\chapter{Probabilità classica}\label{cap:PS-006}

\citazioneinizio{%
  La probabilità è il grado di certezza, e differisce dalla certezza assoluta come la parte dal tutto.%
}{Jakob Bernoulli, \emph{Ars Conjectandi} (1713)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:ps-006-01-introduzione-motivazionale}
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Nel capitolo precedente (\ref{cap:PS-005}) abbiamo costruito il \emph{linguaggio} per parlare di fenomeni aleatori: spazio campionario $\Omega$, eventi, operazioni tra eventi. Ma a un evento non abbiamo ancora associato \emph{nessun numero}: sapevamo solo dire ``si verifica'' o ``non si verifica''.

Adesso facciamo il passo decisivo: associamo a ogni evento $E$ un \emph{numero} $P(E)$, la sua \textbf{probabilità}, che misura quanto è ``ragionevole attendersi'' il verificarsi di $E$.

L'idea è antica e intuitiva: se in un'urna ci sono $7$ palline rosse su $10$ totali, e tutte le palline sono uguali (tranne il colore), allora la probabilità di estrarre una rossa ``è'' $7/10$. Casi favorevoli divisi casi possibili. Questa è la \textbf{definizione classica}, formalizzata da Laplace nel \emph{Théorie analytique des probabilités} (1812):
\[
  P(E) = \frac{\text{numero dei casi favorevoli a } E}{\text{numero di tutti i casi possibili}}.
\]

La definizione ha un'ipotesi cruciale, spesso non dichiarata: \emph{tutti gli esiti devono essere equiprobabili}. È vero per un dado regolare, per una moneta non truccata, per un mazzo ben mescolato; \emph{non} è vero per un dado truccato o per la distribuzione delle altezze in una popolazione. Quando l'ipotesi non vale, servono altre definizioni di probabilità (frequentista, soggettiva, assiomatica): ma la definizione classica resta il modello di base, semplice e potente, per moltissimi problemi reali.

In questo capitolo: enunciamo la definizione di Laplace, ne deduciamo le proprietà fondamentali ($0\leq P(E)\leq 1$, additività per eventi incompatibili, $P(\bar A) = 1 - P(A)$), e applichiamo il tutto a numerosi esempi concreti — monete, dadi, carte, urne. Nei capitoli successivi rilasceremo l'ipotesi di equiprobabilità (probabilità condizionata \ref{cap:PS-008}, eventi indipendenti \ref{cap:PS-009}) ed estenderemo il calcolo a situazioni più complesse.

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\section{Definizione classica}\label{sec:ps-006-01-definizione-classica-laplace}
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\begin{definizione}[Probabilità classica, Laplace]
Sia $\Omega$ uno spazio campionario \emph{finito} con tutti gli esiti \emph{equiprobabili}. La \textbf{probabilità classica} di un evento $E\subseteq \Omega$ è
\[
  P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} = \frac{\text{n.\ casi favorevoli a } E}{\text{n.\ casi possibili}}.
\]
\end{definizione}

\begin{formulabox}
\[
  P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}.
\]
\end{formulabox}

\begin{attenzione}[L'ipotesi di equiprobabilità]
La formula vale \textbf{solo} se tutti gli esiti elementari sono \emph{ugualmente possibili}. È vero per:
\begin{itemize}
  \item monete e dadi regolari (non truccati);
  \item estrazioni a caso da un'urna (con bendaggio, mescolamento);
  \item carte da gioco ben mescolate.
\end{itemize}
È \textbf{falso} in moltissime situazioni reali — distribuzione delle altezze, esiti di partite di calcio, tempo di vita di componenti elettronici. In quei casi la definizione classica non si applica e servono altri strumenti (\ref{cap:PS-008}, \ref{cap:PS-011}).

\textbf{Verifica sempre} che l'ipotesi sia ragionevole prima di applicare la formula.
\end{attenzione}

\begin{esempio}[Lancio di un dado]
$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$, $|\Omega|=6$. Le sei facce di un dado regolare sono equiprobabili.

