\chapter{Sfera nello spazio cartesiano}\label{cap:GS-011}

\citazioneinizio{%
\flashcap{GS-011-sfera-spazio}
\geesexercises{mt20}
\sorgentecap{GS-011}
  Nel piano la circonferenza ha equazione $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. Nello spazio la sfera è la generalizzazione naturale: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$. Il centro è una terna, il raggio resta uno scalare, e l'equazione cartesiana eredita la pulizia del caso bidimensionale.%
}{Adattato da Pierre de Fermat, manoscritto sull'\emph{Isagoge ad locos planos et solidos} (1636, pubblicato postumo 1679) --- prima trattazione analitica della sfera}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:gs-011-01-introduzione-motivazionale}
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In questo capitolo chiudiamo la parte di geometria analitica nello spazio (e con essa l'intera parte di geometria solida della Quarta) studiando la \emph{sfera} nello spazio cartesiano $\R^3$.

La sfera è l'analogo tridimensionale del cerchio: l'insieme dei punti equidistanti da un centro fissato. La sua equazione cartesiana è la naturale generalizzazione di quella della circonferenza nel piano (cap.~\ref{cap:GA-007}), con un termine in più ($z$).

Studieremo:
\begin{itemize}
  \item l'\emph{equazione cartesiana} della sfera, sia in forma canonica sia in forma sviluppata;
  \item le \emph{intersezioni} fra una sfera e una retta (secante, tangente, esterna);
  \item le \emph{intersezioni} fra una sfera e un piano (secante, tangente, esterna);
  \item come riconoscere quando un'equazione di secondo grado in tre variabili rappresenta una sfera, un punto, o nessun luogo geometrico.
\end{itemize}

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\section{Equazione cartesiana della sfera}\label{sec:gs-011-02-equazione-cartesiana}
\flashsec{GS-011-sfera-spazio}{02}
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\begin{definizione}[Sfera in $\R^3$]\indiceauto{sfera in r 3@Sfera in $\R^3$|textbf}La \emph{sfera} di centro $C = (x_0, y_0, z_0)$ e raggio $r > 0$ è l'insieme dei punti $P = (x, y, z)$ di $\R^3$ tali che $d(P, C) = r$, ovvero
\[
  (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2.
\]
È l'equazione \emph{canonica} (o \emph{normale}) della sfera.
\end{definizione}

\emph{Notazione}. Usiamo ``sfera'' per indicare la \emph{superficie sferica} (l'insieme dei punti a distanza esattamente $r$ dal centro). Il \emph{solido} delimitato dalla sfera --- l'insieme dei punti con $d(P, C) \le r$ --- è la \emph{palla chiusa} di centro $C$ e raggio $r$.

\subsection*{Forma sviluppata}

Sviluppando i quadrati nell'equazione canonica:
\[
  x^2 - 2 x_0 x + x_0^2 + y^2 - 2 y_0 y + y_0^2 + z^2 - 2 z_0 z + z_0^2 = r^2,
\]
\[
  x^2 + y^2 + z^2 - 2 x_0 x - 2 y_0 y - 2 z_0 z + (x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - r^2) = 0.
\]
Ponendo $\alpha = -2 x_0$, $\beta = -2 y_0$, $\gamma = -2 z_0$, $\delta = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - r^2$ otteniamo:

\begin{formulabox}
\textbf{Forma sviluppata (equazione di secondo grado in tre variabili)}:
\[
  x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0.
\]
\end{formulabox}

\subsection*{Riconoscere una sfera dalla forma sviluppata}

Data un'equazione $x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0$, per riconoscere se rappresenta una sfera (e in tal caso trovarne centro e raggio) si \emph{completano i quadrati}:

\begin{procedura}[Da forma sviluppata a forma canonica]
\begin{enumerate}
  \item Raggruppare i termini in $x$, $y$, $z$:
  \[
    (x^2 + \alpha x) + (y^2 + \beta y) + (z^2 + \gamma z) = -\delta.
  \]
  \item Completare i quadrati:
  \[
    \left(x + \frac{\alpha}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{\beta}{2}\right)^2 + \left(z + \frac{\gamma}{2}\right)^2 = -\delta + \frac{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}{4}.
  \]
  \item Identificare il centro $C = (-\alpha/2, -\beta/2, -\gamma/2)$ e il raggio quadrato $r^2 = (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2)/4 - \delta$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{formulabox}
\textbf{Centro e raggio dalla forma sviluppata}\indiceauto{centro e raggio dalla forma sviluppata@Centro e raggio dalla forma sviluppata}:
\[
  C = \left( -\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2}, -\frac{\gamma}{2} \right), \qquad r = \sqrt{\frac{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}{4} - \delta}.
\]
\end{formulabox}

