\chapter{Numeri complessi: forma algebrica $z = a + ib$}\label{cap:NC-001} \citazioneinizio{% In molti calcoli mi è apparsa di tal sorta una radicale quantità di numero negativo, ed ho trovato esser cosa nuova, e non mai più trattata da nessuno, e di gran piacere a riguardarla.% }{Rafael Bombelli, \emph{L'Algebra}, libro III (1572)} % ============================================================ \section{Introduzione motivazionale}\label{sec:nc-001-01-introduzione-motivazionale} % ============================================================ La storia dei \textbf{numeri complessi} è una delle più affascinanti della matematica. Per duemila anni i matematici si rifiutarono di accettare l'idea di una ``radice quadrata di un numero negativo''. Poi, nel \textsc{xvi} secolo, durante la sfida tra Cardano e Tartaglia per la risoluzione delle equazioni cubiche, accadde qualcosa di strano: la formula risolutiva (\emph{formula di Cardano}, 1545) richiedeva, anche per equazioni con \emph{soluzioni reali}, di passare attraverso radici quadrate di numeri negativi come passaggio intermedio. Cardano stesso li chiamò \emph{quantitates sofisticae} (``quantità sofistiche'') — un'altra terminologia che riflette il disagio del tempo è \emph{numeri impossibili}, \emph{immaginari}, \emph{fantastici}. Fu \textbf{Rafael Bombelli} (1572) a sistemare per primo le regole di calcolo, mostrando che, trattando questi nuovi numeri secondo regole coerenti, si ottenevano alla fine \emph{risposte reali corrette}. Per tre secoli i complessi rimasero strumenti pratici di calcolo accettati con sospetto. La svolta arriva nel \textsc{xviii}-\textsc{xix} sec.: \begin{itemize} \item \emph{Leonhard Euler} (1748) introduce il simbolo $i$ per $\sqrt{-1}$ e scopre la formula $e^{i\pi} + 1 = 0$, considerata da molti la più bella della matematica. \item \emph{Carl Friedrich Gauss} (1799) dimostra il \emph{Teorema fondamentale dell'algebra}: ogni equazione polinomiale di grado $n$ ha \emph{esattamente} $n$ soluzioni in $\C$ (contate con la loro molteplicità). I complessi diventano \emph{indispensabili}. \item Sempre Gauss (1831) introduce la rappresentazione geometrica nel \emph{piano complesso} (oggi detto \emph{piano di Gauss}), togliendo definitivamente l'aura ``immaginaria'' al concetto. \end{itemize} L'estensione di $\R$ a $\C$ è solo l'ultimo di una serie di ampliamenti del concetto di numero che hai già attraversato: \[ \N \subset \Z \subset \Q \subset \R \subset \C. \] Ogni passaggio è stato motivato dal voler \emph{risolvere equazioni}: $x + 5 = 3$ richiede $\Z$; $2x = 1$ richiede $\Q$; $x^2 = 2$ richiede $\R$; $x^2 = -1$ richiede $\C$. In questo capitolo: \begin{itemize} \item motiviamo l'introduzione dei complessi a partire dall'insufficienza dei reali; \item definiamo l'\emph{unità immaginaria} $i$ con $i^2 = -1$; \item presentiamo la \emph{forma algebrica} $z = a + ib$; \item definiamo le quattro operazioni di campo; \item introduciamo \emph{coniugato} e \emph{modulo}; \item interpretiamo i complessi come punti del \emph{piano di Gauss}. \end{itemize} La \emph{forma trigonometrica} e la \emph{formula di de Moivre} saranno trattate nei capitoli successivi (\ref{cap:NC-002}, \ref{cap:NC-003}). % ============================================================ \section{Insufficienza dei