\begin{itemize}
  \item ``Esce $3$'': $P = 1/6 \approx \num{0.167} = \SI{16.7}{\percent}$.
  \item ``Esce un numero pari'': $|\{2,4,6\}|=3$, quindi $P = 3/6 = 1/2 = \SI{50}{\percent}$.
  \item ``Esce un numero $\geq 5$'': $|\{5,6\}|=2$, quindi $P = 2/6 = 1/3 \approx \SI{33.3}{\percent}$.
  \item ``Esce un numero primo'' (primi $\leq 6$: $2,3,5$): $P = 3/6 = 1/2$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{teorema}[Proprietà fondamentali della probabilità classica]
Per ogni evento $E\subseteq \Omega$ valgono:
\begin{enumerate}
  \item $0 \leq P(E) \leq 1$.
  \item $P(\varnothing) = 0$ (evento impossibile).
  \item $P(\Omega) = 1$ (evento certo).
  \item \emph{Monotonia}: se $A\subseteq B$ allora $P(A) \leq P(B)$.
\end{enumerate}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} (1) Poiché $\varnothing \subseteq E \subseteq \Omega$, si ha $0 \leq |E| \leq |\Omega|$; dividendo per $|\Omega|$ si ottiene $0\leq P(E) \leq 1$.

(2) $|\varnothing|=0$, quindi $P(\varnothing) = 0/|\Omega| = 0$.

(3) $|\Omega|/|\Omega| = 1$.

(4) Se $A\subseteq B$ allora $|A| \leq |B|$ e dividendo per $|\Omega|$ segue $P(A)\leq P(B)$.

\begin{nota}[Probabilità come percentuale, frazione o numero decimale]
La probabilità è un numero adimensionale tra $0$ e $1$. Si esprime indifferentemente come:
\begin{itemize}
  \item \emph{frazione}: $1/6, 3/10, 1/2$;
  \item \emph{numero decimale}: $\num{0.167}, \num{0.3}, \num{0.5}$;
  \item \emph{percentuale}: $\SI{16.7}{\percent}, \SI{30}{\percent}, \SI{50}{\percent}$.
\end{itemize}
La forma frazionaria è spesso la più ``esatta'' e va preferita nei calcoli; la percentuale è la più comunicativa.
\end{nota}

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\section{Calcolo di probabilità in casi semplici}\label{sec:ps-006-02-calcolo-di-probabilita-in-casi-semplici}
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Per applicare la definizione classica servono due conteggi: $|E|$ (casi favorevoli) e $|\Omega|$ (casi possibili). In casi semplici l'enumerazione è diretta. Vediamo gli esempi-archetipo.

\subsection*{Lancio di una moneta}

$\Omega = \{T, C\}$, $|\Omega|=2$. $P(T) = P(C) = 1/2$.

\subsection*{Lancio di due monete}

$\Omega = \{TT, TC, CT, CC\}$, $|\Omega|=4$. Tutti i $4$ esiti sono equiprobabili (le due monete sono indipendenti, ognuna ha $T$ e $C$ equiprobabili).

\begin{itemize}
  \item ``due teste'': $|\{TT\}|=1$, $P = 1/4$.
  \item ``almeno una testa'': $|\{TT, TC, CT\}|=3$, $P = 3/4$.
  \item ``esattamente una testa'': $|\{TC, CT\}|=2$, $P = 2/4 = 1/2$.
\end{itemize}

\begin{attenzione}[Errore classico]
È sbagliato dire che gli esiti del lancio di due monete sono ``zero teste'', ``una testa'', ``due teste'' equiprobabili (sarebbero tre esiti con probabilità $1/3$ ciascuno). Lo spazio campionario \emph{equiprobabile} è $\{TT, TC, CT, CC\}$ — distinguendo \emph{prima} e \emph{seconda} moneta. L'esito ``una testa'' include sia $TC$ sia $CT$, quindi vale $2/4$, non $1/3$.
\end{attenzione}

\subsection*{Lancio di due dadi}

$\Omega = \{(i, j) : i, j \in \{1, \ldots, 6\}\}$, $|\Omega| = 36$. Le $36$ coppie ordinate sono equiprobabili.

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
  % Griglia 6x6 con le somme
  \foreach \i in {1, ..., 6}{
    \foreach \j in {1, ..., 6}{
      \pgfmathtruncatemacro{\s}{\i + \j}
      \ifnum\s=7
        \fill[ARANCIO!40] (\j, 7-\i) rectangle (\j+1, 8-\i);
      \fi
      \draw (\j, 7-\i) rectangle (\j+1, 8-\i);
      \node at (\j+0.5, 7.5-\i) {\s};
    }
  }
  % Etichette righe (1° dado) e colonne (2° dado)
  \foreach \i in {1, ..., 6}{
    \node[BLU] at (0.5, 7.5-\i) {\i};
    \node[ROSSO] at (\i+0.5, 7.5) {\i};
  }
  \node[BLU, left] at (-0.0, 4.0) {$1^\circ$ dado};
  \node[ROSSO, above] at (4.0, 8.2) {$2^\circ$ dado};
\end{tikzpicture}
\caption{Tabella delle somme nel lancio di due dadi. I $36$ esiti possibili sono tutti equiprobabili. La diagonale evidenziata corrisponde alla somma $7$ (sei esiti su $36$).}
\label{fig:ps-006-tabella-somme}
\end{figure}

