\chapter{Funzioni definite a tratti}\label{cap:RF-004}

\citazioneinizio{%
  Per descrivere un mondo a tratti — interruzioni, soglie, salti di stato — la matematica si dota di funzioni che cambiano natura passando da un intervallo all'altro.%
}{adattamento didattico}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:rf-004-01-introduzione-motivazionale}
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Non tutte le funzioni si scrivono con una formula unica valida su tutto il dominio. Spesso la regola \emph{cambia} a seconda del valore di $x$ in ingresso: pensiamo alla tariffa di una bolletta della luce, che ha un prezzo unitario fino a una certa soglia di consumo e uno diverso oltre; al costo delle spedizioni postali, ``a peso''; all'IRPEF, in cui ogni scaglione ha un'aliquota propria; alla funzione che dice se un numero è positivo, negativo o nullo. In tutti questi casi, una funzione \emph{a tratti}.

Le funzioni a tratti sono perfettamente legittime — è la regola di definizione a essere ``a pezzi'', non il loro essere funzioni. In questo capitolo introduciamo la \emph{notazione} con sistema, impariamo a tracciare il grafico (con l'uso \emph{cruciale} dei \emph{pallini pieni/vuoti} agli estremi), e incontriamo le funzioni a tratti più famose: \emph{valore assoluto} (già nota), \emph{segno}, \emph{parte intera}, \emph{Heaviside}. Vedremo anche un'applicazione pratica importante: il calcolo a \emph{scaglioni}, come quello delle imposte sul reddito.

Tutte queste funzioni potranno avere ``salti'' in certi punti, anticipando il concetto di \emph{continuità} che incontreremo in modo rigoroso nel capitolo \ref{cap:AN-005}.

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\section{Definizione e rappresentazione}\label{sec:rf-004-01-definizione-e-rappresentazione}
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\begin{definizione}[Funzione definita a tratti]
Una \textbf{funzione definita a tratti} (o \emph{piecewise}) è una funzione $f:D\to\R$ in cui la regola di calcolo cambia a seconda della regione del dominio in cui si trova $x$. Si scrive nella forma a sistema:
\[
  f(x) =
  \begin{cases}
    f_1(x) & \text{se } x\in I_1,\\
    f_2(x) & \text{se } x\in I_2,\\
    \;\vdots & \;\;\vdots\\
    f_n(x) & \text{se } x\in I_n,
  \end{cases}
\]
dove $I_1, I_2, \ldots, I_n$ sono intervalli (eventualmente puntuali) che formano una \emph{partizione} del dominio: la loro unione è $D$, e non si sovrappongono.
\end{definizione}

\begin{esempio}[Il valore assoluto è una funzione a tratti]
La funzione $|x|$ (capitolo \ref{cap:AA-019}) è una funzione a tratti:
\[
  |x| =
  \begin{cases}
    x  & \text{se } x \ge 0,\\
    -x & \text{se } x < 0.
  \end{cases}
\]
Su $[0,+\infty)$ si comporta come la funzione identità $x$; su $(-\infty,0)$ si comporta come $-x$. Le due regole si ``saldano'' in $x=0$, dove entrambe danno il valore $0$.
\end{esempio}

\begin{procedura}[Calcolare $f(x_0)$ per una funzione a tratti]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Identificare in quale intervallo $I_k$ cade $x_0$.
  \item Applicare la formula $f_k(x_0)$ corrispondente.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Valutazione]
Sia $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{se } x<1 \\ 2x-1 & \text{se } x\ge 1 \end{cases}$.