\subsection*{Discussione del raggio}

\begin{formulabox}
\textbf{Tre casi}:
\begin{itemize}
  \item \emph{Sfera reale}: $(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2)/4 - \delta > 0$, raggio reale positivo.
  \item \emph{Punto}: $(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2)/4 - \delta = 0$, raggio nullo: l'equazione si soddisfa solo nel centro.
  \item \emph{Insieme vuoto}: $(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2)/4 - \delta < 0$, raggio quadrato negativo: nessun punto reale.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\subsection*{Sfera per quattro punti}

Una sfera è determinata da \emph{quattro} punti non complanari. L'equazione si trova imponendo che ciascuno soddisfi la forma sviluppata, ottenendo un sistema lineare di 4 equazioni nelle 4 incognite $\alpha, \beta, \gamma, \delta$.

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\section{Posizioni di una retta rispetto a una sfera}\label{sec:gs-011-03-retta-sfera}
\flashsec{GS-011-sfera-spazio}{03}
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Date una sfera di centro $C$ e raggio $r$, e una retta $\ell$, indichiamo con $d$ la distanza di $C$ da $\ell$ (cap.~\ref{cap:GS-010}, $d = |\vec{CP_0} \times \vec{v}|/|\vec{v}|$). Ci sono tre casi possibili:

\begin{formulabox}
\textbf{Posizioni retta-sfera}:
\begin{itemize}
  \item \emph{retta esterna}: $d > r$. Nessun punto in comune.
  \item \emph{retta tangente}: $d = r$. Un solo punto in comune (\emph{punto di tangenza}).
  \item \emph{retta secante}: $d < r$. Due punti in comune.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\subsection*{Calcolo dei punti di intersezione}

Per trovare le intersezioni fra una retta $\ell: (x, y, z) = P_0 + t\vec{v}$ e una sfera di equazione $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$:
\begin{enumerate}
  \item Sostituire le equazioni parametriche della retta nell'equazione della sfera.
  \item Si ottiene un'equazione di secondo grado in $t$.
  \item Le soluzioni (se reali) danno i valori di $t$ corrispondenti ai punti di intersezione; sostituirli nelle parametriche per ottenere i punti.
\end{enumerate}

\begin{formulabox}
\textbf{Discriminante e posizioni}: l'equazione quadratica in $t$ ha discriminante $\Delta$. Allora:
\begin{itemize}
  \item $\Delta > 0$: retta secante (due intersezioni);
  \item $\Delta = 0$: retta tangente (un'intersezione, contata due volte);
  \item $\Delta < 0$: retta esterna (nessuna intersezione).
\end{itemize}
\end{formulabox}

\subsection*{Corda di una sfera}

Il segmento che congiunge due punti di intersezione fra una retta secante e una sfera si chiama \emph{corda}. Se $d$ è la distanza del centro dalla retta, la lunghezza della corda è:
\[
  \text{lunghezza corda} = 2 \sqrt{r^2 - d^2}.
\]
(Pitagora nel triangolo rettangolo formato dal centro, dal piede della perpendicolare alla retta, e da un estremo della corda.)

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\section{Posizioni di un piano rispetto a una sfera}\label{sec:gs-011-04-piano-sfera}
\flashsec{GS-011-sfera-spazio}{04}
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Data una sfera di centro $C$ e raggio $r$, e un piano $\pi$, indichiamo con $d$ la distanza di $C$ da $\pi$ (cap.~\ref{cap:GS-009}, $d = |a x_C + b y_C + c z_C + d_\pi|/\sqrt{a^2+b^2+c^2}$).

\begin{formulabox}
\textbf{Posizioni piano-sfera}:
\begin{itemize}
  \item \emph{piano esterno}: $d > r$. Nessun punto in comune.
  \item \emph{piano tangente}: $d = r$. Un solo punto in comune.
  \item \emph{piano secante}: $d < r$. L'intersezione è una \emph{circonferenza}.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\subsection*{Cerchio sezione di una sfera}

