\chapter{Distribuzioni di frequenza assolute, relative, percentuali}\label{cap:PS-001} \citazioneinizio{Il pensiero statistico sarà un giorno necessario per la cittadinanza efficiente come la capacità di leggere e scrivere.}{H.G. Wells} \noindent Apriamo con questo capitolo la sezione dedicata alla \emph{statistica descrittiva}, la disciplina che si occupa di raccogliere, organizzare, riassumere e rappresentare dati. A differenza della matematica ``deduttiva'' che abbiamo finora praticato — dove a partire da definizioni e assiomi si ottengono teoremi — la statistica è una disciplina induttiva: parte dall'osservazione del mondo reale e cerca di estrarre informazione, regolarità e tendenze da insiemi di dati. L'epigrafe di Wells, scritta più di un secolo fa, è oggi più attuale che mai: viviamo immersi in dati (sondaggi, classifiche, indici economici, statistiche sanitarie, dati climatici) e la capacità di leggerli criticamente, riconoscendone limiti e potenzialità, è un'abilità democratica fondamentale. Comincia con i mattoni più elementari: il concetto di \emph{carattere}, la nozione di \emph{frequenza} nelle sue varie forme (assoluta, relativa, percentuale, cumulata), e le \emph{tabelle di frequenza}, lo strumento con cui si organizza una qualsiasi rilevazione statistica. % ===================================================================== \section{Carattere e modalità}\label{sec:PS-001-01} Ogni indagine statistica parte dalla scelta di una \emph{popolazione} e di un \emph{carattere} di interesse. \begin{definizione}[Popolazione, unità statistica, carattere] La \textbf{popolazione} è l'insieme di tutti gli elementi su cui si svolge l'indagine; ogni elemento della popolazione si chiama \textbf{unità statistica}. Il \textbf{carattere} (o \emph{variabile statistica}) è la proprietà che si rileva su ciascuna unità statistica. I valori che il carattere può assumere si chiamano \textbf{modalità}. \end{definizione} \noindent Esempi: \begin{itemize} \item Popolazione: gli studenti di una classe. Carattere: colore preferito. Modalità: rosso, blu, verde, giallo, \ldots \item Popolazione: i comuni del Piemonte. Carattere: numero di abitanti. Modalità: $\num{1234}$, $\num{45678}$, $\num{123}$, \ldots (un numero per ciascun comune). \item Popolazione: i pazienti di un ospedale. Carattere: temperatura corporea. Modalità: $\SI{36.4}{\celsius}$, $\SI{37.2}{\celsius}$, $\SI{38.0}{\celsius}$, \ldots \item Popolazione: gli automobili che attraversano un casello in un giorno. Carattere: marca. Modalità: Fiat, Volkswagen, Toyota, \ldots \end{itemize} \subsection*{Caratteri qualitativi e quantitativi} \begin{definizione}[Tipi di caratteri] Un carattere si dice: \begin{itemize} \item \textbf{qualitativo} se le sue modalità sono descritte da \emph{parole} o \emph{etichette} (colore, marca, professione, sesso, \ldots); \item \textbf{quantitativo} se le sue modalità sono \emph{numeri} che esprimono una misura o un conteggio (età, peso, voto, numero di figli, \ldots). \end{itemize} I caratteri quantitativi si dividono ulteriormente in: \begin{itemize} \item \textbf{discreti} se assumono solo valori isolati, tipicamente interi (numero di figli, numero di chiamate ricevute, voti in decimi, \ldots); \item \textbf{continui} se possono assumere qualsiasi valore in un intervallo della retta reale (altezza, peso, temperatura, tempo, \ldots). \end{itemize} \end{definizione} \noindent I