\chapter{Variabili aleatorie discrete, valore atteso e varianza}\label{cap:PS-011}

\citazioneinizio{%
  Diciamo \emph{speranza matematica} di un giocatore in un gioco d'azzardo il valore di quella somma certa che gli è equivalente alla situazione aleatoria in cui si trova. Se in un'urna vi sono due tipi di palline, una vincita di \num{4} fiorini per tipo $A$ e una di \num{1} fiorino per tipo $B$, in numero uguale, la speranza del giocatore è $(4 + 1)/2 = \num{2.5}$ fiorini per ogni estrazione.%
}{Christiaan Huygens, \emph{De ratiociniis in ludo aleae} (1657), prima trattazione sistematica del concetto di \emph{valore atteso}}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:ps-011-01-introduzione-motivazionale}
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Nei capitoli precedenti di probabilità (\ref{cap:PS-007}--\ref{cap:PS-010}) abbiamo trattato \emph{eventi}: oggetti per cui ha senso la domanda ``si è verificato o no?''. Ma in molti esperimenti aleatori ci interessa non solo se è accaduto qualcosa, ma anche il \emph{valore numerico} associato:
\begin{itemize}
  \item il risultato del lancio di un dado (numero da $1$ a $6$);
  \item il numero di teste in $n$ lanci di una moneta;
  \item il guadagno in euro a un gioco;
  \item il tempo di attesa di un autobus (esempio \emph{continuo}, \ref{cap:PS-012}).
\end{itemize}
La quantità numerica che assume valori a seconda dell'esito dell'esperimento si chiama \emph{variabile aleatoria} (in breve, VA). Più formalmente, è una funzione dallo spazio degli esiti $\Omega$ all'insieme dei numeri reali. Quando assume solo un numero finito (o numerabile) di valori, la VA si dice \emph{discreta}; quando può assumere un \emph{continuo} di valori, si dice \emph{continua} (\ref{cap:PS-012}).

In questo capitolo introduciamo:
\begin{itemize}
  \item la \emph{definizione} di variabile aleatoria discreta e la sua \emph{distribuzione di probabilità};
  \item il \emph{valore atteso} (o \emph{media}, o \emph{speranza matematica}): la generalizzazione del concetto di media aritmetica;
  \item la \emph{varianza} e la \emph{deviazione standard}: misure della dispersione attorno al valore medio;
  \item la \emph{funzione di ripartizione}.
\end{itemize}
Nei prossimi capitoli vedremo le distribuzioni discrete più importanti (binomiale \ref{cap:PS-013}, Poisson \ref{cap:PS-014}) e l'analogo continuo, in particolare la normale (\ref{cap:PS-015}).

\medskip

\emph{Nota storica}. La teoria del valore atteso nasce nel carteggio Pascal--Fermat del 1654 sul \emph{problema della divisione delle puntate}: come dividere equamente la posta di un gioco interrotto, sapendo le probabilità di vittoria di ciascun giocatore. Christiaan Huygens, nel \emph{De ratiociniis in ludo aleae} (1657), formalizzò il concetto di \emph{expectatio} (speranza matematica). Daniel Bernoulli (\emph{Specimen theoriae novae de mensura sortis}, 1738), discutendo il celebre \emph{paradosso di San Pietroburgo}, introdusse il concetto di utilità e raffinò la teoria. La sistemazione moderna è dovuta a Kolmogorov (1933).

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\section{Definizione di variabile aleatoria discreta}\label{sec:ps-011-02-definizione-di-variabile-aleatoria-discreta}
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\begin{definizione}[Variabile aleatoria discreta]
Sia $\Omega$ lo spazio degli esiti di un esperimento aleatorio (con probabilità $P$ definita su di esso). Una \emph{variabile aleatoria discreta} è una funzione
\[
  X : \Omega \to \R
\]
che assume un insieme \emph{finito} o \emph{numerabile} di valori reali $\{x_1, x_2, x_3, \ldots\}$.

