\chapter{Coordinate cartesiane nello spazio $\R^3$}\label{cap:GS-007}

\citazioneinizio{%
\flashcap{GS-007-coordinate-cartesiane-spazio}
\geesexercises{mt20}
\sorgentecap{GS-007}
\matematika{GS-007}
  Aggiungere un terzo asse al piano cartesiano è semplice in apparenza, profondo in sostanza: ogni punto dello spazio si descrive con \emph{tre numeri}, ogni figura solida diventa un'equazione o un sistema di equazioni. La geometria classica e l'algebra si fondono come nel piano, ma con una dimensione in più che apre prospettive immense --- dall'astronomia alla cinematica del moto curvo, dalla computer grafica alla relatività speciale.%
}{Adattato da Ren\'e Descartes, lettera a Mersenne (1638) --- estensione dell'idea cartesiana del piano allo spazio tridimensionale}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:gs-007-01-introduzione-motivazionale}
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Con questo capitolo apriamo la parte di \emph{geometria analitica nello spazio}: useremo le coordinate cartesiane per descrivere punti, rette, piani e superfici, riducendo problemi geometrici a problemi algebrici (come fatto nel piano in cap.~\ref{cap:GA-001}, \ref{cap:GA-002}).

Il principio è semplice: nello spazio servono \emph{tre} numeri reali per descrivere la posizione di un punto, contro i \emph{due} del piano. Otteniamo lo spazio cartesiano $\R^3$, in cui ogni punto è una terna ordinata $(x, y, z)$.

Le applicazioni sono ovunque: cinematica tridimensionale (un punto materiale ha posizione $(x(t), y(t), z(t))$ al tempo $t$), grafica al computer, GPS, fisica delle particelle, modellazione architettonica. In questo capitolo introduciamo le \emph{coordinate}, la \emph{distanza} fra due punti e il \emph{punto medio} di un segmento.

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\section{Sistema di coordinate cartesiane in $\R^3$}\label{sec:gs-007-02-sistema-coordinate}
\flashsec{GS-007-coordinate-cartesiane-spazio}{02}
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\begin{definizione}[Sistema cartesiano nello spazio]\indiceauto{sistema cartesiano nello spazio@Sistema cartesiano nello spazio|textbf}Si chiama \emph{sistema di coordinate cartesiane} nello spazio una terna di rette orientate $Ox, Oy, Oz$, mutuamente \emph{perpendicolari}, che si intersecano in un punto $O$ detto \emph{origine}. Si fissa un'unità di misura comune sui tre assi.

A ogni punto $P$ dello spazio si associa la terna ordinata $(x, y, z)$ di coordinate, dove:
\begin{itemize}
  \item $x$ = ascissa di $P$, lunghezza segnata della proiezione di $OP$ sull'asse $Ox$;
  \item $y$ = ordinata, proiezione su $Oy$;
  \item $z$ = quota, proiezione su $Oz$.
\end{itemize}
\end{definizione}

\subsection*{Orientazione: terna destrorsa}

\begin{formulabox}
\textbf{Convenzione standard (terna destrorsa)}: la terna $(Ox, Oy, Oz)$ è orientata in modo che, ruotando $Ox$ verso $Oy$ di $\pi/2$ in senso antiorario (visto dall'estremità positiva di $Oz$), si sovrapponga esattamente a $Oy$. Equivalentemente: applicando la \emph{regola della mano destra}, pollice = $x$, indice = $y$, medio = $z$.
\end{formulabox}

\emph{Importanza}. L'orientazione fissata garantisce coerenza nei calcoli (per esempio nel prodotto vettoriale, cap.~\ref{cap:GS-008}). Una terna sinistrorsa (riflessa) richiederebbe segni opposti in molte formule.

