\chapter{Eventi e operazioni tra eventi}\label{cap:PS-005}

\citazioneinizio{%
  La teoria delle probabilità, in fondo, non è altro che il buon senso ridotto al calcolo.%
}{Pierre-Simon Laplace, \emph{Essai philosophique sur les probabilités} (1814)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:ps-005-01-introduzione-motivazionale}
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In tutta la matematica vista finora — algebra, geometria, equazioni — abbiamo trattato situazioni \emph{deterministiche}: dati gli ingressi, gli ingredienti, le ipotesi, esiste \textbf{una sola} risposta, certa e calcolabile. Il prodotto $7\cdot 8$ vale $56$, l'area di un cerchio di raggio $5$ vale $25\pi$, la soluzione di $x^2 = 4$ è $\pm 2$. Tutto determinato.

Ma molte situazioni reali non funzionano così. Non possiamo prevedere con certezza:
\begin{itemize}
  \item che faccia uscirà al prossimo lancio di un dado;
  \item se domani pioverà;
  \item se un componente elettronico si guasterà entro un anno;
  \item se una palla estratta da un'urna sarà rossa o nera.
\end{itemize}
Sono fenomeni \emph{aleatori} o \emph{casuali}: pur conoscendo le condizioni di partenza, il risultato non è univocamente determinato.

La \textbf{probabilità} è la branca della matematica che studia questi fenomeni in modo \emph{quantitativo}: assegna a ogni possibile esito un numero (la sua probabilità) che misura quanto è ``ragionevole attendersi'' quell'esito. Le sue radici sono nel \textsc{xvi} sec.\ con Cardano (giochi d'azzardo); il primo grande salto teorico è del \textsc{xvii} sec.\ con il carteggio Pascal--Fermat (1654); la sistemazione assiomatica moderna è del 1933 ad opera di Kolmogorov.

Il \emph{punto di partenza} della teoria, però, non è il calcolo numerico — quello arriverà nel prossimo capitolo (\ref{cap:PS-006}). Prima dobbiamo costruire il \emph{linguaggio} con cui descriviamo i fenomeni aleatori: cosa sono gli \emph{eventi}, come si combinano, quali relazioni hanno tra loro. È un linguaggio puramente \emph{insiemistico} (\ref{cap:LD-001}): un evento è un sottoinsieme dello spazio dei risultati possibili, e le operazioni tra eventi (unione, intersezione, complementare) sono le operazioni insiemistiche già note.

In questo capitolo introduciamo dunque il vocabolario: spazio campionario, eventi elementari e composti, operazioni tra eventi, eventi incompatibili, complementari, certi, impossibili. Solo nel capitolo successivo associeremo a ogni evento un numero — la sua probabilità.

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\section{Esperimento aleatorio e spazio campionario}\label{sec:ps-005-01-esperimento-aleatorio-spazio-campionario}
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\begin{definizione}[Esperimento aleatorio]
Un \textbf{esperimento aleatorio} (o \emph{prova}) è un'azione o un'osservazione il cui esito non può essere previsto con certezza ma per cui possiamo descrivere tutti gli esiti possibili.
\end{definizione}

\begin{esempio}[Esperimenti aleatori]
\begin{itemize}
  \item Lanciare una moneta e osservare la faccia che esce.
  \item Lanciare un dado a sei facce e osservare il numero in alto.
  \item Estrarre una carta da un mazzo di $40$ carte.
  \item Lanciare due monete contemporaneamente.
  \item Misurare il tempo di vita di una lampadina.
\end{itemize}
Esempi che \emph{non} sono aleatori: calcolare $3+5$, misurare l'area di un rettangolo dati i lati, risolvere un'equazione di secondo grado.
\end{esempio}

\begin{definizione}[Spazio campionario]
Si chiama \textbf{spazio campionario} (o \emph{universo}) dell'esperimento aleatorio l'\emph{insieme} $\Omega$ di tutti i suoi possibili esiti. Ogni elemento di $\Omega$ è chiamato \emph{esito} o \emph{risultato} dell'esperimento.
\end{definizione}