L'evento ``$X$ assume il valore $x_i$'' si denota $\{X = x_i\}$ e ha probabilità $P(X = x_i) = p_i$.
\end{definizione}

\emph{Convenzione di notazione}. Le variabili aleatorie si denotano con lettere maiuscole ($X, Y, Z$); i valori specifici da esse assunti, con lettere minuscole ($x_i, y_j$). $P(X = x)$ si legge ``probabilità che $X$ assuma valore $x$''.

\begin{esempio}[Lancio di un dado regolare]
$X$ = ``risultato del lancio''. Valori possibili: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Probabilità di ogni valore: $P(X = i) = 1/6$ per ogni $i$. È una VA \emph{discreta uniforme} su $\{1, \ldots, 6\}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Somma di due dadi]
$Y$ = ``somma dei risultati di due dadi''. Valori: $\{2, 3, 4, \ldots, 12\}$. Probabilità non uniformi: il valore più probabile è $7$ (con $P(Y = 7) = 6/36 = 1/6$), gli estremi $2$ e $12$ sono meno probabili ($P(Y = 2) = P(Y = 12) = 1/36$).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Numero di teste in $n$ lanci di moneta]
$X$ = numero di teste in $n$ lanci di una moneta equa. Valori: $\{0, 1, 2, \ldots, n\}$. È una VA \emph{binomiale} (vedi \ref{cap:PS-013}).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Numero di passeggeri di un autobus a una fermata]
$X$ = numero di passeggeri che salgono in un'ora. Valori: $\{0, 1, 2, \ldots\}$ (numerabile). VA tipica di \emph{Poisson} (\ref{cap:PS-014}).
\end{esempio}

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\section{Distribuzione di probabilità}\label{sec:ps-011-03-distribuzione-di-probabilita}
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\begin{definizione}[Distribuzione di probabilità di una VA discreta]
Sia $X$ una VA discreta con valori $\{x_1, x_2, \ldots\}$. La \emph{distribuzione di probabilità} (o \emph{legge}, o \emph{funzione di massa}) di $X$ è la funzione
\[
  p(x_i) = P(X = x_i).
\]
Le $p(x_i)$ soddisfano le proprietà fondamentali:
\begin{itemize}
  \item $p(x_i) \ge 0$ per ogni $i$ (probabilità non negative);
  \item $\sum_i p(x_i) = 1$ (normalizzazione: qualcosa deve succedere).
\end{itemize}
\end{definizione}

\emph{Rappresentazione}. Una distribuzione di probabilità si rappresenta tipicamente con una \emph{tabella} (valori e probabilità) oppure con un \emph{diagramma a bastoncini}.

\begin{esempio}[Distribuzione del dado in tabella]
\[
\begin{array}{c|cccccc}
x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
p(x_i) & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6
\end{array}
\]
Verifica: $\sum p(x_i) = 6 \cdot 1/6 = 1$. $\checkmark$
\end{esempio}

\begin{esempio}[Distribuzione della somma di due dadi]
\[
\begin{array}{c|ccccccccccc}
x_i & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline
p(x_i) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36}
\end{array}
\]
Verifica: $\sum p(x_i) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)/36 = 36/36 = 1$. $\checkmark$
\end{esempio}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw[->, GRIGIO!60] (0, 0) -- (14, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO!60] (0, 0) -- (0, 5) node[above] {$p(x)$};
  \foreach \x/\h in {2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 7/6, 8/5, 9/4, 10/3, 11/2, 12/1} {
    \draw[BLU, very thick] (\x, 0) -- (\x, \h*0.6);
    \filldraw[BLU] (\x, \h*0.6) circle (3pt);
    \node[below] at (\x, 0) {\small \x};
  }
  \node[left] at (0, 0.6) {\small $\tfrac{1}{36}$};
  \node[left] at (0, 3.6) {\small $\tfrac{6}{36}$};
  \draw[GRIGIO!50, dashed] (0, 0.6) -- (12.5, 0.6);
  \draw[GRIGIO!50, dashed] (0, 3.6) -- (7, 3.6);
\end{tikzpicture}
\caption{Diagramma a bastoncini della distribuzione di probabilità della somma di due dadi. Il picco è in $x = 7$ ($p = 6/36 = 1/6$), simmetrica rispetto a $7$.}
\label{fig:ps-011-distribuzione-due-dadi}
\end{figure}

