\chapter{Vettori nello spazio: prodotto scalare e vettoriale}\label{cap:GS-008}

\citazioneinizio{%
\flashcap{GS-008-vettori-spazio}
\geesexercises{mt17,mt20}
\sorgentecap{GS-008}
  Un vettore nello spazio ha tre componenti, e quindi tre dimensioni in cui muoversi. Le operazioni che lo coinvolgono si raddoppiano: oltre al prodotto scalare (che restituisce un numero, indipendente dalla dimensione), nello spazio compare il \emph{prodotto vettoriale}, che a due vettori associa un terzo vettore, perpendicolare a entrambi. Una nuova operazione, una novità della tridimensionalità.%
}{Adattato da Josiah Willard Gibbs, \emph{Vector Analysis} (1881) --- prima trattazione moderna del calcolo vettoriale tridimensionale, con la notazione che usiamo ancora oggi}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:gs-008-01-introduzione-motivazionale}
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I vettori nel piano (cap.~\ref{cap:GA-005} e seguenti) si sono rivelati uno strumento potente per descrivere spostamenti, forze, velocità. Nello spazio aggiungiamo una terza componente: un vettore $\vec{v}$ di $\R^3$ ha tre numeri $(v_1, v_2, v_3)$.

Le operazioni di base --- somma, prodotto per scalare, modulo --- si generalizzano in modo immediato. Ma nello spazio nasce una nuova operazione, il \emph{prodotto vettoriale}, che non esiste nel piano: a due vettori associa un \emph{terzo} vettore, perpendicolare a entrambi.

Il prodotto vettoriale è centrale in fisica (momento angolare, forza di Lorentz, lavoro torsionale), in cinematica del moto rotatorio, e in computer grafica (calcolo delle normali alle superfici per illuminazione). In matematica, è lo strumento per esprimere parallelismo, perpendicolarità, equazioni di piani.

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\section{Vettori nello spazio: componenti}\label{sec:gs-008-02-componenti}
\flashsec{GS-008-vettori-spazio}{02}
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\begin{definizione}[Vettore in $\R^3$]\indiceauto{vettore in r 3@Vettore in $\R^3$|textbf}Un \emph{vettore} nello spazio è una terna ordinata di numeri reali $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$. I tre numeri si chiamano \emph{componenti} (o coordinate) del vettore.
\end{definizione}

\emph{Notazione}. Useremo la notazione $\vec{v}$ (freccia sopra) o, in alternativa, $\mathbf{v}$ (grassetto). Per le componenti scriveremo equivalentemente $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ oppure $\vec{v} = v_1 \hat{i} + v_2 \hat{j} + v_3 \hat{k}$, dove $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ sono i versori degli assi (cap.~\ref{cap:GS-007}).

\subsection*{Vettore associato a un segmento orientato}

Dati due punti $A = (x_A, y_A, z_A)$ e $B = (x_B, y_B, z_B)$, il \emph{vettore $\vec{AB}$} (segmento orientato da $A$ a $B$) ha componenti:
\[
  \vec{AB} = B - A = (x_B - x_A, \, y_B - y_A, \, z_B - z_A).
\]

\subsection*{Modulo di un vettore}

\begin{definizione}[Modulo o norma]\indiceauto{modulo o norma@Modulo o norma|textbf}Il \emph{modulo} (o \emph{norma}, o \emph{lunghezza}) di un vettore $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ è
\[
  |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}.
\]
\end{definizione}

\emph{Esempi}:
\begin{itemize}
  \item $|\hat{i}| = |\hat{j}| = |\hat{k}| = 1$ (\emph{versori}, di modulo $1$);
  \item se $\vec{v} = \vec{AB}$, allora $|\vec{v}| = d(A, B)$ (distanza fra i punti).
\end{itemize}

\subsection*{Versore di un vettore}

Dato un vettore $\vec{v} \ne \vec{0}$, il suo \emph{versore} (vettore unitario nella stessa direzione) è
\[
  \hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}.
\]
Ha modulo $1$ e stessa direzione e verso di $\vec{v}$.

