\chapter{Modellizzazione e simulazione (anche per la fisica)}\label{cap:IN-004}

\citazioneinizio{%
  La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche.%
}{Galileo Galilei, \emph{Il Saggiatore} (1623), § 6 --- la matematica come linguaggio della natura, fondamento di ogni modellizzazione scientifica}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:in-004-01-introduzione-motivazionale}
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In tutto il corso di matematica del liceo abbiamo costruito strumenti --- algebra, geometria, analisi, probabilità --- come oggetti astratti, motivati dalla loro coerenza interna e dalle loro proprietà. In questo capitolo conclusivo cambiamo prospettiva: ci chiediamo come usare la matematica per \emph{rappresentare il mondo reale}, costruendo \emph{modelli} di fenomeni fisici, biologici, economici, e come usare il calcolatore per \emph{simulare} questi modelli.

La pratica scientifica moderna ruota attorno a tre pilastri:
\begin{enumerate}
  \item \emph{Teoria}: deduzione di leggi e predizioni a partire da principi fondamentali (es.~equazioni di Maxwell, leggi della termodinamica).
  \item \emph{Esperimento}: osservazione e misura del fenomeno reale per verificare o falsificare le predizioni.
  \item \emph{Simulazione numerica}: ``laboratorio virtuale'' in cui un modello matematico viene risolto al calcolatore, esplorando situazioni difficili o impossibili da realizzare sperimentalmente.
\end{enumerate}
Il \emph{terzo pilastro} è ormai centrale nella scienza moderna: dal clima all'astrofisica, dalla biologia molecolare alla finanza, le grandi conoscenze del XXI secolo si ottengono incrociando teoria, esperimento e simulazione.

In questo capitolo:
\begin{itemize}
  \item discutiamo cos'è un \emph{modello matematico} di un fenomeno fisico, attraverso esempi (caduta libera, oscillatore, epidemia, popolazione);
  \item introduciamo le \emph{simulazioni numeriche} con il metodo di Eulero esplicito per equazioni differenziali e il metodo Monte Carlo;
  \item ragioniamo sull'\emph{interpretazione critica} dei risultati: distinguere errori numerici da errori del modello.
\end{itemize}

\medskip

\emph{Nota di metodo}. Il programma di liceo non richiede competenze di programmazione, ma è importante \emph{conoscere il principio} dei metodi numerici e saper leggere/interpretare i risultati. Per gli aspetti pratici (con Python, Octave, GeoGebra, Excel), si rinvia ai corsi di laboratorio e di informatica.

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\section{Modelli matematici di fenomeni fisici}\label{sec:in-004-02-modelli-matematici-di-fenomeni-fisici}
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\begin{definizione}[Modello matematico]
Un \emph{modello matematico} di un fenomeno è una rappresentazione formale del fenomeno tramite oggetti matematici (equazioni, funzioni, formule, algoritmi) che cattura gli aspetti essenziali del fenomeno tralasciando i dettagli non rilevanti.
\end{definizione}

\subsection*{Tipologie di modelli}

\begin{itemize}
  \item \emph{Modelli deterministici}: data una condizione iniziale, il modello predice univocamente l'evoluzione (es.~moto di un proiettile sotto la gravità).
  \item \emph{Modelli stocastici}: l'evoluzione contiene una componente aleatoria (es.~moto browniano di una particella in un fluido, mercato azionario, epidemia).
  \item \emph{Modelli continui} vs \emph{discreti}: continui usano equazioni differenziali ($\dot y = f(y, t)$); discreti usano successioni o automi ($y_{n+1} = g(y_n)$).
  \item \emph{Modelli macro} (medi a larga scala) vs \emph{micro} (individui o particelle elementari).
\end{itemize}