Quando un piano \emph{seca} una sfera, l'intersezione è una circonferenza (\emph{cerchio sezione}). I suoi elementi sono:

\begin{formulabox}
\textbf{Cerchio sezione}:
\begin{itemize}
  \item \emph{centro $C'$}: proiezione ortogonale del centro $C$ della sfera sul piano $\pi$;
  \item \emph{raggio} $r' = \sqrt{r^2 - d^2}$;
  \item \emph{piano}: $\pi$ stesso.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione del raggio}. Sia $P$ un punto del cerchio sezione (quindi $P \in \pi$ e $|CP| = r$). Sia $C'$ la proiezione di $C$ su $\pi$ (con $|CC'| = d$). Il triangolo $CC'P$ è rettangolo in $C'$: $|C'P|^2 = |CP|^2 - |CC'|^2 = r^2 - d^2$. Quindi $|C'P| = \sqrt{r^2 - d^2}$, lo stesso per qualunque $P$ del cerchio sezione: il luogo è un cerchio con centro $C'$ e raggio $\sqrt{r^2 - d^2}$.

\subsection*{Casi particolari}

\begin{formulabox}
\textbf{Cerchio massimo}: piano passante per il centro $C$ (cioè $d = 0$). Raggio $r' = r$ (uguale al raggio della sfera). È il cerchio più grande sezione.

\textbf{Piano tangente}: passa per un punto $P_0$ della sfera, ed è perpendicolare al raggio $\vec{CP_0}$.
\end{formulabox}

\subsection*{Equazione del piano tangente in un punto}

\begin{formulabox}
\textbf{Piano tangente alla sfera in $P_0 = (x_0', y_0', z_0')$} di una sfera di centro $C = (x_0, y_0, z_0)$:
\[
  (x_0' - x_0)(x - x_0') + (y_0' - y_0)(y - y_0') + (z_0' - z_0)(z - z_0') = 0.
\]
Il vettore normale è $\vec{CP_0} = P_0 - C$.
\end{formulabox}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:gs-011-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Equazione di una sfera]
Scrivere l'equazione della sfera di centro $C = (1, 2, -3)$ e raggio $r = 4$, in entrambe le forme canonica e sviluppata.

\textbf{Forma canonica}: $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+3)^2 = 16$.

\textbf{Sviluppata}: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 + 6z + 9 = 16$, cioè
\[
  x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 6z - 2 = 0.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Da forma sviluppata a centro e raggio]
Riconoscere la sfera di equazione $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y + 2 = 0$.

\textbf{Completamento dei quadrati}:
\[
  (x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + z^2 = -2,
\]
\[
  (x-2)^2 - 4 + (y+1)^2 - 1 + z^2 = -2,
\]
\[
  (x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 3.
\]

\textbf{Centro}: $C = (2, -1, 0)$. \textbf{Raggio}: $r = \sqrt{3}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione che non è una sfera]
Discutere il luogo geometrico definito da $x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4y - 6z + 20 = 0$.

\textbf{Completamento}: $(x+1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 1 + 4 + 9 - 20 = -6$.

\textbf{Conclusione}: $r^2 < 0$, l'insieme è \emph{vuoto}. Non rappresenta alcun luogo reale.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sfera per quattro punti]
Determinare la sfera passante per $A = (0,0,0)$, $B = (2, 0, 0)$, $C = (0, 2, 0)$, $D = (0, 0, 2)$.

\textbf{Sistema}. Sostituendo i punti in $x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0$:
\begin{itemize}
  \item $A$: $\delta = 0$;
  \item $B$: $4 + 2\alpha + \delta = 0 \Rightarrow \alpha = -2$;
  \item $C$: $4 + 2\beta + \delta = 0 \Rightarrow \beta = -2$;
  \item $D$: $4 + 2\gamma + \delta = 0 \Rightarrow \gamma = -2$.
\end{itemize}

\textbf{Equazione}: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z = 0$.

\textbf{Centro e raggio}: $C = (1, 1, 1)$, $r = \sqrt{3}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Intersezione retta-sfera]
Trovare le intersezioni fra la retta $\ell: (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(1, 1, 1)$ e la sfera $x^2 + y^2 + z^2 = 12$.

\textbf{Sostituzione}: $t^2 + t^2 + t^2 = 12 \iff 3t^2 = 12 \iff t = \pm 2$.

\textbf{Punti di intersezione}: $P_1 = (2, 2, 2)$ e $P_2 = (-2, -2, -2)$.