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\section{Valore atteso (speranza matematica)}\label{sec:ps-011-04-valore-atteso-speranza-matematica}
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\begin{definizione}[Valore atteso]
Sia $X$ una VA discreta con valori $\{x_i\}$ e probabilità $\{p_i = P(X = x_i)\}$. Il \emph{valore atteso} (o \emph{media}, o \emph{speranza matematica}) di $X$ è
\end{definizione}

\begin{formulabox}
\[
  E(X) = \mu_X = \sum_i x_i \cdot p_i.
\]
\end{formulabox}

\emph{Interpretazione}. Il valore atteso è il valore medio ``a lungo termine'' di $X$: se ripeti l'esperimento moltissime volte, la media aritmetica dei risultati tende a $E(X)$ (legge dei grandi numeri). Non è in generale uno dei valori effettivamente assunti (es.~per il dado, $E(X) = 3.5$, non un risultato possibile).

\begin{esempio}[Valore atteso del dado]
\[
  E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \num{3.5}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Valore atteso della somma di due dadi]
$E(Y) = 7$. Si può verificare direttamente con la tabella o usando la \emph{linearità} (sotto): $E(Y) = E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2) = 3.5 + 3.5 = 7$.
\end{esempio}

\subsection*{Proprietà del valore atteso}

\begin{formulabox}
\textbf{Linearità}. Per VA $X, Y$ e costanti $a, b \in \R$:
\[
  E(a X + b Y) = a E(X) + b E(Y), \qquad E(c) = c \text{ per } c \text{ costante}.
\]
\emph{Importante}: la linearità vale \emph{sempre}, anche se $X, Y$ non sono indipendenti.
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione (caso $a X + b$)}. Se $Z = a X + b$, allora $Z$ assume valori $z_i = a x_i + b$ con probabilità $p_i$. Quindi $E(Z) = \sum (a x_i + b) p_i = a \sum x_i p_i + b \sum p_i = a E(X) + b$ (usando $\sum p_i = 1$). $\square$

\begin{esempio}[Gioco equo: valore atteso del guadagno]
Un gioco prevede di pagare \num{5}~euro per tirare un dado: si vince un numero di euro pari al risultato del dado. Calcolare il \emph{guadagno atteso} (= vincita $-$ posta).

$X$ = risultato dado, $E(X) = 3.5$~euro. Guadagno $G = X - 5$, $E(G) = E(X) - 5 = -1.5$~euro per partita. Il gioco è \emph{sfavorevole al giocatore}.

\emph{Per essere ``equo''} (E(G) = 0), la posta dovrebbe essere $3.5$~euro.
\end{esempio}

\subsection*{Valore atteso di una funzione di una VA}

Se $g : \R \to \R$ è una funzione, allora $g(X)$ è anch'essa una VA, e
\[
  E(g(X)) = \sum_i g(x_i) p_i.
\]
\emph{Attenzione}: in generale $E(g(X)) \ne g(E(X))$ (se $g$ non è lineare). Esempio: $E(X^2) \ne (E(X))^2$.

