\chapter{Variabili aleatorie continue: densità e funzione di ripartizione}\label{cap:PS-012}

\citazioneinizio{%
  Quando una grandezza può assumere un'infinità continua di valori, la probabilità che essa cada in un determinato intervallo si esprime mediante un integrale: precisamente, l'integrale di una funzione positiva, la \emph{densità di probabilità}, estesa a quell'intervallo. Il valor medio della grandezza è poi l'integrale della grandezza moltiplicata per la sua densità.%
}{Pierre-Simon Laplace, \emph{Théorie analytique des probabilités} (1812), capitolo introduttivo, traduzione adattata}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:ps-012-01-introduzione-motivazionale}
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Nel capitolo precedente (\ref{cap:PS-011}) abbiamo studiato le variabili aleatorie \emph{discrete}, che assumono un insieme finito o numerabile di valori. Molte grandezze, però, sono naturalmente \emph{continue}: possono assumere qualsiasi valore reale in un intervallo. Esempi:
\begin{itemize}
  \item il tempo di attesa di un autobus (qualsiasi numero reale positivo);
  \item l'altezza di una persona (qualsiasi valore in un intervallo plausibile);
  \item l'errore di una misura sperimentale (qualsiasi valore reale);
  \item la durata di vita di un componente elettronico.
\end{itemize}
Per queste \emph{variabili aleatorie continue}, il modello discreto si rivela inadeguato: la probabilità che una grandezza continua assuma un \emph{singolo valore specifico} è zero (es.~la probabilità che il tempo di attesa sia esattamente $\num{12.345678}\ldots$ secondi è zero --- ci sono troppi valori possibili). La probabilità si distribuisce invece su \emph{intervalli}, e il suo studio richiede l'integrazione (\ref{cap:AN-023}--\ref{cap:AN-024}).

In questo capitolo introduciamo:
\begin{itemize}
  \item la \emph{definizione} di variabile aleatoria continua;
  \item la \emph{funzione di densità di probabilità} $f(x)$;
  \item la \emph{funzione di ripartizione} $F(x) = P(X \le x)$, legata a $f$ dal teorema fondamentale del calcolo;
  \item le formule per \emph{valore atteso e varianza} nel caso continuo (integrali al posto di somme).
\end{itemize}
La distribuzione continua più importante --- la \emph{normale (gaussiana)} --- è discussa in \ref{cap:PS-015}.

\medskip

\emph{Nota storica}. La teoria delle VA continue nasce nel Settecento con Bernoulli, Eulero e Laplace. Il primo trattato sistematico è la \emph{Théorie analytique des probabilités} di Laplace (1812), che inquadra le probabilità come capitolo dell'analisi: ``la probabilità è l'integrazione della densità''. Gauss (1809) introduce la distribuzione che porta il suo nome studiando gli errori di misura astronomici. La sistemazione moderna è di Kolmogorov (1933) con la teoria della misura.

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\section{Definizione di variabile aleatoria continua}\label{sec:ps-012-02-definizione-di-variabile-aleatoria-continua}
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\begin{definizione}[Variabile aleatoria continua]
Una variabile aleatoria $X$ si dice \emph{continua} se esiste una funzione $f : \R \to [0, +\infty)$, detta \emph{densità di probabilità} (o \emph{funzione di densità}) di $X$, tale che per ogni intervallo $[a, b]$:
\[
  P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.
\]
\end{definizione}

\emph{Conseguenza immediata}: la probabilità che $X$ assuma un \emph{singolo valore} $x_0$ è zero:
\[
  P(X = x_0) = \int_{x_0}^{x_0} f(x)\,\mathrm{d}x = 0.
\]
Quindi $P(a \le X \le b) = P(a < X < b)$: con le VA continue, gli estremi inclusi o esclusi non contano. Solo gli intervalli di lunghezza positiva hanno probabilità non nulla.

