\chapter{Probabilità condizionata e indipendenza}\label{cap:PS-007}

\citazioneinizio{%
  Conoscere ``qualcosa in più'' su un esperimento aleatorio modifica le probabilità che assegniamo agli esiti. Se sappiamo che un dado ha mostrato un numero pari, la probabilità che sia $5$ scende a $0$ e quella che sia $6$ sale a $1/3$. È la probabilità \emph{condizionata}: ridistribuzione delle probabilità alla luce di informazione aggiuntiva. Una delle idee più rivoluzionarie della matematica moderna.%
}{Adattato da Andrey Kolmogorov, \emph{Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung} (1933) --- prima assiomatizzazione moderna della probabilità}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:ps-007-01-introduzione-motivazionale}
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Nei capitoli precedenti (\ref{cap:PS-005}, \ref{cap:PS-006}) abbiamo introdotto la \emph{probabilità classica}: il rapporto fra casi favorevoli e casi possibili. In questo capitolo cominciamo a studiare situazioni più complesse, in cui:
\begin{itemize}
  \item un evento dipende da \emph{informazione parziale} su un altro evento (probabilità \emph{condizionata});
  \item più eventi si combinano e ne calcoliamo la probabilità \emph{composta};
  \item più eventi sono \emph{indipendenti} fra loro o \emph{dipendenti}.
\end{itemize}

Le applicazioni sono pervasive: test diagnostici medici, previsioni meteorologiche, valutazione del rischio, assicurazioni, intelligenza artificiale (filtri spam, riconoscimento immagini), criminologia (analisi delle prove), genetica, fisica statistica. La \emph{probabilità condizionata} è il cuore di tutta questa famiglia di problemi.

\emph{Esempio intuitivo}. Lancio due volte una moneta:
\begin{itemize}
  \item probabilità di ottenere due teste (in totale): $1/4$;
  \item probabilità di ottenere due teste, \emph{sapendo che il primo lancio è stato testa}: $1/2$ (dipende solo dal secondo lancio).
\end{itemize}
L'informazione ``primo lancio = testa'' modifica le probabilità degli esiti possibili.

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\section{Eventi dipendenti e indipendenti, intuitivamente}\label{sec:ps-007-02-dipendenti-indipendenti}
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\begin{definizione}[Eventi indipendenti (intuitivo)]
Due eventi $A$ e $B$ si dicono \emph{indipendenti} se il verificarsi di uno non altera la probabilità dell'altro. Altrimenti si dicono \emph{dipendenti}.
\end{definizione}

\emph{Esempi di eventi indipendenti}:
\begin{itemize}
  \item due lanci consecutivi di una moneta (gli esiti del primo non influenzano il secondo);
  \item l'estrazione di una carta con ripristino (rimetto la carta nel mazzo prima di estrarne un'altra);
  \item piovere a Milano e ottenere ``6'' lanciando un dado.
\end{itemize}

\emph{Esempi di eventi dipendenti}:
\begin{itemize}
  \item estrazione di due carte senza ripristino (la prima estratta riduce le possibilità per la seconda);
  \item lanciare un dado e ottenere un numero $\le 3$, poi ottenere un numero pari (gli esiti condizionano);
  \item piovere oggi e piovere domani (in genere correlati);
  \item fumare e avere malattie polmonari.
\end{itemize}

\subsection*{Schema operativo: ``cambia la probabilità?''}

Per stabilire se due eventi sono dipendenti o indipendenti, ci si chiede: ``conoscere il primo evento modifica la probabilità del secondo?'' Se sì, sono dipendenti; se no, indipendenti.

\subsection*{Esempio: l'urna con palline}

Un'urna contiene $3$ palline rosse e $5$ blu. Estraggo una pallina, poi un'altra. Considero gli eventi:
\begin{itemize}
  \item $A$ = ``la prima è rossa'';
  \item $B$ = ``la seconda è rossa''.
\end{itemize}

\emph{Con ripristino} (rimetto la prima nel sacchetto prima di estrarre la seconda): $P(A) = 3/8$, $P(B) = 3/8$ comunque sia andato $A$. $A$ e $B$ \emph{indipendenti}.

