9 Quantità di moto urti e momento angolare

Capitolo 9
Quantità di moto urti e momento angolare

“Per ogni azione vi è sempre una reazione uguale e contraria; ovvero le azioni reciproche di due corpi l’uno sull’altro sono sempre uguali e dirette in verso contrario.”
— Isaac Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687

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Nei capitoli precedenti abbiamo descritto il moto di un corpo e le forze che lo provocano, per poi introdurre il concetto di energia come grandezza conservata. Perché, allora, abbiamo bisogno di un’altra grandezza?

Immaginiamo un giocatore di biliardo che colpisce una palla ferma: il contatto dura una frazione di secondo, eppure la seconda palla parte a velocità elevata. Oppure pensiamo al rinculo di un fucile, o all’esplosione di un fuoco d’artificio: in tutti questi casi la forza agisce per un tempo brevissimo e ciò che conta è il prodotto tra forza e intervallo di tempo. Questo prodotto prende il nome di impulso, e la grandezza che ne descrive l’effetto è la quantità di moto.

La quantità di moto e il suo principio di conservazione permettono di analizzare problemi nei quali l’approccio energetico, da solo, non è sufficiente: gli urti, le esplosioni, le separazioni. Completeremo il quadro con il momento angolare, la grandezza che governa il moto rotatorio e la cui conservazione spiega, ad esempio, perché una pattinatrice gira più veloce quando avvicina le braccia al corpo.

9.1 Quantità di moto e impulso

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9.1.1 Definizione di quantità di moto

Definizione 9.1 — Quantità di moto

Quantità di moto La quantità di moto di un punto materiale di massa \(m\) e velocità \(\vec{v} \) è la grandezza vettoriale

\[ \vec{p} = m\,\vec{v} \]

L’unità di misura nel SI è \(\,{[\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} / \mathrm{s} ]}\).

La quantità di moto è un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso della velocità; il suo modulo vale

\[ \lvert \vec{p} \rvert = m\,\lvert \vec{v} \rvert. \]

Se un corpo è fermo (\(\vec{v} = \vec {0}\)), la sua quantità di moto è nulla.

Esempio 9.1

Quantità di moto di un’automobile Un’automobile di massa \(m = 1200\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\) viaggia a \(v = 90\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\). Determiniamo il modulo della quantità di moto.

Impostazione algebrica.

\[ p = m\,v \]

Conversione e sostituzione numerica.

\[ v = 90\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} } = \frac {90}{3.6}\;{\mathrm{m} / \mathrm{s} } = 25\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } \]

\[ p = 1200\,{\mathrm{k} \mathrm{g} } \times 25\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } = 3.0\times 10^{4}\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} / \mathrm{s} } \]

9.1.2 Impulso di una forza

Quando una forza \(\vec {F}\) agisce su un corpo per un intervallo di tempo \(\Delta t\), l’effetto complessivo è descritto dall’impulso.

Definizione 9.2 — Impulso

Impulso L’impulso di una forza costante \(\vec {F}\) nell’intervallo \(\Delta t\) è

\[ \vec{J} = \vec {F}\,\Delta t \]

L’unità di misura è \(\,{[\mathrm{N} \,\mathrm{s} ]}\), dimensionalmente equivalente a \(\,{[\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} / \mathrm{s} ]}\).

Nel caso di una forza variabile nel tempo, l’impulso è l’integrale

\[ \vec{J} = \int _{t_1}^{t_2} \vec {F}(t)\,\mathrm {d}t, \]

che nel grafico \(F\)-\(t\) corrisponde all’area sotto la curva.

