\chapter{Equazione del piano nello spazio}\label{cap:GS-009}

\citazioneinizio{%
  Un piano nello spazio è interamente determinato dal suo vettore normale e da un punto. L'equazione cartesiana che ne deriva, $ax + by + cz = d$, è la naturale generalizzazione della retta nel piano, $ax + by = c$: si aggiunge una variabile, ma la forma è la stessa. Algebra e geometria si incontrano in una formula di una eleganza disarmante.%
}{Adattato da Joseph-Louis Lagrange, \emph{Th\'eorie des fonctions analytiques} (1797) --- formalizzazione moderna della rappresentazione cartesiana dei piani}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:gs-009-01-introduzione-motivazionale}
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In questo capitolo applichiamo gli strumenti vettoriali del capitolo precedente (\ref{cap:GS-008}) al problema fondamentale della geometria analitica nello spazio: \emph{come si scrive l'equazione di un piano}?

Il principio guida è il \emph{vettore normale}: un piano è caratterizzato dalla direzione perpendicolare a esso. Conoscendo questa direzione (un vettore $\vec{n}$) e un punto del piano, l'equazione si scrive immediatamente. Tutte le proprietà del piano --- parallelismo, perpendicolarità, distanza da un punto --- si esprimono in termini di operazioni vettoriali sul vettore normale.

L'equazione cartesiana del piano è $ax + by + cz = d$, dove $(a, b, c)$ sono le componenti del vettore normale. È la naturale generalizzazione della retta nel piano $ax + by = c$ (cap.~\ref{cap:GA-002}): si aggiunge una coordinata, ma la struttura algebrica è la stessa.

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\section{Equazione cartesiana del piano}\label{sec:gs-009-02-equazione-cartesiana}
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\begin{definizione}[Equazione cartesiana del piano]
Un piano $\pi$ nello spazio ha equazione cartesiana
\[
  ax + by + cz + d = 0,
\]
dove $a, b, c, d \in \R$ e $(a, b, c) \ne (0, 0, 0)$ (cioè i tre coefficienti non sono tutti nulli).
\end{definizione}

\emph{Cosa rappresentano i coefficienti}. Il vettore $\vec{n} = (a, b, c)$ è il \emph{vettore normale} al piano (vedremo nella prossima sezione perché). Il termine noto $d$ è legato alla distanza del piano dall'origine.

\subsection*{Equazione di un piano passante per un punto, dato il vettore normale}

\begin{formulabox}
\textbf{Piano per $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$ con vettore normale $\vec{n} = (a, b, c)$}:
\[
  a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0.
\]
Sviluppando: $ax + by + cz - (ax_0 + by_0 + cz_0) = 0$, cioè $ax + by + cz + d = 0$ con $d = -(ax_0 + by_0 + cz_0)$.
\end{formulabox}

\textit{Derivazione}. Sia $P = (x, y, z)$ un punto generico del piano. Allora $\vec{P_0 P} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)$ giace nel piano e dunque è perpendicolare al vettore normale $\vec{n}$. La condizione di perpendicolarità è $\vec{n} \cdot \vec{P_0 P} = 0$:
\[
  a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0.
\]

\subsection*{Equazione di un piano per tre punti non allineati}

Dati tre punti $A, B, C$ non allineati nello spazio, l'equazione del piano è data dal determinante:

\begin{formulabox}
\textbf{Piano per tre punti $A, B, C$}:
\[
  \det \begin{pmatrix} x - x_A & y - y_A & z - z_A \\ x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A & z_C - z_A \end{pmatrix} = 0.
\]
\end{formulabox}

\emph{Interpretazione}. L'equazione esprime che il prodotto misto $[\vec{AP}, \vec{AB}, \vec{AC}] = 0$, cioè i tre vettori sono complanari --- esattamente quanto richiediamo se $P$ deve appartenere al piano per $A, B, C$.