\emph{Senza ripristino}: $P(A) = 3/8$. Se $A$ è avvenuto (rossa estratta), restano $2$ rosse e $5$ blu su $7$, quindi $P(B|A) = 2/7$. Se invece $A^c$ è avvenuto (blu estratta), restano $3$ rosse su $7$, quindi $P(B|A^c) = 3/7$. I due valori sono diversi, dunque $A$ e $B$ \emph{dipendenti}.

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\section{Probabilità di eventi composti}\label{sec:ps-007-03-eventi-composti}
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\begin{definizione}[Evento composto, unione, intersezione]
Dati due eventi $A, B \subseteq \Omega$ (con $\Omega$ spazio campionario):
\begin{itemize}
  \item l'\emph{unione} $A \cup B$ è l'evento ``si verifica $A$ \emph{o} $B$ (o entrambi)'';
  \item l'\emph{intersezione} $A \cap B$ è l'evento ``si verificano \emph{entrambi}'';
  \item l'evento \emph{complementare} $A^c$ è ``non si verifica $A$''.
\end{itemize}
\end{definizione}

\subsection*{Probabilità dell'unione}

\begin{formulabox}
\textbf{Probabilità dell'unione di due eventi}:
\[
  P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
\]
\end{formulabox}

\emph{Caso particolare}. Se $A$ e $B$ sono \emph{incompatibili} (cioè $A \cap B = \emptyset$), allora $P(A \cap B) = 0$ e
\[
  P(A \cup B) = P(A) + P(B).
\]

\textit{Dimostrazione geometrica (diagramma di Venn)}. Sommando $P(A)$ e $P(B)$, si conta due volte la parte $A \cap B$. Sottraendola una volta otteniamo il valore corretto.

\subsection*{Probabilità del complementare}

\begin{formulabox}
\textbf{Probabilità del complementare}:
\[
  P(A^c) = 1 - P(A).
\]
\end{formulabox}

Da $\Omega = A \cup A^c$ con $A \cap A^c = \emptyset$ e $P(\Omega) = 1$.

\subsection*{Probabilità dell'intersezione}

L'intersezione dipende dalla relazione fra gli eventi:

\begin{formulabox}
\textbf{Probabilità dell'intersezione}:
\begin{itemize}
  \item se $A$ e $B$ sono \emph{indipendenti}: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$;
  \item se $A$ e $B$ sono \emph{dipendenti}: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)$ (vedi cap.~\ref{cap:PS-008}).
\end{itemize}
\end{formulabox}

\emph{Esempio}. Lancio due dadi. Probabilità di ottenere ``$6$ al primo'' (evento $A$) e ``$5$ al secondo'' (evento $B$). Sono indipendenti: $P(A \cap B) = (1/6)(1/6) = 1/36$.

\subsection*{Estensione a più eventi (incompatibili)}

\begin{formulabox}
Per $n$ eventi $A_1, A_2, \ldots, A_n$ a \emph{due a due incompatibili}:
\[
  P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n).
\]
\end{formulabox}

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\section{Diagrammi ad albero}\label{sec:ps-007-04-diagrammi-albero}
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I \emph{diagrammi ad albero} sono uno strumento visivo molto utile per organizzare i calcoli di probabilità composte, soprattutto quando ci sono \emph{eventi in successione} (un esperimento dopo l'altro).