\textbf{Lunghezza della corda}: $|P_1 P_2| = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

\textbf{Verifica con la formula}: $r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, distanza dal centro alla retta = $0$ (la retta passa per il centro). Lunghezza corda $= 2\sqrt{r^2 - 0} = 2 r = 4\sqrt{3}$. \checkmark (Corda massima: diametro!)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Intersezione piano-sfera (cerchio sezione)]
Trovare il cerchio sezione della sfera $x^2 + y^2 + z^2 = 25$ con il piano $z = 3$.

\textbf{Distanza centro-piano}: il centro della sfera è $C = (0, 0, 0)$, il piano $z = 3$ ha distanza $|0 - 3|/1 = 3$ dal centro.

\textbf{Raggio del cerchio sezione}: $r' = \sqrt{25 - 9} = 4$.

\textbf{Centro del cerchio sezione}: proiezione di $C$ su $z = 3$ è $C' = (0, 0, 3)$.

\textbf{Equazione del cerchio}: in $\R^3$, $\{(x, y, z) : x^2 + y^2 = 16, z = 3\}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Piano tangente a una sfera]
Scrivere l'equazione del piano tangente alla sfera $x^2 + y^2 + z^2 = 14$ nel punto $P_0 = (1, 2, 3)$.

\textbf{Verifica $P_0$ sulla sfera}: $1 + 4 + 9 = 14$. \checkmark

\textbf{Vettore normale}: $\vec{CP_0} = (1, 2, 3)$ (centro nell'origine).

\textbf{Equazione tangente}:
\[
  1 \cdot (x - 1) + 2 (y - 2) + 3(z - 3) = 0 \iff x + 2y + 3z = 14.
\]
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:gs-011-06-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Scrivere l'equazione canonica e sviluppata della sfera:
  \begin{enumerate}
    \item centro $C = (0,0,0)$, raggio $r = 5$;
    \item centro $C = (1, -2, 3)$, raggio $r = 2$;
    \item centro $C = (2, 0, -1)$, raggio $r = \sqrt{6}$.
  \end{enumerate}

  \item Riconoscere centro e raggio delle seguenti sfere (oppure stabilire se l'equazione non rappresenta una sfera reale):
  \begin{enumerate}
    \item $x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y - 8z + 4 = 0$;
    \item $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y + 1 = 0$;
    \item $x^2 + y^2 + z^2 + 8z + 20 = 0$;
    \item $x^2 + y^2 + z^2 - 4y = 0$.
  \end{enumerate}

  \item Determinare la sfera passante per i quattro punti:
  \begin{enumerate}
    \item $A = (0,0,0)$, $B = (4, 0, 0)$, $C = (0, 4, 0)$, $D = (0, 0, 4)$;
    \item $A = (1, 1, 1)$, $B = (3, 1, 1)$, $C = (1, 3, 1)$, $D = (1, 1, 3)$.
  \end{enumerate}

  \item Stabilire la posizione reciproca fra la retta $\ell$ e la sfera $S$:
  \begin{enumerate}
    \item $\ell: (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(1, 0, 0)$, $S: x^2 + y^2 + z^2 = 4$;
    \item $\ell: (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, -1, 0)$, $S: x^2 + y^2 + z^2 = 1$;
    \item $\ell: (x, y, z) = (3, 0, 0) + t(0, 1, 0)$, $S: x^2 + y^2 + z^2 = 4$ (tangente o esterna?).
  \end{enumerate}

  \item Calcolare le intersezioni della retta con la sfera (se esistono):
  \begin{enumerate}
    \item $\ell: x = 1 + t, y = 2, z = 3 - t$; $S: x^2 + y^2 + z^2 = 25$;
    \item $\ell: x = 0, y = 0, z = t$; $S: (x-1)^2 + y^2 + z^2 = 5$.
  \end{enumerate}

  \item Determinare il cerchio sezione della sfera $x^2 + y^2 + z^2 = 100$ con il piano $z = 6$. Calcolarne centro e raggio.