\begin{attenzione}
La densità $f(x)$ \emph{non} è una probabilità: è la ``probabilità per unità di lunghezza''. In particolare, $f(x)$ può essere maggiore di $1$ (si pensi a una densità molto stretta e alta). La quantità che è una probabilità è l'\emph{area} sotto la densità, cioè $\int_a^b f$.
\end{attenzione}

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\section{Funzione densità di probabilità}\label{sec:ps-012-03-funzione-densita-di-probabilita}
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\begin{formulabox}
\textbf{Proprietà fondamentali della densità $f(x)$}:
\begin{enumerate}
  \item $f(x) \ge 0$ per ogni $x \in \R$ (positività).
  \item $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = 1$ (normalizzazione: la probabilità totale è $1$).
\end{enumerate}
Viceversa, ogni $f$ che soddisfa queste due proprietà definisce una distribuzione continua.
\end{formulabox}

\subsection*{Esempi notevoli di densità}

\begin{esempio}[Distribuzione uniforme]
Una VA $X$ è \emph{uniforme} su $[a, b]$ se la sua densità è
\[
  f(x) = \begin{cases} 1/(b-a) & a \le x \le b \\ 0 & \text{altrimenti.} \end{cases}
\]
Verifica della normalizzazione: $\int_a^b 1/(b-a)\,\mathrm{d}x = (b-a)/(b-a) = 1$. $\checkmark$

\emph{Interpretazione}: tutti i valori in $[a, b]$ sono ``ugualmente probabili'' (nel senso che la densità è costante). Modello del ``totalmente casuale dentro un intervallo''.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Distribuzione esponenziale]
$X$ è \emph{esponenziale} di parametro $\lambda > 0$ se la sua densità è
\[
  f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0 \\ 0 & x < 0. \end{cases}
\]
Normalizzazione: $\int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = 1$. $\checkmark$

\emph{Modello}: tempi di attesa fra eventi rari (decadimenti radioattivi, guasti, arrivi a uno sportello).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Distribuzione normale (cenno)]
$X$ è \emph{normale} di parametri $\mu \in \R$ e $\sigma > 0$ se la sua densità è
\[
  f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(x-\mu)^2/(2 \sigma^2)}.
\]
La verifica della normalizzazione richiede il celebre integrale di Gauss $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt \pi$. La normale è la distribuzione più importante della statistica (vedi \ref{cap:PS-015}).
\end{esempio}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->, GRIGIO!60] (-0.3, 0) -- (5.5, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO!60] (0, -0.3) -- (0, 1.8) node[above] {$f(x)$};
  % uniforme su [1, 3]
  \draw[BLU, very thick] (1, 0) -- (1, 0.5) -- (3, 0.5) -- (3, 0);
  \draw[BLU, very thick] (0, 0) -- (1, 0);
  \draw[BLU, very thick] (3, 0) -- (5.5, 0);
  \node[below] at (1, -0.02) {\small $a$};
  \node[below] at (3, -0.02) {\small $b$};
  \node[left] at (0, 0.5) {\small $\tfrac{1}{b-a}$};
  \fill[CELESTE!30] (1, 0) rectangle (3, 0.5);
  % esponenziale a destra
  \begin{scope}[xshift=5.5cm]
    \draw[->, GRIGIO!60] (-0.3, 0) -- (5.5, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, GRIGIO!60] (0, -0.3) -- (0, 1.8) node[above] {$f(x)$};
    \draw[ROSSO, thick, domain=0:5, samples=80] plot (\x, {1.5*exp(-\x*0.8)});
    \fill[ROSSO!20] plot[domain=0:5, samples=60] (\x, {1.5*exp(-\x*0.8)}) -- (5, 0) -- (0, 0) -- cycle;
    \node[below] at (0, -0.02) {\small $0$};
    \node[left] at (0, 1.5) {\small $\lambda$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Sinistra: densità uniforme su $[a, b]$, costante a $1/(b-a)$. Destra: densità esponenziale $\lambda e^{-\lambda x}$, decrescente esponenzialmente. In entrambi i casi, l'area totale sotto il grafico vale $1$.}
\label{fig:ps-012-densita-uniforme-esponenziale}
\end{figure}

