\chapter{Progressioni aritmetiche}\label{cap:RF-006}

\citazioneinizio{%
  Si racconta che il piccolo Gauss, a nove anni, di fronte all'esercizio di sommare i primi cento numeri naturali, scrisse $5050$ in pochi istanti. Aveva accoppiato i termini estremi: $1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, \ldots$, ognuno di somma $101$, e moltiplicato per il numero di coppie. La regola, formalizzata, vale per ogni progressione aritmetica e si attribuisce sin dall'antichità a Pitagora e a Diofanto.%
}{Aneddoto biografico di Carl Friedrich Gauss (1777--1855), riportato da E.~T.~Bell, \emph{Men of Mathematics} (1937)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:rf-006-01-introduzione-motivazionale}
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Una \emph{progressione aritmetica} è una successione in cui ogni termine si ottiene dal precedente sommando un numero fissato (\emph{ragione}). È il caso più semplice di successione ricorsiva, e modella ogni fenomeno in cui c'è un \emph{aumento (o decremento) costante}: il prezzo annuale di una merce con rincaro fisso, il numero di gradini di una scalinata, gli istanti regolari di un orologio.

In questo capitolo introduciamo:
\begin{itemize}
  \item la \emph{definizione} di progressione aritmetica e il concetto di \emph{ragione};
  \item la \emph{formula del termine generale} $a_n$;
  \item la \emph{formula della somma dei primi $n$ termini} (la regola di Gauss);
  \item alcune applicazioni a problemi tipici.
\end{itemize}
Nel capitolo successivo (\ref{cap:RF-007}) tratteremo l'analoga famiglia delle \emph{progressioni geometriche}, dove la regola di costruzione è moltiplicativa anziché additiva.

\medskip

\emph{Nota storica}. Le progressioni aritmetiche sono fra gli oggetti aritmetici più antichi: appaiono già nei papiri egizi (Rhind, 1650 a.C., problema 64) e nella matematica babilonese, con problemi pratici di divisione di beni in parti decrescenti. Diofanto (III sec.~d.C.) le studiò sistematicamente. La formula della somma è una delle prime gemme di tutta la matematica, una conseguenza diretta della simmetria della disposizione dei termini --- come scoperse, secondo la leggenda, il bambino Gauss.

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\section{Definizione e ragione}\label{sec:rf-006-02-definizione-e-ragione}
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\begin{definizione}[Progressione aritmetica]
Una successione $(a_n)$ si dice \emph{progressione aritmetica} se la differenza fra ogni termine e il precedente è costante: esiste $d \in \R$ (detto \emph{ragione}) tale che
\[
  a_{n+1} - a_n = d \quad \text{per ogni } n \in \N.
\]
Equivalentemente: $a_{n+1} = a_n + d$ (definizione ricorsiva).
\end{definizione}

Una progressione aritmetica è dunque univocamente determinata da:
\begin{itemize}
  \item il \emph{primo termine} $a_0$ (oppure $a_1$, a seconda della convenzione di partenza);
  \item la \emph{ragione} $d$.
\end{itemize}

\emph{Segno della ragione}: $d > 0$ → progressione crescente; $d < 0$ → decrescente; $d = 0$ → costante.

\begin{esempio}[Esempi numerici]
\begin{itemize}
  \item $1, 4, 7, 10, 13, \ldots$ — primo termine $1$, ragione $3$.
  \item $5, 1, -3, -7, -11, \ldots$ — primo termine $5$, ragione $-4$.
  \item $\num{1.5}, \num{2.0}, \num{2.5}, \num{3.0}, \ldots$ — primo termine $\num{1.5}$, ragione $\num{0.5}$.
  \item I numeri pari: $0, 2, 4, 6, 8, \ldots$ — primo termine $0$, ragione $2$. Generalizzazione: i numeri della forma $a + n d$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\subsection*{Riconoscere una progressione aritmetica}

\begin{procedura}[Verifica di progressione aritmetica]
Data una successione, calcolare $a_{n+1} - a_n$ per qualche valore di $n$. Se la differenza è \emph{sempre la stessa}, la successione è una progressione aritmetica e tale differenza è la ragione.
\end{procedura}

\begin{esempio}[Verifica]
$3, 8, 13, 18, 23, \ldots$. Differenze: $8-3=5$, $13-8=5$, $18-13=5$, $23-18=5$. \textbf{Progressione aritmetica} con ragione $5$.