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, line cap=round]
  % assi (terna destrorsa)
  \draw[->, thick] (0,0) -- (3.5,0) node[right] {$x$};
  \draw[->, thick] (0,0) -- (0,3) node[above] {$z$};
  \draw[->, thick] (0,0) -- (-1.8,-1.2) node[below left] {$y$};
  % origine
  \filldraw (0,0) circle (0.05);
  \node[above right] at (0.05,0.05) {$O$};
  % punto P
  \coordinate (P) at (2,2);  % posizione apparente nel disegno 2D
  % proiezioni (P = (2, 1.5, 1.5) approssimato)
  \coordinate (Pxy) at (2,0);  % proiezione su piano xy (immagine 2D)
  \draw[dashed, black] (0,0) -- (2,0);
  \draw[dashed, black] (2,0) -- (2,2);
  \draw[dashed, black] (-0.9,-0.6) -- (1.1,-0.6);  % traccia y
  \draw[dashed, black] (1.1,-0.6) -- (1.1,2);  % verso P (semplificato)
  % punto P
  \filldraw[ROSSO] (1.5,1.5) circle (0.06);
  \node[ROSSO, above right] at (1.5,1.5) {$P=(x, y, z)$};
\end{tikzpicture}
\caption{Sistema cartesiano tridimensionale (terna destrorsa $Ox, Oy, Oz$). A ogni punto $P$ corrisponde una terna ordinata $(x, y, z)$ delle sue proiezioni sui tre assi. L'asse $y$ è disegnato in prospettiva, ``uscente'' dal piano della pagina.}\label{fig:gs-007-terna-destrorsa}
\end{figure}

\subsection*{Piani coordinati e ottanti}

I tre assi $Ox, Oy, Oz$ generano tre \emph{piani coordinati}:
\begin{itemize}
  \item piano $xy$: $z = 0$ (piano ``orizzontale'');
  \item piano $xz$: $y = 0$;
  \item piano $yz$: $x = 0$.
\end{itemize}

Lo spazio viene così diviso in \emph{otto} regioni dette \emph{ottanti}, identificate dai segni di $x, y, z$. Il \emph{primo ottante} è quello con $x, y, z > 0$ (l'analogo del primo quadrante del piano).

\subsection*{Punti particolari}

\begin{formulabox}
\textbf{Punti notevoli}:
\begin{itemize}
  \item \emph{origine}: $O = (0, 0, 0)$;
  \item \emph{punti sugli assi}: $(a, 0, 0)$ sull'asse $x$; $(0, b, 0)$ sull'asse $y$; $(0, 0, c)$ sull'asse $z$;
  \item \emph{punti sui piani coordinati}: il piano $xy$ contiene $(x, y, 0)$ con $x, y$ qualunque;
  \item \emph{spostamenti unitari}: $\hat{i} = (1,0,0)$, $\hat{j} = (0,1,0)$, $\hat{k} = (0,0,1)$ sono i \emph{versori} dei tre assi.
\end{itemize}
\end{formulabox}

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\section{Distanza fra due punti}\label{sec:gs-007-03-distanza}
\flashsec{GS-007-coordinate-cartesiane-spazio}{03}
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\begin{definizione}[Distanza euclidea in $\R^3$]\indiceauto{distanza euclidea in r 3@Distanza euclidea in $\R^3$|textbf}Dati due punti $A = (x_A, y_A, z_A)$ e $B = (x_B, y_B, z_B)$ nello spazio, la loro \emph{distanza} è
\[
  d(A, B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.
\]
\end{definizione}

\subsection*{Derivazione}

La formula si ricava con \emph{due applicazioni di Pitagora}. Proiettiamo $A$ e $B$ sul piano $xy$ ottenendo $A' = (x_A, y_A, 0)$ e $B' = (x_B, y_B, 0)$. Nel piano $xy$, la distanza $A'B'$ è:
\[
  d(A', B') = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.
\]
Poi, considerando il triangolo rettangolo $A B' B$ (con il segmento verticale $B'B = |z_B - 0| = z_B$, e $A B' \cdot$ con cateto in più $|z_A|$… ricomponiamo):

\emph{Ricomposizione corretta}. Sia $H = (x_B, y_B, z_A)$, la proiezione di $B$ sul piano orizzontale alla quota di $A$. Il triangolo $AHB$ è rettangolo in $H$ (perché $HB$ è verticale e $AH$ orizzontale). I cateti sono:
\begin{itemize}
  \item $AH$: distanza nel piano orizzontale, $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$;
  \item $HB$: $|z_B - z_A|$.
\end{itemize}
Per Pitagora:
\[
  AB^2 = AH^2 + HB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2.
\]

\begin{formulabox}
\textbf{Formula della distanza in $\R^3$}:
\[
  d(A, B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.
\]
È la generalizzazione naturale della formula nel piano (cap.~\ref{cap:GA-001}): si aggiunge il termine $(z_B - z_A)^2$.
\end{formulabox}

\subsection*{Distanza dall'origine}

In particolare, la distanza di un punto $P = (x, y, z)$ dall'origine $O$ è:
\[
  |OP| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.
\]
Si chiama anche \emph{modulo} del vettore posizione $\vec{OP}$ (vedi cap.~\ref{cap:GS-008}).