caratteri qualitativi a loro volta si distinguono in \emph{sconnessi} (le modalità non hanno un ordine naturale: colore degli occhi, marca dell'auto) e \emph{ordinati} (le modalità ammettono un ordinamento: giudizio scolastico ``insufficiente / sufficiente / buono / ottimo''; titolo di studio). Sapere a quale tipo appartiene il carattere è importante perché determina quali operazioni statistiche sono lecite: ad esempio, calcolare la ``media'' dei colori preferiti non ha senso, ma calcolare la media delle altezze sì. \begin{attenzione} \textbf{Numero e quantità non sono la stessa cosa.} Anche se le modalità di un carattere sono numeriche, ciò non basta a renderlo ``quantitativo'' in senso pieno. Ad esempio, i numeri di maglia dei giocatori di una squadra di calcio sono numeri, ma fungono solo da \emph{etichette}: non ha senso calcolare la media dei numeri di maglia, né dire che il giocatore con il numero $20$ ``vale il doppio'' del giocatore con il numero $10$. Caratteri di questo tipo si dicono \emph{nominali} e vanno trattati come qualitativi anche se i loro valori si scrivono con cifre. \end{attenzione} % ===================================================================== \section{Frequenza assoluta}\label{sec:PS-001-02} Quando si raccolgono i dati di un'indagine, la prima operazione è contare quante unità statistiche presentano ciascuna modalità del carattere. \begin{definizione}[Frequenza assoluta] Sia $X$ un carattere rilevato su una popolazione di $N$ unità statistiche. La \textbf{frequenza assoluta} della modalità $x_i$, denotata $f_i$, è il numero di unità statistiche della popolazione che presentano la modalità $x_i$. \end{definizione} \noindent Se le modalità distinte del carattere sono $k$, denotate $x_1, x_2, \dots, x_k$, le frequenze assolute corrispondenti $f_1, f_2, \dots, f_k$ soddisfano la relazione fondamentale \[ \sum_{i=1}^{k} f_i = f_1 + f_2 + \dots + f_k = N , \] poiché ogni unità statistica appartiene a una e una sola modalità. \begin{esempio}[Frequenza assoluta del colore preferito] In una classe di $\num{24}$ studenti si chiede a ciascuno qual è il colore preferito fra cinque opzioni proposte. Le risposte raccolte sono riportate nella seguente tabella di frequenza: \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{lc} \toprule \textbf{Colore} $x_i$ & \textbf{Frequenza assoluta} $f_i$ \\ \midrule Rosso & $7$ \\ Blu & $6$ \\ Verde & $5$ \\ Giallo & $4$ \\ Nero & $2$ \\ \midrule \textbf{Totale} & $\mathbf{24}$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \smallskip Verifica: la somma delle frequenze, $7 + 6 + 5 + 4 + 2 = 24$, è pari al totale degli studenti, in accordo con la relazione $\sum f_i = N$. \end{esempio} % ===================================================================== \section{Frequenza relativa e percentuale}\label{sec:PS-001-03} Le frequenze assolute danno una prima fotografia dei dati, ma non si prestano bene al confronto fra rilevazioni di dimensioni diverse: dire che $\num{15}$ studenti preferiscono il rosso è un dato molto diverso a seconda che la classe sia di $\num{20}$ o di $\num{200}$ studenti. Si introducono perciò le \emph{frequenze relative}, che esprimono la quota di unità statistiche con una data modalità rispetto al totale. \begin{definizione}[Frequenza relativa] La \textbf{frequenza relativa} della modalità $x_i$, denotata $\phi_i$ (o $f_i^{\text{rel}}$), è il rapporto fra la frequenza