$1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ (quadrati). Differenze: $3, 5, 7, 9, \ldots$. \emph{Non} costante: non è una progressione aritmetica. (È una progressione \emph{quadratica}: le differenze prime formano una progressione aritmetica.)
\end{esempio}

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\section{Termine $n$-esimo}\label{sec:rf-006-03-termine-n-esimo}
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Iterando la ricorrenza $a_{n+1} = a_n + d$ a partire da $a_0$:
\[
  a_1 = a_0 + d, \quad a_2 = a_1 + d = a_0 + 2 d, \quad a_3 = a_2 + d = a_0 + 3 d, \quad \ldots
\]
Si vede che $a_n = a_0 + n d$.

\begin{formulabox}
\textbf{Formula del termine generale} (progressione aritmetica):
\[
  a_n = a_0 + n d, \qquad n \in \N.
\]
(Se la convenzione di partenza è $a_1$ anziché $a_0$, la formula è $a_n = a_1 + (n - 1) d$.)
\end{formulabox}

\emph{Verifica per induzione}. Per $n = 0$: $a_0 + 0 \cdot d = a_0$ $\checkmark$. Se vale $a_n = a_0 + n d$, allora $a_{n+1} = a_n + d = a_0 + n d + d = a_0 + (n+1) d$ $\checkmark$.

\begin{esempio}[Calcolo di termini lontani]
Progressione aritmetica con $a_1 = 7$ e ragione $d = 3$. Calcolare $a_{20}$ e $a_{100}$.

$a_n = 7 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n + 4$. Quindi $a_{20} = 64$, $a_{100} = 304$.
\end{esempio}

\subsection*{Problema inverso: dati due termini, trovare $a_0$ e $d$}

Dati $a_p$ e $a_q$ (con $p < q$), si ricavano $d$ e $a_0$:
\[
  a_q = a_p + (q - p) d \quad \Rightarrow \quad d = \frac{a_q - a_p}{q - p}.
\]
Una volta noto $d$, $a_0 = a_p - p \cdot d$.

\begin{esempio}[Problema inverso]
Sappiamo che in una progressione aritmetica $a_4 = 13$ e $a_9 = 33$. Determinare $a_0$ e $d$.

$d = (a_9 - a_4)/(9 - 4) = (33 - 13)/5 = 4$. $a_0 = a_4 - 4 d = 13 - 16 = -3$. Formula: $a_n = -3 + 4 n$.

Verifica: $a_4 = -3 + 16 = 13$ $\checkmark$, $a_9 = -3 + 36 = 33$ $\checkmark$.
\end{esempio}

\subsection*{Proprietà: media aritmetica}

In una progressione aritmetica, ogni termine (eccetto il primo e l'ultimo) è la \emph{media aritmetica} dei suoi due vicini:
\[
  a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}.
\]
\emph{Dimostrazione}: $a_{n-1} + a_{n+1} = (a_n - d) + (a_n + d) = 2 a_n$. (Da qui il nome ``aritmetica''.)

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\section{Somma dei primi $n$ termini}\label{sec:rf-006-04-somma-dei-primi-n-termini}
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Sia $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ la somma dei primi $n$ termini di una progressione aritmetica con primo termine $a_1$, $n$-esimo termine $a_n$ e ragione $d$.