\subsection*{Costruzione di un diagramma ad albero}

\begin{procedura}[Diagramma ad albero per esperimenti sequenziali]
\begin{enumerate}
  \item Tracciare una radice (punto di partenza).
  \item Dalla radice, far partire un \emph{ramo} per ogni esito del primo esperimento, etichettato con la sua probabilità.
  \item Da ogni nodo del primo livello, far partire i rami del secondo esperimento (con eventuali probabilità condizionate dalla scelta del primo).
  \item Ripetere per ciascun livello.
  \item Le probabilità lungo un \emph{percorso} (dalla radice alle foglie) si \emph{moltiplicano} per ottenere la probabilità dell'esito specifico.
  \item Le probabilità di esiti diversi (percorsi diversi) si \emph{sommano} se vogliamo unirli.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, line cap=round, level distance=2.5cm, sibling distance=2cm,
  every node/.style={font=\small}]
  % radice
  \node[circle, draw, BLU] (root) {};
  % primo livello
  \node[circle, draw, ROSSO] (R1) at (-2.5,-1.5) {R};
  \node[circle, draw, VERDE] (B1) at (2.5,-1.5) {B};
  \draw[->] (root) -- (R1) node[midway, above left] {$3/8$};
  \draw[->] (root) -- (B1) node[midway, above right] {$5/8$};
  % secondo livello sinistro
  \node[circle, draw, ROSSO] (R1R2) at (-3.7,-3.5) {R};
  \node[circle, draw, VERDE] (R1B2) at (-1.5,-3.5) {B};
  \draw[->] (R1) -- (R1R2) node[midway, left] {$2/7$};
  \draw[->] (R1) -- (R1B2) node[midway, right] {$5/7$};
  % secondo livello destro
  \node[circle, draw, ROSSO] (B1R2) at (1.5,-3.5) {R};
  \node[circle, draw, VERDE] (B1B2) at (3.7,-3.5) {B};
  \draw[->] (B1) -- (B1R2) node[midway, left] {$3/7$};
  \draw[->] (B1) -- (B1B2) node[midway, right] {$4/7$};
  % probabilita finali sotto le foglie
  \node[below] at (-3.7,-3.8) {$\dfrac{6}{56}$};
  \node[below] at (-1.5,-3.8) {$\dfrac{15}{56}$};
  \node[below] at (1.5,-3.8) {$\dfrac{15}{56}$};
  \node[below] at (3.7,-3.8) {$\dfrac{20}{56}$};
\end{tikzpicture}
\caption{Diagramma ad albero per due estrazioni \emph{senza ripristino} da un'urna con $3$ palline rosse (R) e $5$ blu (B). I rami del primo livello hanno probabilità $3/8$ e $5/8$; al secondo livello le probabilità cambiano perché c'è una pallina in meno (estrazione senza ripristino). Le probabilità lungo un percorso si moltiplicano: $P(RR) = (3/8)(2/7) = 6/56$.}\label{fig:ps-007-albero}
\end{figure}

\subsection*{Verifica: somma totale $= 1$}

In un diagramma ad albero completo, la \emph{somma} delle probabilità di tutte le foglie deve fare $1$ (gli esiti elementari ricoprono l'intero spazio campionario). Nel grafico sopra: $6/56 + 15/56 + 15/56 + 20/56 = 56/56 = 1$. \checkmark

\subsection*{Applicazioni tipiche}

\begin{itemize}
  \item \emph{Estrazioni successive senza ripristino};
  \item \emph{Lanci ripetuti} di monete o dadi;
  \item \emph{Test diagnostici a stadi}: prima un test, poi un altro;
  \item \emph{Catene di scelte} in giochi e strategie.
\end{itemize}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:ps-007-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Due monete: probabilità di due teste]
Lancio due volte una moneta equa. Calcolare la probabilità di ottenere due teste.

\textbf{Indipendenza}: i due lanci sono indipendenti. $P(\text{T}_1) = P(\text{T}_2) = 1/2$.

\textbf{Probabilità composta}: $P(\text{T}_1 \cap \text{T}_2) = (1/2)(1/2) = 1/4$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Tre monete: almeno una testa]
Lancio tre monete eque. Probabilità di ottenere almeno una testa?

\textbf{Complementare}. È più comodo calcolare $P(\text{nessuna testa}) = P(\text{C}\text{C}\text{C}) = (1/2)^3 = 1/8$.

\textbf{Risposta}: $P(\text{almeno una T}) = 1 - 1/8 = 7/8$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Estrazione senza ripristino]
Un mazzo di $52$ carte. Estraggo $2$ carte senza ripristino. Probabilità che siano entrambe assi?

\textbf{Eventi dipendenti}. $P(\text{1° asso}) = 4/52 = 1/13$. Sapendo che la prima è un asso, restano $3$ assi su $51$, dunque $P(\text{2° asso} | \text{1° asso}) = 3/51 = 1/17$.

\textbf{Composta}: $P(\text{2 assi}) = (1/13)(1/17) = 1/221 \approx 0{,}00452$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Unione di eventi non incompatibili]
In una classe di $30$ studenti, $18$ giocano a calcio, $15$ a basket, $8$ a entrambi. Probabilità che uno studente preso a caso giochi a calcio o a basket?