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\section{Funzione di ripartizione}\label{sec:ps-012-04-funzione-di-ripartizione}
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\begin{definizione}[Funzione di ripartizione di una VA continua]
La \emph{funzione di ripartizione} (o \emph{cumulativa}) di una VA continua $X$ è
\[
  F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,\mathrm{d}t.
\]
\end{definizione}

\subsection*{Legame con la densità}

Dal teorema fondamentale del calcolo (\ref{cap:AN-024}):
\begin{formulabox}
\[
  F'(x) = f(x) \quad \text{ovunque $f$ è continua}.
\]
\end{formulabox}
Quindi, conoscendo $F$, si ricava $f$ derivando; conoscendo $f$, si ricava $F$ integrando. Sono \emph{equivalenti}.

\emph{Proprietà di $F$ (caso continuo)}:
\begin{itemize}
  \item $F$ è \emph{continua} su tutto $\R$ (a differenza del caso discreto dove era ``a scaletta'').
  \item $F$ è non decrescente, con $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$, $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$.
  \item Per ogni $a < b$: $P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)$.
\end{itemize}

\begin{esempio}[Ripartizione della distribuzione uniforme]
Per $X$ uniforme su $[a, b]$:
\[
  F(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ (x - a)/(b - a) & a \le x \le b \\ 1 & x > b. \end{cases}
\]
Verifica: $F'(x) = 1/(b - a)$ su $(a, b)$, $= 0$ altrove, conformemente alla densità.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Ripartizione della distribuzione esponenziale]
Per $X$ esponenziale di parametro $\lambda$:
\[
  F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x} & x \ge 0 \\ 0 & x < 0. \end{cases}
\]
\emph{Calcolo}: $\int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = [-e^{-\lambda t}]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}$.
\end{esempio}

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\section{Valore atteso e varianza nel continuo}\label{sec:ps-012-05-valore-atteso-e-varianza-nel-continuo}
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Le definizioni di valore atteso e varianza nel caso continuo sono \emph{analoghe} a quelle del discreto, con \emph{integrali al posto di somme}.

\begin{formulabox}
\textbf{Valore atteso e varianza (caso continuo)}:
\begin{align*}
  E(X) &= \mu = \int_{-\infty}^{+\infty} x \, f(x)\,\mathrm{d}x, \\
  E(g(X)) &= \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \, f(x)\,\mathrm{d}x, \\
  \operatorname{Var}(X) &= \sigma^2 = E((X - \mu)^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 \, f(x)\,\mathrm{d}x = E(X^2) - \mu^2.
\end{align*}
\end{formulabox}

\emph{Proprietà} (linearità di $E$, $\operatorname{Var}(aX+b) = a^2 \operatorname{Var}(X)$, ecc.): le stesse del caso discreto, dimostrate per integrale anziché per somma.

\subsection*{Calcoli per le distribuzioni notevoli}

\begin{esempio}[Media e varianza della distribuzione uniforme]
\[
  E(X) = \int_a^b x \cdot \frac{1}{b - a}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2} = \frac{a + b}{2}.
\]
(La media è il punto centrale dell'intervallo, come ci si aspetta.)

\[
  E(X^2) = \frac{1}{b-a} \int_a^b x^2\,\mathrm{d}x = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}.
\]