\subsection*{La regola di Gauss}

\begin{formulabox}
\textbf{Somma dei primi $n$ termini}:
\[
  S_n = \frac{n (a_1 + a_n)}{2}.
\]
In parole: la somma è il numero di termini moltiplicato per la media fra il primo e l'ultimo.
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione (alla Gauss)}. Scriviamo la somma in avanti e all'indietro:
\[
\begin{aligned}
  S_n &= a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} + a_n, \\
  S_n &= a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_1.
\end{aligned}
\]
Sommando termine a termine:
\[
  2 S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \cdots + (a_n + a_1).
\]
Per la simmetria della progressione, ogni coppia ha la stessa somma:
\[
  a_k + a_{n+1-k} = (a_1 + (k-1)d) + (a_1 + (n-k)d) = 2 a_1 + (n-1) d = a_1 + a_n.
\]
Quindi $2 S_n = n (a_1 + a_n)$, da cui $S_n = n(a_1 + a_n)/2$. $\square$

\subsection*{Forma alternativa con $a_1$ e $d$}

Sostituendo $a_n = a_1 + (n-1) d$:
\[
  S_n = \frac{n (a_1 + a_1 + (n-1) d)}{2} = \frac{n (2 a_1 + (n-1) d)}{2} = n a_1 + \frac{n(n-1)}{2} d.
\]

\begin{esempio}[Gauss bambino]
$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 100$. Progressione con $a_1 = 1$, $a_{100} = 100$, $n = 100$. $S = 100 \cdot (1 + 100)/2 = 100 \cdot 101/2 = \num{5050}$.

\emph{Generalizzazione}: $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Somma dei numeri dispari]
$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)$. Progressione aritmetica con $a_1 = 1$, $a_n = 2n - 1$, ragione $d = 2$, numero di termini $n$. Somma:
\[
  S_n = \frac{n(1 + 2n - 1)}{2} = \frac{n \cdot 2n}{2} = n^2.
\]
Sorprendente: \emph{la somma dei primi $n$ numeri dispari è il quadrato di $n$}. È un risultato già noto a Pitagora (V sec.~a.C.), ottenuto per via geometrica: ogni nuovo dispari completa un quadrato. Si visualizza con i ``gnomoni''.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Numeri pari]
$2 + 4 + 6 + \cdots + 2 n = 2 (1 + 2 + \cdots + n) = 2 \cdot n(n+1)/2 = n(n+1)$.
\end{esempio}

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\section{Problemi con progressioni aritmetiche}\label{sec:rf-006-05-problemi-con-progressioni-aritmetiche}
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Le progressioni aritmetiche compaiono in numerosi contesti applicativi.

\begin{esempio}[Scalinata]
Una scalinata ha $30$ gradini. Il primo è alto $\SI{15}{\centi\meter}$, e ogni gradino successivo è di $\SI{1}{\centi\meter}$ più alto. Quanto è alto in totale l'edificio (somma delle altezze)?

$a_1 = 15$, $d = 1$, $n = 30$. $a_{30} = 15 + 29 = 44$. $S_{30} = 30 \cdot (15 + 44)/2 = 30 \cdot 29.5 = \num{885}\,\si{\centi\meter} \approx \SI{8.85}{\meter}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Risparmio progressivo]
Una persona inizia a risparmiare il primo giorno $\num{1}$~euro, il secondo $\num{2}$~euro, il terzo $\num{3}$~euro, e così via. Quanto avrà risparmiato dopo \emph{un anno} (365 giorni)?

$a_1 = 1$, $a_{365} = 365$, $S_{365} = 365 \cdot (1 + 365)/2 = 365 \cdot 183 = \num{66795}$~euro. Sorprendentemente cospicuo: piccoli incrementi sommati danno cifre molto grandi.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Interpolazione]
Inserire $3$ \emph{medi aritmetici} fra $4$ e $20$: trovare i numeri $a_2, a_3, a_4$ tali che $4, a_2, a_3, a_4, 20$ formi una progressione aritmetica.

$5$ termini con $a_1 = 4$, $a_5 = 20$. $d = (20 - 4)/4 = 4$. Quindi $a_2 = 8, a_3 = 12, a_4 = 16$.
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:rf-006-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Determinare $n$ noto $S_n$]
Quanti sono i primi numeri naturali la cui somma vale $\num{2926}$?

$S_n = n(n+1)/2 = \num{2926} \Rightarrow n(n+1) = \num{5852}$. Risolvendo $n^2 + n - \num{5852} = 0$: $n = (-1 + \sqrt{1 + \num{23408}})/2 = (-1 + 153)/2 = 76$. Verifica: $76 \cdot 77/2 = \num{2926}$ $\checkmark$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Somma di una progressione aritmetica]
Calcolare $S = 7 + 11 + 15 + 19 + \cdots + 99$.