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\section{Operazioni con vettori}\label{sec:gs-008-03-operazioni}
\flashsec{GS-008-vettori-spazio}{03}
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\subsection*{Somma di vettori}

\begin{formulabox}
\textbf{Somma}: dati $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ e $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$,
\[
  \vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, \, u_2 + v_2, \, u_3 + v_3).
\]
\end{formulabox}

\emph{Proprietà}: commutativa ($\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$), associativa, elemento neutro $\vec{0} = (0,0,0)$, opposto $-\vec{v} = (-v_1, -v_2, -v_3)$.

\subsection*{Prodotto per scalare}

\begin{formulabox}
\textbf{Prodotto per scalare}: dato $\lambda \in \R$ e $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$,
\[
  \lambda \vec{v} = (\lambda v_1, \, \lambda v_2, \, \lambda v_3).
\]
\end{formulabox}

\emph{Effetto geometrico}:
\begin{itemize}
  \item $|\lambda \vec{v}| = |\lambda| \cdot |\vec{v}|$ (allungamento di un fattore $|\lambda|$);
  \item se $\lambda > 0$: stesso verso di $\vec{v}$;
  \item se $\lambda < 0$: verso opposto;
  \item se $\lambda = 0$: vettore nullo.
\end{itemize}

\subsection*{Combinazione lineare}

Un'espressione del tipo $\lambda \vec{u} + \mu \vec{v} + \nu \vec{w}$ con $\lambda, \mu, \nu \in \R$ si chiama \emph{combinazione lineare} dei vettori $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$.

\begin{formulabox}
\textbf{Decomposizione canonica}: ogni vettore $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ si scrive come combinazione lineare dei versori degli assi:
\[
  \vec{v} = v_1 \hat{i} + v_2 \hat{j} + v_3 \hat{k}.
\]
\end{formulabox}

\subsection*{Parallelismo}

\begin{formulabox}
\textbf{Vettori paralleli}: $\vec{u}$ e $\vec{v}$ (non nulli) sono \emph{paralleli} ($\vec{u} \parallel \vec{v}$) se esiste $\lambda \in \R$ con $\vec{u} = \lambda \vec{v}$.

Equivalentemente: le loro componenti sono proporzionali:
\[
  \frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_3}{v_3}
\]
(dove ogni rapporto è ben definito).
\end{formulabox}

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\section{Prodotto scalare}\label{sec:gs-008-04-prodotto-scalare}
\flashsec{GS-008-vettori-spazio}{04}
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\begin{definizione}[Prodotto scalare]\indiceauto{prodotto scalare@Prodotto scalare|textbf}Dati $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ e $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$, il \emph{prodotto scalare} (o \emph{prodotto interno}) è il \emph{numero reale}
\[
  \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
\]
\end{definizione}

\emph{Nome}. Si chiama ``scalare'' perché il risultato non è un vettore ma uno \emph{scalare} (un numero reale).

\subsection*{Interpretazione geometrica}

\begin{formulabox}
\textbf{Prodotto scalare e angolo}: per ogni $\vec{u}, \vec{v}$ non nulli,
\[
  \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \, |\vec{v}| \cos\theta,
\]
dove $\theta \in [0, \pi]$ è l'angolo fra i due vettori.
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione (cenno)}. Si parte dal teorema del coseno (cap.~\ref{cap:GO-014}) applicato al triangolo formato dai vettori $\vec{u}, \vec{v}, \vec{v}-\vec{u}$:
\[
  |\vec{v} - \vec{u}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2 |\vec{u}||\vec{v}| \cos\theta.
\]
Espandendo $|\vec{v}-\vec{u}|^2$ in componenti e semplificando si ottiene la formula.

\subsection*{Conseguenze}

\begin{formulabox}
\textbf{Criterio di perpendicolarità}:
\[
  \vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0
\]
(per $\vec{u}, \vec{v} \ne \vec{0}$). In particolare $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0$.

\textbf{Modulo da prodotto scalare}:
\[
  |\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}.
\]
\end{formulabox}

\subsection*{Proprietà del prodotto scalare}

\begin{formulabox}
Per ogni $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \R^3$ e $\lambda \in \R$:
\begin{itemize}
  \item \emph{simmetria}: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$;
  \item \emph{distributività}: $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$;
  \item \emph{omogeneità}: $(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v} = \lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})$;
  \item \emph{positività}: $\vec{v} \cdot \vec{v} \ge 0$, con uguaglianza $\iff \vec{v} = \vec{0}$.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\subsection*{Proiezione di un vettore su un altro}

\begin{formulabox}
\textbf{Proiezione scalare} di $\vec{u}$ lungo la direzione di $\vec{v}$:
\[
  \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}.
\]
È la lunghezza segnata (positiva o negativa) della proiezione di $\vec{u}$ su $\vec{v}$.