reali}\label{sec:nc-001-01-insufficienza-dei-reali} % ============================================================ Considera l'equazione di secondo grado: \[ x^2 + 1 = 0,\qquad\text{cioè}\qquad x^2 = -1. \] Nessun numero reale $x$ soddisfa questa equazione, perché ogni quadrato reale è $\geq 0$ (\ref{cap:AA-025}). Quindi, restando nei reali, l'equazione \emph{non ha soluzioni}. Lo stesso problema si presenta per ogni equazione $x^2 = k$ con $k < 0$, e più in generale per ogni equazione di secondo grado $a x^2 + b x + c = 0$ con discriminante \emph{negativo} ($\Delta = b^2 - 4ac < 0$). \begin{nota}[Il caso storico delle cubiche] Per le \emph{cubiche} $x^3 + px + q = 0$, la formula di Cardano (1545) ha la forma \[ x = \sqrt[3]{-q/2 + \sqrt{(q/2)^2 + (p/3)^3}} + \sqrt[3]{-q/2 - \sqrt{(q/2)^2 + (p/3)^3}}. \] Esistono casi (detti \emph{casus irreducibilis}) in cui l'equazione ha \emph{tre soluzioni reali}, ma il termine $(q/2)^2 + (p/3)^3$ sotto radice è \emph{negativo}. Per ottenere la risposta reale, dobbiamo passare attraverso radici quadrate di numeri negativi e cancellarle poi nei calcoli. Esempio classico (Bombelli, 1572): $x^3 = 15x + 4$ ha la soluzione reale evidente $x = 4$. La formula di Cardano dà $x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}$. Bombelli scoprì che — manipolando coerentemente le ``radici di numeri negativi'' — queste espressioni si semplificano e danno proprio $x = 4$. \end{nota} La soluzione: \emph{ampliare l'insieme dei numeri}, introducendo un nuovo numero — l'\emph{unità immaginaria} — che soddisfi $i^2 = -1$. % ============================================================ \section{Unità immaginaria i}\label{sec:nc-001-02-unita-immaginaria-i} % ============================================================ \begin{definizione}[Unità immaginaria] Si chiama \textbf{unità immaginaria} (notazione: $i$) il ``numero'' definito dalla proprietà \[ i^2 = -1. \] \end{definizione} \begin{formulabox} \[ \boxed{\ i^2 = -1\ }\qquad \text{(definizione di $i$).} \] \end{formulabox} \begin{nota}[Notazione] In matematica e fisica si usa $i$ per l'unità immaginaria. In \emph{ingegneria elettrica}, dove $i$ è già usata per l'intensità di corrente, si usa $j$ al suo posto. Ma il significato è lo stesso. \end{nota} \begin{teorema}[Potenze di $i$] Le potenze intere di $i$ seguono un \emph{ciclo di periodo $4$}: \[ i^0 = 1,\quad i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1,\quad i^5 = i,\quad \ldots \] In generale: $i^n$ dipende solo dal \emph{resto della divisione di $n$ per $4$}: \[ i^n = \begin{cases} 1 & \text{se $n \equiv 0 \pmod 4$,} \\ i & \text{se $n \equiv 1 \pmod 4$,} \\ -1 & \text{se $n \equiv 2 \pmod 4$,} \\ -i & \text{se $n \equiv 3 \pmod 4$.} \end{cases} \] \end{teorema} \textit{Dimostrazione.} Per induzione: $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$. Quindi $i^{n+4} = i^n\cdot i^4 = i^n\cdot 1 = i^n$. Le potenze si ripetono ciclicamente ogni $4$ passi. \begin{esempio}[Calcolo di potenze di $i$] \begin{itemize} \item $i^7 = i^{4 + 3} = i^3 = -i$. \item $i^{10} = i^{8+2} = (i^4)^2\cdot i^2 = 1\cdot (-1) = -1$. \item $i^{2025} = i^{2024 + 1} = i^1 = i$ (perché $2025 = 4\cdot 506 + 1$). \item $i^{-1} = 1/i = -i$ (verifica: $i\cdot (-i) = -i^2 = 1$). \end{itemize} \end{esempio} % ============================================================ \section{Forma algebrica