\subsection*{Proprietà della distanza}

\begin{formulabox}
\textbf{Proprietà} (per ogni $A, B, C \in \R^3$):
\begin{itemize}
  \item $d(A, B) \ge 0$, con $d(A, B) = 0 \iff A = B$ (positività);
  \item $d(A, B) = d(B, A)$ (simmetria);
  \item $d(A, C) \le d(A, B) + d(B, C)$ (disuguaglianza triangolare).
\end{itemize}
\end{formulabox}

Sono le proprietà che definiscono una \emph{distanza} (o \emph{metrica}) in senso astratto: $\R^3$ con la distanza euclidea è uno \emph{spazio metrico}.

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\section{Punto medio di un segmento}\label{sec:gs-007-04-punto-medio}
\flashsec{GS-007-coordinate-cartesiane-spazio}{04}
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\begin{definizione}[Punto medio]\indiceauto{punto medio@Punto medio|textbf}Dati $A = (x_A, y_A, z_A)$ e $B = (x_B, y_B, z_B)$, il \emph{punto medio} $M$ del segmento $AB$ ha coordinate
\[
  M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \, \frac{y_A + y_B}{2}, \, \frac{z_A + z_B}{2} \right).
\]
\end{definizione}

\textit{Dimostrazione}. Il punto medio è caratterizzato da $|MA| = |MB|$ e da appartenere al segmento $AB$. Si verifica direttamente sostituendo le coordinate di $M$: le distanze sono entrambe uguali a metà di $|AB|$.

\emph{Generalizzazione: punto che divide un segmento in un rapporto}. Il punto $P$ che divide $AB$ secondo il rapporto $AP : PB = k : (1-k)$ (con $k \in [0, 1]$) ha coordinate:
\[
  P = ((1-k) A + k B) = (x_A + k(x_B - x_A), \, y_A + k(y_B - y_A), \, z_A + k(z_B - z_A)).
\]
Per $k = 1/2$ si riottiene il punto medio.

\subsection*{Baricentro di un sistema di punti}

\begin{formulabox}
\textbf{Baricentro}\indiceauto{baricentro@Baricentro} (o \emph{centro di massa}) di $n$ punti $P_1, \ldots, P_n$ con masse uguali:
\[
  G = \frac{1}{n}\left( \sum_i x_i, \, \sum_i y_i, \, \sum_i z_i \right).
\]
\end{formulabox}

In particolare, il \emph{baricentro di un triangolo} con vertici $A, B, C$ è
\[
  G = \frac{A + B + C}{3} = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \, \ldots \right).
\]

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\section{Esempi svolti}\label{sec:gs-007-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Distanza di due punti]
Calcolare la distanza fra $A = (1, 2, 3)$ e $B = (4, 6, 7)$.

\textbf{Algebra}: $d(A, B) = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6{,}40$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Punto medio]
Determinare il punto medio del segmento di estremi $A = (-2, 5, 0)$ e $B = (4, 1, 6)$.

\textbf{Algebra}: $M = ((-2+4)/2, (5+1)/2, (0+6)/2) = (1, 3, 3)$.

\textbf{Verifica}: $d(A, M) = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}$ e $d(B, M) = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Distanza dall'origine]
Calcolare la distanza dall'origine del punto $P = (2, -3, 6)$.

\textbf{Algebra}: $|OP| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

\emph{Curiosità}. $(2, -3, 6, 7)$ è una \emph{terna pitagorica tridimensionale} (con $2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2$), analoga alle terne $(3, 4, 5)$ del piano.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Baricentro di un triangolo nello spazio]
Calcolare il baricentro del triangolo di vertici $A = (1, 0, 2)$, $B = (3, 4, -1)$, $C = (5, 2, 5)$.

\textbf{Algebra}: $G = ((1+3+5)/3, (0+4+2)/3, (2-1+5)/3) = (3, 2, 2)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Distanza fra spigoli sghembi di un parallelepipedo]
Un parallelepipedo rettangolo ha vertici opposti $O = (0,0,0)$ e $P = (3, 4, 5)$. Calcolare la diagonale.