\begin{esempio}[Spazi campionari fondamentali]
\begin{itemize}
  \item \emph{Lancio di una moneta}: $\Omega = \{T, C\}$ (testa, croce). $|\Omega|=2$.
  \item \emph{Lancio di un dado}: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. $|\Omega|=6$.
  \item \emph{Lancio di due monete}: $\Omega = \{TT, TC, CT, CC\}$. $|\Omega|=4$.
  \item \emph{Lancio di due dadi}: $\Omega = \{(i,j) : i, j \in \{1,\ldots,6\}\}$. $|\Omega|=36$.
  \item \emph{Estrazione di una carta italiana}: $\Omega$ ha $40$ elementi.
  \item \emph{Tempo di vita di una lampadina}: $\Omega = [0, +\infty)$, insieme \emph{continuo}.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{nota}[Spazi campionari finiti, infiniti, continui]
Lo spazio campionario può essere:
\begin{itemize}
  \item \emph{finito} (lancio di moneta, dado, estrazione di carte): caso più semplice, e l'unico che tratteremo sistematicamente in questo capitolo e nel prossimo.
  \item \emph{infinito numerabile} (numero di lanci di una moneta prima di ottenere testa per la prima volta): $\Omega = \mathbb{N}$ o $\mathbb{N}^*$.
  \item \emph{continuo} (tempo di attesa di un autobus): $\Omega = [0, T]$ o $\Omega \subseteq \R$.
\end{itemize}
Negli ultimi due casi servono strumenti più avanzati (\ref{cap:PS-012}).
\end{nota}

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\section{Eventi elementari e composti}\label{sec:ps-005-02-eventi-elementari-e-composti}
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\begin{definizione}[Evento]
Si chiama \textbf{evento} \emph{ogni sottoinsieme} $E \subseteq \Omega$ dello spazio campionario. Si dice che l'evento $E$ \emph{si verifica} (o ``si è realizzato'') se l'esito dell'esperimento appartiene a $E$.
\end{definizione}

\begin{definizione}[Evento elementare e evento composto]
\begin{itemize}
  \item Un \textbf{evento elementare} è un evento costituito da \emph{un solo} esito, cioè un singoletto $\{\omega\}$ con $\omega \in \Omega$.
  \item Un \textbf{evento composto} è un evento costituito da \emph{due o più} esiti.
\end{itemize}
\end{definizione}

\begin{esempio}[Lancio di un dado]
Spazio campionario: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
\begin{itemize}
  \item Evento elementare: $E_1 = \{4\}$ = ``esce il $4$''.
  \item Evento composto: $A = \{2, 4, 6\}$ = ``esce un numero pari''.
  \item Evento composto: $B = \{4, 5, 6\}$ = ``esce un numero $\geq 4$''.
  \item Evento composto: $C = \{1, 2, 3\}$ = ``esce un numero $\leq 3$''.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Lancio di due dadi]
Spazio campionario: $\Omega = \{(i,j) : i, j \in \{1,\ldots,6\}\}$, $|\Omega| = 36$.
\begin{itemize}
  \item ``Somma uguale a $7$'': $S = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$, $|S|=6$.
  \item ``Doppio'': $D = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$, $|D|=6$.
  \item ``Almeno un $1$'': $A = \{(1,1), (1,2), \ldots, (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)\}$, $|A|=11$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{nota}[Tre modi di descrivere un evento]
Un evento si può esprimere:
\begin{enumerate}
  \item con una \emph{descrizione verbale} (``esce un numero pari'');
  \item per \emph{elencazione} dei suoi esiti ($\{2, 4, 6\}$);
  \item con una \emph{proprietà caratteristica} ($\{x \in \Omega : x \text{ è pari}\}$).
\end{enumerate}
Tutte e tre le forme sono equivalenti e ognuna ha i suoi pregi.
\end{nota}

