\chapter{Indici di posizione: media, mediana, moda}\label{cap:PS-002} \citazioneinizio{In medio stat virtus.}{Aristotele (sentenza latina tradizionale)} \noindent Una tabella di frequenze fornisce una descrizione completa di un insieme di dati, ma è spesso ingombrante: davanti a una distribuzione di mille misurazioni, si vuole un \emph{singolo numero} che ne sintetizzi il comportamento. Gli \textbf{indici di posizione} (o \emph{di tendenza centrale}) rispondono a questa esigenza: rappresentano il ``valore tipico'' della distribuzione, attorno al quale i dati si concentrano. I tre indici classici sono la \textbf{media}, la \textbf{mediana} e la \textbf{moda}. Ciascuno cattura un'idea diversa di ``centro'': la media è il \emph{baricentro} aritmetico, la mediana è il \emph{valore centrale} per posizione, la moda è il valore \emph{più frequente}. Sono indici fra loro indipendenti: per uno stesso insieme di dati possono assumere valori molto diversi, e la scelta dell'indice più appropriato dipende dal tipo di carattere e dalla forma della distribuzione. La sentenza aristotelica posta in apertura — la virtù sta nel mezzo — ne è una traduzione filosofica: identificare il ``mezzo giusto'' è il problema centrale di questo capitolo. % ===================================================================== \section{Media aritmetica}\label{sec:PS-002-01} L'indice più noto e usato è la \emph{media aritmetica}, che corrisponde all'idea intuitiva di ``ripartire equamente'' una grandezza fra tutte le unità statistiche. \begin{definizione}[Media aritmetica] Siano $x_1, x_2, \dots, x_N$ i valori di un carattere quantitativo rilevati su $N$ unità statistiche. Si chiama \textbf{media aritmetica} il numero \[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i . \] \end{definizione} \noindent Quando i dati sono organizzati in una distribuzione di frequenza con $k$ modalità distinte $x_1, x_2, \dots, x_k$ di frequenza assoluta $f_1, f_2, \dots, f_k$, la formula si riscrive in modo equivalente come \[ \bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} f_i \cdot x_i , \qquad \text{dove } N = \sum_{i=1}^{k} f_i . \] Questa forma è particolarmente comoda quando i dati provengono da una tabella di frequenza, perché evita di sommare uno per uno i singoli valori. \subsection*{Proprietà della media} La media aritmetica gode di alcune proprietà importanti, che la rendono lo strumento più usato in statistica. \begin{enumerate} \item \textbf{Compresa fra minimo e massimo}: $x_{\min} \leq \bar{x} \leq x_{\max}$, con uguaglianza se e solo se tutti i valori sono uguali. \item \textbf{Somma degli scarti nulla}: la somma degli scarti dei dati rispetto alla media è zero, \[ \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x}) = 0 . \] Gli scarti positivi e quelli negativi si compensano esattamente: la media è il ``baricentro'' della distribuzione. \item \textbf{Sensibilità ai valori estremi}: la media può essere fortemente influenzata da pochi valori molto grandi o molto piccoli (\emph{outlier}). È una proprietà che la rende a volte poco rappresentativa. \end{enumerate} \begin{esempio}[Verifica della proprietà degli scarti nulli] Sui valori $\num{4}, \num{6}, \num{8}, \num{10}, \num{12}$ la media è \[ \bar{x} = \frac{4 + 6 + 8 + 10 + 12}{5} = \frac{40}{5} = 8 . \] Gli scarti dalla media sono $-4, -2, 0, +2, +4$; sommandoli: \[ (-4) + (-2) + 0 + (+2) + (+4) = 0 . \checkmark \] \end{esempio} \begin{attenzione} \textbf{Outlier e media.