assoluta $f_i$ e il totale $N$: \[ \phi_i = \frac{f_i}{N} . \] \end{definizione} \noindent Le frequenze relative godono di tre proprietà fondamentali: \begin{enumerate} \item sono \emph{numeri compresi fra $0$ e $1$}: $0 \leq \phi_i \leq 1$; \item \emph{sommano a $1$}: $\sum_{i=1}^{k} \phi_i = 1$; \item sono \emph{adimensionali} (puri rapporti). \end{enumerate} \subsection*{Frequenza percentuale} Spesso si preferisce esprimere le frequenze relative in forma \emph{percentuale}, moltiplicandole per $100$. La frequenza percentuale ha il vantaggio di essere immediatamente comprensibile (``$\num{25}$ su $\num{100}$'') ed è la forma con cui ci imbattiamo più spesso nella vita quotidiana. \begin{definizione}[Frequenza percentuale] La \textbf{frequenza percentuale} della modalità $x_i$, denotata $\phi_i^{\%}$, è \[ \phi_i^{\%} = \phi_i \cdot 100 = \frac{f_i}{N} \cdot 100 \quad [\%] . \] \end{definizione} \noindent Le frequenze percentuali sommano a $\num{100}$, cioè $\sum \phi_i^{\%} = \SI{100}{\percent}$. Si noti che la frequenza percentuale è il modo abituale di esprimere risultati di sondaggi, distribuzioni in popolazioni, ecc.\ : ``il $\SI{45}{\percent}$ degli intervistati'', ``il tasso di disoccupazione è del $\SI{8.2}{\percent}$'', e così via. \begin{esempio}[Frequenza relativa e percentuale] Riprendiamo l'esempio del colore preferito. Costruiamo la tabella estesa con frequenze relative e percentuali. \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{lccc} \toprule \textbf{Colore} $x_i$ & \textbf{Assoluta} $f_i$ & \textbf{Relativa} $\phi_i$ & \textbf{Percentuale} $\phi_i^{\%}$ \\ \midrule Rosso & $7$ & $7/24 \approx \num{0.292}$ & $\approx \SI{29.2}{\percent}$ \\ Blu & $6$ & $6/24 = \num{0.250}$ & $\SI{25.0}{\percent}$ \\ Verde & $5$ & $5/24 \approx \num{0.208}$ & $\approx \SI{20.8}{\percent}$ \\ Giallo & $4$ & $4/24 \approx \num{0.167}$ & $\approx \SI{16.7}{\percent}$ \\ Nero & $2$ & $2/24 \approx \num{0.083}$ & $\approx \SI{8.3}{\percent}$ \\ \midrule \textbf{Totale} & $\mathbf{24}$ & $\mathbf{1.000}$ & $\mathbf{\SI{100.0}{\percent}}$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \smallskip \noindent\textbf{Verifica.} Le frequenze relative sommano a $1$ (a meno di errori di arrotondamento sulle terze decimali), e le percentuali sommano a $\SI{100}{\percent}$. \end{esempio} \begin{attenzione} \textbf{Arrotondamenti.} Sommando frequenze relative o percentuali arrotondate, il totale può essere leggermente diverso da $1$ (o da $\SI{100}{\percent}$). Nell'esempio sopra, $\num{0.292} + \num{0.250} + \num{0.208} + \num{0.167} + \num{0.083} = \num{1.000}$ è esatto; ma con arrotondamenti più aggressivi si possono ottenere $\num{99.9}$ o $\num{100.1}$. Si tratta di una conseguenza inevitabile dell'arrotondamento: la somma delle frequenze \emph{non arrotondate} è sempre esattamente $1$, ma le approssimazioni introducono piccoli scarti che è opportuno segnalare quando significativi. \end{attenzione} % ===================================================================== \section{Frequenza cumulata}\label{sec:PS-001-04} Per i caratteri \emph{quantitativi} o \emph{qualitativi ordinati} (cioè quando le modalità ammettono un ordinamento naturale) è utile considerare anche le \emph{frequenze cumulate}: si tratta delle frequenze che ``si accumulano'' procedendo da una modalità all'altra in ordine crescente. \begin{definizione}[Frequenze cumulate] Siano $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ le modalità di un carattere ordinato, con frequenze assolute $f_1, f_2, \dots, f_k$. Si definiscono: \begin{itemize} \item \textbf{frequenza cumulata assoluta}: $F_i = f_1 + f_2 + \dots + f_i = \sum_{j=1}^{i} f_j$; \item \textbf{frequenza cumulata relativa}: $\Phi_i = \phi_1 + \phi_2 + \dots + \phi_i = \sum_{j=1}^{i} \phi_j$; \item \textbf{frequenza cumulata percentuale}: $\Phi_i^{\%} = \Phi_i \cdot 100$. \end{itemize} \end{definizione} \noindent L'utilità delle frequenze cumulate sta nel rispondere a domande del tipo ``quante unità statistiche hanno una modalità \emph{minore o uguale} a $x_i$?''. Ad esempio: ``quanti studenti hanno un voto sufficiente o inferiore?'', ``quale percentuale di intervistati ha meno di $\num{30}$ anni?''. L'ultima frequenza cumulata $F_k$ coincide sempre con il totale $N$ (perché entro l'ultima modalità sono accumulate \emph{tutte} le unità); analogamente, $\Phi_k = 1$ e $\Phi_k^{\%} = \SI{100}{\percent}$. \begin{esempio}[Frequenze cumulate dei voti] In una classe di $\num{25}$ studenti si rilevano i voti in matematica del primo compito, espressi in decimi. La tabella seguente riporta frequenze assolute, relative, percentuali, e le rispettive cumulate. \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{cccccc} \toprule \textbf{Voto} & $f_i$ & $\phi_i$ & $\phi_i^{\%}$ & $F_i$ & $\Phi_i^{\%}$ \\ \midrule $4$ & $2$ & $\num{0.08}$ & $\SI{8}{\percent}$ & $2$ & $\SI{8}{\percent}$ \\ $5$ & $4$ & $\num{0.16}$ & $\SI{16}{\percent}$ & $6$ & $\SI{24}{\percent}$ \\ $6$ & $7$ & $\num{0.28}$ & $\SI{28}{\percent}$ & $13$ & $\SI{52}{\percent}$ \\ $7$ & $6$ & $\num{0.24}$ & $\SI{24}{\percent}$ & $19$ & $\SI{76}{\percent}$ \\ $8$ & $4$ & $\num{0.16}$ & $\SI{16}{\percent}$ & $23$ & $\SI{92}{\percent}$ \\ $9$ & $2$ & $\num{0.08}$ & $\SI{8}{\percent}$ & $25$ & $\SI{100}{\percent}$ \\ \midrule \textbf{Totale} & $\mathbf{25}$ & $\mathbf{1.00}$ & $\mathbf{\SI{100}{\percent}}$ & --- & --- \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \smallskip \noindent\textbf{Lettura della tabella.} \begin{itemize} \item $F_2 = 6$ significa che $6$ studenti hanno preso un voto $\leq 5$. \item $\Phi_3^{\%} = \SI{52}{\percent}$ significa che il $\SI{52}{\percent}$ degli studenti ha riportato la sufficienza o un voto inferiore. \item $\num{100}\% - \Phi_3^{\%} = \SI{48}{\percent}$ è la percentuale degli studenti che ha riportato un voto strettamente maggiore di $6$. \end{itemize} \end{esempio} % ===================================================================== \section{Tabelle di frequenza}\label{sec:PS-001-05} Quanto visto negli esempi è in pratica la \emph{tabella di frequenza}, lo strumento standard con cui si organizzano i dati di una rilevazione. \begin{procedura}[Costruzione di una tabella di frequenza] \begin{enumerate} \item \textbf{Identifica il carattere} oggetto della rilevazione e raccogli i dati grezzi (lista non ordinata delle modalità osservate per ogni unità statistica). \item \textbf{Elenca le modalità distinte} del carattere; se è qualitativo ordinato o quantitativo, mettile in ordine. \item \textbf{Conta le frequenze assolute} $f_i$ per ciascuna modalità (es. usando una colonna di ``barrette'' per il conteggio manuale). \item \textbf{Calcola il totale} $N = \sum f_i$ e verifica che coincida con il numero di unità statistiche rilevate. \item \textbf{Calcola le frequenze relative} $\phi_i = f_i / N$ e \textbf{percentuali} $\phi_i^{\%} = \phi_i \cdot 100$. \item Se il carattere è ordinato, \textbf{aggiungi le frequenze cumulate} $F_i$ e $\Phi_i^{\%}$. \item \textbf{Verifica le somme}: $\sum f_i = N$, $\sum \phi_i = 1$, $\sum \phi_i^{\%} = \SI{100}{\percent}$, $F_k = N$, $\Phi_k^{\%} = \SI{100}{\percent}$. \end{enumerate} \end{procedura} \subsection*{Caratteri continui: raggruppamento in classi} Quando il carattere è quantitativo \emph{continuo}, oppure discreto ma con un numero elevato di modalità distinte, la tabella di frequenza con tutte le modalità singole sarebbe ingestibile e poco informativa. Si raggruppano allora i valori in \textbf{classi}: intervalli consecutivi della retta numerica. \begin{definizione}[Distribuzione per classi] Una \textbf{distribuzione per classi} è una tabella di frequenza in cui le modalità sono \emph{intervalli} (classi), tipicamente di ampiezza costante. Per ogni classe si riportano la frequenza assoluta, relativa, percentuale e, se opportuno, le rispettive cumulate. \end{definizione} \noindent Per costruire una distribuzione per classi: \begin{itemize} \item si fissa il numero di classi $k$ (in genere fra $5$ e $15$, in funzione della numerosità della popolazione); \item si calcola l'\emph{ampiezza} $h$ di ciascuna classe come $h = \dfrac{x_{\max} - x_{\min}}{k}$; \item si definiscono gli estremi delle classi (in modo che si tocchino senza sovrapporsi); \item si conta quante unità statistiche cadono in ciascuna classe. \end{itemize} Una convenzione frequente è di considerare le classi del tipo $[x_i, x_{i+1})$: l'estremo inferiore è incluso, quello superiore escluso. In questo modo ogni unità statistica appartiene a una sola classe, senza ambiguità ai punti di confine. \begin{esempio}[Distribuzione per classi dell'altezza] Si rilevano le altezze in centimetri di $\num{30}$ studenti, ottenendo valori da $\SI{152}{\centi\meter}$ a $\SI{188}{\centi\meter}$. Decidiamo di organizzare i dati in $6$ classi di ampiezza $\SI{6}{\centi\meter}$: \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{cccc} \toprule \textbf{Classe} (cm) & $f_i$ & $\phi_i^{\%}$ & $F_i$ \\ \midrule $[152, 158)$ & $3$ & $\SI{10.0}{\percent}$ & $3$ \\ $[158, 164)$ & $6$ & $\SI{20.0}{\percent}$ & $9$ \\ $[164, 170)$ & $8$ & $\approx \SI{26.7}{\percent}$ & $17$ \\ $[170, 176)$ & $7$ & $\approx \SI{23.3}{\percent}$ & $24$ \\ $[176, 182)$ & $4$ & $\approx \SI{13.3}{\percent}$ & $28$ \\ $[182, 188]$ & $2$ & $\approx \SI{6.7}{\percent}$ & $30$ \\ \midrule \textbf{Totale} & $\mathbf{30}$ & $\mathbf{\SI{100.0}{\percent}}$ & --- \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \smallskip \noindent\textbf{Lettura della tabella.} \begin{itemize} \item La classe più ``popolosa'' è $[164, 170)$, con $8$ studenti e una frequenza percentuale del $\SI{26.7}{\percent}$. \item L'ultima classe è scritta come $[182, 188]$ (entrambi gli estremi inclusi) per non escludere l'altezza massima osservata. \item Dalla cumulata si legge che $\num{17}$ studenti (il $\SI{56.7}{\percent}$) hanno altezza inferiore a $\SI{170}{\centi\meter}$. \end{itemize} \end{esempio} \begin{nota} \textbf{Quante classi scegliere?