\textbf{Algebra}: $|OP| = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Verifica della disuguaglianza triangolare]
Verificare la disuguaglianza triangolare per $A = (0,0,0)$, $B = (1, 0, 0)$, $C = (0, 1, 0)$.

\textbf{Distanze}: $d(A,B) = 1$, $d(B,C) = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \approx 1{,}414$, $d(A,C) = 1$.

\textbf{Disuguaglianza}: $d(A,C) \le d(A,B) + d(B,C) \iff 1 \le 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}414$. \checkmark (Stretta: il triangolo non è degenere.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Allineamento di tre punti]
Stabilire se i punti $A = (1, 2, 3)$, $B = (3, 5, 6)$, $C = (5, 8, 9)$ sono allineati.

\textbf{Strategia}. Tre punti sono allineati se uno è combinazione lineare degli altri due con coefficienti che sommano a $1$, oppure equivalentemente se $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$ sono paralleli (proporzionali).

\textbf{Vettori}: $\vec{AB} = B - A = (2, 3, 3)$; $\vec{AC} = C - A = (4, 6, 6)$.

\textbf{Verifica proporzionalità}: $\vec{AC} = 2 \vec{AB}$. Sì, allineati. (E $C$ è all'esterno del segmento $AB$, dalla parte di $B$.)
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:gs-007-06-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcolare la distanza fra i seguenti punti:
  \begin{enumerate}
    \item $A = (0,0,0)$, $B = (3, 4, 12)$;
    \item $A = (1, -1, 2)$, $B = (4, 3, -2)$;
    \item $A = (2, 5, -3)$, $B = (5, 1, 9)$;
    \item $A = (-1, -2, -3)$, $B = (1, 2, 3)$.
  \end{enumerate}

  \item Determinare il punto medio dei seguenti segmenti:
  \begin{enumerate}
    \item $A = (4, 0, -2)$, $B = (-2, 6, 4)$;
    \item $A = (0, 0, 0)$, $B = (10, 8, 6)$;
    \item $A = (\num{1.5}, -\num{2.5}, 3)$, $B = (\num{4.5}, \num{1.5}, -5)$.
  \end{enumerate}

  \item Trovare le coordinate del punto che divide il segmento $AB$ in due parti tali che $AP : PB = 2 : 3$:
  \begin{itemize}
    \item $A = (1, 2, 3)$, $B = (11, 12, 13)$.
  \end{itemize}

  \item Calcolare il baricentro dei triangoli di vertici:
  \begin{enumerate}
    \item $A = (0,0,0)$, $B = (6, 0, 0)$, $C = (0, 6, 0)$;
    \item $A = (1, 1, 1)$, $B = (2, 3, 4)$, $C = (5, 5, 1)$.
  \end{enumerate}

  \item Calcolare la distanza dall'origine dei seguenti punti, e identificare quelli equidistanti:
  \begin{enumerate}
    \item $P_1 = (3, 0, 4)$;
    \item $P_2 = (1, 2, 2\sqrt{5})$;
    \item $P_3 = (-3, 4, 0)$;
    \item $P_4 = (2, 2, 1)$.
  \end{enumerate}

  \item Stabilire se i punti sono allineati:
  \begin{enumerate}
    \item $A = (1, 0, 0)$, $B = (2, 1, 1)$, $C = (4, 3, 3)$;
    \item $A = (0, 0, 0)$, $B = (1, 2, 3)$, $C = (2, 4, 7)$;
    \item $A = (-1, 1, 0)$, $B = (1, 0, 2)$, $C = (3, -1, 4)$.
  \end{enumerate}

  \item Un cubo di spigolo $4$ ha un vertice nell'origine e gli spigoli adiacenti allineati con gli assi. Determinare:
  \begin{enumerate}
    \item le coordinate degli $8$ vertici;
    \item la lunghezza della diagonale del cubo;
    \item il centro del cubo.
  \end{enumerate}

  \item Un tetraedro regolare ha vertici $A = (1,1,1)$, $B = (1, -1, -1)$, $C = (-1, 1, -1)$, $D = (-1, -1, 1)$. Verificare che è regolare (cioè tutte le distanze a coppie sono uguali). Qual è lo spigolo? E lo spigolo della sfera circoscritta? (Suggerimento: il centro è l'origine, il raggio è la distanza di un vertice dall'origine.)

