lun 4/10/4 Lez. 1

Qualche regola...
Convenzione quaderni: 1 teoria / 1 esercizi da fare a casa
Convenzione interrogazione: ogni lezione è valida per interrogare (valgono volontari purchè ci siano)
Resta in sospeso la questione bonus.

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Un riassunto (per me) sul corpo docente:
Lettere: Bracco
Sto/Fil: Pascale
Inglese: Crotti
Disegno: Campo
Fisica: Di Muro
IRC: Panteghini
Scienze: Gramaglia
Ed Fisica: Rizzato/De Gille

Delle dis/eq di 1° e 2° grado (ripasso)

Una dis/eq è una scritta del tipo 2a+ 3b = 25 oppure 2x < 5 etc ( in generale due espressioni separate da un uguale o un segno di maggiore, minore etc..). In particolare una espressione è un insieme (ordinato) di numeri, variabili, funzioni o operatori (che sono poi un tipo particolare di funzioni).
3+x=2 es. contiene 2 numeri, 1 variabile e un operatore +
E' importante che alla fin fine una espressione rappresenta un NUMERO !!! e quindi la dis/eq rappresenta la dis/eguaglianza tra due NUMERI che può essere vera oppure no a seconda dei valori che diamo alle variabili
Per adesso non introduciamo convenzioni su a,b,x,y, k,r etc: sono tutte variabili. Fine.

RISOLVERE una dis/eq significa trovare l'insieme di valori che sostituiti alla/e variabile/i la rendono vera quindi il processo darà come risultato un qualcosa che avrà l'aspetto di un insieme (finito o infinito)

Es. la prima eq. 2a+3b=25 ha per soluzione l'insieme
{a,bÎ R / a = (25-3b)/2}
che si legge " l'insieme delle coppie a,b (appartenti ai reali) tali che a è uguale a 25-3b il tutto diviso due" (tale insieme è infinito: se penso un qualsiasi b trovo un a e viceversa: scopriremo poi che tali copie a,b se rappresentate su un piano con assi a,b è una retta passante l'asse y in 25/2 o 12.5 e con inclinazione -3/2 cioè che per ogni quadretto che mi sposto a destra sulle x se ne scende di 3/2 di quadretto sulle y)

Es. la seconda eq. 2x<5 ha per soluzione il seguente insieme
{ xÎ R, x< 5/2}
Che è rappresentabile come un punto su una retta.

Eq. di primo grado (in una sola variabile detta incognita): sono sempre riconducibili alla forma ax+b=c e la loro soluzione è {x = (c-b)/a} di cui si suppongono notii a,b,c e non x.

Dis. di primo grado (idem) L'insieme soluzione di ax+b>c è questa volta del tipo {x >(c-b)/a} quindi infinito NOTA se a<0 l'operazione di dividere a dx e sx per (-a) cambia di verso alla disequazione (es -2x <6 ha come insieme soluzione {x>-3}

Eq. di 2° (in una sola variabile): hanno per soluzione i seguenti valori:
{ xÎC / x = [-b ± Ö(b²-4ac)]/2a} dove se discriminante è < 0 si porta fuori una i e si lascia il numero nella forma esempio x=2 + ì3 che viene detto numero complesso. Se invece non ci si vuole complicare la vita si dice che non c'è soluzione reale cioè appartenente a R (come quando si diceva che 6-8 non si poteva fare per evitare i numeri relativi)

Per le dis. di 2° di trovano x1 e x2 e poi se a è positivo la parabola per x che tende all'infinito va verso l'altro (concavità) su altrimenti giù e si studia il segno.

esercizi lezione 1

mar 6/10/4 Lez. 2

Un po' di metacognizione:
E' assolutamente inutile imparare a fare questa o quella disequazione, il problema è maturare una modalità di comportamento tale da riuscire a smontare i problemi man mano che :ci si presentano: non riesco a fare questo:
perchè (es. non so da che parte partire) ,
contrommossa1: vado a cercare esempi simili su appunti o libri contrommossa 2: sparo la prima bestialità che forse potrebbe sbloccarmi (potrei fare questo ma non ne sono sicuro comunque provo...)
non so come scrivere il risultato? vado a vedere come sono scritti sul libro
in generale comunque DEVO/VOGLIO documentare lo sforzo fatto per uscirne fuori, se non lo faccio (metacognitivamente parlando) non funziono!!

etc....

Delle parametriche:
Una eq. sono due numeri a sx e dx del segno di uguale o di minore o maggiore, posso modulare questi due numeri cambiando il valore di x come se fosse su una manopola: muovo la manopola e quando i due numeri a sx e dx sono uguali o nell'ordine giusto ho vinto e segno il risultato (il valore della x) nell'insieme soluzione.
Altre volte le manopole sono più di una, ad esempio esiste una seconda manopola "K" che quando la ruoto mi modifica anche lei i valori a sx e a dx, in particolare mi modifica esempio il valore del discriminante facendo si che le soluzioni reali siano nessuna, 1 o 2. In questo caso si tratta di trovare l'insieme soluzioni di K che fanno fare alla eq. quello che è richiesto dal problema.

ven 8/10/4 Lez. 3

Della democrazia:
L'Italia è una repubblica democratica (...): questo significa che
1) il parlamento è delegato dal popolo a definire le leggi e tra queste l'ordinamento scolastico
2) una volta che tale ordinamento è definito ed è stabilito che i criteri di valutazione attengono alla scuola (tramite il POF) ed in seguito al docente
ebbene
un insieme di studenti NON PUO' cambiare le leggi nazionali perchè non gli aggradano i criteri del prof. ! (invocando la democrazia...)
Quindi, fermo restando che se ne può parlare ( per capirsi meglio),
il mio criterio di valutazione sulla rappresentazione delle soluzioni di una equazione (dopo la ora trascorsa nella prima lezione a dire che è un INSIEME }è il seguente:
x=1 vale 6 e
{xÎ R, x=1} vale 8.
Fine.