} Considera la serie $\num{2}, \num{3}, \num{4}, \num{5}, \num{6}$: la media è $4$, un valore ``ragionevolmente al centro'' dei dati. Modifica ora un solo valore: $\num{2}, \num{3}, \num{4}, \num{5}, \num{96}$. La media diventa $\bar{x} = (2+3+4+5+96)/5 = 22$, un numero che \emph{nessuno} dei dati approssima bene. Un solo valore anomalo ha trascinato la media lontano dal grosso della distribuzione. Per questa ragione, in presenza di outlier o di distribuzioni fortemente asimmetriche, la media va usata con cautela; vedremo come la \emph{mediana} sia molto più \emph{robusta} in queste situazioni. \end{attenzione} % ===================================================================== \section{Media ponderata}\label{sec:PS-002-02} Talvolta i valori da mediare non hanno tutti la stessa ``importanza'': alcuni contano di più, altri di meno. È il caso tipico delle medie scolastiche in cui un voto del compito in classe pesa più di un voto di una verifica orale, o delle medie ponderate dei prezzi pesati per le quantità. \begin{definizione}[Media ponderata] Siano $x_1, x_2, \dots, x_k$ dei valori e $w_1, w_2, \dots, w_k$ dei numeri positivi detti \textbf{pesi}. Si chiama \textbf{media ponderata} il numero \[ \bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_k x_k}{w_1 + w_2 + \dots + w_k} = \frac{\sum_{i=1}^{k} w_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{k} w_i} . \] \end{definizione} \noindent La media ponderata si riduce alla media aritmetica nel caso particolare in cui tutti i pesi sono uguali. Inoltre, la media ``per distribuzione di frequenza'' che abbiamo visto nella sezione precedente, \[ \bar{x} = \frac{1}{N}\sum f_i x_i , \] è essa stessa una media ponderata: i pesi sono le frequenze assolute $f_i$, e la somma dei pesi è $N$. \begin{esempio}[Media ponderata dei voti] Uno studente ha sostenuto in matematica tre prove: un'interrogazione orale (voto $\num{7}$, peso $1$), un compito scritto (voto $\num{6}$, peso $2$) e un compito finale di recupero (voto $\num{8}$, peso $3$). Calcoliamo la media ponderata. \smallskip \noindent\textbf{Impostazione algebrica.} \[ \bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3}{w_1 + w_2 + w_3} = \frac{1 \cdot 7 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 8}{1 + 2 + 3} . \] \noindent\textbf{Calcolo.} \[ \bar{x}_w = \frac{7 + 12 + 24}{6} = \frac{43}{6} \approx \num{7.17} . \] \smallskip \noindent\textbf{Confronto con la media aritmetica semplice.} La media aritmetica (senza pesi) sarebbe \[ \bar{x} = \frac{7 + 6 + 8}{3} = \frac{21}{3} = 7 . \] La media ponderata è più alta perché il voto più alto ($\num{8}$) ha il peso maggiore. \end{esempio} \begin{esempio}[Media degli ordini di grandezza] Una scuola ha tre sezioni, con il seguente numero di studenti e voto medio in matematica: \begin{center} \begin{tabular}{lcc} \toprule Sezione & N. studenti & Voto medio \\ \midrule A & $20$ & $\num{6.5}$ \\ B & $25$ & $\num{7.2}$ \\ C & $15$ & $\num{6.0}$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} Calcoliamo il voto medio di matematica nell'intera scuola. \smallskip \noindent\textbf{Errore comune.} La media \emph{aritmetica} dei tre voti medi delle sezioni: \[ \frac{\num{6.5} + \num{7.2} + \num{6.0}}{3} \approx \num{6.57} \] sarebbe un calcolo \emph{sbagliato}: tratterebbe le tre sezioni come se avessero la stessa numerosità. \smallskip \noindent\textbf{Calcolo corretto: media ponderata.