\subsection*{Equazione segmentaria del piano}

Se un piano non passa per l'origine, lo si può scrivere in \emph{forma segmentaria}:

\begin{formulabox}
\textbf{Forma segmentaria}:
\[
  \frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 1,
\]
dove $p, q, r$ sono le coordinate dei punti di intersezione del piano con i tre assi (intercette).
\end{formulabox}

\subsection*{Piani particolari}

\begin{formulabox}
\textbf{Piani coordinati e paralleli}:
\begin{itemize}
  \item $z = 0$: piano $xy$;
  \item $y = 0$: piano $xz$;
  \item $x = 0$: piano $yz$;
  \item $z = k$: piano parallelo al piano $xy$ a quota $k$;
  \item $\pi$ passante per l'origine: $d = 0$, cioè $ax + by + cz = 0$.
\end{itemize}
\end{formulabox}

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\section{Vettore normale al piano}\label{sec:gs-009-03-vettore-normale}
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\begin{definizione}[Vettore normale al piano]
Dato un piano di equazione $ax + by + cz + d = 0$, il vettore $\vec{n} = (a, b, c)$ si chiama \emph{vettore normale} al piano: è perpendicolare a ogni vettore giacente nel piano.
\end{definizione}

\emph{Proprietà}. Il vettore normale è definito a meno di un fattore moltiplicativo: $\vec{n} = (a, b, c)$ e $\lambda \vec{n} = (\lambda a, \lambda b, \lambda c)$ individuano lo stesso piano (le equazioni $ax+by+cz+d=0$ e $\lambda a x+\lambda b y+\lambda cz+\lambda d=0$ sono equivalenti).

\subsection*{Calcolo del vettore normale da tre punti}

Dati tre punti $A, B, C$ del piano, il vettore normale si calcola tramite il \emph{prodotto vettoriale}:
\[
  \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}.
\]
È perpendicolare sia a $\vec{AB}$ sia a $\vec{AC}$, dunque a tutto il piano determinato dai tre punti.

\begin{procedura}[Equazione del piano per tre punti, via vettore normale]
Dati $A, B, C$ non allineati:
\begin{enumerate}
  \item Calcolare $\vec{AB} = B - A$ e $\vec{AC} = C - A$.
  \item Calcolare $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (a, b, c)$.
  \item Scrivere l'equazione: $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

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\section{Posizione fra due piani}\label{sec:gs-009-04-posizione-due-piani}
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Dati due piani $\pi_1: a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0$ e $\pi_2: a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0$, con vettori normali $\vec{n}_1 = (a_1, b_1, c_1)$ e $\vec{n}_2 = (a_2, b_2, c_2)$:

\begin{formulabox}
\textbf{Posizioni reciproche}:
\begin{itemize}
  \item \emph{paralleli (coincidenti o distinti)}: $\vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2$, cioè i coefficienti $(a_1, b_1, c_1)$ e $(a_2, b_2, c_2)$ sono proporzionali. Se anche $d$ è in proporzione: coincidenti; altrimenti: distinti paralleli.
  \item \emph{perpendicolari}: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$, cioè $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$.
  \item \emph{incidenti} (non paralleli): formano una retta come intersezione, e si incontrano con un angolo diedro.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\subsection*{Angolo fra due piani}

\begin{formulabox}
\textbf{Angolo fra due piani incidenti} (l'angolo diedro acuto):
\[
  \cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}.
\]
(Il valore assoluto al numeratore garantisce $\theta \in [0, \pi/2]$.)
\end{formulabox}

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\section{Distanza punto-piano}\label{sec:gs-009-05-distanza-punto-piano}
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\begin{formulabox}
\textbf{Distanza di un punto $P_1 = (x_1, y_1, z_1)$ dal piano $\pi: ax + by + cz + d = 0$}:
\[
  d(P_1, \pi) = \frac{|a x_1 + b y_1 + c z_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione}. Sia $P_0$ il piede della perpendicolare da $P_1$ al piano. Il vettore $\vec{P_0 P_1}$ è parallelo al vettore normale $\vec{n} = (a, b, c)$. La sua proiezione scalare lungo $\vec{n}$ è $d(P_0, P_1)$ (con segno).