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\section{Operazioni tra eventi unione e intersezione}\label{sec:ps-005-03-operazioni-tra-eventi-unione-intersezione}
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Gli eventi sono \emph{insiemi}, quindi le operazioni insiemistiche (unione, intersezione, differenza, complementare) hanno una naturale interpretazione probabilistica. La corrispondenza linguistica è:

\[
  \begin{array}{l|l}
    \text{Insiemi} & \text{Eventi (linguaggio della probabilità)} \\
    \hline
    \omega \in A & \text{l'evento $A$ si verifica} \\
    A \cup B & \text{si verifica $A$ \emph{o} $B$ (o entrambi)} \\
    A \cap B & \text{si verificano \emph{sia} $A$ \emph{sia} $B$} \\
    \bar{A} & \text{\emph{non} si verifica $A$} \\
    A \subseteq B & \text{$A$ \emph{implica} $B$} \\
    A \cap B = \varnothing & \text{$A$ e $B$ \emph{incompatibili}} \\
  \end{array}
\]

\begin{definizione}[Unione di eventi]
L'\textbf{unione} $A \cup B$ è l'evento che si verifica quando si verifica \emph{almeno uno} dei due (o entrambi):
\[
  A \cup B = \{\omega \in \Omega : \omega \in A \text{ \emph{oppure} } \omega \in B\}.
\]
Corrisponde al ``\emph{o}'' inclusivo della logica (\ref{cap:LD-002}).
\end{definizione}

\begin{definizione}[Intersezione di eventi]
L'\textbf{intersezione} $A \cap B$ è l'evento che si verifica quando si verificano \emph{entrambi}:
\[
  A \cap B = \{\omega \in \Omega : \omega \in A \text{ \emph{e} } \omega \in B\}.
\]
Corrisponde alla congiunzione ``\emph{e}'' della logica.
\end{definizione}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % Rettangolo Omega
  \begin{scope}
    \draw[thick] (-3, -1.8) rectangle (3, 1.8);
    \node[above right] at (-3, 1.5) {$\Omega$};
    % Due cerchi sovrapposti
    \begin{scope}
      \clip (-1.2, 0) circle (1.6);
      \fill[BLU!30] (1.2, 0) circle (1.6);
    \end{scope}
    \draw[thick, BLU] (-1.2, 0) circle (1.6);
    \draw[thick, BLU] (1.2, 0) circle (1.6);
    \node[BLU] at (-2.1, 0.0) {$A$};
    \node[BLU] at (2.1, 0.0) {$B$};
    \node[BLU!70!black] at (0, 0.0) {$A\cap B$};
    \node[below] at (0, -2.0) {Intersezione $A\cap B$};
  \end{scope}
  % Unione
  \begin{scope}[shift={(8, 0)}]
    \draw[thick] (-3, -1.8) rectangle (3, 1.8);
    \node[above right] at (-3, 1.5) {$\Omega$};
    \fill[VERDE!30] (-1.2, 0) circle (1.6);
    \fill[VERDE!30] (1.2, 0) circle (1.6);
    \draw[thick, VERDE] (-1.2, 0) circle (1.6);
    \draw[thick, VERDE] (1.2, 0) circle (1.6);
    \node[VERDE!60!black] at (-2.1, 0.0) {$A$};
    \node[VERDE!60!black] at (2.1, 0.0) {$B$};
    \node[below] at (0, -2.0) {Unione $A\cup B$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Rappresentazione con diagrammi di Venn. A sinistra l'\emph{intersezione} $A\cap B$ (zona di sovrapposizione): si verifica solo se \emph{entrambi} gli eventi si realizzano. A destra l'\emph{unione} $A\cup B$ (entrambi i cerchi): si verifica se almeno uno dei due si realizza.}
\label{fig:ps-005-venn-unione-intersezione}
\end{figure}