Progressione con $a_1 = 7$, $d = 4$. Quanti termini? $99 = 7 + (n-1) \cdot 4 \Rightarrow n - 1 = 23 \Rightarrow n = 24$. $S = 24 \cdot (7 + 99)/2 = 24 \cdot 53 = \num{1272}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Problema applicativo: prestito a rate]
Un prestito di $\num{12000}$ euro va restituito in $\num{24}$ rate mensili decrescenti, in modo che la prima sia di $\num{700}$ euro e ogni rata successiva diminuisca dello stesso importo (ragione $d < 0$). Determinare $d$ e l'importo dell'ultima rata.

Somma di tutte le rate $= \num{12000}$. $S_{24} = 24 \cdot (700 + a_{24})/2 = 12 (700 + a_{24}) = \num{12000} \Rightarrow a_{24} = 1000 - 700 = 300$.

Ragione: $a_{24} = 700 + 23 d \Rightarrow d = (300 - 700)/23 = -400/23 \approx \num{-17.39}$~euro/mese.

\emph{Verifica}: $a_{24} = 700 + 23 \cdot (-17.39) = 700 - 400 = 300$ $\checkmark$.

L'ultima rata è di $\num{300}$~euro.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Somma di numeri in un intervallo]
Calcolare la somma dei multipli di $7$ compresi fra $100$ e $1000$.

Primo multiplo $\ge 100$: $\lceil 100/7 \rceil \cdot 7 = 15 \cdot 7 = 105$. Ultimo $\le 1000$: $\lfloor 1000/7 \rfloor \cdot 7 = 142 \cdot 7 = \num{994}$. Numero di termini: $(994 - 105)/7 + 1 = 128$. Somma: $S = 128 \cdot (105 + 994)/2 = 128 \cdot \num{549.5} = \num{70336}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Costruzione di un quadrato]
Mostrare che i primi $n$ numeri dispari, disposti come ``gnomoni'' (cornici angolari), costruiscono un quadrato $n \times n$. (Pitagora.)

Il primo dispari $1$ è il primo quadrato $1 \times 1$. Il secondo dispari $3$ aggiunto forma un quadrato $2 \times 2 = 4$ ($1 + 3 = 4$). Il terzo dispari $5$ forma $3 \times 3 = 9$ ($1 + 3 + 5 = 9$). E così via: $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$, conforme alla formula generale.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Termine medio di una progressione]
In una progressione aritmetica di $11$ termini, sappiamo che la somma totale è $\num{99}$. Determinare il termine \emph{centrale} (sesto).