Calcolare $f(-2)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(3)$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item $-2 < 1$: $f(-2) = (-2)^2 = 4$.
  \item $0 < 1$: $f(0) = 0^2 = 0$.
  \item $1 \ge 1$: $f(1) = 2\cdot 1 - 1 = 1$.
  \item $3 \ge 1$: $f(3) = 2\cdot 3 - 1 = 5$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\subsection*{Grafico: pallini pieni e pallini vuoti}

\begin{nota}[Convenzione grafica per i punti di confine]
Quando una funzione a tratti ha \emph{discontinuità} (salti) negli estremi degli intervalli, è essenziale indicare con chiarezza se il punto di confine è incluso o no in ciascun pezzo.
\begin{itemize}
  \item \emph{Pallino pieno} ($\bullet$) all'estremo di un tratto: il punto \emph{appartiene} a quel tratto (cioè, $f$ vale lì il valore di quel tratto).
  \item \emph{Pallino vuoto} ($\circ$) all'estremo: il punto \emph{non appartiene} a quel tratto.
\end{itemize}
Per ogni $x$ del dominio deve esserci esattamente un pallino pieno (perché $f(x)$ è univoca!).
\end{nota}

\begin{esempio}[Grafico di una funzione con salto]
Sia $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x<0 \\ 3 & \text{se } x\ge 0 \end{cases}$.

Il grafico è formato da due segmenti orizzontali: $y=1$ a sinistra di $0$ (pallino vuoto in $(0,1)$, perché $x=0$ \emph{non} fa parte di questo tratto), e $y=3$ a destra di $0$ (pallino pieno in $(0,3)$, perché $x=0$ ricade in $x\ge 0$). La funzione ``salta'' di $2$ in $x=0$.
\end{esempio}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->, GRIGIO] (-2.5, 0) -- (3, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO] (0, -0.5) -- (0, 4) node[above] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,0,1,2} {
    \draw[GRIGIO] (\x, -0.08) -- (\x, 0.08);
    \node[GRIGIO, below] at (\x, -0.1) {\scriptsize$\x$};
  }
  \foreach \y in {1,2,3} {
    \draw[GRIGIO] (-0.08, \y) -- (0.08, \y);
    \node[GRIGIO, left] at (-0.1, \y) {\scriptsize$\y$};
  }
  % Tratto x < 0 -> y = 1
  \draw[thick, BLU] (-2.5, 1) -- (0, 1);
  \draw[BLU, fill=white, thick] (0, 1) circle (3pt);
  % Tratto x >= 0 -> y = 3
  \draw[thick, VERDE] (0, 3) -- (3, 3);
  \fill[VERDE] (0, 3) circle (3pt);
  % Indicazione del salto
  \draw[<->, ROSSO, dashed] (0.5, 1.1) -- (0.5, 2.9);
  \node[ROSSO, right] at (0.5, 2) {\small salto = 2};
\end{tikzpicture}
\caption{Grafico di una funzione a tratti con \emph{salto} in $x=0$: $f(x)=1$ se $x<0$ (con pallino \emph{vuoto} a $(0,1)$, escluso), $f(x)=3$ se $x\ge 0$ (con pallino \emph{pieno} a $(0,3)$, incluso). Si osservi che esattamente uno dei due punti a quota $x=0$ è ``pieno'': la funzione vale univocamente $3$ in quel punto.}
\label{fig:rf-004-salto}
\end{figure}

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\section{Funzione segno}\label{sec:rf-004-02-funzione-segno}
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\begin{definizione}[Funzione segno]
La \textbf{funzione segno} (o \emph{signum}) è la funzione $\operatorname{sgn}:\R\to\R$ definita da
\[
  \operatorname{sgn}(x) =
  \begin{cases}
    +1 & \text{se } x > 0,\\
    \phantom{+}0  & \text{se } x = 0,\\
    -1 & \text{se } x < 0.
  \end{cases}
\]
\end{definizione}

\begin{teorema}[Caratteristiche]
\begin{itemize}
  \item Dominio: $\R$;\quad Immagine: $\{-1, 0, +1\}$ (insieme finito di tre valori).
  \item Funzione \emph{dispari}: $\operatorname{sgn}(-x) = -\operatorname{sgn}(x)$.
  \item Discontinua in $x=0$ (salto di ampiezza $2$, da $-1$ a $+1$).
  \item Relazione utile: $x = \operatorname{sgn}(x)\cdot |x|$ per ogni $x\in\R$.
\end{itemize}
\end{teorema}

\begin{esempio}
$\operatorname{sgn}(-3)=-1$;\quad $\operatorname{sgn}(0)=0$;\quad $\operatorname{sgn}(\sqrt{2})=+1$;\quad $\operatorname{sgn}(\pi - 4) = -1$ (perché $\pi < 4$).
\end{esempio}