z=a+ib}\label{sec:nc-001-03-forma-algebrica-z-a-ib} % ============================================================ \begin{definizione}[Numero complesso, forma algebrica] Un \textbf{numero complesso} è un'espressione della forma \[ z = a + ib, \] con $a, b \in \R$. L'insieme dei numeri complessi si denota $\C$. I due numeri reali $a$ e $b$ si chiamano rispettivamente: \begin{itemize} \item \emph{parte reale} di $z$: $\mathrm{Re}(z) = a$; \item \emph{parte immaginaria} di $z$: $\mathrm{Im}(z) = b$. \end{itemize} \end{definizione} \begin{formulabox} \[ z = a + ib,\quad a = \mathrm{Re}(z),\ b = \mathrm{Im}(z),\quad \C = \{a + ib : a, b \in \R\}. \] \end{formulabox} \begin{nota}[Casi particolari] \begin{itemize} \item Se $b = 0$: $z = a$ è un \emph{numero reale}. Quindi $\R \subset \C$ (i reali sono i complessi a parte immaginaria nulla). \item Se $a = 0$ e $b \neq 0$: $z = ib$ è detto \emph{immaginario puro}. \item Se $a = b = 0$: $z = 0$. \item Attenzione: la parte immaginaria è il \emph{numero reale} $b$, \emph{non} $ib$. \end{itemize} \end{nota} \begin{definizione}[Uguaglianza tra complessi] Due numeri complessi sono \emph{uguali} se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria: \[ a + ib = c + id \iff a = c\ \text{e}\ b = d. \] \end{definizione} \begin{esempio}[Identificare parti] \begin{itemize} \item $z = 3 + 4i$: $\mathrm{Re}(z) = 3$, $\mathrm{Im}(z) = 4$. \item $z = -2 - 5i$: $\mathrm{Re}(z) = -2$, $\mathrm{Im}(z) = -5$. \item $z = 7$: $\mathrm{Re}(z) = 7$, $\mathrm{Im}(z) = 0$. (Reale puro.) \item $z = -3i$: $\mathrm{Re}(z) = 0$, $\mathrm{Im}(z) = -3$. (Immaginario puro.) \end{itemize} \end{esempio} % ============================================================ \section{Operazioni con numeri complessi}\label{sec:nc-001-04-operazioni-con-numeri-complessi} % ============================================================ Le quattro operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione si estendono ai complessi trattando $i$ come una variabile, ma usando sistematicamente la regola $i^2 = -1$. Le formule risultanti sono semplici: \begin{teorema}[Operazioni in forma algebrica] Siano $z_1 = a + ib$, $z_2 = c + id$. Allora: \begin{itemize} \item \emph{Somma}: $z_1 + z_2 = (a + c) + i(b + d)$. \item \emph{Differenza}: $z_1 - z_2 = (a - c) + i(b - d)$. \item \emph{Prodotto}: $z_1\cdot z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc)$. \item \emph{Reciproco} (per $z_1 \neq 0$): $\dfrac{1}{z_1} = \dfrac{a - ib}{a^2 + b^2}$. \item \emph{Quoziente} (per $z_2 \neq 0$): $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{(a + ib)(c - id)}{c^2 + d^2} = \dfrac{(ac + bd) + i(bc - ad)}{c^2 + d^2}$. \end{itemize} \end{teorema} \begin{formulabox} \begin{align*} (a + ib) + (c + id) &= (a+c) + i(b+d) \\ (a + ib)\cdot (c + id) &= (ac - bd) + i(ad + bc) \end{align*} \end{formulabox} \textit{Dimostrazione.} Somma e differenza: ovvie, raccogliendo $i$. Prodotto: \[ (a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i^2 bd = ac + i(ad + bc) - bd = (ac - bd) + i(ad + bc). \] Reciproco: moltiplicare numeratore e denominatore per il \emph{coniugato} $a - ib$ (vedi prossima sezione): \[ \frac{1}{a + ib} = \frac{1}{a + ib}\cdot \frac{a - ib}{a - ib} = \frac{a - ib}{a^2 - (ib)^2} = \frac{a - ib}{a^2 + b^2}. \] \begin{nota}[Strategia di calcolo] Nella pratica, non occorre memorizzare le formule del prodotto e del