\textbf{Proiezione vettoriale} di $\vec{u}$ su $\vec{v}$:
\[
  \vec{\text{proj}}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v}.
\]
\end{formulabox}

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\section{Prodotto vettoriale}\label{sec:gs-008-05-prodotto-vettoriale}
\flashsec{GS-008-vettori-spazio}{05}
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\begin{definizione}[Prodotto vettoriale]\indiceauto{prodotto vettoriale@Prodotto vettoriale|textbf}Dati $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ e $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$, il \emph{prodotto vettoriale} (o \emph{prodotto esterno}) $\vec{u} \times \vec{v}$ è il \emph{vettore}
\[
  \vec{u} \times \vec{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2, \; u_3 v_1 - u_1 v_3, \; u_1 v_2 - u_2 v_1).
\]
\end{definizione}

\emph{Memoria}. Si scrive spesso come ``determinante simbolico'':
\[
  \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = (u_2 v_3 - u_3 v_2) \hat{i} - (u_1 v_3 - u_3 v_1) \hat{j} + (u_1 v_2 - u_2 v_1) \hat{k}.
\]

\subsection*{Proprietà geometriche}

\begin{formulabox}
\textbf{Proprietà cardinali del prodotto vettoriale}:
\begin{itemize}
  \item $\vec{u} \times \vec{v}$ è \emph{perpendicolare} sia a $\vec{u}$ sia a $\vec{v}$;
  \item $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \, |\vec{v}| \sen\theta$, dove $\theta \in [0, \pi]$ è l'angolo fra i due vettori; questo è il modulo dell'area del \emph{parallelogramma} costruito su $\vec{u}$ e $\vec{v}$;
  \item il \emph{verso} di $\vec{u} \times \vec{v}$ è dato dalla \emph{regola della mano destra}: pollice $= \vec{u}$, indice $= \vec{v}$, medio $= \vec{u} \times \vec{v}$.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\emph{Caso particolare}: $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ se e solo se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sono paralleli (incluso il caso in cui uno è nullo). Da qui un \emph{criterio operativo}:
\[
  \vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}.
\]

\subsection*{Proprietà algebriche}

\begin{formulabox}
Per ogni $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ e $\lambda$:
\begin{itemize}
  \item \emph{anticommutatività}: $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$;
  \item \emph{distributività}: $\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$;
  \item \emph{omogeneità}: $(\lambda \vec{u}) \times \vec{v} = \lambda (\vec{u} \times \vec{v})$;
  \item $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$;
  \item \emph{non associativo}: in generale $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} \ne \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w})$.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\subsection*{Versori degli assi}

\begin{formulabox}
\textbf{Tabella dei prodotti vettoriali fra versori}:
\[
  \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}, \qquad \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}, \qquad \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j},
\]
\[
  \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}, \qquad \hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}, \qquad \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j},
\]
\[
  \hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0}.
\]
\end{formulabox}

\emph{Schema mnemonico}. Disponendo $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ in ciclo, il prodotto di due consecutivi (in senso ciclico) dà il successivo; in senso anticiclico dà l'opposto.

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\section{Prodotto misto e applicazioni}\label{sec:gs-008-06-prodotto-misto}
\flashsec{GS-008-vettori-spazio}{06}
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\begin{definizione}[Prodotto misto]\indiceauto{prodotto misto@Prodotto misto|textbf}Dati tre vettori $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$, il \emph{prodotto misto} è lo scalare
\[
  [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}).
\]
\end{definizione}

\subsection*{Calcolo con il determinante}

\begin{formulabox}
\[
  [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \det \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.
\]
\end{formulabox}

\subsection*{Interpretazione geometrica}

\begin{formulabox}
\textbf{Volume del parallelepipedo}: il valore assoluto del prodotto misto è il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ con un vertice comune:
\[
  V = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|.
\]

\textbf{Volume del tetraedro}: il tetraedro con un vertice comune e gli altri tre alle estremità dei vettori ha volume:
\[
  V_{\text{tetraedro}} = \frac{1}{6} |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|.
\]
(Un tetraedro è $1/6$ del parallelepipedo associato.)
\end{formulabox}

\subsection*{Complanarità}

\begin{formulabox}
\textbf{Criterio di complanarità}: tre vettori $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sono \emph{complanari} (cioè giacciono in uno stesso piano) se e solo se
\[
  [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0.
\]
\end{formulabox}

\emph{Geometria}. Tre vettori complanari ``schiacciano'' il parallelepipedo a volume zero.