} Non esiste una regola unica. Tradizionalmente si usano regole empiriche: la \emph{regola di Sturges}, $k = 1 + \log_2 N \approx 1 + \num{3.322} \cdot \log_{10} N$, suggerisce ad esempio $k = 6$ per $N = 30$, $k = 8$ per $N = 100$, $k = 11$ per $N = 1000$. Più importante della regola precisa è il principio: troppe poche classi nascondono la struttura dei dati, troppe (specie con $N$ piccolo) la frammentano in modo poco informativo. \end{nota} % ===================================================================== \section*{Esempi svolti}\label{sec:ps-001-06-esempi-svolti} \begin{esempio}[Dati grezzi a tabella di frequenza] Si chiede a $\num{20}$ persone quanti libri hanno letto nell'ultimo anno. Le risposte raccolte sono: \[ 2, 5, 0, 3, 1, 4, 2, 6, 0, 2, 1, 3, 4, 2, 0, 5, 1, 2, 3, 6 . \] Costruiamo la tabella di frequenza. \smallskip \noindent\textbf{Conteggio delle modalità distinte.} \begin{center} \begin{tabular}{ccccccc} \toprule \textbf{Libri letti} $x_i$ & $f_i$ & $\phi_i$ & $\phi_i^{\%}$ & $F_i$ & $\Phi_i^{\%}$ \\ \midrule $0$ & $3$ & $\num{0.15}$ & $\SI{15}{\percent}$ & $3$ & $\SI{15}{\percent}$ \\ $1$ & $3$ & $\num{0.15}$ & $\SI{15}{\percent}$ & $6$ & $\SI{30}{\percent}$ \\ $2$ & $5$ & $\num{0.25}$ & $\SI{25}{\percent}$ & $11$ & $\SI{55}{\percent}$ \\ $3$ & $3$ & $\num{0.15}$ & $\SI{15}{\percent}$ & $14$ & $\SI{70}{\percent}$ \\ $4$ & $2$ & $\num{0.10}$ & $\SI{10}{\percent}$ & $16$ & $\SI{80}{\percent}$ \\ $5$ & $2$ & $\num{0.10}$ & $\SI{10}{\percent}$ & $18$ & $\SI{90}{\percent}$ \\ $6$ & $2$ & $\num{0.10}$ & $\SI{10}{\percent}$ & $20$ & $\SI{100}{\percent}$ \\ \midrule \textbf{Totale} & $\mathbf{20}$ & $\mathbf{1.00}$ & $\mathbf{\SI{100}{\percent}}$ & --- & --- \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \smallskip \noindent\textbf{Lettura.} \begin{itemize} \item La modalità più frequente è $\num{2}$ libri (cinque persone, il $\SI{25}{\percent}$). \item Il $\SI{55}{\percent}$ degli intervistati ha letto al più $\num{2}$ libri. \item Il $\SI{30}{\percent}$ degli intervistati ha letto $\num{4}$ o più libri (è il complemento a $\SI{100}{\percent}$ di $\Phi_4^{\%} = \SI{70}{\percent}$). \end{itemize} \end{esempio} \begin{esempio}[Confronto fra rilevazioni di dimensione diversa] In una scuola, i questionari sul giudizio dell'orario scolastico hanno dato i seguenti risultati: \begin{center} \begin{tabular}{lcc} \toprule \textbf{Giudizio} & \textbf{Classe A} ($N_A = 25$) & \textbf{Classe B} ($N_B = 40$) \\ \midrule Insoddisfacente & $4$ & $8$ \\ Sufficiente & $8$ & $14$ \\ Buono & $9$ & $12$ \\ Ottimo & $4$ & $6$ \\ \midrule \textbf{Totale} & $\mathbf{25}$ & $\mathbf{40}$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \smallskip A prima vista la classe B sembra avere più giudizi positivi della classe A. Ma le due classi hanno numerosità diversa: per confrontarle correttamente occorre passare alle frequenze percentuali. \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{lcc} \toprule \textbf{Giudizio} & \textbf{Classe A} (\%) & \textbf{Classe B} (\%) \\ \midrule Insoddisfacente & $\SI{16.0}{\percent}$ & $\SI{20.0}{\percent}$ \\ Sufficiente & $\SI{32.0}{\percent}$ & $\SI{35.0}{\percent}$ \\ Buono & $\SI{36.0}{\percent}$ & $\SI{30.0}{\percent}$ \\ Ottimo & $\SI{16.0}{\percent}$ & $\SI{15.0}{\percent}$ \\ \midrule \textbf{Totale} & $\mathbf{\SI{100}{\percent}}$ & $\mathbf{\SI{100}{\percent}}$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \smallskip \noindent\textbf{Conclusione.