} I pesi sono le numerosità. \[ \bar{x}_w = \frac{20 \cdot \num{6.5} + 25 \cdot \num{7.2} + 15 \cdot \num{6.0}}{20 + 25 + 15} = \frac{130 + 180 + 90}{60} = \frac{400}{60} \approx \num{6.67} . \] \smallskip Il voto medio della scuola è $\bar{x}_w \approx \num{6.67}$, leggermente più alto della media semplice dei tre voti medi. La differenza nasce dal fatto che la sezione B, che ha il voto medio più alto, è anche la più numerosa. \end{esempio} % ===================================================================== \section{Mediana}\label{sec:PS-002-03} La media aritmetica ha lo svantaggio di essere sensibile ai valori estremi. La \emph{mediana} è un indice più \emph{robusto}: si basa sulla posizione dei dati ordinati, non sui loro valori. \begin{definizione}[Mediana] Sia $x_1, x_2, \dots, x_N$ un insieme di $N$ valori di un carattere quantitativo (o qualitativo ordinato), \emph{ordinati in modo crescente}. La \textbf{mediana} è il valore che divide la distribuzione ordinata in due metà di uguale numerosità: \begin{itemize} \item se $N$ è \emph{dispari}, la mediana è il valore di posto $\dfrac{N+1}{2}$: \[ \text{Med} = x_{(N+1)/2} . \] \item se $N$ è \emph{pari}, la mediana è la media aritmetica dei due valori centrali, di posto $N/2$ e $N/2 + 1$: \[ \text{Med} = \frac{x_{N/2} + x_{N/2 + 1}}{2} . \] \end{itemize} \end{definizione} \noindent La mediana si interpreta così: il $\SI{50}{\percent}$ dei dati ha valore $\leq \text{Med}$, e il $\SI{50}{\percent}$ ha valore $\geq \text{Med}$. È il ``valore centrale per posizione''. \subsection*{Robustezza della mediana} La proprietà che rende la mediana preziosa è la \textbf{robustezza}: variazioni anche grandi dei valori estremi non la modificano, purché non spostino l'ordinamento dei valori centrali. \begin{esempio}[Robustezza della mediana rispetto agli outlier] Consideriamo due serie: \begin{itemize} \item Serie A: $\num{2}, \num{3}, \num{4}, \num{5}, \num{6}$. Media $\bar{x} = 4$; mediana $\text{Med} = 4$ (terzo valore). \item Serie B: $\num{2}, \num{3}, \num{4}, \num{5}, \num{96}$. Media $\bar{x} = 22$; mediana $\text{Med} = 4$ (sempre il terzo valore!). \end{itemize} Sostituendo un singolo dato ``corretto'' ($\num{6}$) con uno fortemente anomalo ($\num{96}$), la media si è spostata di $\num{18}$ unità, ma la mediana è rimasta invariata. La mediana ha conservato il suo significato di ``valore centrale'', mentre la media è stata trascinata via dall'outlier. \end{esempio} \begin{esempio}[Mediana per $N$ pari] Calcoliamo la mediana dei valori $\num{3}, \num{7}, \num{2}, \num{8}, \num{5}, \num{10}$. \smallskip \noindent\textbf{Passo 1: ordinare i valori.} \[ \num{2}, \num{3}, \num{5}, \num{7}, \num{8}, \num{10} . \] \smallskip \noindent\textbf{Passo 2: $N = 6$ è pari}, i valori centrali sono di posto $N/2 = 3$ e $N/2 + 1 = 4$: cioè $\num{5}$ e $\num{7}$. \smallskip \noindent\textbf{Passo 3: media dei due centrali.} \[ \text{Med} = \frac{5 + 7}{2} = 6 . \] \end{esempio} \subsection*{Mediana per distribuzioni di frequenza} Quando i dati sono organizzati in una tabella di frequenza per modalità $x_1 < x_2 < \dots < x_k$, la mediana si trova individuando la modalità in corrispondenza della quale la \emph{frequenza cumulata} supera per la prima volta il $\SI{50}{\percent}$ (o il valore $N/2$ in termini assoluti). \begin{esempio}[Mediana dei voti] Riprendiamo l'esempio dei voti del \autoref{cap:PS-001}: $\num{25}$ studenti distribuiti come segue. \begin{center} \begin{tabular}{cccc} \toprule Voto $x_i$ & $f_i$ & $F_i$ & $\Phi_i^{\%}$ \\ \midrule $4$ & $2$ & $2$ & $\SI{8}{\percent}$ \\ $5$ & $4$ & $6$ & $\SI{24}{\percent}$ \\ $6$ & $7$ & $13$ & $\SI{52}{\percent}$ \\ $7$ & $6$ & $19$ & $\SI{76}{\percent}$ \\ $8$ & $4$ & $23$ & $\SI{92}{\percent}$ \\ $9$ & $2$ & $25$ & $\SI{100}{\percent}$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \smallskip $N = 25$ è dispari, dunque la mediana è il valore di posto $(N+1)/2 = 13$. Dalla colonna $F_i$ si vede che il $13$-esimo valore è un $\num{6}$ (entra nella cumulata che va da $7$ a $13$). Quindi $\text{Med} = 6$. \smallskip Equivalentemente: cerchiamo la modalità in corrispondenza della quale $\Phi_i^{\%}$ supera per la prima