\subsection*{Proprietà del prodotto misto}

\begin{formulabox}
\begin{itemize}
  \item \emph{Permutazione ciclica} (invariante): $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = [\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] = [\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}]$;
  \item \emph{Permutazione anticiclica} (cambia segno): $[\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}] = -[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$;
  \item \emph{Nullità}: $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0 \iff$ vettori complanari.
\end{itemize}
\end{formulabox}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:gs-008-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Prodotto scalare e angolo]
Calcolare l'angolo fra $\vec{u} = (1, 2, 3)$ e $\vec{v} = (4, 5, 6)$.

\textbf{Prodotto scalare}: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 + 10 + 18 = 32$.

\textbf{Moduli}: $|\vec{u}| = \sqrt{14}$, $|\vec{v}| = \sqrt{77}$.

\textbf{Coseno}: $\cos\theta = 32/\sqrt{14 \cdot 77} = 32/\sqrt{1078} \approx 0{,}9746$.

\textbf{Angolo}\indiceauto{angolo@Angolo}: $\theta = \arccos(0{,}9746) \approx \num{12.93}°$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Verifica di perpendicolarità]
Stabilire se i vettori $\vec{u} = (1, 2, -2)$ e $\vec{v} = (4, -1, 1)$ sono perpendicolari.

\textbf{Prodotto scalare}: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 - 2 - 2 = 0$.

\textbf{Conclusione}: sono perpendicolari ($\vec{u} \perp \vec{v}$). \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Prodotto vettoriale e area]
Calcolare $\vec{u} \times \vec{v}$ e l'area del parallelogramma formato da $\vec{u} = (1, 0, 2)$ e $\vec{v} = (3, 1, -1)$.

\textbf{Prodotto vettoriale}:
\[
  \vec{u} \times \vec{v} = (0 \cdot (-1) - 2 \cdot 1, \, 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1), \, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 3) = (-2, 7, 1).
\]

\textbf{Area del parallelogramma}\indiceauto{area del parallelogramma@Area del parallelogramma}: $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{4 + 49 + 1} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}35$.

\textbf{Verifica perpendicolarità}: $\vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 7 + 2 \cdot 1 = 0$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Volume del parallelepipedo]
Calcolare il volume del parallelepipedo con un vertice nell'origine e gli altri tre adiacenti in $A = (1, 0, 0)$, $B = (1, 1, 0)$, $C = (1, 1, 1)$.

\textbf{Prodotto misto}:
\[
  [\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
\]
Sviluppando lungo la prima riga: $1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 0 + 0 = 1$.

\textbf{Volume}: $V = |1| = 1$.

\emph{Verifica}: in effetti il parallelepipedo è il cubo unitario (in posizione canonica), con volume $1$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Complanarità di tre vettori]
Stabilire se i vettori $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (4, 5, 6)$, $\vec{w} = (7, 8, 9)$ sono complanari.

\textbf{Determinante}:
\[
  \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) = -3 + 12 - 9 = 0.
\]

\textbf{Conclusione}: sono complanari.

\emph{Verifica}: $\vec{w} = 2\vec{v} - \vec{u}$, quindi $\vec{w}$ è combinazione lineare di $\vec{u}$ e $\vec{v}$, dunque sta nello stesso piano.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Versore di un vettore e proiezione]
Dato $\vec{u} = (3, 4, 0)$, calcolare il versore $\hat{u}$ e la proiezione vettoriale di $\vec{v} = (1, 0, 5)$ su $\vec{u}$.

\textbf{Modulo}\indiceauto{modulo@Modulo}: $|\vec{u}| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

\textbf{Versore}: $\hat{u} = (3/5, 4/5, 0)$.

\textbf{Prodotto scalare}: $\vec{v} \cdot \vec{u} = 3 + 0 + 0 = 3$.