} La classe A ha in realtà una distribuzione di giudizi leggermente più positiva della classe B (sommando ``buono'' e ``ottimo'': $\SI{52}{\percent}$ in A contro $\SI{45}{\percent}$ in B). L'apparente vantaggio della classe B nei dati assoluti era dovuto solo alla sua numerosità maggiore. È un esempio paradigmatico di come la frequenza percentuale sia indispensabile per confronti corretti. \end{esempio} % ===================================================================== \begin{eserciziobox} \begin{enumerate} \item Per ciascuno dei seguenti caratteri, indica se è qualitativo (sconnesso o ordinato) o quantitativo (discreto o continuo), motivando. \begin{enumerate} \item Colore degli occhi degli studenti di una classe. \item Numero di fratelli e sorelle. \item Lunghezza del piede in cm. \item Titolo di studio. \item Numero di scarpe (con misura intera). \item Tempo impiegato a percorrere $\SI{100}{\meter}$. \item Squadra di calcio preferita. \item Voti di un'interrogazione (espressi in decimi). \end{enumerate} \item In una classe di $\num{20}$ studenti, i mezzi di trasporto usati per arrivare a scuola sono: $\num{8}$ a piedi, $\num{6}$ in autobus, $\num{4}$ in macchina con un genitore, $\num{2}$ in bicicletta. \begin{enumerate} \item Costruisci la tabella con frequenze assolute, relative e percentuali. \item Quale modalità ha la frequenza massima? \end{enumerate} \item In una rilevazione su $\num{50}$ persone, si registra il numero di animali domestici posseduti. I dati grezzi sono: \[ 0,1,2,0,1,1,3,0,2,1,0,1,2,1,0,2,1,0,1,3,0,2,1,0,1,1,2,0,1,2,0,1,1,2,0,1,3,1,0,2,1,0,1,2,1,0,1,1,2,0 \] \begin{enumerate} \item Costruisci la tabella di frequenza completa (assoluta, relativa, percentuale, cumulate). \item Quale percentuale delle persone non possiede animali domestici? \item Quale percentuale possiede almeno $\num{2}$ animali? \end{enumerate} \item Vero o falso? Motiva la risposta. \begin{enumerate} \item La somma delle frequenze relative è sempre $\num{1}$. \item La frequenza percentuale è sempre un numero intero. \item La frequenza cumulata è ben definita per qualsiasi tipo di carattere. \item La frequenza cumulata dell'ultima modalità è sempre $N$. \item Due popolazioni di dimensione diversa con le stesse frequenze relative hanno le stesse frequenze assolute. \end{enumerate} \item I voti del compito di matematica in una classe di $\num{28}$ studenti sono distribuiti come segue: \begin{center} \begin{tabular}{ccccccc} \toprule Voto & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ \\ \midrule $f_i$ & $1$ & $3$ & $7$ & $10$ & $5$ & $2$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Quanti studenti hanno preso la sufficienza? \item Quale percentuale di studenti è insufficiente (voto $< 6$)? \item Quale percentuale ha preso un voto strettamente maggiore di $6$? \end{enumerate} \item In una rilevazione sul peso (in kg) di $\num{40}$ studenti, i valori variano da $\SI{45}{\kilogram}$ a $\SI{85}{\kilogram}$. Costruisci una distribuzione per classi con $5$ classi di ampiezza $\SI{8}{\kilogram}$, riempiendo la tabella con le frequenze (puoi inventare valori plausibili). \item Una distribuzione per classi presenta i seguenti dati: \begin{center} \begin{tabular}{cc} \toprule Classe & $f_i$ \\ \midrule $[0, 10)$ & $5$ \\ $[10, 20)$ & $12$ \\ $[20, 30)$ & $18$ \\ $[30, 40)$ & $10$ \\ $[40, 50]$ & $5$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Calcola $N$, le frequenze relative e percentuali. \item Calcola le frequenze cumulate assolute e percentuali. \item Quale percentuale di unità statistiche si trova al di sotto del valore $30$? \end{enumerate} \item In