Per un punto $P_*$ qualunque del piano (con $a x_* + b y_* + c z_* + d = 0$), la proiezione di $\vec{P_* P_1}$ su $\vec{n}$ vale:
\[
  \text{proj}_{\vec{n}} \vec{P_* P_1} = \frac{\vec{n} \cdot \vec{P_* P_1}}{|\vec{n}|} = \frac{a(x_1 - x_*) + b(y_1 - y_*) + c(z_1 - z_*)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
\]
Espandendo e usando $ax_* + by_* + cz_* = -d$:
\[
  = \frac{a x_1 + b y_1 + c z_1 + d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
\]
Prendendo il valore assoluto si ottiene la distanza.

\subsection*{Forma normalizzata dell'equazione del piano}

\begin{formulabox}
\textbf{Equazione normalizzata}: dividendo per $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$,
\[
  \frac{ax + by + cz + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = 0,
\]
si ottiene il primo membro che, valutato in un punto $P_1$, dà direttamente $\pm d(P_1, \pi)$ (positivo nel ``semispazio'' indicato da $\vec{n}$, negativo nell'altro).
\end{formulabox}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:gs-009-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Piano per un punto, dato il normale]
Scrivere l'equazione del piano passante per $P_0 = (1, 2, -1)$ con vettore normale $\vec{n} = (3, -1, 2)$.

\textbf{Algebra}: $3(x - 1) - (y - 2) + 2(z + 1) = 0 \iff 3x - y + 2z + (- 3 + 2 + 2) = 0 \iff 3x - y + 2z + 1 = 0$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Piano per tre punti]
Scrivere l'equazione del piano passante per $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 2, 0)$, $C = (0, 0, 3)$.

\textbf{Strategia 1 (forma segmentaria)}. Le intercette sono $p = 1, q = 2, r = 3$:
\[
  \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \iff 6x + 3y + 2z = 6.
\]

\textbf{Strategia 2 (vettore normale)}. $\vec{AB} = (-1, 2, 0)$, $\vec{AC} = (-1, 0, 3)$.
\[
  \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (6, 3, 2).
\]
Equazione: $6(x - 1) + 3 y + 2 z = 0 \iff 6x + 3y + 2z = 6$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Piani paralleli]
Stabilire se i piani $\pi_1: 2x - y + 3z + 5 = 0$ e $\pi_2: -4x + 2y - 6z + 1 = 0$ sono paralleli.

\textbf{Vettori normali}: $\vec{n}_1 = (2, -1, 3)$, $\vec{n}_2 = (-4, 2, -6)$.

\textbf{Verifica}: $\vec{n}_2 = -2 \vec{n}_1$, dunque sono proporzionali.

\textbf{Conclusione}: i piani sono paralleli. Sono coincidenti? No: per esserlo dovrebbe valere anche $d_2 = -2 d_1$, ma $1 \ne -2 \cdot 5 = -10$. Dunque sono \emph{paralleli distinti}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Piani perpendicolari]
Stabilire se i piani $\pi_1: x + 2y + 3z = 0$ e $\pi_2: 2x + y - \dfrac{4}{3}z + 1 = 0$ sono perpendicolari.

\textbf{Prodotto scalare dei normali}: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-4/3) = 2 + 2 - 4 = 0$.

\textbf{Conclusione}: sì, $\pi_1 \perp \pi_2$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Angolo fra due piani]
Calcolare l'angolo fra i piani $\pi_1: x + y + z = 0$ e $\pi_2: x - y = 0$.

\textbf{Normali}: $\vec{n}_1 = (1, 1, 1)$, $\vec{n}_2 = (1, -1, 0)$.

\textbf{Prodotto scalare}: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 - 1 + 0 = 0$.

\textbf{Angolo}: $\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi/2$. I piani sono perpendicolari.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Distanza punto-piano]
Calcolare la distanza del punto $P_1 = (1, -1, 2)$ dal piano $\pi: 2x + 2y + z - 3 = 0$.