\textbf{Proiezione vettoriale}: $\vec{\text{proj}}_{\vec{u}}(\vec{v}) = (3/25)(3, 4, 0) = (9/25, 12/25, 0)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Area di un triangolo via prodotto vettoriale]
Calcolare l'area del triangolo di vertici $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 1, 0)$, $C = (0, 0, 1)$.

\textbf{Strategia}. L'area è metà del modulo del prodotto vettoriale $\vec{AB} \times \vec{AC}$.

\textbf{Vettori}: $\vec{AB} = B - A = (-1, 1, 0)$, $\vec{AC} = C - A = (-1, 0, 1)$.

\textbf{Prodotto vettoriale}:
\[
  \vec{AB} \times \vec{AC} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, \; 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1, \; (-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) = (1, 1, 1).
\]

\textbf{Modulo}: $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{3}$.

\textbf{Area triangolo}: $A_\triangle = \sqrt{3}/2 \approx 0{,}866$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:gs-008-08-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcolare modulo, versore e somma di:
  \begin{enumerate}
    \item $\vec{u} = (3, 0, 4)$;
    \item $\vec{v} = (1, -2, 2)$;
    \item $\vec{u} + \vec{v}$.
  \end{enumerate}

  \item Calcolare il prodotto scalare e l'angolo fra:
  \begin{enumerate}
    \item $\vec{u} = (1, 0, 0)$ e $\vec{v} = (0, 1, 0)$;
    \item $\vec{u} = (1, 1, 1)$ e $\vec{v} = (1, 1, 0)$;
    \item $\vec{u} = (2, -3, 1)$ e $\vec{v} = (4, 1, -2)$;
    \item $\vec{u} = (1, 2, 3)$ e $\vec{v} = (4, -5, 6)$.
  \end{enumerate}

  \item Stabilire se i seguenti vettori sono perpendicolari:
  \begin{enumerate}
    \item $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (3, 0, -1)$;
    \item $\vec{u} = (2, -1, 3)$, $\vec{v} = (1, 5, 1)$;
    \item $\vec{u} = (1, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 0, 5)$.
  \end{enumerate}

  \item Calcolare il prodotto vettoriale:
  \begin{enumerate}
    \item $\vec{u} = (1, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 0)$ (risultato atteso: $\hat{k}$);
    \item $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (4, 5, 6)$;
    \item $\vec{u} = (2, -1, 1)$, $\vec{v} = (1, 0, 3)$;
    \item $\vec{u} = (1, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, 1, 1)$ (verificare: zero!).
  \end{enumerate}

  \item Stabilire se i vettori sono paralleli:
  \begin{enumerate}
    \item $\vec{u} = (2, 4, 6)$, $\vec{v} = (1, 2, 3)$;
    \item $\vec{u} = (1, 0, 2)$, $\vec{v} = (3, 0, 6)$;
    \item $\vec{u} = (1, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, 2, 3)$.
  \end{enumerate}

  \item Calcolare l'area del parallelogramma di lati i vettori:
  \begin{enumerate}
    \item $\vec{u} = (2, 0, 0)$ e $\vec{v} = (0, 3, 0)$;
    \item $\vec{u} = (1, 2, 1)$ e $\vec{v} = (-1, 1, 2)$;
    \item $\vec{u} = (3, 0, 4)$ e $\vec{v} = (0, 5, 0)$.
  \end{enumerate}

  \item Calcolare il volume del parallelepipedo costruito su:
  \begin{enumerate}
    \item $\vec{u} = (1,0,0)$, $\vec{v} = (0, 2, 0)$, $\vec{w} = (0, 0, 3)$ (atteso: $6$);
    \item $\vec{u} = (2, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, 3, 1)$, $\vec{w} = (1, 1, 4)$.
  \end{enumerate}

  \item Calcolare il volume del tetraedro di vertici:
  \begin{enumerate}
    \item $A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (0,1,0)$, $D = (0,0,1)$;
    \item $A = (1,1,1)$, $B = (2,1,1)$, $C = (1,3,1)$, $D = (1,1,4)$.
  \end{enumerate}

  \item Stabilire se i seguenti vettori sono complanari (e in caso affermativo trovare $\vec{w}$ come combinazione lineare degli altri):
  \begin{enumerate}
    \item $\vec{u} = (1, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 0)$, $\vec{w} = (1, 1, 0)$;
    \item $\vec{u} = (1, 2, 1)$, $\vec{v} = (2, 1, 1)$, $\vec{w} = (3, 3, 2)$.
  \end{enumerate}

  \item Calcolare la proiezione vettoriale di $\vec{v} = (1, 2, 3)$ su $\vec{u} = (1, 0, 0)$. (Risultato: $(1, 0, 0)$.)