\begin{esempio}[Operazioni tra eventi]
Lancio di un dado: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Siano $A = \{2, 4, 6\}$ (``pari'') e $B = \{4, 5, 6\}$ (``$\geq 4$'').
\begin{itemize}
  \item $A \cap B = \{4, 6\}$ = ``pari \emph{e} $\geq 4$''.
  \item $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$ = ``pari \emph{o} $\geq 4$''.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{teorema}[Proprietà delle operazioni tra eventi]
Per qualunque $A, B, C \subseteq \Omega$ valgono:
\begin{itemize}
  \item \emph{Commutativa}: $A\cup B = B\cup A$, $A\cap B = B\cap A$.
  \item \emph{Associativa}: $(A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)$ (idem per $\cap$).
  \item \emph{Distributiva}: $A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)$; $A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)$.
  \item \emph{Leggi di De Morgan}: $\overline{A\cup B} = \bar A\cap \bar B$; $\overline{A\cap B} = \bar A \cup \bar B$.
\end{itemize}
\end{teorema}

Queste proprietà sono identiche a quelle dell'algebra degli insiemi (\ref{cap:LD-001}) e dell'algebra di Boole: la teoria della probabilità eredita dall'insiemistica tutta la sua impalcatura formale.

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\section{Eventi incompatibili e complementari}\label{sec:ps-005-04-eventi-incompatibili-complementari}
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\begin{definizione}[Eventi incompatibili o disgiunti]
Due eventi $A$ e $B$ si dicono \textbf{incompatibili} (o \emph{disgiunti}, o ``mutuamente esclusivi'') se non possono verificarsi entrambi, cioè
\[
  A \cap B = \varnothing.
\]
\end{definizione}

\begin{esempio}[Eventi incompatibili]
Lancio di un dado: $A = \{1, 2\}$ (``$\leq 2$'') e $B = \{5, 6\}$ (``$\geq 5$'') sono incompatibili: $A\cap B = \varnothing$.

Lancio di un dado: $A = \{2, 4, 6\}$ (``pari'') e $B = \{1, 3, 5\}$ (``dispari'') sono incompatibili \emph{e} ricoprono tutto $\Omega$ (\emph{partizione}).
\end{esempio}

\begin{definizione}[Evento complementare o contrario]
Si chiama \textbf{evento complementare} (o \emph{contrario}) di $A$, e si indica con $\bar A$ (oppure $A^c$, $\lnot A$), l'evento che si verifica esattamente quando $A$ \emph{non} si verifica:
\[
  \bar A = \Omega \setminus A = \{\omega \in \Omega : \omega \notin A\}.
\]
\end{definizione}

\begin{nota}[Proprietà dell'evento complementare]
Per ogni $A \subseteq \Omega$:
\begin{itemize}
  \item $A \cap \bar A = \varnothing$ ($A$ e $\bar A$ sono \emph{incompatibili});
  \item $A \cup \bar A = \Omega$ ($A$ e $\bar A$ \emph{ricoprono} tutto $\Omega$);
  \item $\overline{\bar A} = A$ (il contrario del contrario è $A$ stesso).
\end{itemize}
Quindi $\{A, \bar A\}$ è sempre una \emph{partizione} di $\Omega$ in due eventi incompatibili.
\end{nota}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % Incompatibili
  \begin{scope}
    \draw[thick] (-3, -1.8) rectangle (3, 1.8);
    \node[above right] at (-3, 1.5) {$\Omega$};
    \draw[thick, ROSSO, fill=ROSSO!20] (-1.4, 0) circle (1.2);
    \draw[thick, ROSSO, fill=ROSSO!20] (1.4, 0) circle (1.2);
    \node[ROSSO] at (-1.4, 0) {$A$};
    \node[ROSSO] at (1.4, 0) {$B$};
    \node[below] at (0, -2.0) {Incompatibili: $A\cap B = \varnothing$};
  \end{scope}
  % Complementare
  \begin{scope}[shift={(8, 0)}]
    \fill[ARANCIO!25] (-3, -1.8) rectangle (3, 1.8);
    \draw[thick] (-3, -1.8) rectangle (3, 1.8);
    \fill[white] (0, 0) circle (1.4);
    \draw[thick, BLU] (0, 0) circle (1.4);
    \node[above right] at (-3, 1.5) {$\Omega$};
    \node[BLU] at (0, 0) {$A$};
    \node[ARANCIO!80!black] at (2.2, 1.4) {$\bar A$};
    \node[below] at (0, -2.0) {Complementare di $A$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{A sinistra: \emph{eventi incompatibili} (i due cerchi non si sovrappongono). A destra: l'evento \emph{complementare} $\bar A$ è la regione di $\Omega$ esterna ad $A$.}
\label{fig:ps-005-venn-incompatibili}
\end{figure}