\textbf{Unione}: $P(\text{C} \cup \text{B}) = P(\text{C}) + P(\text{B}) - P(\text{C} \cap \text{B}) = 18/30 + 15/30 - 8/30 = 25/30 = 5/6$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Diagramma ad albero: percorsi multipli]
Lancio una moneta. Se esce testa, estraggo una carta da un mazzo da $52$. Se esce croce, lancio un dado. Probabilità di ottenere ``estrazione di un asso'' o ``lancio di un $6$''?

\textbf{Strategia con albero}. Due percorsi possibili:
\begin{itemize}
  \item T (1/2) → asso (4/52 = 1/13): probabilità $(1/2)(1/13) = 1/26$;
  \item C (1/2) → 6 (1/6): probabilità $(1/2)(1/6) = 1/12$.
\end{itemize}

\textbf{Eventi mutuamente esclusivi} (i due percorsi non possono coesistere): sommiamo.

\textbf{Totale}: $1/26 + 1/12 = 6/156 + 13/156 = 19/156 \approx 0{,}122$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Dipendenti vs indipendenti: lancio di due dadi]
Lancio due dadi. Eventi:
\begin{itemize}
  \item $A$ = ``somma uguale a $7$'';
  \item $B$ = ``primo dado pari''.
\end{itemize}
Sono indipendenti?

\textbf{Calcolo $P(A)$}. Le coppie con somma $7$ sono: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$: $6$ coppie su $36$. $P(A) = 6/36 = 1/6$.

\textbf{Calcolo $P(B)$}. Il primo dado è pari ($2, 4, 6$) con probabilità $1/2$.

\textbf{Calcolo $P(A \cap B)$}. Coppie con somma $7$ e primo dado pari: $(2,5), (4,3), (6,1)$. Tre coppie su $36$, $P(A \cap B) = 3/36 = 1/12$.

\textbf{Verifica indipendenza}: $P(A) \cdot P(B) = (1/6)(1/2) = 1/12 = P(A \cap B)$. \checkmark

\textbf{Conclusione}: gli eventi sono \emph{indipendenti}, sorprendentemente! Anche se a prima vista sembrano legati, in realtà sapere che il primo dado è pari non modifica la probabilità che la somma sia $7$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:ps-007-06-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Per ciascuna coppia di eventi, indicare se sono indipendenti o dipendenti (con giustificazione intuitiva):
  \begin{enumerate}
    \item l'esito di un lancio di moneta e il sesso del prossimo nato;
    \item l'esito di un lancio di moneta e l'esito del successivo lancio;
    \item le carte estratte da un mazzo \emph{senza} ripristino;
    \item le carte estratte da un mazzo \emph{con} ripristino;
    \item piovere oggi e piovere domani;
    \item ottenere ``testa'' e ottenere ``$6$'' al dado, in lanci simultanei.
  \end{enumerate}

  \item Lancio due dadi (uno rosso, uno blu). Calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item probabilità che la somma sia $5$;
    \item probabilità che il rosso sia $\ge 4$;
    \item probabilità che sia somma $5$ \emph{e} rosso $\ge 4$;
    \item probabilità che sia somma $5$ \emph{o} rosso $\ge 4$.
  \end{enumerate}

  \item Lancio una moneta tre volte. Calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item probabilità di esattamente $2$ teste;
    \item probabilità di almeno $1$ testa;
    \item probabilità di al massimo $2$ teste.
  \end{enumerate}

  \item Un'urna contiene $4$ palline bianche, $3$ rosse, $3$ verdi. Estraggo $2$ palline \emph{senza ripristino}. Costruire l'albero e calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item probabilità di estrarre due bianche;
    \item probabilità di estrarne una bianca e una rossa (in qualunque ordine);
    \item probabilità di non estrarre nessuna verde.
  \end{enumerate}

  \item Ripetere l'esercizio precedente con estrazione \emph{con ripristino}.

  \item Estraggo $3$ carte da un mazzo da $52$ senza ripristino. Probabilità che siano tutte di cuori?

  \item In un'urna ci sono $10$ palline, di cui $4$ rosse. Estraggo $5$ palline senza ripristino. Probabilità che esattamente $2$ siano rosse? (Suggerimento: combinazione di scelte.)

  \item Una scatola contiene $20$ chiodi, di cui $4$ difettosi. Estraggo $2$ chiodi senza ripristino. Probabilità che almeno uno sia difettoso?