$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - \mu^2 = \dfrac{a^2 + ab + b^2}{3} - \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{(b - a)^2}{12}$. Deviazione standard $\sigma = (b-a)/\sqrt{12}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Media e varianza della distribuzione esponenziale]
\[
  E(X) = \int_0^{+\infty} x \lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x.
\]
Per parti, $u = x$, $v' = \lambda e^{-\lambda x}$, $v = -e^{-\lambda x}$:
\[
  E(X) = [-x e^{-\lambda x}]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = 0 + \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}.
\]
Analogamente (esercizio): $E(X^2) = 2/\lambda^2$, dunque $\operatorname{Var}(X) = 2/\lambda^2 - 1/\lambda^2 = 1/\lambda^2$. $\sigma = 1/\lambda$. \emph{Coincidenza notevole}: media e deviazione standard della distribuzione esponenziale sono uguali.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Media della distribuzione normale]
Per $X$ normale di parametri $\mu, \sigma$: $E(X) = \mu$, $\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$. (Il calcolo richiede sostituzione e l'integrale di Gauss; vedi \ref{cap:PS-015}.) I parametri $\mu, \sigma$ della normale sono \emph{esattamente} la media e la deviazione standard.
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:ps-012-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Determinare la costante di normalizzazione]
Per quale valore di $c$ la funzione $f(x) = c x (2 - x)$ su $[0, 2]$ è una densità di probabilità?

\textbf{Normalizzazione}: $\int_0^2 c x(2-x)\,\mathrm{d}x = c \int_0^2 (2x - x^2)\,\mathrm{d}x = c \cdot [x^2 - x^3/3]_0^2 = c (4 - 8/3) = 4c/3$. Imponendo $= 1$: $c = 3/4$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Calcolo di una probabilità]
$X$ ha densità $f(x) = 3 x^2$ su $[0, 1]$, $0$ altrove. Calcolare $P(X \le 1/2)$ e $P(0.2 \le X \le 0.7)$.

\textbf{Normalizzazione}: $\int_0^1 3 x^2\,\mathrm{d}x = [x^3]_0^1 = 1$. $\checkmark$

$P(X \le 1/2) = \int_0^{1/2} 3 x^2\,\mathrm{d}x = (1/2)^3 = 1/8 = \num{0.125}$.

$P(0.2 \le X \le 0.7) = (0.7)^3 - (0.2)^3 = \num{0.343} - \num{0.008} = \num{0.335}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Tempo di attesa di un autobus]
Un autobus passa ogni \SI{15}{\minute}. Se arrivo alla fermata in un istante casuale, il tempo di attesa $T$ è uniforme su $[0, 15]$ minuti. Determinare:
\begin{itemize}
  \item Probabilità di attendere meno di \SI{5}{\minute}: $P(T \le 5) = 5/15 = 1/3$.
  \item Probabilità di attendere tra $5$ e $\SI{10}{\minute}$: $P(5 \le T \le 10) = 5/15 = 1/3$.
  \item Tempo medio di attesa: $E(T) = (0 + 15)/2 = \num{7.5}\,\si{\minute}$.
  \item Deviazione standard: $\sigma = 15/\sqrt{12} \approx \num{4.33}\,\si{\minute}$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Decadimento radioattivo: tempo di vita di un atomo]
Un atomo di ${}^{14}\mathrm{C}$ ha tempo di vita esponenziale con $\lambda = (\ln 2)/T_{1/2} = (\ln 2)/5730 \approx \num{1.21e-4}$~anni\textsuperscript{-1}. Calcolare:
\begin{itemize}
  \item Tempo medio di vita: $E(T) = 1/\lambda \approx \num{8266}$~anni.
  \item Mediana (tempo $m$ tale che $P(T \le m) = 1/2$): $F(m) = 1 - e^{-\lambda m} = 1/2 \Rightarrow m = (\ln 2)/\lambda = T_{1/2}$.
\end{itemize}
\emph{Lezione}: media e mediana coincidono per una distribuzione esponenziale solo in un caso particolare; in generale, per l'esponenziale, mediana $= T_{1/2} = (\ln 2)/\lambda \ne 1/\lambda = $ media. La mediana è il \emph{tempo di dimezzamento}, la media è il \emph{tempo medio di vita}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Densità a tratti]
$f(x) = \begin{cases} k x & 0 \le x \le 1 \\ k (2 - x) & 1 \le x \le 2 \\ 0 & \text{altrove.}\end{cases}$ (Densità ``triangolare''.)