quoziente. Basta: \begin{itemize} \item per moltiplicare due complessi, applicare la \emph{proprietà distributiva} e ricordare $i^2 = -1$; \item per dividere, moltiplicare numeratore e denominatore per il \emph{coniugato} del denominatore, e poi semplificare. \end{itemize} \end{nota} \begin{esempio}[Somma e prodotto] $z_1 = 2 + 3i$, $z_2 = 1 - 4i$. \begin{itemize} \item Somma: $z_1 + z_2 = (2 + 1) + i(3 - 4) = 3 - i$. \item Differenza: $z_1 - z_2 = (2 - 1) + i(3 + 4) = 1 + 7i$. \item Prodotto: $z_1\cdot z_2 = (2)(1) - (3)(-4) + i\bigl((2)(-4) + (3)(1)\bigr) = 2 + 12 + i(-8 + 3) = 14 - 5i$. \end{itemize} \end{esempio} \begin{esempio}[Quoziente] Calcolare $\dfrac{3 + 2i}{1 - i}$. \textit{Soluzione.} Moltiplico numeratore e denominatore per $1 + i$ (coniugato di $1 - i$): \[ \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1 - i^2} = \frac{3 + 5i - 2}{1 + 1} = \frac{1 + 5i}{2} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{2}i. \] \end{esempio} \begin{esempio}[Soluzione di un'equazione di secondo grado a $\Delta < 0$] Risolvere $x^2 - 2x + 5 = 0$. \textit{Soluzione.} Con la formula classica: $x = (2 \pm \sqrt{4 - 20})/2 = (2 \pm \sqrt{-16})/2$. In $\R$ non ci sono soluzioni. In $\C$: $\sqrt{-16} = \sqrt{16}\cdot \sqrt{-1} = 4i$. Quindi \[ x = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i. \] Due soluzioni complesse \emph{coniugate}: $x_1 = 1 + 2i$, $x_2 = 1 - 2i$. (Verifica: $x_1\cdot x_2 = 1^2 + 2^2 = 5$ = termine noto/coefficiente di $x^2$ = $5/1$. $x_1 + x_2 = 2$ = $-b/a$. \checkmark Vale anche per i complessi la relazione di Viète, \ref{cap:AA-026}.) \end{esempio} % ============================================================ \section{Coniugato e modulo}\label{sec:nc-001-05-coniugato-e-modulo} % ============================================================ \begin{definizione}[Coniugato] Dato $z = a + ib$, il \textbf{coniugato} di $z$ è \[ \bar z = a - ib. \] (Si scambia il segno della parte immaginaria.) \end{definizione} \begin{definizione}[Modulo] Dato $z = a + ib$, il \textbf{modulo} di $z$ è \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2}. \] \end{definizione} \begin{formulabox} \[ \bar z = a - ib,\qquad |z| = \sqrt{a^2 + b^2},\qquad z\cdot \bar z = |z|^2. \] \end{formulabox} \begin{teorema}[Proprietà del coniugato] Per ogni $z, w \in \C$: \begin{itemize} \item $\overline{\bar z} = z$. \item $\overline{z + w} = \bar z + \bar w$. \item $\overline{z\cdot w} = \bar z\cdot \bar w$. \item $\overline{z/w} = \bar z/\bar w$ (per $w \neq 0$). \item $z = \bar z \iff z \in \R$ (un complesso è uguale al suo coniugato $\iff$ è reale). \item $z + \bar z = 2\,\mathrm{Re}(z)$, $z - \bar z = 2i\,\mathrm{Im}(z)$. \item $z\cdot \bar z = a^2 + b^2 = |z|^2$ — \emph{prodotto fondamentale}: il prodotto di un complesso per il suo coniugato è sempre un \emph{numero reale non negativo}. \end{itemize} \end{teorema} \begin{teorema}[Proprietà del modulo] Per ogni $z, w \in \C$: \begin{itemize} \item $|z| \geq 0$, e $|z| = 0 \iff z = 0$. \item $|z| = |\bar z|$. \item $|z\cdot w| = |z|\cdot |w|$. \item $|z/w| = |z|/|w|$ (per $w \neq 0$). \item $|z + w| \leq |z| + |w|$ — \emph{disuguaglianza triangolare}. \item Per $z$ reale: $|z|$ coincide con il valore assoluto reale. \end{itemize} \end{teorema} \begin{esempio}[Coniugato e modulo] $z = 3 - 4i$. Allora: \[ \bar z = 3 + 4i,\qquad |z| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5,\qquad z\cdot \bar z = 9 + 16 = 25 = |z|^2. \] \end{esempio} \begin{esempio}[Uso del coniugato per la divisione] $\dfrac{5}{2 + i} = \dfrac{5(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \dfrac{10 - 5i}{4 + 1} = \dfrac{10 - 5i}{5} = 2 - i$. \end{esempio} % ============================================================ \section{Piano di Gauss}\label{sec:nc-001-06-piano-di-gauss} % ============================================================ Carl Friedrich Gauss (1831) ebbe l'intuizione fondamentale: identificare ogni numero complesso $z = a + ib$ con il punto $(a, b)$ del piano cartesiano. Questa identificazione — il \textbf{piano di Gauss} o \emph{piano complesso} — restituisce ai complessi una piena ``visibilità'' geometrica. \begin{teorema}[Corrispondenza biunivoca] La mappa $z = a + ib \mapsto (a, b)$ è una biiezione tra $\C$ e $\R^2$. Nella rappresentazione geometrica: \begin{itemize} \item l'\emph{asse $x$} è chiamato \emph{asse reale} (contiene i complessi della forma $z = a$); \item l'\emph{asse $y$} è chiamato \emph{asse immaginario} (contiene gli immaginari puri $z = ib$); \item l'origine è il numero $0$. \end{itemize} \end{teorema} \begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture}[scale=1.0] \draw[->, thin] (-3, 0) -- (3.5, 0) node[right] {$\mathrm{Re}$}; \draw[->, thin] (0, -3) -- (0, 3.5) node[above] {$\mathrm{Im}$}; \node[below left] at (0, 0) {$0$}; % Numero z = 2 + 2.5i \filldraw[BLU] (2, 2.5) circle (2pt) node[above right, BLU] {$z = a + ib$}; \draw[dashed, BLU!60] (2, 0) -- (2, 2.5) -- (0, 2.5); \node[below] at (2, 0) {\small $a$}; \node[left] at (0, 2.5) {\small $b$}; % Modulo |z| \draw[thick, VERDE!70!black] (0, 0) -- (2, 2.5); \node[VERDE!70!black, left] at (1.0, 1.25) {$|z|$}; % Coniugato z bar \filldraw[ROSSO] (2, -2.5) circle (2pt) node[below right, ROSSO] {$\bar z = a - ib$}; \draw[dashed, ROSSO!60] (2, 0) -- (2, -2.5); % Opposto -z \filldraw[ARANCIO] (-2, -2.5) circle (2pt) node[below left, ARANCIO] {$-z$}; \end{tikzpicture} \caption{Piano di Gauss. Il numero complesso $z = a + ib$ è il punto $(a, b)$. Il modulo $|z|$ è la distanza dall'origine. Il coniugato $\bar z$ è il riflesso di $z$ rispetto all'asse reale. L'opposto $-z$ è il simmetrico rispetto all'origine.} \label{fig:nc-001-piano-gauss} \end{figure} \begin{nota}[Interpretazione geometrica delle operazioni] \begin{itemize} \item La \emph{somma} $z_1 + z_2$ corrisponde alla \emph{regola del parallelogramma} (come la somma di vettori). \item Il \emph{modulo} $|z|$ è la \emph{distanza} di $z$ dall'origine. \item Il \emph{coniugato} $\bar z$ è il riflesso di $z$ rispetto all'asse reale. \item L'\emph{opposto} $-z$ è il simmetrico rispetto all'origine. \item Il \emph{prodotto} ha un'interpretazione meno immediata in forma algebrica: corrisponde a una rotazione + dilatazione che si vedrà chiaramente in forma trigonometrica (\ref{cap:NC-002}). \end{itemize} \end{nota} \begin{nota}[Modulo come distanza] Il modulo $|z|$ non è solo la distanza di $z$ dall'origine: più in generale, $|z_1 - z_2|$ è la \emph{distanza} tra i due punti $z_1$ e $z_2$ nel piano di Gauss. Ritroviamo così le strutture metriche del piano cartesiano (\ref{cap:GA-001}). \end{nota} % ============================================================ \section{Esempi svolti}\label{sec:nc-001-08-esempi-svolti} % ============================================================ \begin{esempio}[Operazioni miste] Calcolare $(2 + i)(3 - 2i) + (1 - i)^2$. \textit{Soluzione.