  \item Vero o falso (giustificando):
  \begin{enumerate}
    \item se $A$ e $B$ sono incompatibili, sono indipendenti;
    \item se $A$ e $B$ sono indipendenti, sono incompatibili;
    \item se $A \subseteq B$, allora $P(A \cap B) = P(A)$;
    \item due eventi disgiunti possono essere indipendenti solo se uno dei due ha probabilità $0$.
  \end{enumerate}

  \item Una classe ha $25$ studenti, di cui $14$ ragazze e $11$ ragazzi. Tra le ragazze, $8$ studiano francese e $6$ tedesco. Tra i ragazzi, $4$ studiano francese e $7$ tedesco. Scelgo a caso uno studente. Probabilità che:
  \begin{enumerate}
    \item sia una ragazza;
    \item sia una ragazza che studia francese;
    \item studi francese, sapendo che è una ragazza;
    \item sia una ragazza, sapendo che studia francese.
  \end{enumerate}

  \item Un sistema ha due componenti $A$ e $B$ in serie (entrambi devono funzionare per il sistema). $A$ funziona con probabilità $0{,}9$, $B$ con $0{,}95$. Sono \emph{indipendenti}. Probabilità che il sistema funzioni?

  \item Un sistema ha due componenti $A, B$ in parallelo (basta che uno funzioni). Con le stesse probabilità di prima, probabilità che il sistema funzioni?

  \item Lancio una moneta truccata con $P(T) = 0{,}6$ tre volte. Probabilità di esattamente $2$ teste?

  \item \emph{Sfida (paradosso dei compleanni)}. In una classe di $23$ studenti, qual è la probabilità che almeno due abbiano lo stesso compleanno? (Suggerimento: complementare. Approssimazione: ${\sim} 50\%$, sorprendentemente alta!)

  \item Costruire l'albero per il seguente esperimento: si estrae una carta da un mazzo di $52$; se è rossa, si lancia un dado; se è nera, si lancia due dadi e si guarda la somma. Calcolare la probabilità che il risultato finale sia $\ge 5$.

  \item In un test a $10$ domande con $4$ scelte ciascuna, un candidato risponde a caso. Probabilità di:
  \begin{enumerate}
    \item esattamente $3$ risposte giuste;
    \item almeno $7$ risposte giuste;
    \item nessuna giusta.
  \end{enumerate}
  (Suggerimento: schema di Bernoulli, anticipo cap.~\ref{cap:PS-009}.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:ps-007-07-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Eventi indipendenti}: il verificarsi di uno non modifica la probabilità dell'altro.
  \item \emph{Eventi dipendenti}: il verificarsi di uno modifica la probabilità dell'altro.
  \item \emph{Eventi incompatibili} (o \emph{disgiunti}): $A \cap B = \emptyset$, non possono verificarsi insieme.
  \item \emph{Probabilità dell'unione}: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Se incompatibili: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
  \item \emph{Probabilità del complementare}: $P(A^c) = 1 - P(A)$.
  \item \emph{Probabilità dell'intersezione}:
    \begin{itemize}
      \item se indipendenti: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$;
      \item in generale: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ (cap.~\ref{cap:PS-008}).
    \end{itemize}
  \item \emph{Diagrammi ad albero}: strumento visivo per organizzare le probabilità composte in esperimenti sequenziali.
    \begin{itemize}
      \item lungo un percorso: probabilità si \emph{moltiplicano};
      \item fra percorsi distinti (esiti diversi): probabilità si \emph{sommano};
      \item somma totale delle foglie = $1$.
    \end{itemize}
  \item \emph{Errori comuni}:
    \begin{itemize}
      \item confondere ``incompatibili'' con ``indipendenti'': sono concetti diversi! In realtà, due eventi non banali sono incompatibili \emph{e} indipendenti solo in casi degeneri;
      \item dimenticare di sottrarre $P(A \cap B)$ nella formula dell'unione (doppia conteggio);
      \item dimenticare il ripristino o l'assenza di ripristino: cambia drasticamente i risultati.
    \end{itemize}
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:PS-008}) introduciamo formalmente la \emph{probabilità condizionata} $P(B|A)$ e i teoremi della \emph{probabilità composta} e \emph{totale}.
\end{itemize}
\end{riepilogo}