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\section{Funzione parte intera}\label{sec:rf-004-03-funzione-parte-intera}
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\begin{definizione}[Funzione parte intera]
La \textbf{funzione parte intera} (o \emph{floor}) di $x\in\R$ è il più grande intero che non supera $x$:
\[
  \lfloor x \rfloor = \max\{\,n\in\Z \mid n\le x\,\}.
\]
\end{definizione}

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $\lfloor 3{,}7\rfloor = 3$;\quad $\lfloor 5\rfloor = 5$;\quad $\lfloor \pi\rfloor = 3$;
  \item $\lfloor -1{,}3\rfloor = -2$ (attenzione: il più grande intero $\le -1{,}3$ è $-2$, non $-1$).
  \item $\lfloor -3\rfloor = -3$;\quad $\lfloor 0{,}5\rfloor = 0$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{teorema}[Caratteristiche]
\begin{itemize}
  \item Dominio: $\R$;\quad Immagine: $\Z$.
  \item Grafico: ``a gradini'' (\emph{staircase}): su ogni intervallo $[n, n+1)$ vale costantemente $n$.
  \item Discontinua in ogni intero (salto di $1$).
  \item Funzione \emph{né pari né dispari}, ma vale $\lfloor x\rfloor + \lfloor -x\rfloor = \begin{cases} 0 & x\in\Z\\ -1 & x\notin\Z\end{cases}$.
\end{itemize}
\end{teorema}

\begin{definizione}[Funzione mantissa]
La \textbf{mantissa} (o \emph{parte frazionaria}) di $x\in\R$ è $\{x\} = x - \lfloor x\rfloor$. Vale sempre $0\le\{x\}<1$.
\end{definizione}

\begin{esempio}
$\{3{,}7\} = 3{,}7 - 3 = 0{,}7$;\quad $\{-1{,}3\} = -1{,}3 - (-2) = 0{,}7$;\quad $\{5\} = 0$.
\end{esempio}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.85]
  \draw[->, GRIGIO] (-3, 0) -- (4, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO] (0, -3) -- (0, 4) node[above] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2,3} {
    \draw[GRIGIO] (\x, -0.08) -- (\x, 0.08);
    \node[GRIGIO, below] at (\x, -0.1) {\scriptsize$\x$};
  }
  \foreach \y in {-2,-1,1,2,3} {
    \draw[GRIGIO] (-0.08, \y) -- (0.08, \y);
    \node[GRIGIO, left] at (-0.1, \y) {\scriptsize$\y$};
  }
  % Gradini di floor: per ogni n, segmento da n a n+1 a quota n
  \foreach \n in {-3,-2,-1,0,1,2,3} {
    \draw[thick, BLU] (\n, \n) -- ({\n+1}, \n);
    \fill[BLU] (\n, \n) circle (2.5pt);
    \draw[BLU, fill=white, thick] ({\n+1}, \n) circle (2.5pt);
  }
  \node[BLU, right] at (3.5, 3.2) {$y=\lfloor x\rfloor$};
\end{tikzpicture}
\caption{Grafico della funzione parte intera $\lfloor x \rfloor$. Su ogni intervallo $[n, n+1)$ la funzione è costante uguale a $n$: il pallino pieno $\bullet$ in $(n, n)$ indica che il punto è incluso (da sinistra), quello vuoto $\circ$ in $(n+1, n)$ indica che il punto è escluso. La funzione ``salta'' di $1$ a ogni intero.}
\label{fig:rf-004-floor}
\end{figure}

\begin{nota}[Heaviside]
Una funzione a tratti molto usata in fisica e ingegneria è la \textbf{funzione di Heaviside}
\[
  H(x) =
  \begin{cases}
    0 & \text{se } x < 0,\\
    1 & \text{se } x \ge 0.
  \end{cases}
\]
Modella un ``interruttore'' che si accende in $x=0$: spento prima, acceso da quel punto in poi. È strettamente legata alla funzione segno: $H(x) = \tfrac{1+\operatorname{sgn}(x)}{2}$ per $x\neq 0$.
\end{nota}