un'azienda di $\num{120}$ dipendenti, il $\SI{35}{\percent}$ ha una laurea, il $\SI{50}{\percent}$ ha un diploma e il restante ha la licenza media. Quanti dipendenti hanno ciascun titolo? \item In un sondaggio politico, su $\num{800}$ intervistati, il $\SI{42}{\percent}$ ha dichiarato di approvare l'operato del governo. Quante persone in valore assoluto hanno espresso l'approvazione? \item In una rilevazione le frequenze cumulate percentuali in un certo punto valgono $\Phi_i^{\%} = \SI{72}{\percent}$ e nel punto successivo $\Phi_{i+1}^{\%} = \SI{85}{\percent}$. Qual è la frequenza percentuale (non cumulata) della modalità $x_{i+1}$? \item Due classi di $\num{25}$ studenti ciascuna sostengono lo stesso test. I voti distribuiti sono: \begin{center} \begin{tabular}{lccccccc} \toprule & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ \\ \midrule Classe 1 & $2$ & $5$ & $8$ & $6$ & $3$ & $1$ & $0$ \\ Classe 2 & $0$ & $2$ & $6$ & $9$ & $5$ & $2$ & $1$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Calcola le percentuali di studenti che hanno preso la sufficienza in ciascuna classe. \item Quale classe ha avuto risultati globalmente migliori? \item Calcola le percentuali cumulate dei due gruppi e confrontale. \end{enumerate} \item Discuti criticamente la seguente affermazione: ``Il $\SI{90}{\percent}$ dei pazienti di un certo ospedale ha avuto un decorso favorevole''. Quali informazioni servirebbero per valutare se è un dato confortante o no? (Suggerimento: quante unità statistiche, quale popolazione, rispetto a quale benchmark.) \item Per ciascuno dei seguenti caratteri, suggerisci come raggrupperesti le modalità in classi: ampiezza adeguata, numero di classi. \begin{enumerate} \item Età dei membri di una popolazione (da $0$ a $100$ anni). \item Tempo (in minuti) impiegato a risolvere un problema (da $0$ a $\num{60}$). \item Punteggio in un test su $\num{100}$ punti (da $0$ a $\num{100}$). \end{enumerate} \end{enumerate} \end{eserciziobox} % ===================================================================== \begin{riepilogo} \begin{itemize} \item La \textbf{popolazione} è l'insieme delle unità su cui si svolge l'indagine; il \textbf{carattere} (o variabile) è la proprietà che si rileva. Le \textbf{modalità} sono i valori possibili. \item I caratteri si classificano in \textbf{qualitativi} (sconnessi o ordinati) e \textbf{quantitativi} (discreti o continui). \item La \textbf{frequenza assoluta} $f_i$ è il numero di unità con la modalità $x_i$; soddisfa $\sum f_i = N$. \item La \textbf{frequenza relativa} $\phi_i = f_i / N$ è il rapporto fra frequenza assoluta e totale; $0 \leq \phi_i \leq 1$ e $\sum \phi_i = 1$. \item La \textbf{frequenza percentuale} $\phi_i^{\%} = \phi_i \cdot 100$; $\sum \phi_i^{\%} = \SI{100}{\percent}$. \item Per caratteri ordinati si definiscono le \textbf{frequenze cumulate}: $F_i$ (assoluta), $\Phi_i$ (relativa), $\Phi_i^{\%}$ (percentuale). Si calcolano sommando le frequenze fino alla $i$-esima modalità. \item Per caratteri continui (o quasi-continui), si raggruppano i valori in \textbf{classi} (intervalli) di ampiezza tipicamente costante. Le tabelle di frequenza per classi sono lo strumento più diffuso in statistica descrittiva. \item \textbf{Frequenze relative e percentuali} sono indispensabili per confrontare popolazioni di dimensioni diverse: le frequenze assolute, da sole, sono spesso fuorvianti. \end{itemize} \end{riepilogo}