  \item Trovare un vettore perpendicolare sia a $\vec{u} = (1, 1, 0)$ sia a $\vec{v} = (1, 0, 1)$. (Suggerimento: prodotto vettoriale.)

  \item Mostrare che $|\vec{u} \times \vec{v}|^2 + (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2$ (identità di Lagrange).

  \item In meccanica, il \emph{momento} di una forza $\vec{F}$ applicata in $P$ rispetto a un punto $O$ è $\vec{M} = \vec{OP} \times \vec{F}$. Calcolare il momento per $\vec{OP} = (1, 0, 0)$ e $\vec{F} = (0, 1, 0)$.

  \item Mostrare con un controesempio che il prodotto vettoriale \emph{non} è associativo: $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} \ne \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w})$ per qualche scelta dei vettori.

  \item \emph{Sfida}. Mostrare il \emph{teorema delle tre normali}: dati tre vettori $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ non nulli a due a due perpendicolari, allora $\vec{u} \times \vec{v}$ è parallelo a $\vec{w}$. (Suggerimento: il prodotto vettoriale è perpendicolare ai due fattori, quindi necessariamente parallelo all'unica direzione perpendicolare a entrambi, che è proprio $\vec{w}$.)

  \item \emph{Sfida (formula di area-superficie del tetraedro)}. Dato un tetraedro di vertici $A, B, C, D$, l'area totale della superficie è la somma delle aree delle $4$ facce. Esprimerla in funzione dei tre vettori spigolo da $A$: $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$, $\vec{d} = \vec{AD}$.

  \item \emph{Sfida fisica (forza di Lorentz)}. Una carica $q$ in moto con velocità $\vec{v}$ in un campo magnetico $\vec{B}$ subisce la forza di Lorentz $\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}$. Per $q = 1$, $\vec{v} = (1, 0, 0)\,\si{\meter\per\second}$ e $\vec{B} = (0, 0, 2)\,\si{\tesla}$, calcolare $\vec{F}$.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:gs-008-09-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Vettore in $\R^3$}: terna ordinata $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3) = v_1 \hat{i} + v_2 \hat{j} + v_3 \hat{k}$.
  \item \emph{Modulo}: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$.
  \item \emph{Operazioni di base}: somma componente per componente, prodotto per scalare $\lambda \vec{v}$, combinazione lineare.
  \item \emph{Parallelismo}: $\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} = \lambda \vec{v}$ per qualche $\lambda$ (componenti proporzionali).
  \item \emph{Prodotto scalare}:
  \[
    \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = |\vec{u}||\vec{v}| \cos\theta.
  \]
  \item \emph{Criterio di perpendicolarità}: $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
  \item \emph{Proiezione vettoriale} di $\vec{u}$ su $\vec{v}$: $(\vec{u} \cdot \vec{v}/|\vec{v}|^2) \vec{v}$.
  \item \emph{Prodotto vettoriale}:
  \[
    \vec{u} \times \vec{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2, \; u_3 v_1 - u_1 v_3, \; u_1 v_2 - u_2 v_1).
  \]
  Anche calcolabile come ``determinante simbolico'' con $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ nella prima riga.
  \item \emph{Caratterizzazione geometrica del prodotto vettoriale}:
    \begin{itemize}
      \item perpendicolare a entrambi i fattori;
      \item modulo = area del parallelogramma = $|\vec{u}||\vec{v}|\sen\theta$;
      \item verso dato dalla regola della mano destra.
    \end{itemize}
  \item \emph{Criterio di parallelismo}: $\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$.
  \item \emph{Anticommutatività}: $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$.
  \item \emph{Prodotto misto}: $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$.
  \item \emph{Significato geometrico}: $|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]| = $ volume del parallelepipedo. Volume tetraedro $= (1/6)$ del prodotto misto.
  \item \emph{Criterio di complanarità}: $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ complanari $\iff [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GS-009}) useremo questi strumenti per scrivere le \emph{equazioni del piano} nello spazio.
\end{itemize}
\end{riepilogo}