\subsection*{Esempi-cardine}

\begin{esempio}[Caduta libera con attrito viscoso]
Un corpo di massa $m$ cade verticalmente in aria, con resistenza proporzionale alla velocità: $-\beta v$. Per la seconda legge di Newton (\ref{cap:AN-028}):
\[
  m \dot v = m g - \beta v.
\]
Equazione differenziale lineare del primo ordine, soluzione $v(t) = (mg/\beta)(1 - e^{-\beta t/m})$. \emph{Velocità limite}: $v_\infty = mg/\beta$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Crescita logistica di una popolazione]
Una popolazione $P(t)$ con tasso di crescita $r$ e capacità portante $K$:
\[
  \dot P = r P \left(1 - \frac{P}{K}\right).
\]
Soluzione sigmoide $P(t) = K/(1 + ((K-P_0)/P_0) e^{-rt})$ (\ref{cap:AN-028}). Modello per popolazioni biologiche, epidemie nei primi stadi, adozione di un'innovazione.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Modello SIR per epidemie]
La popolazione è divisa in tre categorie: $S$ (suscettibili), $I$ (infetti), $R$ (rimossi: guariti o deceduti). Il modello SIR (Kermack--McKendrick 1927) è:
\[
\begin{aligned}
  \dot S &= -\beta S I, \\
  \dot I &= \beta S I - \gamma I, \\
  \dot R &= \gamma I,
\end{aligned}
\]
con $\beta$ tasso di contagio e $\gamma$ tasso di guarigione. Il \emph{numero riproduttivo di base} è $R_0 = \beta/\gamma$: se $R_0 > 1$ l'epidemia si espande; se $R_0 < 1$ si estingue. È il modello standard delle pandemie (compresa la COVID-19).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Oscillatore armonico smorzato]
Una molla con massa, costante elastica $k$ e attrito $\beta$:
\[
  m \ddot x + \beta \dot x + k x = 0.
\]
ED del secondo ordine (cenno in \ref{cap:AN-029}). Modello universale di vibrazioni: pendoli, circuiti RLC, atomi nei reticoli cristallini, strumenti musicali.
\end{esempio}

\subsection*{Costruzione di un modello}

\begin{procedura}[Costruzione di un modello matematico]
\begin{enumerate}
  \item \emph{Identificare le variabili rilevanti} del fenomeno (es.~posizione, velocità, massa, concentrazione).
  \item \emph{Formulare le ipotesi semplificatrici} (es.~attrito proporzionale a $v$, popolazione omogenea, mezzo isotropo).
  \item \emph{Tradurre le ipotesi in equazioni}, usando le leggi fisiche o le relazioni statistiche note.
  \item \emph{Identificare parametri} (costanti del modello da determinare sperimentalmente).
  \item \emph{Risolvere il modello}, analiticamente (se possibile) o numericamente.
  \item \emph{Confrontare con i dati sperimentali}, per validare o raffinare il modello.
\end{enumerate}
\end{procedura}

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\section{Simulazioni numeriche}\label{sec:in-004-03-simulazioni-numeriche}
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Molti modelli, pur essendo perfettamente ben definiti, \emph{non hanno soluzione analitica} (in forma chiusa con funzioni elementari). Esempi: pendolo non lineare $\ddot \theta = -(g/L) \sen \theta$ (senza approssimazione di piccole oscillazioni), moto dei tre corpi celesti, equazioni di Navier--Stokes per i fluidi. In questi casi (la maggioranza nelle applicazioni!) si ricorre a \emph{metodi numerici}: si discretizza il tempo (o lo spazio) in piccoli passi e si avanza la soluzione passo dopo passo.

\subsection*{Metodo di Eulero esplicito (cenno)}

\begin{formulabox}
\textbf{Metodo di Eulero per $\dot y = f(t, y)$, $y(t_0) = y_0$}: scelto un passo $h > 0$, si calcola la successione
\[
  y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n), \qquad t_{n+1} = t_n + h.
\]
L'idea: sostituire la derivata $\dot y$ con il rapporto incrementale $(y_{n+1} - y_n)/h$ e risolvere per $y_{n+1}$.
\end{formulabox}

\emph{Accuratezza}: l'errore in un singolo passo è di ordine $h^2$, l'errore globale dopo $N$ passi è $O(h)$. Più $h$ è piccolo, più la simulazione è accurata, ma più costosa in termini di calcoli.

\emph{Metodi più accurati}: Runge--Kutta di ordine 4 (errore globale $O(h^4)$) e altri schemi di ordine superiore. Il liceo si limita a Eulero come idea generale; i metodi avanzati sono nei corsi universitari di calcolo numerico.

\begin{esempio}[Simulazione di una caduta libera senza attrito]
Modello: $\dot v = g$, $v(0) = 0$. Eulero con $h = \SI{0.1}{\second}$:
\[
\begin{array}{c|cccccc}
t & 0 & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 \\ \hline
v & 0 & 0.98 & 1.96 & 2.94 & 3.92 & 4.90 \\
\text{esatto } g t & 0 & 0.98 & 1.96 & 2.94 & 3.92 & 4.90
\end{array}
\]
In questo caso (ED lineare a coefficienti costanti) Eulero è \emph{esatto}. Per ED più complesse, l'accuratezza decresce.
\end{esempio}