} \[ (2 + i)(3 - 2i) = 6 - 4i + 3i - 2i^2 = 6 - i + 2 = 8 - i. \] \[ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i. \] Totale: $(8 - i) + (-2i) = 8 - 3i$. \end{esempio} \begin{esempio}[Potenza di un complesso] Calcolare $(1 + i)^4$. \textit{Soluzione.} Calcolo per gradi: $(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$. Quindi $(1+i)^4 = (2i)^2 = 4 i^2 = -4$. \end{esempio} \begin{esempio}[Risolvere $z^2 = -9$] Trovare tutti i $z \in \C$ tali che $z^2 = -9$. \textit{Soluzione.} $z^2 = -9 = 9\cdot (-1) = 9\cdot i^2 = (3i)^2$. Quindi $z = \pm 3i$. Verifica: $(3i)^2 = 9 i^2 = -9$ \checkmark; $(-3i)^2 = 9 i^2 = -9$ \checkmark. \end{esempio} \begin{esempio}[Risolvere $z^2 + 2z + 5 = 0$] \textit{Soluzione.} Discriminante: $\Delta = 4 - 20 = -16$. $\sqrt{-16} = 4i$. \[ z = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i. \] \end{esempio} \begin{esempio}[Inverso di un complesso] Calcolare $\dfrac{1}{3 + 2i}$. \textit{Soluzione.} \[ \frac{1}{3+2i} = \frac{3-2i}{(3+2i)(3-2i)} = \frac{3-2i}{9+4} = \frac{3-2i}{13} = \frac{3}{13} - \frac{2}{13}i. \] \end{esempio} \begin{esempio}[Verifica di un'identità] Verificare che $|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|$ per $z_1 = 1 + i$, $z_2 = 2 - i$. \textit{Soluzione.} $z_1\cdot z_2 = 2 - i + 2i - i^2 = 2 + i + 1 = 3 + i$. $|z_1\cdot z_2| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$. $|z_1|\cdot |z_2| = \sqrt 2\cdot \sqrt 5 = \sqrt{10}$. \checkmark \end{esempio} \begin{esempio}[Trovare $z$ da una condizione] Trovare il complesso $z$ tale che $z + 2\bar z = 6 - i$. \textit{Soluzione.} Sia $z = a + ib$. Allora $\bar z = a - ib$, e \[ z + 2\bar z = (a + ib) + 2(a - ib) = 3a - ib. \] Imponendo l'uguaglianza con $6 - i$: $3a = 6$ e $-b = -1$, quindi $a = 2, b = 1$. Risposta: $z = 2 + i$. \end{esempio} % ============================================================ \section{Esercizi proposti}\label{sec:nc-001-09-esercizi-proposti} % ============================================================ \begin{eserciziobox} \begin{enumerate} \item Calcola le potenze di $i$: \begin{itemize} \item (a) $i^9$; \item (b) $i^{20}$; \item (c) $i^{-3}$; \item (d) $i^{100}$; \item (e) $i^{2025}$. \end{itemize} \item Identifica parte reale e parte immaginaria di: \begin{itemize} \item (a) $z = 5 - 7i$; \item (b) $z = -3 + 2i$; \item (c) $z = 8$; \item (d) $z = -6i$. \end{itemize} \item Calcola: \begin{itemize} \item (a) $(3 + 2i) + (1 - 5i)$; \item (b) $(4 - i) - (2 + 3i)$; \item (c) $(1 + i)(2 - 3i)$; \item (d) $(2 + 5i)(2 - 5i)$ (notare il risultato!); \item (e) $(1 + i)^3$; \item (f) $(2 - i)^2$. \end{itemize} \item Calcola coniugato e modulo: \begin{itemize} \item (a) $z = 4 + 3i$; \item (b) $z = -5 + 12i$; \item (c) $z = -6i$; \item (d) $z = 7$. \end{itemize} \item Calcola (razionalizzando): \begin{itemize} \item (a) $\dfrac{1}{1 + i}$; \item (b) $\dfrac{2 - i}{3 + i}$; \item (c) $\dfrac{5 + 2i}{1 - 2i}$; \item (d) $\dfrac{i}{1 + i}$. \end{itemize} \item Risolvi in $\C$: \begin{itemize} \item (a) $z^2 + 25 = 0$; \item (b) $z^2 + 4z + 13 = 0$; \item (c) $z^2 - 6z + 10 = 0$; \item (d) $z^2 - 4z + 8 = 0$. \end{itemize} \item Verifica per $z = 2 - 3i$ che $z\cdot \bar z = |z|^2$. \item Verifica per $z_1 = 1 + i$ e $z_2 = 2 - 3i$ che $\overline{z_1\cdot z_2} = \bar z_1\cdot \bar z_2$. \item Trova $z$ tale che $z + \bar z = 4$ e $z - \bar z = 6i$. \item Rappresenta nel piano di Gauss: $z_1 = 2 + 3i$, $z_2 = -1 + 4i$, $z_3 = -3 - 2i$, $z_4 = 5 - i$. Indica i loro coniugati e moduli. \item Calcola $(1 + i)^{10}$. (Suggerimento: usa $(1+i)^2 = 2i$ e calcola $(2i)^5$.) \item (Discussione.) È possibile definire un ordinamento ``$<$'' sui complessi compatibile con le operazioni (come per i reali)? Argomenta. (Suggerimento: pensa al segno di $i$: se $i > 0$, allora $i^2 > 0$ — assurdo. Se $i < 0$, lo stesso problema.) \item (Sfida — equazione di Bombelli.) Verifica che $\sqrt[3]{2 + 11i} = 2 + i$ (cioè $(2 + i)^3 = 2 + 11i$). Questa identità di Bombelli (1572) è la chiave per cui $x = \sqrt[3]{2 + 11i} + \sqrt[3]{2 - 11i} = (2 + i) + (2 - i) = 4$ — soluzione reale dell'equazione $x^3 = 15x + 4$. \end{enumerate} \end{eserciziobox} % ============================================================ \section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:nc-001-10-riepilogo-del-capitolo} % ============================================================ \begin{riepilogo} \begin{itemize} \item \emph{Insufficienza dei reali}: $x^2 = -1$ non ha soluzioni in $\R$ (un quadrato reale è sempre $\geq 0$). \item \emph{Unità immaginaria}: $i$ definita da $i^2 = -1$. Potenze cicliche di periodo $4$: \[ i^0 = 1,\ i^1 = i,\ i^2 = -1,\ i^3 = -i,\ \ldots \] \item \emph{Forma algebrica}: $z = a + ib$ con $a, b \in \R$. $a = \mathrm{Re}(z)$, $b = \mathrm{Im}(z)$. \item \emph{Insieme}: $\C = \{a + ib : a, b \in \R\}$. Vale $\R \subset \C$ (i reali sono i complessi con $b = 0$). \item \emph{Operazioni}: \begin{itemize} \item $(a+ib) \pm (c+id) = (a\pm c) + i(b\pm d)$; \item $(a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)$; \item per dividere: moltiplicare numeratore e denominatore per il \emph{coniugato} del denominatore. \end{itemize} \item \emph{Coniugato}: $\bar z = a - ib$. Proprietà: \begin{itemize} \item $z\cdot \bar z = a^2 + b^2 = |z|^2$ (sempre reale $\geq 0$); \item $\overline{\bar z} = z$; $\overline{z+w} = \bar z + \bar w$; $\overline{zw} = \bar z\cdot \bar w$; \item $z = \bar z \iff z \in \R$. \end{itemize} \item \emph{Modulo}: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Proprietà: \begin{itemize} \item $|z| \geq 0$, $|z|=0 \iff z=0$; \item $|zw| = |z||w|$; \item $|z + w| \leq |z| + |w|$ (disuguaglianza triangolare). \end{itemize} \item \emph{Piano di Gauss}: $z = a + ib \mapsto (a, b)$. L'asse $x$ è l'\emph{asse reale}, l'asse $y$ l'\emph{asse immaginario}. Il modulo $|z|$ è la distanza dall'origine; $\bar z$ è il riflesso di $z$ rispetto all'asse reale; $-z$ è il simmetrico rispetto all'origine. \item \emph{Equazioni di secondo grado}: in $\C$ ogni equazione $az^2 + bz + c = 0$ ha sempre $2$ soluzioni (anche se $\Delta < 0$): $z = (-b \pm \sqrt{\Delta})/(2a)$, con $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|}$ se $\Delta < 0$. \item \emph{Teorema fondamentale dell'algebra} (Gauss 1799): ogni polinomio di grado $n$ in $\C$ ha esattamente $n$ radici (con molteplicità). \item \emph{Prossimi passi}: \emph{forma trigonometrica ed esponenziale} (\ref{cap:NC-002}); \emph{formula di de Moivre e radici $n$-esime} (\ref{cap:NC-003}). \end{itemize} \end{riepilogo}