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\section{Varianza e deviazione standard}\label{sec:ps-011-05-varianza-e-deviazione-standard}
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Il valore atteso descrive la ``posizione centrale'' della distribuzione, ma non dice nulla sulla \emph{dispersione}: distribuzioni con la stessa media possono essere concentrate o disperse. La \emph{varianza} quantifica la dispersione.

\begin{definizione}[Varianza e deviazione standard]
Sia $X$ una VA discreta con media $\mu = E(X)$. La \emph{varianza} di $X$ è
\[
  \operatorname{Var}(X) = \sigma^2_X = E((X - \mu)^2) = \sum_i (x_i - \mu)^2 p_i.
\]
La \emph{deviazione standard} (o \emph{scarto quadratico medio}) è $\sigma_X = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}$.
\end{definizione}

\emph{Significato}. La varianza misura quanto i valori di $X$ ``si scostano in media (al quadrato)'' dalla media. Il quadrato evita la compensazione fra scarti positivi e negativi. La deviazione standard, avendo la stessa unità di misura di $X$, è più facile da interpretare.

\subsection*{Formula utile per il calcolo}

\begin{formulabox}
\textbf{Formula di Koenig--Huygens}:
\[
  \operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = E(X^2) - \mu^2.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione}: $E((X - \mu)^2) = E(X^2 - 2 \mu X + \mu^2) = E(X^2) - 2 \mu E(X) + \mu^2 = E(X^2) - 2 \mu^2 + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2$. (Si è usata la linearità di $E$.)

\begin{esempio}[Varianza del dado]
$E(X) = 3.5$. $E(X^2) = \sum_{i=1}^6 i^2 \cdot 1/6 = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6 \approx \num{15.17}$. $\operatorname{Var}(X) = 91/6 - (7/2)^2 = 91/6 - 49/4 = (182 - 147)/12 = 35/12 \approx \num{2.917}$. $\sigma = \sqrt{35/12} \approx \num{1.708}$.
\end{esempio}

\subsection*{Proprietà della varianza}

\begin{formulabox}
\textbf{Proprietà della varianza}:
\begin{itemize}
  \item $\operatorname{Var}(c) = 0$ per ogni costante $c$.
  \item $\operatorname{Var}(a X + b) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ (la varianza è invariante per traslazione, scala quadraticamente).
  \item Per VA \emph{indipendenti}: $\operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)$. \emph{Attenzione}: serve l'indipendenza, mentre la linearità del valore atteso non la richiede.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Varianza della somma di due dadi]
$\operatorname{Var}(Y) = \operatorname{Var}(X_1) + \operatorname{Var}(X_2) = 35/12 + 35/12 = 35/6 \approx \num{5.833}$. $\sigma_Y \approx \num{2.415}$.
\end{esempio}

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\section{Funzione di ripartizione}\label{sec:ps-011-06-funzione-di-ripartizione}
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\begin{definizione}[Funzione di ripartizione]
La \emph{funzione di ripartizione} (o \emph{cumulativa}) di una VA $X$ è
\[
  F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{x_i \le x} p_i.
\]
\end{definizione}

\emph{Proprietà} di $F_X$:
\begin{itemize}
  \item $F_X$ è monotona non decrescente.
  \item $\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$, $\lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1$.
  \item $F_X$ è continua a destra (in ogni punto) e ``a scaletta'' per VA discrete: salti in corrispondenza dei valori $x_i$, di altezza $p_i$.
\end{itemize}

\begin{esempio}[Ripartizione del dado]
\[
  F_X(x) = \begin{cases}
    0 & x < 1 \\
    1/6 & 1 \le x < 2 \\
    2/6 & 2 \le x < 3 \\
    3/6 & 3 \le x < 4 \\
    4/6 & 4 \le x < 5 \\
    5/6 & 5 \le x < 6 \\
    1 & x \ge 6
  \end{cases}
\]
Funzione ``a scaletta'' con $6$ scalini di altezza $1/6$ ciascuno.
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:ps-011-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Gioco con dado da \num{4} facce]
Un dado a $4$ facce (tetraedrico) ha la distribuzione $\{1, 2, 3, 4\}$ uniforme. Calcolare $E(X)$, $\operatorname{Var}(X)$.