\begin{attenzione}[Incompatibili $\neq$ complementari]
\emph{Incompatibili} significa $A\cap B = \varnothing$ (non possono verificarsi insieme).

\emph{Complementari} significa $A\cap B = \varnothing$ \textbf{e} $A\cup B = \Omega$ (uno dei due si verifica certamente).

Quindi: due eventi complementari sono sempre incompatibili, ma due incompatibili non sono in generale complementari. Esempio: ``esce 1'' e ``esce 2'' sono incompatibili ma non complementari.
\end{attenzione}

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\section{Eventi certi e impossibili}\label{sec:ps-005-05-eventi-certi-impossibili}
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\begin{definizione}[Evento certo]
L'evento \textbf{certo} è $\Omega$ stesso: si verifica sempre, in qualunque esito dell'esperimento.
\end{definizione}

\begin{definizione}[Evento impossibile]
L'evento \textbf{impossibile} è l'insieme vuoto $\varnothing$: non si verifica mai.
\end{definizione}

\begin{esempio}[Lancio di un dado]
\begin{itemize}
  \item ``Esce un numero compreso tra $1$ e $6$'' $= \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ (certo).
  \item ``Esce $7$'' $= \varnothing$ (impossibile).
  \item ``Esce un numero pari o dispari'' $= \Omega$ (certo).
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{nota}[Tre categorie di eventi rispetto alla certezza]
Ogni evento $E$ rientra in una di queste tre categorie:
\begin{itemize}
  \item \emph{Certo}: $E = \Omega$.
  \item \emph{Impossibile}: $E = \varnothing$.
  \item \emph{Aleatorio}: $\varnothing \subsetneq E \subsetneq \Omega$ (cioè $E$ contiene almeno un esito ma non tutti).
\end{itemize}
È solo per gli eventi aleatori che ha senso ``calcolare una probabilità''. Per gli altri due la risposta è ovvia: probabilità $1$ per il certo, $0$ per l'impossibile (lo vedremo formalmente in \ref{cap:PS-006}).
\end{nota}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:ps-005-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Lancio di due monete]
Spazio campionario: $\Omega = \{TT, TC, CT, CC\}$, $|\Omega|=4$. Definiamo:
\begin{itemize}
  \item $A$ = ``esce almeno una testa'' = $\{TT, TC, CT\}$, $|A|=3$.
  \item $B$ = ``escono due risultati uguali'' = $\{TT, CC\}$, $|B|=2$.
  \item $C$ = ``esce croce sulla seconda moneta'' = $\{TC, CC\}$, $|C|=2$.
\end{itemize}
Calcoliamo:
\[
  A\cap B = \{TT\},\quad
  A\cup B = \{TT, TC, CT, CC\} = \Omega,\quad
  \bar A = \{CC\}.
\]
$A$ e $\bar A$ sono complementari. $B$ e $C$ sono compatibili ($B\cap C = \{CC\} \neq \varnothing$).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Lancio di due dadi: somma]
$\Omega = \{(i,j) : i, j = 1,\ldots, 6\}$, $|\Omega|=36$.