\textbf{Normalizzazione}: $\int_0^1 k x\,\mathrm{d}x + \int_1^2 k(2-x)\,\mathrm{d}x = k/2 + k/2 = k = 1$.

$E(X) = \int_0^1 x \cdot x\,\mathrm{d}x + \int_1^2 x(2-x)\,\mathrm{d}x = 1/3 + [x^2 - x^3/3]_1^2 = 1/3 + (4 - 8/3) - (1 - 1/3) = 1/3 + 4/3 - 2/3 = 1$. La media è il \emph{centro di simmetria} del triangolo.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione di una VA]
$X$ uniforme su $[0, 1]$. Determinare densità di $Y = X^2$.

$F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(X \le \sqrt y) = \sqrt y$ per $y \in [0, 1]$. Derivando: $f_Y(y) = 1/(2\sqrt y)$ per $y \in (0, 1]$. \emph{Importante}: $Y$ non è uniforme, anche se $X$ lo è. La densità di $Y$ diverge a $0^+$ (concentrata vicino a $0$).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Distribuzione mista (cenno)]
Esistono VA che sono \emph{né} discrete \emph{né} continue. Esempio: il tempo di vita di un componente che può guastarsi all'istante $0$ con probabilità $p$ (componente difettoso) e altrimenti ha vita esponenziale. Questa VA è ``parte discreta + parte continua''. Trattazione completa: corsi universitari.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:ps-012-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Per ciascuna funzione, stabilire se può essere una densità di probabilità e, in caso negativo, modificarla per renderla tale (cioè trovare la costante di normalizzazione):
  \begin{enumerate}
    \item $f(x) = x$ su $[0, 2]$;
    \item $f(x) = e^{-x}$ su $[0, +\infty)$;
    \item $f(x) = \sen x$ su $[0, \pi]$;
    \item $f(x) = 1/x^2$ su $[1, +\infty)$;
    \item $f(x) = 1$ su $[0, 1] \cup [2, 3]$.
  \end{enumerate}
  \item Sia $X$ uniforme su $[2, 8]$. Calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item $P(X \le 4)$;
    \item $P(3 \le X \le 7)$;
    \item $E(X)$ e $\operatorname{Var}(X)$.
  \end{enumerate}
  \item Sia $X$ esponenziale di parametro $\lambda = 2$. Calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item $P(X \le 1)$;
    \item $P(1 \le X \le 2)$;
    \item $P(X > 3)$;
    \item $E(X)$ e $\operatorname{Var}(X)$.
  \end{enumerate}
  \item Una VA $X$ ha densità $f(x) = k(1 - x^2)$ su $[-1, 1]$, $0$ altrove. Determinare $k$, calcolare $E(X)$, $\operatorname{Var}(X)$, e $P(|X| \le 1/2)$.
  \item Determinare la funzione di ripartizione di una VA con densità $f(x) = 2x$ su $[0, 1]$.
  \item Una VA $X$ ha $F(x) = 0$ per $x < 0$, $F(x) = x^2$ per $0 \le x \le 1$, $F(x) = 1$ per $x > 1$. Determinare $f(x)$ e calcolare $E(X)$.
  \item Una sostanza radioattiva ha tempo di vita esponenziale con media $\num{100}~anni$. Qual è la probabilità che un atomo sia ancora presente dopo \num{50}~anni? Dopo \num{200}~anni?
  \item Il tempo di attesa di un cliente in fila è esponenziale con media \SI{10}{\minute}. Determinare la probabilità che un cliente attenda più di \SI{20}{\minute}.
  \item Mostrare che, se $X$ è uniforme su $[a, b]$, allora $Y = (X - a)/(b - a)$ è uniforme su $[0, 1]$.
  \item Mostrare la \emph{proprietà di assenza di memoria} dell'esponenziale: $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$ per ogni $s, t > 0$. Cioè ``il futuro non dipende dal passato'': la distribuzione del tempo residuo è sempre la stessa esponenziale di parametro $\lambda$, indipendentemente da quanto è già passato. (Suggerimento: $P(X > t) = e^{-\lambda t}$.)