\subsection*{Metodo Monte Carlo}

I metodi \emph{Monte Carlo} (Stanislaw Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann, Los Alamos 1946) usano la generazione di numeri aleatori per stimare quantità matematiche. Sono utilissimi per integrali in alte dimensioni, simulazioni di sistemi complessi, ottimizzazione.

\begin{esempio}[Stima di $\pi$ con Monte Carlo]
Si lanciano $N$ punti a caso nel quadrato $[-1, 1]^2$ (uniformemente). Sia $K$ il numero di punti che cadono nel cerchio inscritto $x^2 + y^2 \le 1$. Poiché area cerchio $= \pi$, area quadrato $= 4$:
\[
  \frac{K}{N} \approx \frac{\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad \pi \approx \frac{4 K}{N}.
\]
Per $N = 10000$, l'errore è di ordine $1/\sqrt N \approx 1\%$. Per $N = 10^6$, $\sim 0.1\%$. Il metodo non è il più efficiente per stimare $\pi$ ma è prototipale: si calcola un \emph{integrale} usando \emph{numeri casuali}.
\end{esempio}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2.2]
  % quadrato
  \draw[GRIGIO!70, thick] (-1, -1) rectangle (1, 1);
  % cerchio
  \draw[BLU, thick] (0, 0) circle (1);
  % punti casuali
  \foreach \x/\y in {-0.5/0.6, 0.3/-0.7, 0.8/0.2, -0.2/0.9, 0.6/-0.3, -0.9/-0.1, 0.1/0.4, -0.7/0.3, 0.5/0.8, -0.6/-0.5, 0.4/0.1, 0.9/0.7, -0.3/-0.8} {
    \pgfmathparse{\x*\x + \y*\y <= 1 ? 1 : 0}
    \ifnum\pgfmathresult=1
      \filldraw[VERDE!60!black] (\x, \y) circle (0.025);
    \else
      \filldraw[ROSSO] (\x, \y) circle (0.025);
    \fi
  }
  \node[below] at (0, -1.15) {\small punti dentro (verde): $K$};
  \node[above] at (0, 1.05) {\small $\pi \approx 4 K/N$};
\end{tikzpicture}
\caption{Stima di $\pi$ con Monte Carlo: punti uniformi nel quadrato, frazione interna al cerchio $\approx \pi/4$.}
\label{fig:in-004-monte-carlo-pi}
\end{figure}

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\section{Interpretazione critica dei risultati}\label{sec:in-004-04-interpretazione-critica-dei-risultati}
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Una simulazione produce \emph{numeri}; interpretare correttamente questi numeri richiede consapevolezza dei \emph{limiti} del processo.

\begin{formulabox}
\textbf{Tre fonti di errore nelle simulazioni}:
\begin{enumerate}
  \item \emph{Errore di modellizzazione}: il modello matematico è un'approssimazione della realtà. ``All models are wrong, but some are useful'' (George Box).
  \item \emph{Errore numerico}: discretizzazione e arrotondamenti del calcolatore introducono errori controllabili ma non eliminabili.
  \item \emph{Errore statistico}: nei metodi Monte Carlo, le stime hanno fluttuazioni di ordine $1/\sqrt N$ (TCL, \ref{cap:PS-015}).
\end{enumerate}
\end{formulabox}

\subsection*{Validazione di un modello}

\begin{procedura}[Validazione]
\begin{enumerate}
  \item Confrontare le predizioni del modello con dati sperimentali noti (\emph{fitting}).
  \item Verificare la \emph{robustezza}: piccoli cambiamenti nei parametri devono produrre piccoli cambiamenti nei risultati. Se così non è, il modello è \emph{caotico} (es.~moto a tre corpi, sistemi climatici).
  \item \emph{Predire fenomeni nuovi} (non usati nel fitting) e verificare empiricamente.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\subsection*{Limiti epistemologici}