volta il $\SI{50}{\percent}$. È il voto $\num{6}$, con $\Phi_3^{\%} = \SI{52}{\percent}$. \end{esempio} % ===================================================================== \section{Moda}\label{sec:PS-002-04} L'indice più semplice da definire — anche se non sempre il più utile — è la \emph{moda}. \begin{definizione}[Moda] La \textbf{moda} di una distribuzione è la modalità con la \emph{frequenza massima}, cioè la modalità che si presenta più volte. \end{definizione} \noindent La moda è l'unico indice di posizione applicabile ai caratteri \emph{qualitativi sconnessi} (es. colore preferito, marca dell'auto): non avendo i valori un ordinamento naturale, non si può definire una mediana, né tantomeno una media. La moda invece esiste sempre, perché basta sapere quale modalità è più frequente. \subsection*{Distribuzioni unimodali, bimodali, multimodali} \begin{definizione}[Distribuzioni secondo la moda] Una distribuzione si dice: \begin{itemize} \item \textbf{unimodale} se ha un'unica moda; \item \textbf{bimodale} se ha due modalità con la stessa frequenza massima; \item \textbf{multimodale} se ha tre o più mode. \end{itemize} Se tutte le modalità hanno la stessa frequenza, la moda non è definita (o si dice che la distribuzione è \emph{amodale}). \end{definizione} \begin{esempio}[Moda di distribuzioni diverse] Consideriamo tre distribuzioni di colori preferiti: \begin{itemize} \item Distribuzione 1: rosso $\to 7$, blu $\to 6$, verde $\to 5$, giallo $\to 4$. Moda: \emph{rosso} (unimodale). \item Distribuzione 2: rosso $\to 6$, blu $\to 6$, verde $\to 5$, giallo $\to 3$. Mode: \emph{rosso} e \emph{blu} (bimodale). \item Distribuzione 3: rosso $\to 5$, blu $\to 5$, verde $\to 5$, giallo $\to 5$. Distribuzione \emph{amodale}. \end{itemize} \end{esempio} \subsection*{Classe modale} Per distribuzioni per classi (caratteri continui o discreti raggruppati), si parla di \textbf{classe modale}: è la classe con la frequenza assoluta maggiore. Bisogna fare attenzione al fatto che, se le classi hanno ampiezze diverse, la classe modale va individuata sulla base della \emph{densità di frequenza} ($f_i$ diviso ampiezza della classe), non della sola frequenza assoluta. % ===================================================================== \section{Confronto e scelta dell'indice appropriato}\label{sec:PS-002-05} I tre indici non sono intercambiabili: ciascuno cattura un aspetto diverso della distribuzione, e per uno stesso insieme di dati possono assumere valori molto diversi. La scelta dell'indice ``giusto'' dipende dal tipo di carattere e dalla forma della distribuzione. \subsection*{Quale indice per quale carattere} \begin{center} \begin{tabular}{lccc} \toprule \textbf{Tipo di carattere} & \textbf{Media} & \textbf{Mediana} & \textbf{Moda} \\ \midrule Qualitativo sconnesso & $\times$ & $\times$ & $\checkmark$ \\ Qualitativo ordinato & $\times$ & $\checkmark$ & $\checkmark$ \\ Quantitativo discreto & $\checkmark$ & $\checkmark$ & $\checkmark$ \\ Quantitativo continuo & $\checkmark$ & $\checkmark$ & $\checkmark$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \noindent Il simbolo $\checkmark$ indica che l'indice è ben definito; il simbolo $\times$ che non lo è. Per i caratteri qualitativi sconnessi (come ``colore preferito'') solo la moda è significativa. Per i caratteri ordinati ma non quantitativi (come ``giudizio'' espresso in ``insufficiente / sufficiente / buono / ottimo'') si possono usare mediana e moda, ma non la media (non avrebbe senso fare la ``somma'' di un ``insufficiente'' e di un ``buono''). Per i caratteri quantitativi tutti e tre gli indici sono definiti. \subsection*{Quando preferire la mediana alla media} Anche per