  \item Dati due punti $A$ e $B$, descrivere geometricamente l'insieme dei punti $P$ tali che:
  \begin{enumerate}
    \item $d(P, A) = d(P, B)$ (\emph{piano mediano}, parallelo all'asse di simmetria $AB$);
    \item $d(P, A) = r$ con $r > 0$ fissato (\emph{sfera}).
  \end{enumerate}

  \item Determinare il punto $P$ dell'asse $z$ equidistante da $A = (1, 2, 0)$ e $B = (3, 0, -2)$.

  \item Mostrare che, dati tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo $\ell$ posti nelle posizioni $A = (0,0,0)$, $B = (\ell, 0, 0)$, $C = (\ell/2, \ell\sqrt{3}/2, 0)$, le coordinate del quarto vertice $D$ (sopra il piano $z = 0$) sono $D = (\ell/2, \ell\sqrt{3}/6, \ell\sqrt{6}/3)$.

  \item Un parallelepipedo ha vertici opposti $A = (0, 0, 0)$ e $G = (6, 8, 10)$, con spigoli paralleli agli assi. Calcolare diagonale, centro, e tutti i vertici.

  \item \emph{Sfida (sfera per quattro punti)}. Dati quattro punti non complanari nello spazio, esiste un'unica sfera che li contiene. Per i punti $A = (0,0,0)$, $B = (2,0,0)$, $C = (0,2,0)$, $D = (0,0,2)$, determinarne il centro e il raggio. (Suggerimento: il centro è equidistante dai quattro punti; risolvere il sistema $|PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = |PD|^2$.)

  \item Mostrare che, dati i tre vertici di un triangolo, le \emph{tre} mediane si incontrano nel baricentro $G = (A + B + C)/3$ e ognuna passa per esso dividendola in rapporto $2:1$. (Verificare nel caso $A = (0,0,0)$, $B = (6, 0, 0)$, $C = (0, 6, 0)$.)

  \item Una nave si trova in posizione $A = (10, 4, 0)$ (in coordinate chilometriche, con $z$ = quota sopra il livello del mare e $z = 0$ = mare). Un aereo è in posizione $B = (15, 7, 2)$ (a $\SI{2}{\kilo\meter}$ di quota). Calcolare la loro distanza. Quanti chilometri ``a vista'' (orizzontali, ignorando la quota) sono?

  \item \emph{Sfida (distanza punto-piano)}. Anticipiamo cap.~\ref{cap:GS-009}. Il piano $z = 0$ (piano orizzontale) ha distanza $|z_P|$ dal punto $P = (x_P, y_P, z_P)$. Mostrare che questa è la lunghezza della perpendicolare al piano. (Caso semplice del calcolo della distanza generale.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:gs-007-07-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Spazio cartesiano $\R^3$}: terna ordinata di rette orientate $Ox, Oy, Oz$ mutuamente perpendicolari, intersecate nell'origine $O$. Convenzione standard: terna \emph{destrorsa} (regola della mano destra).
  \item \emph{Coordinate}: a ogni punto $P$ dello spazio si associa una terna $(x, y, z) \in \R^3$.
  \item \emph{Piani coordinati}: $xy$ ($z=0$), $xz$ ($y=0$), $yz$ ($x=0$). Dividono lo spazio in $8$ \emph{ottanti}.
  \item \emph{Versori degli assi}: $\hat{i} = (1,0,0)$, $\hat{j} = (0,1,0)$, $\hat{k} = (0,0,1)$.
  \item \emph{Distanza fra due punti} $A = (x_A, y_A, z_A)$ e $B = (x_B, y_B, z_B)$:
  \[
    d(A, B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.
  \]
  Si ricava con due applicazioni del teorema di Pitagora.
  \item \emph{Distanza dall'origine}: $|OP| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, anche modulo del vettore posizione.
  \item \emph{Punto medio} di $AB$:
  \[
    M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right).
  \]
  \item \emph{Baricentro} di tre punti (triangolo): media aritmetica delle coordinate.
  \item \emph{Allineamento} di tre punti: $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$ proporzionali.
  \item \emph{Generalizzazione naturale} del piano cartesiano (cap.~\ref{cap:GA-001}): tutto come nel piano, ma con una coordinata $z$ in più.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GS-008}) introduciamo \emph{vettori nello spazio}: componenti, operazioni, prodotto scalare e vettoriale.
\end{itemize}
\end{riepilogo}