Sia $S_k = $ ``la somma è $k$''. Allora:
\begin{itemize}
  \item $S_2 = \{(1,1)\}$, $|S_2|=1$.
  \item $S_7 = \{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}$, $|S_7|=6$.
  \item $S_{12} = \{(6,6)\}$, $|S_{12}|=1$.
\end{itemize}
$S_2$ e $S_{12}$ sono incompatibili. $S_2 \cup S_3 \cup \ldots \cup S_{12} = \Omega$ (somma sempre tra $2$ e $12$): è una \emph{partizione} di $\Omega$ in $11$ eventi.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Estrazione di una carta]
Mazzo di $40$ carte (italiane): $\Omega$ ha $40$ elementi (quattro semi $\times$ dieci valori).
\begin{itemize}
  \item $R$ = ``carta di coppe'' (uno dei quattro semi): $|R|=10$.
  \item $F$ = ``figura'' (re, cavallo, fante): $|F|=4\cdot 3=12$.
  \item $R\cap F$ = ``figura di coppe'' (re, cavallo, fante di coppe): $|R\cap F|=3$.
  \item $R\cup F$ = ``coppe oppure figura'': $|R\cup F|=10+12-3=19$.
  \item $\bar R$ = ``non coppe'' (denari, spade, bastoni): $|\bar R|=30$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[De Morgan applicato]
Lancio di un dado: $A = $ ``pari'' $=\{2,4,6\}$, $B = $ ``$\geq 4$'' $=\{4,5,6\}$.

\textit{Verifica della prima legge di De Morgan}: $\overline{A\cup B} = \bar A \cap \bar B$.

$A\cup B = \{2,4,5,6\}$, quindi $\overline{A\cup B} = \{1,3\}$.

$\bar A = \{1,3,5\}$, $\bar B = \{1,2,3\}$, quindi $\bar A\cap \bar B = \{1,3\}$. \checkmark

A parole: ``non (pari o $\geq 4$)'' equivale a ``dispari e $\leq 3$'', cioè $\{1,3\}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Partizione in eventi incompatibili]
Lancio di un dado: i tre eventi $A=\{1,2\}$, $B=\{3,4\}$, $C=\{5,6\}$ sono \emph{a due a due incompatibili} e $A\cup B\cup C = \Omega$: formano una \emph{partizione} di $\Omega$.

