale (Hales-Conway)}. Esistono poliedri regolari in dimensione $4$? In dimensione $5$? La risposta è data dal teorema di classificazione di Schläfli (XIX sec.): in dimensione $4$ ce ne sono $6$, in dimensione $\ge 5$ solo $3$ (analoghi del tetraedro, cubo, ottaedro). Riflettere su questo fatto: l'abbondanza in dimensione $4$, la riduzione drastica oltre. \end{enumerate} \end{eserciziobox} % ============================================================ \section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:gs-006-08-riepilogo-del-capitolo} % ============================================================ \begin{riepilogo} \begin{itemize} \item \emph{Poliedro regolare}: poliedro convesso con tutte le facce poligoni regolari congruenti e con lo stesso numero di facce in ogni vertice. \item \emph{Teorema di classificazione} (Euclide, libro XIII): esistono esattamente \emph{cinque} poliedri regolari convessi. \item \emph{I cinque solidi platonici}: \begin{itemize} \item \emph{Tetraedro}: $4$ facce triangolari, $4$ vertici, $6$ spigoli; \item \emph{Cubo (esaedro)}: $6$ facce quadrate, $8$ vertici, $12$ spigoli; \item \emph{Ottaedro}: $8$ facce triangolari, $6$ vertici, $12$ spigoli; \item \emph{Dodecaedro}: $12$ facce pentagonali, $20$ vertici, $30$ spigoli; \item \emph{Icosaedro}: $20$ facce triangolari, $12$ vertici, $30$ spigoli. \end{itemize} \item \emph{Disuguaglianza di Euclide} per la classificazione: $1/p + 1/q > 1/2$ con $p$ = lati per faccia, $q$ = facce per vertice. Solo $5$ soluzioni intere con $p, q \ge 3$. \item \emph{Dualità}: cubo $\leftrightarrow$ ottaedro, dodecaedro $\leftrightarrow$ icosaedro, tetraedro auto-duale. I centri delle facce di un poliedro sono i vertici del suo duale. \item \emph{Angoli diedri}: $70{,}53°$ (tetraedro), $90°$ (cubo), $109{,}47°$ (ottaedro), $116{,}57°$ (dodecaedro), $138{,}19°$ (icosaedro). \item \emph{Volumi per spigolo $\ell$}: $V_{\text{tet}} = (\sqrt{2}/12)\ell^3$, $V_{\text{cubo}} = \ell^3$, $V_{\text{ott}} = (\sqrt{2}/3)\ell^3$, $V_{\text{dod}} \approx 7{,}66 \ell^3$, $V_{\text{ico}} \approx 2{,}18 \ell^3$. \item \emph{Sfera circoscritta} e \emph{inscritta}: esistono entrambe per ogni solido platonico, concentriche al centro di simmetria del poliedro. \item \emph{Associazione di Platone}: tetraedro (fuoco), cubo (terra), ottaedro (aria), icosaedro (acqua), dodecaedro (cosmo). \item \emph{Generalizzazione moderna} (Schläfli): in dimensione $4$ ci sono $6$ politopi regolari, in dimensione $\ge 5$ solo $3$. \item Da qui in poi abbandoniamo la geometria solida ``intrinseca'' e passiamo alla \emph{geometria analitica nello spazio} (cap.~\ref{cap:GS-007}): coordinate cartesiane in $\R^3$, distanze, punti medi. \end{itemize} \end{riepilogo}