$E(X) = (1+2+3+4)/4 = \num{2.5}$. $E(X^2) = (1+4+9+16)/4 = 30/4 = \num{7.5}$. $\operatorname{Var}(X) = 7.5 - 6.25 = \num{1.25}$. $\sigma = \sqrt{1.25} \approx \num{1.118}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[VA con distribuzione non uniforme]
$X$: valori $\{0, 1, 2, 3\}$ con $p_0 = 0.4, p_1 = 0.3, p_2 = 0.2, p_3 = 0.1$. Calcolare $E$ e $\operatorname{Var}$.

\textbf{Verifica normalizzazione}: $0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1$. $\checkmark$

\textbf{Media}: $E(X) = 0 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.1 = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.3 = \num{1}$.

\textbf{Secondo momento}: $E(X^2) = 0 + 1 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 = 0.3 + 0.8 + 0.9 = \num{2}$.

\textbf{Varianza}: $\operatorname{Var}(X) = 2 - 1^2 = 1$. $\sigma = 1$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Gioco a roulette: valore atteso]
In una roulette europea (37 numeri: 0--36), si scommette \num{1}~euro sul rosso (probabilità $18/37$ di vincere, $19/37$ di perdere). Calcolare $E(G)$ del guadagno per puntata.

$G$: vale $+1$~euro con prob.~$18/37$, $-1$~euro con prob.~$19/37$. $E(G) = 1 \cdot 18/37 - 1 \cdot 19/37 = -1/37 \approx \num{-0.027}$~euro.

Su moltissime giocate, il giocatore perde mediamente $\num{2.7}\%$ del giocato. La roulette è strutturalmente sfavorevole.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Assicurazione]
Una compagnia vende un'assicurazione per \num{50}~euro/anno. Il rischio coperto vale \num{5000}~euro e ha probabilità $\num{0.005}$/anno di verificarsi. Calcolare il guadagno atteso annuo per la compagnia.

$G$ = guadagno/cliente = $50 - X \cdot 5000$, dove $X = 1$ se sinistro, $0$ altrimenti. $E(X) = \num{0.005}$. $E(G) = 50 - \num{0.005} \cdot 5000 = 50 - 25 = \num{25}$~euro/cliente/anno. La compagnia guadagna in media \num{25}~euro per cliente.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Lotteria]
Una lotteria emette \num{10000} biglietti a \num{1}~euro l'uno, con un premio di \num{5000}~euro al vincitore unico. $G$ per il giocatore: $+4999$ con probabilità $1/10000$, $-1$ con probabilità $9999/10000$. $E(G) = 4999/10000 - 9999/10000 = -5000/10000 = \num{-0.5}$~euro. Il giocatore perde mediamente \num{0.5}~euro per biglietto.

\emph{Ottica dell'organizzatore}: incassa $\num{10000}$~euro, paga \num{5000} di premio, ricavo netto $\num{5000}$~euro su \num{10000} biglietti = $\num{0.5}$~euro/biglietto. Coincide con la perdita del giocatore: l'organizzatore guadagna ciò che il giocatore (in media) perde. \emph{Gioco a somma zero}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Confronto di varianze]
Due VA $X, Y$ assumono i valori $\{0, 10\}$ ciascuna con probabilità $1/2$. $E(X) = E(Y) = 5$. $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - 25 = 50 - 25 = 25$. $\sigma = 5$.

Confrontiamo con $Z$ uniforme su $\{4, 5, 6\}$: $E(Z) = 5$, $E(Z^2) = (16+25+36)/3 = 77/3 \approx \num{25.67}$. $\operatorname{Var}(Z) = 77/3 - 25 = 2/3 \approx \num{0.67}$. $\sigma_Z \approx \num{0.82}$.