COORDINAZIONE DI CLASSE:
(Si ricorda che il 22/10/04 c'è l'elezione dei rappresentanti dei genitori dalle 17 alle 19.30; occorrerà un documento di identità per votare)
Occorre inoltre portare il fogliettino firmato lun 11/10

Lun 11/10/04 Lez. 4

riassunto puntate precedenti:
    Abbiamo detto che risolvere una dis/eq significa trovare l'insieme dei valori della variabile che la rendono vera. es {xÎ R, x > 2}
    Se le variabili sono due es. x e K in base a quale variabile consideriamo parametro otteniamo un insieme soluzioni in cui compare il parametro:
    es. risolviamo in x: {xÎ R, x = 2+K} potrebbe essere una soluzione (parametrizzata in k)
    es. risolviamo in k:{kÎ R, k = x-2} potrebbe essere una soluzione (parametrizzata in x)

Dis/Equazioni parametriche:

Cosa sono?: sono dis/eq in cui oltre alla x compare una seconda variabile che spesso viene chiamata k e assume il ruolo di parametro

Cosa significa risolverle?: in generale a fronte di una equazione parametrica vengono fatte delle richieste su quali valori deve assumere k affinchè l'insieme delle soluzioni abbia determinate caratteristiche
    es 1): data la seguente eq: x² -5kx+6k² =0
                trovare k in modo che le soluzioni siano reali e coincidenti.

    es 2): data la seguente eq: 3x² = (k+1)x²
                trovare k in modo che l'equazione diventi una identità cioè sia verificata per qualsiasi valore di x

     es 3): data la seguente eq: 2x² -k > 0
                 trovare i valori di k tali che l'eq. ammetta soluzioni reali

    anche in questo caso si dovrà trovare l'insieme che rende vera questa volta non l'equazione ma le richieste sull'insieme soluzione. e assumerà l'aspetto di un insieme di valori di k esempio: {kÎ R, k > 2}.

Come si fa a risolverle?: si guarda la richiesta formulata (in questo caso le frasi in rosso) e si cerca di esprimere questa richiesta come una equazione dove compare k ; dopo di chè si risolve tale equazione:

nell'esempio 1 affinchè le soluzioni siano reali e coincidenti occorre che D = 0 cioè (b*b - 4*a*c) = 0 cioè 25 k² - 24k² = 0 cioè k² = 0
nell'esempio 2 occorre che 3= (k+1)
nell'esempio 3 occorre che x² > k/2 abbia soluzioni reali e ciò è possibile solo se k>=0 (perchè i quadrati di x sono sempre positivi o nulli se x è in R)

Caso particolare: se l'equazione in questione è una eq. di II° in x allora spesso le richieste sulle soluzioni si possono esprimere come condizioni sui coefficienti a,b e c che a loro volta contengono k:
es 1) soluzioni reali e distinte D > 0
es 2) soluzioni reali D >= 0
es 3) soluzioni reali e coincidenti D = 0
es 4) la somma delle soluzioni dia una certa cifra

parentesi(
          ogni eq. ax² +bx+c = 0 si può riscrivere come a(x-x1)(x-x2) = 0 (infatti si annullano entrambe per x=x1 o x=x2) ma questo si può riscrivere come
a(xx) - a(x1+x2)x + a*x1*x2] = 0 cioè scopriamo che c=a*x1*x2 e b=-a*(x1+x2) e quindi che x1*x2=c/a e x1+x2=-b/a
       )

Può allora succedere che ci venga richiesto
es 5) somma soluzioni= 5 --> x1+x2= 5 cioè -b/a = 5 e questa diventa una eq. da risolvere in k una volta espressi a e b in termini di k
es 6) x1*x2= 3 allora c/a=3 etc...

ogni richiesta su somme o prodotti delle soluzioni sarà esprimibile come una richiesta su k, cioè una dis/eq , cioè un insieme soluzioni.

Sistemi di dis/eq di I° o II°:

Cosa sono: sono un insieme di equazioni e disequazioni per le quali bisogna trovare l'insieme di valori che sostituiti alla variabile (solitamente x) le rendono vere contemporaneamente ;
Cosa significa risolverle: se ogni dis/eq ha per soluzione un insieme, la soluzione del sistema sarà l'intersezione tra gli insiemi soluzione delle singole dis/eq.
Come si fa a risolverse: il problema stà nel trovare tale intersezioni,
     1)a volte ci si arriva semplicemente guardando le soluzioni dell'una e dell'altra e ragionandovi sopra,
    2)a volte bisogna portare il legame tra le variabili che viene fuori da una eq. nell'altra (in pratica esprimere una variabili in funzione dell'altra in modo da avere alla fine una sola eq. in una incognita) (per sostituzione),
    3) esistono poi altri trucchi per trovare direttamente l'insieme intersezione delle soluzioni ad esempio mischiando le due eq. (somma e sottrazione)
4) con il metodo di Cramer.

verifica 1     soluzione