\begin{itemize}
  \item Un modello che si adatta perfettamente ai dati osservati ($overfitting$) può predire male in situazioni nuove.
  \item Un modello molto semplice ($underfitting$) può predire bene mediamente ma sbagliare nei dettagli.
  \item Il principio di \emph{Occam}: a parità di accuratezza, preferire il modello più semplice.
  \item La \emph{simulazione non sostituisce l'esperimento}: convalida e calibrazione richiedono dati reali.
\end{itemize}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:in-004-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Pendolo non lineare: simulazione vs approssimazione lineare]
Modello esatto: $\ddot \theta = -(g/L) \sen \theta$. Approssimazione lineare (\ref{cap:AN-029}): $\ddot \theta = -(g/L) \theta$, valida per piccoli $\theta$. Per $\theta_0 = \pi/4 = 45°$:
\begin{itemize}
  \item Periodo lineare (approssimato): $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$.
  \item Periodo esatto (numerico): $T = T_0 \cdot (1 + \theta_0^2/16 + \theta_0^4 \cdot 11/3072 + \ldots) \approx T_0 \cdot 1.040$, cioè $4\%$ in più.
\end{itemize}
La simulazione numerica permette di calcolare $T$ esattamente, mentre l'analisi simbolica si limita all'approssimazione.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Modello SIR per la diffusione di un'influenza]
Popolazione $N = 10000$, $R_0 = 2.5$, durata infezione $\num{7}$ giorni ($\gamma = 1/7$, $\beta = R_0 \gamma$). Condizioni iniziali: $S_0 = 9999$, $I_0 = 1$, $R_0 = 0$.

Simulando il modello (con Eulero $h = \num{0.5}$ giorni), si trova che il picco di infezioni si raggiunge intorno al giorno $20$, con circa $1500$ persone simultaneamente infette. Alla fine dell'epidemia, circa il $89\%$ della popolazione è stato infettato (e si è immunizzato).

\emph{Lezione}: l'$R_0$ determina sia la velocità di diffusione che la frazione finale di infettati. È il parametro cruciale per le politiche sanitarie.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Integrale numerico via Monte Carlo]
Calcolare $I = \int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ con metodo Monte Carlo.

L'integrale non è in forma chiusa elementare (vedi \ref{cap:AN-027}). \textbf{Idea}: $I = E(e^{-X^2})$ con $X$ uniforme su $[0, 1]$. Stimo $I \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N e^{-X_i^2}$ con $X_i$ uniformi indipendenti.

Per $N = 1000$, una simulazione tipica dà $\hat I \approx \num{0.747}$, errore $\sim 1/\sqrt{1000} \approx 0.03$. Per $N = 10^6$, $\hat I \approx \num{0.7468}$. Valore vero: $I = \sqrt\pi/2 \cdot \operatorname{erf}(1) \approx \num{0.7468}$.

\emph{Confronto}: per integrali in $1$D, i metodi deterministici (Simpson, ecc.) sono più efficienti. Ma in $10$D, $100$D, $\ldots$, Monte Carlo diventa l'unica via praticabile.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Caos: l'attrattore di Lorenz]
Il sistema (Edward Lorenz 1963):
\[
\begin{aligned}
  \dot x &= \sigma(y - x), \\
  \dot y &= x(\rho - z) - y, \\
  \dot z &= x y - \beta z,
\end{aligned}
\]
con $\sigma = 10$, $\rho = 28$, $\beta = 8/3$, ha soluzioni che presentano \emph{caos deterministico}: due traiettorie con condizioni iniziali leggermente diverse divergono esponenzialmente. \emph{Effetto farfalla} (Lorenz 1972): ``Il battito d'ali di una farfalla a Tokyo può causare un uragano in Texas''. Modello fondamentale per la previsione del tempo, intrinsecamente limitata a $\sim 2$ settimane.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Stima di una popolazione con la cattura-ricattura]
In un lago si vuole stimare il numero $N$ di pesci. Si catturano $C = 50$ pesci, li si marca, li si rilascia. Dopo qualche tempo si ricatturano $R = 80$ pesci, di cui $M = 8$ marcati.