caratteri quantitativi, la media non è sempre l'indice migliore. Si preferisce la mediana quando: \begin{itemize} \item la distribuzione contiene \textbf{valori anomali} (outlier); \item la distribuzione è \textbf{fortemente asimmetrica} (la ``coda'' di valori molto grandi o molto piccoli trascina la media); \item si vuole un valore \textbf{robusto} (poco sensibile a piccole variazioni dei dati estremi). \end{itemize} \noindent Un classico esempio è il \emph{reddito medio} di una popolazione: i pochi redditi altissimi alzano fortemente la media, che diventa poco rappresentativa del cittadino tipico. Per questo gli istituti di statistica pubblicano spesso, accanto al reddito medio, anche il \emph{reddito mediano}, che riflette meglio la condizione della metà della popolazione. \begin{esempio}[Reddito di una piccola popolazione] In un piccolo paese di $\num{10}$ abitanti, i redditi annui (in migliaia di euro) sono: \[ 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 500 . \] Calcoliamo media e mediana. \smallskip \noindent\textbf{Media.} \[ \bar{x} = \frac{18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 500}{10} = \frac{698}{10} = \num{69.8} . \] La media è $\num{69800}~€$ all'anno: un valore che \emph{nessuno} degli abitanti (eccetto il decimo) avvicina nemmeno. \smallskip \noindent\textbf{Mediana.} $N = 10$ pari, i valori centrali sono il quinto e il sesto: $22$ e $23$. \[ \text{Med} = \frac{22 + 23}{2} = \num{22.5} . \] La mediana è $\num{22500}~€$: descrive molto meglio la situazione tipica del paese. \smallskip \noindent\textbf{Conclusione.} Per descrivere ``quanto si vive bene'' in questo paese, la mediana è di gran lunga più informativa della media. La media, presa da sola, suggerirebbe una falsa idea di benessere diffuso. \end{esempio} \begin{figure}[htbp] \centering \begin{tikzpicture}[scale=0.9] % Asse orizzontale \draw[BLU, thick] (-0.5, 0) -- (12, 0); % Tick e valori \foreach \x/\label in {0/{$18$}, 1/{$19$}, 2/{$20$}, 3/{$21$}, 4/{$22$}, 5/{$23$}, 6/{$24$}, 7/{$25$}, 8/{$26$}, 11/{$500$}} { \filldraw[BLU] (\x, 0) circle (3pt); \node[font=\scriptsize, below] at (\x, -0.15) {\label}; } % Mediana \draw[VERDE, very thick, ->] (4.5, 1.6) -- (4.5, 0.25); \node[VERDE!70!black, above, font=\small] at (4.5, 1.6) {Mediana $= \num{22.5}$}; % Media \draw[ROSSO, very thick, ->] (6.98, 0.7) -- (6.98, 0.10); \node[ROSSO!70!black, above, font=\small] at (6.98, 0.7) {Media $= \num{69.8}$}; % Indicazione outlier \draw[ARANCIO!80!black, thick, decorate, decoration={brace, amplitude=8pt, mirror}] (10.5, -0.6) -- (11.5, -0.6); \node[ARANCIO!80!black, font=\small, below=10pt] at (11, -0.65) {outlier}; \end{tikzpicture} \caption{Distribuzione dei redditi nel piccolo paese dell'esempio. La mediana ($\num{22.5}$) si colloca in mezzo al ``grosso'' dei valori, mentre la media ($\num{69.8}$) è trascinata fortemente dal singolo valore anomalo ($\num{500}$), finendo molto lontano da qualunque dato reale.} \label{fig:PS-002-mediana-media} \end{figure} \subsection*{Quando preferire la moda} La moda è l'indice di scelta quando: \begin{itemize} \item il carattere è \textbf{qualitativo sconnesso} (è l'unico indice applicabile); \item si è interessati al \textbf{valore più tipico}, indipendentemente dalla forma globale della distribuzione (es.