  \item Sia $X$ con densità $f(x) = 3 x^2$ su $[0, 1]$. Calcolare $E(X)$, $E(X^2)$, $\operatorname{Var}(X)$, e $P(X > 1/2)$.
  \item Una VA $X$ ha densità $f(x) = 1/(2 \sqrt x)$ su $(0, 1]$, $0$ altrove. Verificare la normalizzazione, calcolare $F(x)$ e $E(X)$.
  \item Determinare la densità di $Y = e^X$ se $X$ è uniforme su $[0, 1]$. (Risposta: $f_Y(y) = 1/y$ su $[1, e]$.)
  \item Determinare la densità di $Y = -\ln X$ se $X$ è uniforme su $(0, 1]$. (Risultato: $Y$ è esponenziale di parametro $\lambda = 1$. È il metodo standard di \emph{simulazione} di una esponenziale partendo da un'uniforme.)
  \item Una VA $X$ continua è simmetrica rispetto a $\mu$ se $f(\mu - t) = f(\mu + t)$ per ogni $t$. Mostrare che $E(X) = \mu$ in tal caso, purché l'integrale esista.
  \item \emph{Sfida (densità di Cauchy)}. La densità di Cauchy è $f(x) = 1/(\pi(1 + x^2))$ su $\R$. Verificare la normalizzazione. Mostrare che $E(X)$ \emph{non esiste} (l'integrale $\int x/(1+x^2)$ diverge a entrambi gli infiniti). \emph{Lezione}: una VA continua può avere densità ben definita ma media non definita. La Cauchy è un esempio classico, importante in fisica (curve di risonanza) e in statistica robusta.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:ps-012-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Variabile aleatoria continua}: $X$ con densità $f \ge 0$ tale che $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.
  \item \emph{Conseguenza}: $P(X = x_0) = 0$ per ogni singolo valore. La probabilità si concentra su \emph{intervalli}.
  \item \emph{Proprietà di $f$}: $f \ge 0$, $\int_{-\infty}^{+\infty} f = 1$. (La densità non è una probabilità ma una ``probabilità per unità di lunghezza'', e può superare $1$.)
  \item \emph{Funzione di ripartizione}: $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,\mathrm{d}t$, continua e crescente, con $F(-\infty) = 0$, $F(+\infty) = 1$. \emph{Legame}: $F' = f$ (teorema fondamentale del calcolo).
  \item \emph{Valore atteso}: $E(X) = \int x f(x)\,\mathrm{d}x$.
  \item \emph{Varianza}: $\operatorname{Var}(X) = E((X - \mu)^2) = \int (x - \mu)^2 f(x)\,\mathrm{d}x = E(X^2) - \mu^2$.
  \item \emph{Distribuzioni notevoli}:
  \begin{itemize}
    \item Uniforme su $[a, b]$: $f = 1/(b-a)$, $E = (a+b)/2$, $\operatorname{Var} = (b-a)^2/12$.
    \item Esponenziale di parametro $\lambda$: $f = \lambda e^{-\lambda x}$ per $x \ge 0$, $E = 1/\lambda$, $\operatorname{Var} = 1/\lambda^2$, mediana $= (\ln 2)/\lambda$, \emph{assenza di memoria}.
    \item Normale di parametri $\mu, \sigma$: $f = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$, $E = \mu$, $\operatorname{Var} = \sigma^2$ (vedi \ref{cap:PS-015}).
  \end{itemize}
  \item Nei prossimi capitoli: \ref{cap:PS-013} distribuzione \emph{binomiale} (discreta), \ref{cap:PS-014} distribuzione di \emph{Poisson} (discreta), \ref{cap:PS-015} distribuzione \emph{normale} (continua, distribuzione regina della statistica).
\end{itemize}
\end{riepilogo}