La partizione in eventi incompatibili è uno strumento fondamentale: in PS-006 vedremo che la probabilità di un'unione di eventi incompatibili si calcola come somma.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:ps-005-08-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Per ciascuno dei seguenti esperimenti aleatori, scrivi lo spazio campionario $\Omega$:
        \begin{itemize}
          \item (a) lancio di una moneta;
          \item (b) lancio di un dado a $6$ facce;
          \item (c) lancio di un dado a $20$ facce;
          \item (d) estrazione di una pallina da un'urna con palline numerate da $1$ a $10$;
          \item (e) lancio di tre monete (in ordine).
        \end{itemize}
  \item Per il lancio di un dado a $6$ facce, descrivi per elencazione i seguenti eventi:
        \begin{itemize}
          \item $A$ = ``esce un numero primo'';
          \item $B$ = ``esce un numero divisibile per $3$'';
          \item $C$ = ``esce un numero $> 4$'';
          \item $D$ = ``esce un numero quadrato perfetto''.
        \end{itemize}
        Poi calcola $A\cup B$, $A\cap C$, $\bar C$, $A\cap B\cap C$.
  \item Per il lancio di due dadi:
        \begin{itemize}
          \item (a) descrivi l'evento ``il prodotto dei numeri è $12$'';
          \item (b) descrivi l'evento ``i due numeri differiscono di $1$'';
          \item (c) determina $|\Omega|$ e il numero di esiti di ciascun evento.
        \end{itemize}
  \item Lancio di tre monete: $\Omega = \{TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CTC, CCT, CCC\}$. Descrivi per elencazione e calcola $|E|$ per:
        \begin{itemize}
          \item (a) $E_1$ = ``escono almeno due teste'';
          \item (b) $E_2$ = ``esce testa sulla prima moneta'';
          \item (c) $E_3$ = ``escono esattamente due teste'';
          \item (d) $E_1\cap E_2$, $E_1\cup E_3$, $\bar{E_1}$.
        \end{itemize}
  \item Determina se le seguenti coppie di eventi sono incompatibili, complementari, o nessuno dei due (esempio: lancio di un dado):
        \begin{itemize}
          \item (a) ``pari'' e ``dispari'';
          \item (b) ``$<3$'' e ``$\geq 4$'';
          \item (c) ``pari'' e ``primo'';
          \item (d) ``$\leq 4$'' e ``$> 4$''.
        \end{itemize}
  \item Trova due eventi $A$ e $B$, definiti nel lancio di un dado a $6$ facce, tali che:
        \begin{itemize}
          \item (a) $A\cap B = \{2\}$, $A\cup B = \{1,2,3,5\}$;
          \item (b) $A\subseteq B$, $|A|=2$, $|B|=4$;
          \item (c) $A$ e $B$ siano complementari con $|A|=4$.
        \end{itemize}
  \item Verifica entrambe le leggi di De Morgan per $A=\{1,2,4\}$ e $B=\{2,3,5\}$ nel lancio di un dado.
  \item Costruisci una partizione di $\Omega = \{1,2,\ldots,6\}$ (lancio di un dado) in:
        \begin{itemize}
          \item (a) $2$ eventi;
          \item (b) $3$ eventi;
          \item (c) $6$ eventi (la più fine possibile).
        \end{itemize}
  \item (Vero o falso, con giustificazione.)
        \begin{itemize}
          \item (a) Due eventi complementari sono sempre incompatibili.
          \item (b) Due eventi incompatibili sono sempre complementari.
          \item (c) Se $A\subseteq B$, allora $A\cap B = A$.
          \item (d) $\overline{A\cap B} = \bar A\cap \bar B$.
          \item (e) L'evento certo è il complementare dell'evento impossibile.
        \end{itemize}
  \item (Discussione.) Definisci un esperimento aleatorio della vita reale (non legato a giochi d'azzardo) e descrivi tre eventi interessanti su di esso, indicando lo spazio campionario.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:ps-005-09-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Un \emph{esperimento aleatorio} è un'azione il cui esito non è prevedibile con certezza ma di cui possiamo descrivere tutti gli esiti possibili.
  \item Lo \emph{spazio campionario} $\Omega$ è l'insieme di tutti gli esiti possibili. Può essere finito, infinito numerabile o continuo.
  \item Un \emph{evento} $E$ è un sottoinsieme di $\Omega$: \emph{si verifica} se l'esito dell'esperimento appartiene a $E$.
  \item \emph{Eventi elementari} = singoletti $\{\omega\}$; \emph{eventi composti} = sottoinsiemi con $\geq 2$ elementi.
  \item \emph{Operazioni tra eventi} (insiemistiche, identiche all'algebra degli insiemi):
        \begin{itemize}
          \item $A\cup B$: ``si verifica $A$ o $B$ (o entrambi)'' — \emph{or}.
          \item $A\cap B$: ``si verificano sia $A$ sia $B$'' — \emph{and}.
          \item $\bar A = \Omega\setminus A$: ``non si verifica $A$'' — \emph{not}.
        \end{itemize}
  \item \emph{Eventi incompatibili}: $A\cap B = \varnothing$ (non possono verificarsi insieme).
  \item \emph{Eventi complementari}: $A\cap B = \varnothing$ \emph{e} $A\cup B = \Omega$. Complementari implica incompatibili, ma non viceversa.
  \item \emph{Evento certo}: $\Omega$ stesso. \emph{Evento impossibile}: $\varnothing$.
  \item \emph{Leggi di De Morgan}: $\overline{A\cup B} = \bar A\cap \bar B$, $\overline{A\cap B} = \bar A\cup \bar B$.
  \item Una \emph{partizione} di $\Omega$ è una famiglia di eventi a due a due incompatibili la cui unione è $\Omega$. Strumento centrale per il calcolo della probabilità (\ref{cap:PS-006}).
  \item \emph{Prossimo passo}: associare a ogni evento un numero — la sua \emph{probabilità} — usando la definizione classica $P(E) = |E|/|\Omega|$ (\ref{cap:PS-006}).
\end{itemize}
\end{riepilogo}