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\section{Funzioni a tratti applicate}\label{sec:rf-004-04-funzioni-a-tratti-applicate}
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Molte tariffe della vita reale sono \emph{a scaglioni}: il prezzo unitario cambia man mano che si supera una certa soglia. Sono naturalmente modellate da funzioni a tratti.

\begin{esempio}[Bolletta dell'acqua a scaglioni]
Una società idrica applica le seguenti tariffe per $x$ metri cubi consumati in un anno:
\begin{itemize}
  \item fino a $\SI{30}{\cubic\meter}$: $\num{0,40}$\,€/m\textsuperscript{3};
  \item da $\SI{31}{\cubic\meter}$ a $\SI{100}{\cubic\meter}$: $\num{0,80}$\,€/m\textsuperscript{3} sulla \emph{parte eccedente} $30$;
  \item oltre $\SI{100}{\cubic\meter}$: $\num{1,50}$\,€/m\textsuperscript{3} sulla \emph{parte eccedente} $100$.
\end{itemize}
La spesa totale $C(x)$ è una funzione a tratti:
\[
  C(x) =
  \begin{cases}
    0{,}40\,x                              & \text{se } 0\le x\le 30,\\
    12 + 0{,}80\,(x-30)                    & \text{se } 30 < x\le 100,\\
    12 + 56 + 1{,}50\,(x-100) = 68 + 1{,}50\,(x-100) & \text{se } x > 100.
  \end{cases}
\]
La funzione è continua nei punti di passaggio (lo studente verifichi che $C(30)$ vale $12$ in entrambe le formule, e che $C(100)$ vale $68$ in entrambe), perché i prezzi sono ``saldati''. Non c'è un salto, ma cambia la \emph{pendenza}: il grafico è una spezzata.
\end{esempio}

\begin{nota}[IRPEF: imposta a scaglioni]
L'imposta sul reddito (IRPEF) funziona allo stesso modo: ad esempio, fino a $\num{15000}$\,€ aliquota $23\%$; oltre, sulla parte eccedente, un'aliquota più alta; e così via per scaglioni successivi. Il calcolo totale è una funzione a tratti del reddito $R$.
\end{nota}

\begin{nota}[Continuità a tratti: anticipo]
Le funzioni a tratti possono o no avere \emph{salti} nei punti di confine: dipende dal \emph{raccordo} tra le formule.
\begin{itemize}
  \item Se nei punti di confine i valori coincidono, la funzione è \emph{continua} (anche se la regola cambia): pensa al valore assoluto, alle bollette, alle imposte.
  \item Se non coincidono, la funzione è \emph{discontinua} in quel punto: pensa al segno, alla parte intera, a Heaviside.
\end{itemize}
La \emph{continuità} sarà studiata in modo rigoroso nel capitolo \ref{cap:AN-005}.
\end{nota}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:rf-004-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Calcolo di valori]
Sia $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{se } x\le 2 \\ x^2-3 & \text{se } x>2 \end{cases}$.