\emph{Stessa media} ma \emph{dispersioni molto diverse}: $X$ oscilla fra estremi, $Z$ è concentrata. La deviazione standard cattura questa differenza.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Paradosso di San Pietroburgo (Bernoulli 1738)]
Un gioco prevede di lanciare una moneta equa finché non esce testa. Se testa esce al $k$-esimo lancio, il giocatore vince $2^k$~euro. Quanto si deve pagare per partecipare in modo che il gioco sia equo?

$P(k$-esima testa$) = (1/2)^k$. Valore atteso della vincita:
\[
  E = \sum_{k=1}^{+\infty} 2^k \cdot (1/2)^k = \sum_{k=1}^{+\infty} 1 = +\infty.
\]
La speranza matematica è \emph{infinita}: in teoria, il giocatore dovrebbe essere disposto a pagare qualunque somma. In pratica, però, nessuno pagherebbe più di pochi euro per giocare. Il paradosso evidenzia i limiti del valore atteso come unico criterio decisionale: occorre considerare anche la \emph{varianza} (qui infinita) e l'\emph{utilità marginale decrescente} (Bernoulli, $\ln(\text{denaro})$).
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:ps-011-08-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Una VA $X$ ha distribuzione: $P(X=0) = 0.2$, $P(X=1) = 0.5$, $P(X=2) = 0.3$. Calcolare $E(X)$, $E(X^2)$, $\operatorname{Var}(X)$, $\sigma$.
  \item Per ciascuna VA, calcolare $E$, $\operatorname{Var}$, $\sigma$:
  \begin{enumerate}
    \item Uniforme su $\{1, 2, \ldots, 10\}$;
    \item $X$ vale $-1, 0, 1$ con probabilità $1/4, 1/2, 1/4$;
    \item Bernoulli: $P(X=1) = p$, $P(X=0) = 1-p$ (suggerimento: $E(X) = p$, $\operatorname{Var}(X) = p(1-p)$).
  \end{enumerate}
  \item Si lanciano due dadi. $X$ = somma, $Y$ = massimo, $Z$ = minimo dei due risultati. Calcolare $E(X)$, $E(Y)$, $E(Z)$. Verificare che $E(X) = E(Y) + E(Z)$ (perché?).
  \item Una scatola contiene $7$ palline rosse e $3$ blu. Si estrae senza reimmissione $1$ pallina. $X = 1$ se rossa, $0$ se blu. Calcolare $E(X)$ e $\operatorname{Var}(X)$.
  \item Una giostra costa \num{2}~euro/giro. Hai un coupon che ti permette di giocare se esce un numero pari su un dado. Quanto vale ``in soldi'' il coupon? (Suggerimento: $E$(guadagno) = $\num{0.5} \cdot 2 = \num{1}$~euro.)
  \item Una pallina è estratta da un'urna con \num{20} palline numerate da $1$ a $20$. $X$ = numero estratto. Calcolare $E(X), E(X^2), \operatorname{Var}(X), \sigma$.
  \item Si lanciano $3$ monete equi. $X$ = numero di teste. Calcolare la distribuzione di $X$, $E(X)$, $\operatorname{Var}(X)$.
  \item In un gioco si paga \num{10}~euro e si lancia una coppia di dadi. Si vince \num{100}~euro se la somma è \num{7}, altrimenti niente. Calcolare il guadagno atteso. Il gioco è favorevole?
  \item Un'assicurazione auto costa \num{500}~euro/anno. La probabilità di un incidente è $\num{0.02}$/anno; il costo medio dell'incidente è $\num{30000}$~euro. Calcolare il guadagno atteso per la compagnia e il punto di pareggio.
  \item $X$ ha distribuzione uniforme su $\{1, 2, \ldots, n\}$. Mostrare che $E(X) = (n+1)/2$ e $\operatorname{Var}(X) = (n^2 - 1)/12$.
  \item Una scatola contiene $10$ lampade, $2$ delle quali difettose. Si estraggono $3$ lampade. $X$ = numero di difettose estratte. Costruire la distribuzione di $X$ e calcolare $E(X)$, $\operatorname{Var}(X)$ (suggerimento: VA \emph{ipergeometrica}).