\textbf{Algebra}:
\[
  d = \frac{|2(1) + 2(-1) + 1(2) - 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|2 - 2 + 2 - 3|}{3} = \frac{1}{3}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Distanza fra piani paralleli]
Calcolare la distanza fra i piani paralleli $\pi_1: x + 2y - 2z + 1 = 0$ e $\pi_2: x + 2y - 2z + 4 = 0$.

\textbf{Strategia}. Prendere un punto qualunque di $\pi_1$ e calcolarne la distanza da $\pi_2$.

\textbf{Punto su $\pi_1$}: ponendo $y = z = 0$ in $x + 1 = 0$, $P_1 = (-1, 0, 0)$.

\textbf{Distanza da $\pi_2$}:
\[
  d = \frac{|(-1) + 0 - 0 + 4|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{3}{3} = 1.
\]
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:gs-009-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Scrivere l'equazione del piano passante per il punto $P_0$ con vettore normale $\vec{n}$:
  \begin{enumerate}
    \item $P_0 = (1, 0, 0)$, $\vec{n} = (1, 1, 1)$;
    \item $P_0 = (2, -3, 1)$, $\vec{n} = (4, 0, -2)$;
    \item $P_0 = (0, 0, 0)$, $\vec{n} = (2, -1, 3)$;
    \item $P_0 = (1, 2, 3)$, $\vec{n} = (0, 1, 0)$ (piano parallelo al piano $xz$).
  \end{enumerate}

  \item Scrivere l'equazione del piano passante per tre punti:
  \begin{enumerate}
    \item $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 1, 0)$, $C = (0, 0, 1)$;
    \item $A = (1, 1, 1)$, $B = (2, 0, 0)$, $C = (0, 2, 0)$;
    \item $A = (-1, 2, 3)$, $B = (2, 1, -1)$, $C = (3, 0, 4)$.
  \end{enumerate}

  \item Determinare il vettore normale e il punto di intersezione con l'asse $z$ dei seguenti piani:
  \begin{enumerate}
    \item $2x + 3y - z = 6$;
    \item $x - y + 2z + 4 = 0$;
    \item $z = 5$.
  \end{enumerate}

  \item Stabilire la posizione reciproca dei seguenti piani (paralleli, perpendicolari, incidenti generici):
  \begin{enumerate}
    \item $\pi_1: x + y + z = 1$, $\pi_2: 2x + 2y + 2z = 5$;
    \item $\pi_1: x - y + z = 0$, $\pi_2: x + y = 0$;
    \item $\pi_1: 3x + 4y - 5z + 7 = 0$, $\pi_2: -6x - 8y + 10z + 1 = 0$;
    \item $\pi_1: x + 2y + 3z = 0$, $\pi_2: 2x + 4y + 6z = 0$.
  \end{enumerate}

  \item Calcolare l'angolo fra i piani:
  \begin{enumerate}
    \item $\pi_1: x + y = 0$, $\pi_2: x + z = 0$;
    \item $\pi_1: 2x - y + z = 1$, $\pi_2: x + y + z = 2$;
    \item $\pi_1: x = 0$, $\pi_2: x + y + z = 0$.
  \end{enumerate}

  \item Calcolare la distanza dal punto $P$ al piano $\pi$:
  \begin{enumerate}
    \item $P = (0, 0, 0)$, $\pi: 2x + y - 2z + 6 = 0$;
    \item $P = (1, 2, 3)$, $\pi: x + y + z = 0$;
    \item $P = (1, 0, -1)$, $\pi: 3x - 4z + 5 = 0$;
    \item $P = (2, -1, 4)$, $\pi: x + 2y + 2z - 9 = 0$.
  \end{enumerate}

  \item Calcolare la distanza fra i seguenti piani paralleli:
  \begin{enumerate}
    \item $\pi_1: x + y + z = 0$, $\pi_2: x + y + z = 3$;
    \item $\pi_1: 2x + y - 2z + 1 = 0$, $\pi_2: 2x + y - 2z + 10 = 0$.
  \end{enumerate}

  \item Scrivere l'equazione del piano passante per $P = (1, 2, 3)$ e parallelo al piano $\pi: 2x - 3y + z + 5 = 0$.