\begin{itemize}
  \item ``somma $7$'': $6$ esiti (la ``diagonale'' della tabella), $P = 6/36 = 1/6$.
  \item ``somma $2$'' (solo $(1,1)$) o ``somma $12$'' (solo $(6,6)$): $P = 1/36$.
  \item ``doppio'' (i sei $(i,i)$): $P = 6/36 = 1/6$.
  \item ``somma pari'': $18$ esiti, $P = 18/36 = 1/2$.
\end{itemize}

\subsection*{Estrazione da un'urna}

Urna con $10$ palline: $4$ rosse, $3$ bianche, $3$ verdi. $|\Omega|=10$.

\begin{itemize}
  \item ``pallina rossa'': $P = 4/10 = 2/5 = \SI{40}{\percent}$.
  \item ``pallina non verde'': $P = 7/10 = \SI{70}{\percent}$.
\end{itemize}

\subsection*{Estrazione di una carta}

Mazzo da $40$ (italiano): $|\Omega| = 40$, quattro semi (coppe, denari, spade, bastoni) e dieci valori ($1,\ldots,7$ più tre figure: fante, cavallo, re).

\begin{itemize}
  \item ``carta di coppe'': $P = 10/40 = 1/4$.
  \item ``re'': $P = 4/40 = 1/10$.
  \item ``figura'' (re, cavallo, fante): $P = 12/40 = 3/10$.
\end{itemize}

\begin{nota}[Quando il conteggio diventa complesso]
Per spazi campionari grandi (estrazione di $5$ carte da un mazzo di $52$: $\Omega$ ha $\binom{52}{5} = 2\,598\,960$ esiti) il conteggio diretto è impraticabile, e servono le tecniche di \emph{calcolo combinatorio} (\ref{cap:CC-001}). La filosofia di Laplace resta la stessa: $|E|/|\Omega|$.
\end{nota}

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\section{Probabilità dell'unione di eventi incompatibili}\label{sec:ps-006-03-probabilita-dell-unione-di-eventi-incompatibili}
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\begin{teorema}[Additività per eventi incompatibili]
Se $A$ e $B$ sono \emph{eventi incompatibili} (cioè $A\cap B = \varnothing$), allora
\[
  P(A\cup B) = P(A) + P(B).
\]
Più in generale, se $A_1, A_2, \ldots, A_n$ sono \emph{a due a due incompatibili}, allora
\[
  P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n).
\]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Se $A\cap B = \varnothing$, allora gli esiti di $A$ e quelli di $B$ sono \emph{distinti}, quindi $|A\cup B| = |A| + |B|$. Dividendo per $|\Omega|$:
\[
  P(A\cup B) = \frac{|A\cup B|}{|\Omega|} = \frac{|A|+|B|}{|\Omega|} = P(A) + P(B).
\]
La generalizzazione a $n$ eventi segue per induzione su $n$ (\ref{cap:RF-008}).

\begin{formulabox}
\[
  A\cap B = \varnothing \implies P(A\cup B) = P(A) + P(B).
\]
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Somma $7$ o $11$]
Nel lancio di due dadi, $P(\text{somma }7) = 6/36$, $P(\text{somma }11) = 2/36$ (esiti $(5,6), (6,5)$). Gli eventi sono incompatibili (la somma non può essere $7$ e $11$ contemporaneamente), quindi
\[
  P(\text{somma }7\text{ o }11) = \frac{6}{36} + \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Carta di coppe o di denari]
Mazzo di $40$ carte: $P(\text{coppe}) = 1/4$, $P(\text{denari}) = 1/4$. Sono incompatibili (una carta ha un solo seme), quindi
\[
  P(\text{coppe o denari}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
\]
\end{esempio}

\begin{attenzione}[L'incompatibilità è essenziale]
La formula $P(A\cup B) = P(A)+P(B)$ vale \textbf{solo} per eventi incompatibili. Se $A$ e $B$ possono verificarsi insieme, allora occorre sottrarre l'intersezione (formula di inclusione-esclusione):
\[
  P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).
\]
Verrà ripresa più avanti, ma è bene ricordare il caso generale.