9.1.3 Teorema dell’impulso

Teorema 9.1 — Teorema dell'impulso (o della quantità di moto)

Teorema dell’impulso (o della quantità di moto) L’impulso della forza risultante agente su un punto materiale è uguale alla variazione della sua quantità di moto:

\[ \vec{F}_{\!\text{ris}} \,\Delta t = \Delta \vec{p} = \vec{p} _f - \vec{p} _i \]

Dimostrazione. Dalla seconda legge di Newton:

\[ \vec{F}_{\!\text{ris}} = m\,\vec{a} = m\,\frac {\Delta \vec{v} }{\Delta t} \quad \Longrightarrow \quad \vec{F}_{\!\text{ris}} \,\Delta t = m\,\Delta \vec{v} = \Delta (m\vec{v} ) = \Delta \vec{p} . \]

Il teorema dell’impulso è la riformulazione della seconda legge di Newton in termini di quantità di moto: la forza è tanto più grande quanto più rapidamente cambia la quantità di moto. Questa lettura spiega perché, in un incidente stradale, l’airbag “allunga” il tempo di arresto e riduce la forza media sul corpo.

Esempio 9.2

Forza media durante un calcio Un pallone da calcio di massa \(m = 0.45\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\), inizialmente fermo, viene calciato e parte con velocità \(v_f = 25\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Il contatto piede-pallone dura \(\Delta t = 8.0\times 10^{-3}\,{\mathrm{s} }\). Calcoliamo la forza media.

Impostazione algebrica.

\[ F_{\text {media}} = \frac {\Delta p}{\Delta t} = \frac {m\,v_f - m\,v_i}{\Delta t} = \frac {m\,(v_f - v_i)}{\Delta t} \]

Sostituzione numerica.

\[ F_{\text {media}} = \frac {0.45\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\times (25\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } - 0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} })}{8.0\times 10^{-3}\,{\mathrm{s} }} = \frac {11.25\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} / \mathrm{s} }} {8.0\times 10^{-3}\,{\mathrm{s} }} = 1.4\times 10^{3}\,{\mathrm{N} } \]

[Picture] — Figura 9.1: Andamento di una forza impulsiva nel tempo. L’area colorata rappresenta il modulo dell’impulso \(\lvert \vec{J} \rvert\).

9.2 Conservazione della quantità di moto

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9.2.1 Sistemi isolati e principio di conservazione

Definizione 9.3 — Sistema isolato

Sistema isolato Un sistema isolato è un insieme di corpi sui quali la risultante delle forze esterne è nulla: \(\vec {F}_{\text {ext}} = \vec {0}\).

Legge 9.1 — Conservazione della quantità di moto

Conservazione della quantità di moto In un sistema isolato la quantità di moto totale si conserva:

\[ \vec{p} _{\text {tot}} = \sum _i m_i\,\vec{v} _i = \text {costante} \]

La dimostrazione discende direttamente dalla terza legge di Newton: le forze interne al sistema sono sempre a coppie uguali e opposte; pertanto la loro somma è nulla e la quantità di moto totale non cambia.

Attenzione!

La conservazione della quantità di moto è un principio vettoriale: vale componente per componente. Anche se l’energia cinetica varia (come negli urti anelastici), la quantità di moto totale resta costante purché il sistema sia isolato.

9.2.2 Applicazioni: rinculo e propulsione a reazione

Rinculo. Consideriamo un fucile di massa \(M\) che spara un proiettile di massa \(m\). Prima dello sparo il sistema è fermo: \(\vec{p} _{\text {tot},i} = \vec {0}\). Dopo lo sparo, per la conservazione della quantità di moto:

\[ m\,\vec{v} _p + M\,\vec{v} _F = \vec {0} \quad \Longrightarrow \quad \vec{v} _F = -\frac {m}{M}\,\vec{v} _p. \]

Il segno negativo indica che il fucile rincula nel verso opposto al proiettile.

Esempio 9.3

Rinculo di un fucile Un fucile di massa \(M = 4.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\) spara un proiettile di massa \(m = 12\,{\mathrm{g} }\) con velocità \(v_p = 350\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Calcoliamo la velocità di rinculo.

Impostazione algebrica.

\[ v_F = \frac {m}{M}\,v_p \]

Sostituzione numerica.

\[ v_F = \frac {0.012\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }}{4.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }} \times 350\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } = 1.1\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } \]

La velocità di rinculo è sensibilmente inferiore a quella del proiettile, ma percepita dall’utilizzatore come un colpo secco alla spalla.