Calcolare $f(-1)$, $f(0)$, $f(2)$, $f(3)$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item $-1\le 2$: $f(-1) = 2(-1)+1 = -1$.
  \item $0\le 2$: $f(0) = 1$.
  \item $2\le 2$: $f(2) = 2(2)+1 = 5$. (Il punto $x=2$ ricade nel \emph{primo} tratto, per la condizione $x\le 2$.)
  \item $3>2$: $f(3) = 9-3 = 6$.
\end{itemize}
Si noti che nel passaggio $x=2$, il \emph{primo} tratto darebbe $5$, mentre il \emph{secondo} (se applicato) darebbe $4-3=1$: c'è un \emph{salto} di $4$. La funzione è discontinua in $x=2$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Determinare il parametro per la continuità]
Determinare $k$ in modo che la funzione $f(x) = \begin{cases} 3x-1 & \text{se } x\le 1 \\ kx+2 & \text{se } x>1 \end{cases}$ sia \emph{senza salti} in $x=1$.

\textit{Soluzione.} Per la continuità, i due tratti devono assumere lo stesso valore in $x=1$:
\[
  3(1) - 1 = 2 \quad\text{e}\quad k(1) + 2 = k + 2.
\]
Imponiamo $k + 2 = 2 \Rightarrow k = 0$. Per $k=0$, $f$ vale $2$ a sinistra di $1$ e $2$ a destra di $1$: niente salto.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Riscrivere il valore assoluto]
Riscrivere $f(x) = |x-2|$ come funzione a tratti senza moduli.

\textit{Soluzione.}
\[
  |x-2| =
  \begin{cases}
    x-2  & \text{se } x \ge 2,\\
    -(x-2) = 2-x & \text{se } x < 2.
  \end{cases}
\]
Grafico: V con vertice in $(2, 0)$, pendenze $-1$ a sinistra e $+1$ a destra.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Parte intera in concreto]
Calcolare $\lfloor 7{,}3\rfloor$, $\lfloor -2{,}5\rfloor$, $\lfloor 0\rfloor$, $\{4{,}1\}$, $\{-4{,}1\}$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item $\lfloor 7{,}3\rfloor = 7$;
  \item $\lfloor -2{,}5\rfloor = -3$ (il più grande intero $\le -2{,}5$);
  \item $\lfloor 0\rfloor = 0$;
  \item $\{4{,}1\} = 4{,}1 - 4 = 0{,}1$;
  \item $\{-4{,}1\} = -4{,}1 - (-5) = 0{,}9$ (la mantissa è sempre in $[0,1)$).
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Tariffa postale]
Una raccomandata costa $\num{4,00}$\,€ fino a $\SI{20}{\gram}$, $\num{5,30}$\,€ tra $\SI{20}{\gram}$ e $\SI{100}{\gram}$ (esclusi), $\num{6,90}$\,€ tra $\SI{100}{\gram}$ e $\SI{350}{\gram}$ (esclusi). Esprimere il costo $C(g)$ del peso $g$ in grammi come funzione a tratti, e calcolare $C(15)$, $C(50)$, $C(100)$.