Esempio: ``re o coppe'' nel mazzo da $40$. $P(\text{re}) = 4/40$, $P(\text{coppe}) = 10/40$, ma $A\cap B = \{\text{re di coppe}\}$, $P(A\cap B)=1/40$. Quindi $P(A\cup B) = 4/40 + 10/40 - 1/40 = 13/40$, \emph{non} $14/40$.
\end{attenzione}

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\section{Probabilità dell'evento contrario}\label{sec:ps-006-04-probabilita-dell-evento-contrario}
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\begin{teorema}[Probabilità del contrario]
Per ogni evento $A\subseteq \Omega$:
\[
  P(\bar A) = 1 - P(A).
\]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} $A$ e $\bar A$ sono incompatibili e $A\cup \bar A = \Omega$. Applicando l'additività e $P(\Omega) = 1$:
\[
  P(A) + P(\bar A) = P(A\cup \bar A) = P(\Omega) = 1 \implies P(\bar A) = 1 - P(A).
\]

\begin{formulabox}
\[
  P(\bar A) = 1 - P(A).
\]
\end{formulabox}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \fill[ARANCIO!25] (-3, -1.6) rectangle (3, 1.6);
  \draw[thick] (-3, -1.6) rectangle (3, 1.6);
  \fill[BLU!30] (0, 0) circle (1.3);
  \draw[thick, BLU] (0, 0) circle (1.3);
  \node[BLU] at (0, 0) {$A$};
  \node[BLU, below] at (0, -0.4) {\small $P(A)$};
  \node[ARANCIO!80!black] at (2.2, 1.2) {$\bar A$};
  \node[ARANCIO!80!black] at (2.2, 0.8) {\small $1-P(A)$};
  \node[above] at (-2.7, 1.6) {$\Omega$};
\end{tikzpicture}
\caption{La probabilità si ``divide'' tra $A$ e il suo complementare $\bar A$ in modo che la somma sia $1$ (l'area totale di $\Omega$).}
\label{fig:ps-006-contrario}
\end{figure}

\begin{nota}[Quando passare al contrario semplifica i conti]
Spesso l'evento ``almeno uno...'' è più scomodo da contare dell'evento ``nessuno...''. In quei casi, conviene calcolare $P(\bar A) = P(\text{nessuno}) $ e poi $P(A) = 1 - P(\bar A)$.

\textbf{Esempio.} Lancio $3$ monete: probabilità di ``almeno una testa''?

Per via diretta: ``almeno una T'' ha $7$ esiti su $8$ (tutti tranne $CCC$). $P = 7/8$.

Per via del contrario: $\bar A$ = ``nessuna testa'' = $\{CCC\}$, $P(\bar A) = 1/8$, quindi $P(A) = 1 - 1/8 = 7/8$. \checkmark

Per $10$ monete, ``almeno una T'' richiederebbe di contare a mano $2^{10}-1 = 1023$ esiti favorevoli; il contrario è banale: $P(\bar A) = 1/1024$, quindi $P(A) = 1023/1024$.
\end{nota}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:ps-006-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Dadi: somma minore di $5$]
Probabilità che la somma di due dadi sia minore di $5$?

\textit{Soluzione.} Casi favorevoli: somma $2$ ($1$ esito), somma $3$ ($2$ esiti: $(1,2),(2,1)$), somma $4$ ($3$ esiti: $(1,3),(2,2),(3,1)$). Totale $1+2+3=6$ esiti.

$P = 6/36 = 1/6$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Carta: né re né coppe]
Probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di $40$, essa \emph{non} sia né re né di coppe.

\textit{Soluzione 1 (diretta).} Carte ``né re né coppe'': escludiamo i $4$ re (di cui uno di coppe) e le $10$ carte di coppe (di cui uno è il re, già contato). Carte da escludere: $4 + 10 - 1 = 13$. Restano $40 - 13 = 27$ carte favorevoli.

$P = 27/40$.

\textit{Soluzione 2 (con il contrario).} Sia $A$ = ``re o coppe''. Per inclusione-esclusione: $P(A) = 4/40 + 10/40 - 1/40 = 13/40$. Quindi $P(\bar A) = 1 - 13/40 = 27/40$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Urna con palline]
Urna con $5$ palline bianche, $3$ rosse, $2$ nere. Estraiamo una pallina. Probabilità che sia bianca o nera?