  \item Scrivere l'equazione del piano passante per $P = (1, -1, 2)$ e perpendicolare alla retta che congiunge $A = (1, 1, 1)$ e $B = (3, 2, 0)$.

  \item Determinare per quale valore di $k$ i piani $\pi_1: x + ky + 2z = 1$ e $\pi_2: 2x - y + (k-1) z = 0$ sono perpendicolari.

  \item \emph{Sfida}. Un piano contiene la retta di equazione (parametrica) $r: (1, 0, 0) + t(0, 1, 1)$ (cioè passa per $(1, 0, 0)$ con direzione $(0, 1, 1)$) ed è anche perpendicolare al piano $\pi: x + 2y + z = 0$. Scriverne l'equazione.

  \item Determinare l'equazione del piano che taglia gli assi cartesiani nei punti di ascissa $2$, ordinata $3$, quota $4$. (Suggerimento: forma segmentaria.)

  \item Mostrare che la distanza dall'origine al piano $ax + by + cz + d = 0$ è $|d|/\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

  \item Determinare il \emph{simmetrico} del punto $P = (1, 2, 3)$ rispetto al piano $\pi: x + y + z = 0$. (Suggerimento: il punto medio fra $P$ e il suo simmetrico è la proiezione di $P$ sul piano.)

  \item Una stanza ha pareti che si intersecano negli spigoli (rette del soffitto e del pavimento) e nei vertici (angoli). Modellare un cubo di lato $\SI{3}{\meter}$ con vertice in origine e spigoli sugli assi: scrivere le equazioni di tutte e $6$ le facce.

  \item \emph{Sfida (fascio di piani)}. Mostrare che, dati due piani non paralleli $\pi_1: a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0$ e $\pi_2: a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0$, l'insieme di tutti i piani che contengono la loro retta di intersezione è la famiglia parametrizzata da $(\alpha, \beta) \ne (0,0)$:
  \[
    \alpha(a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1) + \beta(a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2) = 0.
  \]
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:gs-009-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Equazione cartesiana del piano}: $ax + by + cz + d = 0$ con $(a, b, c) \ne (0, 0, 0)$.
  \item \emph{Vettore normale}: $\vec{n} = (a, b, c)$, perpendicolare al piano. Definito a meno di un fattore moltiplicativo.
  \item \emph{Piano per un punto con vettore normale dato}:
  \[
    a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0.
  \]
  \item \emph{Piano per tre punti non allineati}: usare $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$, poi scrivere l'equazione col primo metodo. Equivalentemente: condizione $[\vec{AP}, \vec{AB}, \vec{AC}] = 0$ (determinante $= 0$).
  \item \emph{Forma segmentaria} (per piani non passanti per l'origine): $x/p + y/q + z/r = 1$ con $p, q, r$ = intercette sugli assi.
  \item \emph{Posizione fra due piani}:
    \begin{itemize}
      \item paralleli sse $\vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2$ (componenti proporzionali);
      \item perpendicolari sse $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$;
      \item incidenti generici: intersezione $= $ retta.
    \end{itemize}
  \item \emph{Angolo fra piani}: $\cos\theta = |\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|/(|\vec{n}_1||\vec{n}_2|)$.
  \item \emph{Distanza punto-piano}:
  \[
    d(P_1, \pi) = \frac{|a x_1 + b y_1 + c z_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
  \]
  È l'analogo tridimensionale della distanza punto-retta nel piano (cap.~\ref{cap:GA-004}).
  \item \emph{Distanza fra piani paralleli}: distanza dal piano di un punto qualunque dell'altro.
  \item \emph{Fascio di piani} attraverso una retta data come intersezione di due piani: combinazione lineare delle loro equazioni.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:GS-010}) studiamo l'\emph{equazione della retta} nello spazio: forma parametrica e cartesiana (= intersezione di due piani).
\end{itemize}
\end{riepilogo}