Propulsione a reazione. Un razzo espelle gas ad alta velocità verso il basso; per la conservazione della quantità di moto, il razzo accelera verso l’alto. Il principio è identico a quello del rinculo, applicato in continuo: la massa del sistema diminuisce nel tempo man mano che il propellente viene espulso.

9.2.3 Esplosioni e separazioni

In un’esplosione le forze interne sono violente ma la risultante delle forze esterne può essere considerata trascurabile durante il breve intervallo dell’esplosione. Pertanto la quantità di moto totale del sistema si conserva:

\[ \vec{p} _{\text {tot},i} = \vec{p} _{\text {tot},f}. \]

Se il sistema è inizialmente fermo, i frammenti devono avere quantità di moto che si annullano a vicenda:

\[ \sum _i m_i\,\vec{v} _i = \vec {0}. \]

Esempio 9.4

Esplosione di un petardo su una superficie liscia Un petardo di massa \(M = 0.30\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\), inizialmente fermo su una superficie orizzontale liscia, esplode in due frammenti di massa \(m_1 = 0.10\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\) e \(m_2 = 0.20\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\). Il frammento più leggero si muove con velocità \(v_1 = 15\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Determiniamo la velocità del frammento più pesante.

Impostazione algebrica.

\[ 0 = m_1\,v_1 + m_2\,v_2 \quad \Longrightarrow \quad v_2 = -\frac {m_1}{m_2}\,v_1 \]

Sostituzione numerica.

\[ v_2 = -\frac {0.10\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }}{0.20\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }} \times 15\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } = -7.5\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } \]

Il segno negativo indica che il frammento più pesante si muove in verso opposto, con velocità dimezzata.

9.3 Urti

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9.3.1 Classificazione degli urti

Un urto è un’interazione di breve durata tra due (o più) corpi, durante la quale le forze interne sono molto più intense delle forze esterne: il sistema si può considerare isolato e la quantità di moto totale si conserva.

Definizione 9.4 — Classificazione degli urti

Classificazione degli urti Gli urti si classificano in base alla conservazione dell’energia cinetica:

Urto elastico: si conservano sia la quantità di moto sia l’energia cinetica totale del sistema.
Urto anelastico: si conserva la quantità di moto, ma l’energia cinetica totale diminuisce (parte viene convertita in deformazione, calore, suono…).
Urto completamente anelastico: i due corpi restano attaccati dopo l’urto; la perdita di energia cinetica è massima compatibilmente con la conservazione della quantità di moto.

Attenzione!

In tutti i tipi di urto la quantità di moto totale si conserva. Ciò che varia da un tipo all’altro è la conservazione (o meno) dell’energia cinetica.

9.3.2 Urti elastici unidimensionali

Consideriamo due corpi di masse \(m_1\) e \(m_2\) che si muovono lungo una stessa retta con velocità \(v_{1i}\) e \(v_{2i}\). Le condizioni dell’urto elastico sono:

\begin{align} m_1\,v_{1i} + m_2\,v_{2i} &= m_1\,v_{1f} + m_2\,v_{2f} \label {eq:09-cons-qmoto-elastico} \\[6pt] \tfrac {1}{2}\,m_1\,v_{1i}^2 + \tfrac {1}{2}\,m_2\,v_{2i}^2 &= \tfrac {1}{2}\,m_1\,v_{1f}^2 + \tfrac {1}{2}\,m_2\,v_{2f}^2 \label {eq:09-cons-ec-elastico} \end{align}

Risolvendo il sistema si ottengono le velocità finali:

\[ v_{1f} = \frac {m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_{1i} + \frac {2\,m_2}{m_1 + m_2}\,v_{2i} \]

\[ v_{2f} = \frac {2\,m_1}{m_1 + m_2}\,v_{1i} + \frac {m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,v_{2i} \]

Casi particolari.