\ ``qual è il colore più venduto'', ``qual è il numero di scarpa più richiesto''); \item la distribuzione è \textbf{discreta} con molti valori uguali o quasi. \end{itemize} \subsection*{Forma della distribuzione: simmetrica vs asimmetrica} \begin{itemize} \item In una \textbf{distribuzione simmetrica unimodale}, media, mediana e moda coincidono (caso paradigmatico: la distribuzione \emph{normale}, che vedremo nel \autoref{cap:PS-015}). \item In una distribuzione \textbf{asimmetrica positiva} (coda a destra), tipicamente si ha $\text{Mo} < \text{Med} < \bar{x}$. \item In una distribuzione \textbf{asimmetrica negativa} (coda a sinistra), tipicamente si ha $\bar{x} < \text{Med} < \text{Mo}$. \end{itemize} Sapere la posizione relativa di media, mediana e moda è già una prima informazione sulla forma della distribuzione, prima ancora di disegnarne un grafico. % ===================================================================== \section*{Esempi svolti}\label{sec:ps-002-06-esempi-svolti} \begin{esempio}[Tutti e tre gli indici per una distribuzione di voti] Calcoliamo media, mediana e moda della distribuzione dei voti del \autoref{cap:PS-001} ($N=25$): \begin{center} \begin{tabular}{ccc} \toprule Voto $x_i$ & $f_i$ & $f_i \cdot x_i$ \\ \midrule $4$ & $2$ & $8$ \\ $5$ & $4$ & $20$ \\ $6$ & $7$ & $42$ \\ $7$ & $6$ & $42$ \\ $8$ & $4$ & $32$ \\ $9$ & $2$ & $18$ \\ \midrule \textbf{Totale} & $\mathbf{25}$ & $\mathbf{162}$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \smallskip \noindent\textbf{Media aritmetica.} \[ \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{162}{25} = \num{6.48} . \] \smallskip \noindent\textbf{Mediana.} Per $N = 25$ (dispari), la mediana è il valore di posto $(N+1)/2 = 13$. Dalla cumulata, il $13$-esimo valore cade nella modalità $\num{6}$: $\text{Med} = 6$. \smallskip \noindent\textbf{Moda.} La modalità con frequenza massima è $\num{6}$ (frequenza $7$): $\text{Mo} = 6$. \smallskip \noindent\textbf{Confronto.} Si ha $\text{Mo} = \text{Med} = 6 < \bar{x} = \num{6.48}$. La media è leggermente più alta della mediana e della moda: la distribuzione è dunque \emph{leggermente asimmetrica positiva} (coda a destra), il che si spiega col fatto che ci sono qualche voto alto ($\num{8}$, $\num{9}$) che ``trascina'' la media verso destra senza modificare mediana e moda. \end{esempio} \begin{esempio}[Media ponderata in un problema reale] Un acquirente compra tre tipi di mele a prezzi diversi: \begin{itemize} \item mele rosse: $\num{2.50}~€/\si{\kilogram}$, quantità $\SI{4}{\kilogram}$; \item mele gialle: $\num{2.00}~€/\si{\kilogram}$, quantità $\SI{6}{\kilogram}$; \item mele verdi: $\num{3.00}~€/\si{\kilogram}$, quantità $\SI{2}{\kilogram}$. \end{itemize} Qual è il prezzo medio al chilo che ha effettivamente pagato? \smallskip \noindent\textbf{Impostazione.} È una media ponderata dei tre prezzi, con pesi le quantità acquistate. \[ \bar{p}_w = \frac{4 \cdot \num{2.50} + 6 \cdot \num{2.00} + 2 \cdot \num{3.00}}{4 + 6 + 2} = \frac{10 + 12 + 6}{12} = \frac{28}{12} \approx \num{2.33}~€/\si{\kilogram} . \] \smallskip \noindent\textbf{Confronto.} La media \emph{aritmetica} dei tre prezzi (senza pesi) sarebbe \[ \bar{p} = \frac{\num{2.50} + \num{2.00} + \num{3.00}}{3} = \num{2.50}~€/\si{\kilogram} , \] un valore più alto del prezzo effettivamente pagato. Per il bilancio reale (totale speso $\num{28}~€$ per $\SI{12}{\kilogram}$), conta solo la media ponderata. \end{esempio} \begin{esempio}[Asimmetria di una distribuzione di frequenza] Una distribuzione di salari mensili (in centinaia di euro) in un'azienda di $\num{50}$ dipendenti: \begin{center} \begin{tabular}{cc} \toprule Salario & $f_i$ \\ \midrule $12$ & $10$ \\ $14$ & $15$ \\ $16$ & $12$ \\ $18$ & $8$ \\ $20$ & $3$ \\ $50$ & $2$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \smallskip \noindent\textbf{Calcolo della media.} \[ \bar{x} = \frac{12 \cdot 10 + 14 \cdot 15 + 16 \cdot 12 + 18 \cdot 8 + 20 \cdot 3 + 50 \cdot 2}{50} = \frac{120 + 210 + 192 + 144 + 60 + 100}{50} = \frac{826}{50} = \num{16.52} . \] \smallskip \noindent\textbf{Mediana.