\textit{Soluzione.} Eventi incompatibili (una pallina ha un solo colore). Quindi $P(\text{bianca o nera}) = P(\text{bianca}) + P(\text{nera}) = 5/10 + 2/10 = 7/10 = \SI{70}{\percent}$.

(Equivalente: $P(\text{non rossa}) = 1 - 3/10 = 7/10$.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Tre lanci di moneta]
Tre lanci consecutivi di una moneta. Probabilità di ottenere \emph{almeno una croce}?

\textit{Soluzione (via contrario).} $\bar A$ = ``nessuna croce'' = ``tutte teste'' = $\{TTT\}$. $|\Omega|=2^3 = 8$. $P(\bar A) = 1/8$.

$P(A) = 1 - 1/8 = 7/8 = \SI{87.5}{\percent}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Compleanni nello stesso mese]
$3$ persone sono nate in mesi qualsiasi dell'anno (con probabilità uniforme su $12$ mesi). Probabilità che siano nate tutte e tre nello stesso mese?

\textit{Soluzione.} $|\Omega| = 12^3 = 1728$ (tre persone, ciascuna in $12$ mesi). Casi favorevoli: $12$ (tutti gennaio, oppure tutti febbraio, ..., oppure tutti dicembre).

$P = 12/1728 = 1/144 \approx \SI{0.69}{\percent}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Lotto: ambo su una ruota]
Si estraggono $5$ numeri (senza ripetizione) da $\{1, 2, \ldots, 90\}$ (estrazione del Lotto su una ruota). Probabilità che due numeri fissati in anticipo (\emph{ambo}) escano entrambi?

\textit{Soluzione.} Casi possibili: combinazioni di $90$ a $5$, $|\Omega| = \binom{90}{5}$.

Casi favorevoli: fissati i due numeri ``buoni'', restano $\binom{88}{3}$ modi di scegliere gli altri $3$.
\[
  P = \frac{\binom{88}{3}}{\binom{90}{5}}
     = \frac{109\,736}{43\,949\,268}
     = \frac{2}{801}\approx \num{0.0025} \approx \SI{0.25}{\percent}.
\]

(È uno scenario di calcolo combinatorio — verrà ripreso in \ref{cap:CC-003}. La probabilità è circa $1$ su $400$.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Calcio: somma di numeri di maglia]
In una squadra di $11$ giocatori con maglie numerate da $1$ a $11$, si scelgono a caso $2$ giocatori. Probabilità che la somma dei loro numeri sia $\geq 18$?

\textit{Soluzione.} Casi possibili: $\binom{11}{2}=55$ coppie.