\emph{Stima}: la frazione di pesci marcati nel campione $M/R = 8/80 = 0.1$ è una stima della frazione marcata nell'intero lago, $C/N$:
\[
  \frac{C}{N} \approx \frac{M}{R} \quad \Rightarrow \quad N \approx \frac{C R}{M} = \frac{50 \cdot 80}{8} = 500.
\]
Stima: $N \approx 500$ pesci. (Metodo di Lincoln--Petersen, ampiamente usato in ecologia.)
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:in-004-06-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Per ciascuno dei seguenti fenomeni, indicare se è più adatto un modello deterministico o stocastico, continuo o discreto, e dare una breve formulazione (anche solo a parole):
  \begin{enumerate}
    \item Movimento di un satellite attorno alla Terra;
    \item Numero di clienti in coda al supermercato;
    \item Diffusione di un'epidemia in una città;
    \item Reazioni chimiche in un reattore industriale;
    \item Variazione del prezzo di un'azione.
  \end{enumerate}
  \item Modello logistico: si ponga $r = \num{0.1}$/giorno, $K = 1000$, $P_0 = 10$. Calcolare $P(t)$ a $t = 30$, $60$, $90$, $120$ giorni. In quale giorno $P$ raggiunge $K/2 = 500$?
  \item Applicare Eulero esplicito (con $h = \num{0.5}$) per simulare $\dot y = -2 y + 1$, $y(0) = 0$. Calcolare $y$ a $t = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0$. Confrontare con la soluzione esatta $y(t) = (1 - e^{-2 t})/2$.
  \item Per il modello SIR con $\beta = 0.3$, $\gamma = 0.1$, popolazione totale $N = 1000$, $I_0 = 1$. Calcolare $R_0 = \beta/\gamma$ e prevedere qualitativamente (senza simulare): l'epidemia si espande o si estingue?
  \item Stimare via Monte Carlo l'area di un'ellisse $x^2/9 + y^2/4 \le 1$ usando punti uniformi in $[-3, 3] \times [-2, 2]$ (suggerimento: area rettangolo $= 24$, area ellisse $= 24 \cdot (\text{frazione interna})$; risultato vero $6\pi \approx \num{18.85}$).
  \item Stimare $\pi$ con il metodo Monte Carlo del cerchio inscritto, simulando ``mentalmente'' $N = 100$ punti: se $K = 79$ punti cadono nel cerchio, qual è la stima?
  \item Per il pendolo non lineare con $\theta_0 = 60°$, il periodo è circa $T \approx T_0 \cdot 1.07$ (correzione $7\%$). Trovare $T_0$ se $L = \SI{1}{\meter}$ e $g = \SI{9.81}{\meter\per\second\squared}$, e calcolare il periodo reale.
  \item Discutere l'\emph{effetto farfalla} di Lorenz: perché le previsioni meteorologiche oltre i $10$--$14$ giorni sono praticamente impossibili?
  \item Nel metodo di cattura-ricattura, si catturano $C = 200$ pesci, li si marca; dopo si ricatturano $R = 150$ pesci, di cui $M = 15$ marcati. Stimare $N$. Determinare la sensibilità della stima a variazioni di $M$ (es.~$M = 14$ o $M = 16$).
  \item Eulero esplicito per oscillatore armonico $\ddot x = -\omega^2 x$ con $\omega = 1$, $x(0) = 1$, $\dot x(0) = 0$. Riscrivere come sistema del primo ordine: $\dot x = v$, $\dot v = -x$. Simulare con $h = \num{0.1}$ per $t \in [0, 2\pi]$. Verificare che la soluzione numerica si discosta dalla soluzione esatta $x(t) = \cos t$: Eulero esplicito \emph{non conserva l'energia} (l'ampiezza cresce). È un'istanza dell'importanza di scegliere il metodo numerico giusto.
  \item Mostrare che il metodo Monte Carlo per stimare $E(g(X))$ ha errore di ordine $1/\sqrt N$, conformemente al TCL.
  \item Discutere: ``All models are wrong, but some are useful'' (George Box). Cosa significa? Fornire esempi di modelli ``sbagliati ma utili'' (es.~modello dei gas ideali, modello di Bohr per l'atomo, modello SIR).
  \item Verificare empiricamente con Excel/calcolatrice la stima Monte Carlo di $\pi$ con $N = 100$ lanci di punti in $[0, 1]^2$ contro $x^2 + y^2 \le 1$. (Suggerimento: usare $\operatorname{RAND}()$ per generare numeri uniformi in $[0, 1]$.)
  \item Per il modello di crescita esponenziale $\dot P = r P$, $P(0) = P_0$:
  \begin{enumerate}
    \item soluzione esatta: $P(t) = P_0 e^{rt}$;
    \item soluzione Eulero con $h$: $P_n = P_0 (1 + rh)^n$;
    \item confrontare per $r = 0.1$, $h = 1$, $n = 10$ (cioè $t = 10$): $P_{\text{esatto}} = P_0 e^{1} \approx \num{2.718} P_0$, $P_{\text{Eulero}} = P_0 (1.1)^{10} \approx \num{2.594} P_0$. Errore relativo $\sim 4.6\%$.
  \end{enumerate}
  \item Spiegare la differenza fra \emph{errore di modello} (es.~ipotesi semplificatrici) ed \emph{errore numerico} (es.~discretizzazione, arrotondamenti). Quale è dominante in una simulazione meteorologica? In una simulazione di traiettoria balistica?
  \item Si è raccolto un campione di $n = 50$ alunni, di cui $30$ favorevoli a una proposta. Costruire un intervallo di fiducia al $95\%$ per la quota di favorevoli nella popolazione (suggerimento: usare $\mathcal N(\hat p, \hat p(1-\hat p)/n)$, vedi \ref{cap:PS-015}). Risultato: $\hat p \pm \num{0.136}$, ovvero $[\num{0.464}, \num{0.736}]$.
  \item \emph{Sfida (modello SIR con simulazione mentale)}. In una piccola popolazione di $N = 100$ persone con $I_0 = 1$ caso iniziale, $\beta = 0.5$/giorno e $\gamma = 0.2$/giorno (durata infezione $\num{5}$ giorni). $R_0 = 2.5$.
  \begin{enumerate}
    \item Stimare il numero di infettati al giorno $1$ (assumendo $S_0 \approx N - I_0$ e crescita iniziale esponenziale $I(t) \approx I_0 e^{(\beta - \gamma) t}$ con $\beta = 0.5$ ma considerando $S/N \approx 1$ all'inizio: $I(t) \approx e^{0.3 t}$).
    \item Calcolare il giorno del picco approssimato come ``quando $S$ scende a $N/R_0 = 40$'' (formula del modello SIR). Stimato qualitativamente: giorno $\sim 15$.
    \item Riflettere su come l'intervento (es.~lockdown che riduce $\beta$ a $0.2$, ovvero $R_0 = 1$) cambierebbe il decorso.
  \end{enumerate}
  Discussione: questo è il livello di analisi richiesto per le decisioni di sanità pubblica reali. La matematica del Liceo, opportunamente applicata, è già potente strumento di comprensione.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:in-004-07-riepilogo-del-capitolo}
% ============================================================