  \item Stabilire se il piano $\pi$ è secante, tangente o esterno alla sfera:
  \begin{enumerate}
    \item $\pi: x + y + z = 5$, $S: x^2 + y^2 + z^2 = 9$ (calcolare $d$);
    \item $\pi: 2x - y + 2z = 9$, $S: x^2 + y^2 + z^2 = 9$;
    \item $\pi: x + 2y - z = 7$, $S: (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 4$.
  \end{enumerate}

  \item Scrivere l'equazione del piano tangente alla sfera nel punto specificato:
  \begin{enumerate}
    \item $S: x^2 + y^2 + z^2 = 9$ in $P_0 = (1, 2, 2)$;
    \item $S: (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 4$ in $P_0 = (3, 0, 0)$ (verificare $P_0 \in S$).
  \end{enumerate}

  \item Una sfera ha centro nell'origine e passa per $(3, 4, 12)$. Calcolarne il raggio e l'equazione cartesiana.

  \item Una sfera è inscritta nel cubo $[0, 2] \times [0, 2] \times [0, 2]$. Scriverne l'equazione (centro e raggio).

  \item Una sfera è circoscritta al cubo $[0, 2] \times [0, 2] \times [0, 2]$. Scriverne l'equazione.

  \item Determinare la lunghezza della corda staccata dalla retta $\ell: x = t, y = t, z = 0$ sulla sfera $x^2 + y^2 + z^2 = 4$.

  \item \emph{Sfida (sfera per 3 punti e tangente a un piano)}. Trovare la sfera che passa per $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 1, 0)$, $C = (0, 0, 1)$ ed è tangente al piano $x + y + z = 4$. (Suggerimento: i quattro punti devono soddisfare l'equazione, ma il quarto è caratterizzato dalla condizione di tangenza, non da appartenenza.)

  \item Calcolare la distanza fra le due sfere $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ e $(x - 5)^2 + y^2 + z^2 = 4$. (Suggerimento: distanza fra centri meno somma dei raggi se esterne.)

  \item \emph{Sfida}. Mostrare che la sfera $S_1: x^2 + y^2 + z^2 = 25$ e il piano $\pi: x + 2y + 2z = 9$ si intersecano in una circonferenza. Calcolarne centro e raggio.

  \item Una sfera ha centro $C = (1, 2, 3)$ ed è tangente al piano $\pi: 2x - y + 2z + 1 = 0$. Determinarne il raggio e l'equazione.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:gs-011-07-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Equazione canonica della sfera} di centro $C = (x_0, y_0, z_0)$ e raggio $r$:
  \[
    (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2.
  \]
  \item \emph{Forma sviluppata}: $x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0$.
  \item \emph{Centro e raggio dalla forma sviluppata}:
  \[
    C = (-\alpha/2, -\beta/2, -\gamma/2), \quad r^2 = (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2)/4 - \delta.
  \]
    Casi: $r^2 > 0$ sfera; $r^2 = 0$ punto; $r^2 < 0$ insieme vuoto.
  \item \emph{Sfera per quattro punti non complanari}: sistema lineare $4 \times 4$ nelle incognite $\alpha, \beta, \gamma, \delta$.
  \item \emph{Posizioni retta-sfera}: dipendono dalla distanza $d$ del centro dalla retta:
    \begin{itemize}
      \item $d > r$: retta esterna (no intersezioni);
      \item $d = r$: retta tangente (un punto);
      \item $d < r$: retta secante (due punti).
    \end{itemize}
  \item \emph{Lunghezza corda} (retta secante a distanza $d < r$ dal centro): $2 \sqrt{r^2 - d^2}$.
  \item \emph{Posizioni piano-sfera}: dipendono dalla distanza $d$ del centro dal piano:
    \begin{itemize}
      \item $d > r$: piano esterno;
      \item $d = r$: piano tangente (un solo punto);
      \item $d < r$: piano secante (\emph{circonferenza} sezione).
    \end{itemize}
  \item \emph{Cerchio sezione}: per $d < r$, è una circonferenza con centro la proiezione di $C$ sul piano e raggio $r' = \sqrt{r^2 - d^2}$. Caso $d = 0$: \emph{cerchio massimo}, $r' = r$.
  \item \emph{Piano tangente alla sfera in $P_0$}: ha vettore normale $\vec{CP_0}$ ed equazione $(P_0 - C) \cdot (P - P_0) = 0$.
  \item Si chiude qui la parte di \emph{geometria solida e analitica nello spazio} (cap.~\ref{cap:GS-001}--\ref{cap:GS-011}). I prossimi capitoli (\ref{cap:NC-002}--\ref{cap:NC-003}) tornano sui \emph{numeri complessi} (forma trigonometrica, formula di De Moivre, radici).
\end{itemize}
\end{riepilogo}