  \item Una VA $X$ ha funzione di ripartizione $F(x) = 0$ per $x < 1$, $F(x) = 0.3$ per $1 \le x < 2$, $F(x) = 0.7$ per $2 \le x < 3$, $F(x) = 1$ per $x \ge 3$. Determinare la distribuzione di $X$ e calcolare $E(X)$.
  \item Una lotteria emette \num{1000} biglietti a \num{2}~euro. Premi: $1$ da \num{500}~euro, $5$ da \num{50}~euro, $20$ da \num{10}~euro, gli altri biglietti nulli. Calcolare il guadagno atteso del giocatore.
  \item Mostrare che la varianza è sempre $\ge 0$, e $= 0$ se e solo se $X$ è costante.
  \item In una sezione di una scuola, voto medio $\bar v = \num{7.0}$, varianza $\sigma^2 = \num{1.5}$. Si decide di aggiungere $\num{0.5}$ a tutti i voti. Calcolare nuovi $\bar v$ e $\sigma^2$. Si decide poi di moltiplicare tutti i voti per $\num{1.2}$ (riscala). Calcolare i nuovi parametri. (Suggerimento: $E(X + b) = E(X) + b$, $\operatorname{Var}(X+b) = \operatorname{Var}(X)$; $E(aX) = a E(X)$, $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$.)
  \item \emph{Sfida (paradosso di San Pietroburgo)}. Rivisitare il paradosso del testo: discutere il valore atteso \emph{limitato} se si pone un tetto di vincita (es.~banca paga max $2^{20}$ euro). Calcolare $E$ in tal caso e mostrare che è $\approx 21$~euro (tetto + 1, in unità di euro). \emph{Lezione}: i paradossi di valore atteso infinito spariscono quando si introducono vincoli realistici.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:ps-011-09-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Variabile aleatoria discreta}: funzione $X : \Omega \to \R$ con valori in un insieme finito o numerabile.
  \item \emph{Distribuzione di probabilità}: $p(x_i) = P(X = x_i)$, con $p_i \ge 0$ e $\sum p_i = 1$.
  \item \emph{Valore atteso (media, speranza)}: $E(X) = \mu = \sum x_i p_i$.
  \item \emph{Linearità}: $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$. Vale sempre, anche per VA dipendenti.
  \item \emph{Varianza}: $\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = E((X-\mu)^2) = E(X^2) - \mu^2$ (Koenig--Huygens). \emph{Deviazione standard}: $\sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}$.
  \item \emph{Proprietà varianza}: $\operatorname{Var}(aX + b) = a^2 \operatorname{Var}(X)$; $\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)$ \emph{solo se $X, Y$ indipendenti}.
  \item \emph{Funzione di ripartizione}: $F_X(x) = P(X \le x)$, non decrescente, ``a scaletta'' per VA discrete.
  \item \emph{Esempi guida}:
  \begin{itemize}
    \item Dado: $E = 3.5$, $\operatorname{Var} = 35/12$.
    \item Somma di 2 dadi: $E = 7$, distribuzione triangolare con picco in $7$.
    \item Roulette europea: $E$(guadagno) $= -1/37$ per ogni euro giocato sul rosso.
    \item Paradosso di San Pietroburgo: $E = +\infty$ teorico, ma in pratica vincolato da utilità marginale (Bernoulli 1738).
  \end{itemize}
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:PS-012}) introduciamo le \emph{variabili aleatorie continue}, dove il concetto di ``probabilità di un singolo valore'' viene sostituito da quello di \emph{densità di probabilità}. Poi (\ref{cap:PS-013}, \ref{cap:PS-014}, \ref{cap:PS-015}) le distribuzioni notevoli: binomiale, Poisson, normale.
\end{itemize}
\end{riepilogo}