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Modello matematico}: rappresentazione formale di un fenomeno tramite oggetti matematici, che cattura l'essenziale e tralascia il superfluo.
  \item \emph{Tipologie}: deterministico vs stocastico, continuo vs discreto, macro vs micro.
  \item \emph{Esempi-cardine}:
  \begin{itemize}
    \item Caduta con attrito viscoso: $m\dot v = mg - \beta v$, $v_\infty = mg/\beta$.
    \item Logistico: $\dot P = r P(1 - P/K)$, soluzione sigmoide.
    \item SIR: $\dot S = -\beta S I$, $\dot I = \beta S I - \gamma I$, $\dot R = \gamma I$, $R_0 = \beta/\gamma$.
    \item Oscillatore (smorzato): $m \ddot x + \beta \dot x + k x = 0$.
  \end{itemize}
  \item \emph{Simulazione numerica}: necessaria quando il modello non ha soluzione analitica. Metodo di Eulero esplicito: $y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$, errore globale $O(h)$.
  \item \emph{Metodo Monte Carlo}: stima quantità matematiche con numeri casuali. Stima di $\pi$ con punti uniformi nel quadrato. Errore $\sim 1/\sqrt N$ (TCL, \ref{cap:PS-015}).
  \item \emph{Errori}: di modello, numerico, statistico. \emph{Interpretazione critica}: ``all models are wrong, but some are useful''.
  \item \emph{Validazione}: confronto con dati sperimentali, robustezza ai parametri, predizione di fenomeni nuovi.
  \item \emph{Caos}: anche modelli deterministici (Lorenz) possono avere comportamento imprevedibile a lungo termine (effetto farfalla).
  \item Con questo capitolo si chiude il programma di matematica del Liceo Scientifico. La matematica è uno strumento per \emph{capire il mondo}, non un esercizio fine a se stesso. Negli studi universitari di scienze (matematica, fisica, ingegneria, biologia, economia, ecc.), questi strumenti vengono raffinati e applicati a problemi sempre più ambiziosi.
\end{itemize}
\end{riepilogo}