\textit{Soluzione.}
\[
  C(g) =
  \begin{cases}
    4{,}00 & \text{se } 0 < g \le 20,\\
    5{,}30 & \text{se } 20 < g \le 100,\\
    6{,}90 & \text{se } 100 < g \le 350.
  \end{cases}
\]
(Notiamo che le soglie sono chiuse a destra in modo che il peso esatto vada nello scaglione inferiore.)
\begin{itemize}
  \item $C(15) = 4{,}00$\,€;
  \item $C(50) = 5{,}30$\,€;
  \item $C(100) = 5{,}30$\,€ (perché $g\le 100$ ricade nel secondo tratto);
  \item Per $C(101)$ servirebbe il terzo tratto: $6{,}90$\,€.
\end{itemize}
La funzione è a gradini, con salti in $20$, $100$, $350$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:rf-004-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Per la funzione $f(x) = \begin{cases} x+2 & \text{se } x<0 \\ x^2 & \text{se } x\ge 0 \end{cases}$, calcola:\quad
        $f(-3)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$. La funzione è continua in $x=0$? Motiva.
  \item Per la funzione $f(x) = \begin{cases} -1 & \text{se } x<-1 \\ x & \text{se } -1\le x\le 1 \\ 3 & \text{se } x>1 \end{cases}$, calcola $f(-2)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$. Traccia il grafico, indicando pallini pieni/vuoti.
  \item Calcola, riconducendo a una funzione a tratti se necessario:\quad
        (a) $\operatorname{sgn}(-4)$, $\operatorname{sgn}(0)$, $\operatorname{sgn}(\pi)$;\quad
        (b) $\lfloor 2{,}9 \rfloor$, $\lfloor -3{,}1 \rfloor$, $\lfloor 5 \rfloor$, $\lfloor -7 \rfloor$;\quad
        (c) $\{3{,}25\}$, $\{-0{,}75\}$, $\{0\}$.
  \item Verifica che, per ogni $x\in\R$:\quad
        (a) $x = \operatorname{sgn}(x)\cdot |x|$;\quad
        (b) $|x| = x\cdot\operatorname{sgn}(x)$;\quad
        (c) $\lfloor x\rfloor + \{x\} = x$.
  \item Riscrivi come funzione a tratti, senza moduli:\quad
        (a) $f(x) = |x+3|$;\quad
        (b) $f(x) = |2x-1|$;\quad
        (c) $f(x) = |x| + |x-2|$ (suggerimento: tre tratti).
  \item Determina i valori dei parametri perché la funzione sia continua nei punti di confine:\quad
        (a) $f(x) = \begin{cases} 2x+a & \text{se } x\le 1 \\ x^2 & \text{se } x>1 \end{cases}$;\quad
        (b) $f(x) = \begin{cases} bx-3 & \text{se } x<2 \\ x^2+1 & \text{se } x\ge 2 \end{cases}$.
  \item Tariffa idrica: usando l'esempio del paragrafo applicativo, calcola la spesa per $\SI{50}{\cubic\meter}$, $\SI{120}{\cubic\meter}$, $\SI{200}{\cubic\meter}$.
  \item IRPEF semplificata: per redditi annui $R$, l'imposta è $I(R) = 0{,}23\,R$ se $R\le 15\,000$ e $I(R) = 3\,450 + 0{,}27(R-15\,000)$ se $R>15\,000$. Calcola l'imposta per $R = 10\,000$, $R = 15\,000$, $R = 20\,000$.
  \item (Discussione.) Una funzione a tratti può essere iniettiva? Costruisci un esempio di funzione a tratti definita su $\R$ che sia anche iniettiva.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:rf-004-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Una \emph{funzione a tratti} è definita da formule diverse in diverse parti del dominio, ognuna su un intervallo. La notazione standard usa il sistema con parentesi graffa.
  \item Per valutare $f(x_0)$: si individua in quale tratto cade $x_0$ e si applica la formula corrispondente.
  \item Convenzione grafica: \emph{pallino pieno} $\bullet$ = punto incluso; \emph{pallino vuoto} $\circ$ = punto escluso. Per ogni $x$ del dominio deve esserci esattamente un pallino pieno.
  \item Funzioni a tratti notevoli:
        \begin{itemize}
          \item \emph{valore assoluto} $|x|$: continua, V con vertice in $0$;
          \item \emph{segno} $\operatorname{sgn}(x)$: tre valori $-1, 0, +1$, salto in $x=0$;
          \item \emph{parte intera} $\lfloor x\rfloor$: funzione a gradini, salti su ogni intero;
          \item \emph{mantissa} $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$, sempre in $[0,1)$;
          \item \emph{Heaviside} $H(x)$: interruttore $0/1$.
        \end{itemize}
  \item Applicazioni concrete: \emph{tariffe a scaglioni} (bollette, IRPEF, postali). La spesa è una funzione a tratti del consumo/reddito/peso. Può essere \emph{continua} (i tratti si saldano) o \emph{a gradini} (salti).
  \item La \emph{continuità} di una funzione a tratti nei punti di confine richiede che i valori dei due tratti coincidano: tema che riprenderemo nel capitolo \ref{cap:AN-005}.
\end{itemize}
\end{riepilogo}