Casi favorevoli (somme $\geq 18$): elenchiamo. Massima somma $10+11=21$. Coppie con somma $\geq 18$:
\[
  (7,11), (8,10), (8,11), (9,10), (9,11), (10,11) \to 6\text{ coppie}.
\]
$P = 6/55 \approx \SI{10.9}{\percent}$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:ps-006-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Lancio di un dado a $6$ facce. Calcola la probabilità di:
        \begin{itemize}
          \item (a) esce un numero pari;
          \item (b) esce un numero $\geq 3$;
          \item (c) esce un multiplo di $3$;
          \item (d) esce un numero primo;
          \item (e) esce un numero quadrato perfetto.
        \end{itemize}
  \item Lancio di due monete. Calcola la probabilità di:
        \begin{itemize}
          \item (a) due teste;
          \item (b) due croci;
          \item (c) una sola testa;
          \item (d) almeno una testa.
        \end{itemize}
  \item Lancio di due dadi. Calcola la probabilità che la somma sia:
        \quad (a) $2$;\quad (b) $7$;\quad (c) $12$;\quad (d) un numero pari;\quad (e) un multiplo di $3$;\quad (f) $\geq 10$;\quad (g) $\leq 4$.
  \item Lancio di due dadi. Calcola la probabilità che il prodotto sia:
        \quad (a) $12$;\quad (b) un numero dispari;\quad (c) $\geq 20$.
  \item Da un mazzo di $40$ carte si estrae una carta. Calcola la probabilità che sia:
        \begin{itemize}
          \item (a) un asso;
          \item (b) una figura;
          \item (c) una carta di coppe o di denari;
          \item (d) un re o una carta di spade;
          \item (e) non un re.
        \end{itemize}
  \item Un'urna contiene $4$ palline rosse, $5$ bianche e $6$ verdi. Calcola la probabilità che, estraendo una pallina, sia:
        \quad (a) rossa;\quad (b) bianca o verde;\quad (c) non rossa;\quad (d) ``non bianca e non verde''.
  \item Da un sacchetto contenente i numeri da $1$ a $20$, si estrae un numero. Calcola la probabilità che sia:
        \begin{itemize}
          \item (a) un multiplo di $3$;
          \item (b) un multiplo di $4$;
          \item (c) un multiplo di $3$ \emph{o} di $4$ (Attenzione: usa l'inclusione-esclusione);
          \item (d) né multiplo di $3$ né di $4$.
        \end{itemize}
  \item Si lancia una moneta $5$ volte. Usando la via del contrario, calcola la probabilità di ottenere \emph{almeno una croce}.
  \item In una classe di $25$ studenti, $12$ studiano francese, $10$ studiano tedesco, $4$ studiano entrambe le lingue. Scelto uno studente a caso, calcola la probabilità che:
        \begin{itemize}
          \item (a) studi francese o tedesco;
          \item (b) studi solo francese;
          \item (c) non studi nessuna delle due.
        \end{itemize}
  \item (Compleanni.) $5$ persone sono nate in $12$ mesi qualsiasi (uniformi). Calcola la probabilità che siano \emph{tutte} nate nello stesso mese.
  \item (Vero o falso, con giustificazione.)
        \begin{itemize}
          \item (a) Se $P(A) = 0.4$ e $P(B) = 0.5$, allora $P(A\cup B) = 0.9$.
          \item (b) Se $A\subseteq B$, allora $P(A) \leq P(B)$.
          \item (c) Se $P(A) = 0.7$ e $P(B) = 0.6$, allora $A$ e $B$ non possono essere incompatibili.
          \item (d) Se $P(A) = P(B)$, allora $A = B$.
          \item (e) Per ogni evento $A$, $P(A) + P(\bar A) = 1$.
        \end{itemize}
  \item (Sfida.) In una stanza ci sono $23$ persone. Si dimostra (compito impegnativo, fuori dalla portata di questo capitolo) che la probabilità che almeno due abbiano lo stesso compleanno è circa $\SI{50.7}{\percent}$ — il famoso \emph{paradosso dei compleanni}. Senza fare il calcolo esatto, prova a stimare \emph{intuitivamente} cosa accadrebbe con $50$ persone: la probabilità è più vicina al $\SI{50}{\percent}$, al $\SI{75}{\percent}$ o al $\SI{97}{\percent}$? Verifica con un calcolo (consigliata la via del contrario).
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:ps-006-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Definizione classica} (Laplace): per uno spazio campionario $\Omega$ finito con esiti \emph{equiprobabili},
        \[
          P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} = \frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}.
        \]
  \item \emph{Ipotesi cruciale}: tutti gli esiti elementari devono essere equiprobabili. Quando non lo sono (dado truccato, altezze umane, esiti sportivi) la formula non si applica direttamente.
  \item \emph{Proprietà fondamentali}:
        \begin{itemize}
          \item $0 \leq P(E) \leq 1$;
          \item $P(\varnothing) = 0$, $P(\Omega) = 1$;
          \item $A\subseteq B \implies P(A) \leq P(B)$ (monotonia).
        \end{itemize}
  \item \emph{Additività per incompatibili}: se $A\cap B = \varnothing$,
        \[
          P(A\cup B) = P(A) + P(B).
        \]
        Generalizza a $n$ eventi a due a due incompatibili.
  \item \emph{Caso generale} (inclusione-esclusione):
        \[
          P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).
        \]
  \item \emph{Probabilità del contrario}: $P(\bar A) = 1 - P(A)$. Spesso il calcolo via contrario è molto più veloce di quello diretto (specie per ``almeno uno'').
  \item \emph{Espressione del risultato}: frazione, decimale o percentuale — la frazione esatta è preferibile nei calcoli, la percentuale nella comunicazione.
  \item \emph{Quando il conteggio è difficile}: applicare il calcolo combinatorio (\ref{cap:CC-001}, \ref{cap:CC-003}); la filosofia di Laplace rimane $|E|/|\Omega|$.
  \item \emph{Prossimi passi}: rilasciare l'ipotesi di equiprobabilità (\ref{cap:PS-008}), studiare la \emph{probabilità condizionata} ($P(A|B)$), gli eventi indipendenti (\ref{cap:PS-009}) e arrivare al \emph{teorema di Bayes} (\ref{cap:PS-010}).
\end{itemize}
\end{riepilogo}