Masse uguali (\(m_1 = m_2\)): \(v_{1f} = v_{2i}\) e \(v_{2f} = v_{1i}\); i corpi si “scambiano” le velocità.
Bersaglio fermo (\(v_{2i} = 0\)) con \(m_1 = m_2\): il primo corpo si ferma, il secondo parte con la velocità del primo.
Bersaglio molto pesante (\(m_2 \gg m_1\), \(v_{2i} = 0\)): \(v_{1f} \approx -v_{1i}\) (il corpo leggero rimbalza) e \(v_{2f} \approx 0\).

Esempio 9.5

Urto elastico tra due sfere Una sfera di massa \(m_1 = 2.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\) con velocità \(v_{1i} = 4.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) urta elasticamente una sfera di massa \(m_2 = 3.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\) inizialmente ferma.

Impostazione algebrica (con \(v_{2i} = 0\)).

\[ v_{1f} = \frac {m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_{1i}, \qquad v_{2f} = \frac {2\,m_1}{m_1 + m_2}\,v_{1i} \]

Sostituzione numerica.

\[ v_{1f} = \frac {2.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} } - 3.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }} {2.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} } + 3.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }} \times 4.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } = \frac {-1.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }}{5.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }} \times 4.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } = -0.80\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } \]

\[ v_{2f} = \frac {2 \times 2.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }} {2.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} } + 3.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }} \times 4.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } = \frac {4.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }}{5.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }} \times 4.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } = 3.2\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } \]

La prima sfera rimbalza indietro; la seconda parte in avanti.

Verifica. Quantità di moto totale: \(p_i = 2.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\times 4.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } = 8.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). \(p_f = 2.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\times (-0.80\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }) + 3.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\times 3.2\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } = -1.6\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} / \mathrm{s} } +9.6\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} / \mathrm{s} } = 8.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). \(\checkmark\)

9.3.3 Urti completamente anelastici

Nell’urto completamente anelastico i due corpi, dopo l’urto, si muovono insieme con velocità \(v_f\) comune. L’unica equazione necessaria è la conservazione della quantità di moto:

\[ v_f = \frac {m_1\,v_{1i} + m_2\,v_{2i}}{m_1 + m_2} \]

La perdita di energia cinetica è

\[ \Delta E_k = E_{\mathrm {c},f} - E_{\mathrm {c},i} = \tfrac {1}{2}(m_1+m_2)\,v_f^2 - \bigl (\tfrac {1}{2}\,m_1\,v_{1i}^2 + \tfrac {1}{2}\,m_2\,v_{2i}^2\bigr ) < 0. \]

Esempio 9.6

Urto completamente anelastico Un’automobile di massa \(m_1 = 1000\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\) che viaggia a \(v_{1i} = 20\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) tampona un furgone di massa \(m_2 = 3000\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\) che si muove nello stesso verso a \(v_{2i} = 5.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). I due veicoli restano agganciati.

Impostazione algebrica.

\[ v_f = \frac {m_1\,v_{1i} + m_2\,v_{2i}}{m_1 + m_2} \]

Sostituzione numerica.

\[ v_f = \frac {1000\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\times 20\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } +3000\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\times 5.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }} {1000\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }+3000\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }} = \frac {20000\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} / \mathrm{s} } +15000\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} / \mathrm{s} }} {4000\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }} = 8.8\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } \]

Energia cinetica persa.

\[ E_{\mathrm {c},i} = \tfrac {1}{2}\times 1000\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\times (20\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} })^2 +\tfrac {1}{2}\times 3000\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\times (5.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} })^2 = 200000\,{\mathrm{J} } + 37500\,{\mathrm{J} } = 2.38\times 10^{5}\,{\mathrm{J} } \]

\[ E_{\mathrm {c},f} = \tfrac {1}{2}\times 4000\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\times (8.8\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} })^2 = 1.55\times 10^{5}\,{\mathrm{J} } \]

\[ \Delta E_k = 1.55\times 10^{5}\,{\mathrm{J} } - 2.38\times 10^{5}\,{\mathrm{J} } = -8.3\times 10^{4}\,{\mathrm{J} } \]

Circa il \(35\,{\% }\) dell’energia cinetica iniziale è stato convertito in deformazione dei veicoli, calore e suono.