Per simmetria: $S_{11} = 11 \cdot (a_1 + a_{11})/2 = 11 \cdot a_6$ (dove $a_6$ è la media fra $a_1$ e $a_{11}$, ovvero il termine medio per progressione aritmetica). Da $11 a_6 = 99$, $a_6 = 9$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:rf-006-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Stabilire se le seguenti successioni sono progressioni aritmetiche; in caso affermativo, indicare ragione e formula esplicita:
  \begin{enumerate}
    \item $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$;
    \item $10, 7, 4, 1, -2, \ldots$;
    \item $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$;
    \item $3, 3, 3, 3, \ldots$;
    \item $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$.
  \end{enumerate}
  \item Calcolare il termine richiesto in ogni progressione aritmetica:
  \begin{enumerate}
    \item $a_1 = 5, d = 2$: calcolare $a_{20}$;
    \item $a_1 = 100, d = -3$: calcolare $a_{50}$;
    \item $a_1 = \num{0.5}, d = \num{0.3}$: calcolare $a_{15}$.
  \end{enumerate}
  \item Problemi inversi (dati due termini, trovare $a_1$ e $d$):
  \begin{enumerate}
    \item $a_3 = 10$, $a_7 = 26$;
    \item $a_5 = 0$, $a_{12} = -21$;
    \item $a_2 = \num{1.5}$, $a_8 = \num{7.5}$.
  \end{enumerate}
  \item Calcolare le somme:
  \begin{enumerate}
    \item $1 + 2 + 3 + \cdots + 200$;
    \item $5 + 10 + 15 + \cdots + 500$;
    \item $2 + 4 + 6 + \cdots + 100$;
    \item $1 + 3 + 5 + \cdots + 199$ (multipli dispari);
    \item $-3 - 1 + 1 + 3 + \cdots + 99$.
  \end{enumerate}
  \item Quanti sono i primi $n$ numeri naturali la cui somma vale:
  \begin{enumerate}
    \item $\num{55}$;
    \item $\num{210}$;
    \item $\num{1275}$.
  \end{enumerate}
  \item Calcolare la somma dei multipli di $5$ compresi fra $1$ e $1000$.
  \item Calcolare la somma di tutti i numeri dispari di tre cifre.
  \item In una progressione aritmetica, $a_3 = 11$ e $S_5 = 55$. Determinare $a_1$ e $d$.
  \item Una scala ha $20$ gradini. Il primo è alto $\SI{12}{\centi\meter}$ e ognuno successivo $\SI{2}{\milli\meter}$ in più. Determinare l'altezza totale.
  \item Un negoziante vende il primo giorno $\num{3}$ unità di un prodotto, il secondo $\num{5}$, il terzo $\num{7}$, e così via incrementando di $\num{2}$ ogni giorno. In quanti giorni vende complessivamente $\num{255}$ unità?
  \item Inserire quattro medi aritmetici fra $2$ e $\num{27}$.
  \item Sia $S_n$ la somma dei primi $n$ termini di una progressione aritmetica. Mostrare che, se $S_p = q$ e $S_q = p$ ($p \ne q$), allora $S_{p+q} = -(p + q)$.
  \item Una progressione aritmetica ha la somma dei primi $20$ termini uguale a $\num{1010}$. Sapendo che il decimo termine è $\num{50}$, determinare la ragione.
  \item Un'azienda ha registrato i seguenti incassi annui dal 2020 al 2024: $\num{50000}, \num{55000}, \num{60000}, \num{65000}, \num{70000}$ euro. Verificare che formano una progressione aritmetica e prevedere (per estrapolazione lineare) gli incassi nel 2030.
  \item Mostrare che, in qualunque progressione aritmetica di un numero \emph{dispari} di termini, il termine centrale è uguale alla media aritmetica di tutti i termini.
  \item \emph{Sfida (somme di potenze)}. Mostrare che la somma $1^k + 2^k + \cdots + n^k$ \emph{non} forma una progressione aritmetica per $k \ge 1$. Calcolarla per $k = 2$ e $k = 3$ (suggerimento: $\sum k^2 = n(n+1)(2n+1)/6$, $\sum k^3 = [n(n+1)/2]^2$ --- da dimostrarsi per induzione, vedi \ref{cap:RF-008}).
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:rf-006-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Progressione aritmetica}: $a_{n+1} = a_n + d$, con $d$ \emph{ragione}.
  \item \emph{Termine generale}: $a_n = a_0 + n d$ (oppure $a_n = a_1 + (n-1) d$ se si parte da $a_1$).
  \item \emph{Problema inverso}: dati $a_p$ e $a_q$, si ricavano $d = (a_q - a_p)/(q - p)$ e $a_0$.
  \item \emph{Proprietà della media}: in una progressione aritmetica, $a_n = (a_{n-1} + a_{n+1})/2$.
  \item \emph{Somma dei primi $n$ termini (regola di Gauss)}:
  \[
    S_n = \frac{n (a_1 + a_n)}{2} = n a_1 + \frac{n(n-1)}{2} d.
  \]
  \item \emph{Casi notevoli}:
  \begin{itemize}
    \item Numeri naturali: $1 + 2 + \cdots + n = n(n+1)/2$.
    \item Numeri dispari: $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$ (Pitagora).
    \item Numeri pari: $2 + 4 + \cdots + 2n = n(n+1)$.
  \end{itemize}
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:RF-007}) studiamo le \emph{progressioni geometriche}, in cui la struttura ricorsiva è moltiplicativa anziché additiva: $a_{n+1} = q \cdot a_n$.
\end{itemize}
\end{riepilogo}