} $N = 50$, valori centrali di posto $25$ e $26$. Le frequenze cumulate sono $10, 25, 37, 45, 48, 50$: il $25$-esimo valore cade nella modalità $\num{14}$ (la cumulata raggiunge $25$ proprio in $\num{14}$); il $26$-esimo cade già in $\num{16}$. Quindi \[ \text{Med} = \frac{14 + 16}{2} = 15 . \] \smallskip \noindent\textbf{Moda.} Modalità con frequenza massima: $\num{14}$ (frequenza $15$). $\text{Mo} = 14$. \smallskip \noindent\textbf{Confronto.} $\text{Mo} = 14 < \text{Med} = 15 < \bar{x} = \num{16.52}$: ordine tipico di una distribuzione \emph{asimmetrica positiva}, con i due salari da $\num{50}$ (centinaia di euro) che fanno da outlier e trascinano la media verso destra. \end{esempio} % ===================================================================== \begin{eserciziobox} \begin{enumerate} \item Calcola media aritmetica, mediana e moda dei seguenti insiemi di dati. \begin{enumerate} \item $\num{3}, \num{5}, \num{7}, \num{5}, \num{4}, \num{6}, \num{5}$; \item $\num{12}, \num{15}, \num{18}, \num{14}, \num{20}, \num{16}, \num{12}, \num{19}$; \item $\num{2.5}, \num{3.1}, \num{2.5}, \num{4.0}, \num{3.7}, \num{2.5}$; \item $\num{10}, \num{20}, \num{30}, \num{40}, \num{50}$ (qual è la mediana? qual è la moda?). \end{enumerate} \item Calcola la media ponderata in ciascuna delle seguenti situazioni. \begin{enumerate} \item Voti $\num{6}, \num{7}, \num{8}$ con pesi rispettivamente $\num{1}, \num{2}, \num{1}$. \item Voti $\num{5}, \num{7}, \num{8}, \num{9}$ con pesi $\num{2}, \num{3}, \num{1}, \num{2}$. \item Una scuola con tre sezioni di $\num{20}$, $\num{25}$, $\num{15}$ studenti, con voti medi rispettivamente $\num{6.8}$, $\num{7.0}$, $\num{6.5}$. \end{enumerate} \item Vero o falso? Motiva la risposta. \begin{enumerate} \item La media aritmetica è sempre uguale alla mediana. \item Se la media è maggiore della mediana, la distribuzione è asimmetrica positiva. \item La mediana di un insieme di valori può non essere uno dei valori dell'insieme. \item La somma degli scarti dei dati dalla mediana è sempre zero. \item In una distribuzione simmetrica e unimodale media, mediana e moda coincidono. \item La moda è sempre unica. \end{enumerate} \item Trova un esempio di insieme di $\num{5}$ numeri in cui: \begin{enumerate} \item media e mediana coincidono; \item la media è molto maggiore della mediana; \item la moda è $\num{7}$, la mediana è $\num{5}$, la media è $\num{4}$. \end{enumerate} \item In una rilevazione la distribuzione dei voti di $\num{32}$ studenti è: \begin{center} \begin{tabular}{ccccccccc} \toprule Voto & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ \\ \midrule $f_i$ & $2$ & $5$ & $10$ & $8$ & $5$ & $2$ & $0$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} Calcola media, mediana e moda. È una distribuzione simmetrica? \item Spiega perché, per il carattere ``professione esercitata'', si può parlare di moda ma non di media né di mediana. \item Uno studente ha sostenuto in un anno scolastico $\num{4}$ verifiche di matematica con i seguenti voti e pesi: \begin{center} \begin{tabular}{ccc} \toprule Verifica & Voto & Peso \\ \midrule Compito 1 & $\num{6}$ & $1$ \\ Compito 2 & $\num{7}$ & $2$ \\ Interrogazione & $\num{8}$ & $1$ \\ Compito finale & $\num{5}$ & $2$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Calcola la media ponderata. \item Quale voto dovrebbe ottenere lo studente nella prossima verifica (con peso $\num{2}$) per portare la sua media ponderata sopra il $\num{7}$? \end{enumerate} \item In una serie di $\num{9}$ valori ordinati, il quinto valore vale $\num{12}$. Quale è la mediana? Se aggiungo un decimo valore pari a $\num{20}$, quale diventa la nuova mediana? (Suggerimento: il valore di posto $5$ e $6$ nella serie estesa.) \item Un'azienda ha $\num{99}$ dipendenti con salario annuale di $\num{30}$ migliaia di euro e $\num{1}$ dirigente con salario di $\num{1000}$ migliaia di euro. \begin{enumerate} \item Calcola la media e la mediana dei salari. \item Quale dei due indici descrive meglio la condizione tipica dei dipendenti dell'azienda? \end{enumerate} \item In una distribuzione per classi i dati sono: \begin{center} \begin{tabular}{cc} \toprule Classe & $f_i$ \\ \midrule $[0, 10)$ & $4$ \\ $[10, 20)$ & $12$ \\ $[20, 30)$ & $18$ \\ $[30, 40)$ & $8$ \\ $[40, 50]$ & $3$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{center} Determina la classe modale e la classe mediana (cioè quella in cui cade la mediana). \item Spiega perché, in una distribuzione asimmetrica positiva, si ha tipicamente $\text{Mo} < \text{Med} < \bar{x}$. (Suggerimento: ragiona su una distribuzione con una coda di pochi valori grandi.) \item Calcola la media ponderata dei prezzi al chilo di tre tipi di pane in un panificio, sapendo che in una giornata sono stati venduti: \begin{itemize} \item $\SI{8}{\kilogram}$ di pane comune a $\num{2.00}~€/\si{\kilogram}$; \item $\SI{3}{\kilogram}$ di pane integrale a $\num{3.50}~€/\si{\kilogram}$; \item $\SI{2}{\kilogram}$ di pane ai cereali a $\num{4.00}~€/\si{\kilogram}$. \end{itemize} \item Dato l'insieme di voti $\num{4}, \num{5}, \num{6}, \num{7}, \num{8}, x$, determina il valore di $x$ tale che: \begin{enumerate} \item la media sia esattamente $\num{6}$; \item la mediana sia esattamente $\num{6.5}$; \item la moda sia $\num{7}$. \end{enumerate} \item Discuti criticamente il seguente titolo di giornale: ``Lo stipendio medio in Italia è di $\num{2500}~€$ al mese''. Quali informazioni servirebbero per valutarlo? Perché in questo caso la mediana sarebbe forse più informativa? \end{enumerate} \end{eserciziobox} % ===================================================================== \begin{riepilogo} \begin{itemize} \item Gli \textbf{indici di posizione} (o di tendenza centrale) sintetizzano una distribuzione in un singolo numero che ne rappresenta il ``valore tipico''. I tre indici classici sono \emph{media}, \emph{mediana}, \emph{moda}. \item La \textbf{media aritmetica} è $\bar{x} = \frac{1}{N}\sum x_i$. Per dati in distribuzione di frequenza: $\bar{x} = \frac{1}{N}\sum f_i x_i$. Proprietà fondamentale: la somma degli scarti dalla media è zero. \emph{Limite}: è sensibile agli outlier. \item La \textbf{media ponderata} $\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$ assegna pesi diversi alle modalità. Usata per voti scolastici con pesi, medie di scuola fra sezioni di numerosità diversa, prezzi medi pesati per quantità. \item La \textbf{mediana} è il valore centrale dei dati ordinati: per $N$ dispari è il valore di posto $(N+1)/2$, per $N$ pari è la media dei due valori centrali. È \emph{robusta} rispetto agli outlier. \item La \textbf{moda} è la modalità più frequente. Una distribuzione può essere \emph{unimodale}, \emph{bimodale} o \emph{multimodale}; può anche essere \emph{amodale}. \item \textbf{Scelta dell'indice}: \begin{itemize} \item carattere qualitativo sconnesso $\Rightarrow$ solo moda; \item carattere qualitativo ordinato $\Rightarrow$ moda o mediana; \item carattere quantitativo $\Rightarrow$ tutti e tre disponibili. Si preferisce la mediana alla media in presenza di outlier o di forte asimmetria. \end{itemize} \item In una \emph{distribuzione simmetrica unimodale}, media, mediana e moda coincidono. In una \emph{distribuzione asimmetrica positiva} si ha $\text{Mo} < \text{Med} < \bar{x}$; in una \emph{asimmetrica negativa}, l'ordine si inverte. \end{itemize} \end{riepilogo}