9.3.4 Urti in due dimensioni

Quando l’urto non è frontale, le velocità finali hanno componenti in due direzioni. La conservazione della quantità di moto si applica componente per componente:

\[ \begin {cases} m_1\,v_{1i,x} + m_2\,v_{2i,x} = m_1\,v_{1f,x} + m_2\,v_{2f,x}\\[4pt] m_1\,v_{1i,y} + m_2\,v_{2i,y} = m_1\,v_{1f,y} + m_2\,v_{2f,y} \end {cases} \]

Un esempio classico è l’urto tra palle da biliardo, nel quale la palla bersaglio parte lungo una direzione obliqua rispetto alla traiettoria iniziale.

9.4 Momento angolare

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9.4.1 Momento della quantità di moto momento angolare

Definizione 9.5 — Momento angolare

Momento angolare Il momento angolare (o momento della quantità di moto) di un punto materiale, rispetto a un polo \(O\), è il prodotto vettoriale del vettore posizione \(\vec {r}\) per la quantità di moto \(\vec{p} \):

\[ \vec {L} = \vec {r} \times \vec{p} = \vec {r} \times (m\,\vec{v} ) \]

L’unità di misura è \(\,{[\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} ^{2} / \mathrm{s} ]}\).

Il modulo del momento angolare è

\[ L = r\,m\,v\,\sin \alpha , \]

dove \(\alpha \) è l’angolo tra \(\vec {r}\) e \(\vec{v} \). La direzione è perpendicolare al piano individuato da \(\vec {r}\) e \(\vec{v} \) e il verso è dato dalla regola della mano destra.

9.4.2 Momento di una forza

Definizione 9.6 — Momento di una forza (torque)

Momento di una forza (torque) Il momento (o torque) di una forza \(\vec {F}\), rispetto a un polo \(O\), è

\[ \vec {M} = \vec {r} \times \vec {F} \]

L’unità di misura è \(\,{[\mathrm{N} \,\mathrm{m} ]}\).

Il modulo è \(M = r\,F\,\sin \alpha \), dove \(\alpha \) è l’angolo tra \(\vec {r}\) e \(\vec {F}\). La quantità \(b = r\,\sin \alpha \) è detta braccio della forza rispetto al polo. Pertanto:

\[ M = F\,b. \]

Il legame tra momento di una forza e momento angolare è l’analogo rotazionale della seconda legge di Newton:

\[ \vec {M} = \frac {\mathrm {d}\vec {L}}{\mathrm {d}t}. \]

9.4.3 Conservazione del momento angolare

Legge 9.2 — Conservazione del momento angolare

Conservazione del momento angolare Se il momento risultante delle forze esterne rispetto a un polo è nullo, il momento angolare del sistema si conserva:

\[ \text {se } \vec {M}_{\text {ext}} = \vec {0} \quad \Longrightarrow \quad \vec {L} = \text {costante} \]

Applicazione: la pattinatrice. Una pattinatrice che ruota su sé stessa con le braccia aperte possiede un certo momento angolare \(L\). Se non agiscono momenti esterni apprezzabili (l’attrito col ghiaccio è molto piccolo), quando avvicina le braccia al corpo la sua distribuzione di massa cambia: la “distanza media” dal corpo diminuisce, e per conservare \(L\) la velocità angolare deve aumentare.

In forma compatta, per un sistema che ruota attorno a un asse fisso si può scrivere \(L = I\,\omega \), dove \(I\) è il momento d’inerzia (che dipende dalla distribuzione di massa) e \(\omega \) la velocità angolare. Se \(L\) è costante:

\[ I_i\,\omega _i = I_f\,\omega _f \quad \Longrightarrow \quad \omega _f = \frac {I_i}{I_f}\,\omega _i. \]

Riducendo \(I\) (braccia al corpo), \(\omega \) aumenta.

Esempio 9.7

La pattinatrice che accelera la rotazione Una pattinatrice ruota inizialmente con le braccia aperte: il suo momento d’inerzia è \(I_i = 4.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} ^{2} }\) e la velocità angolare è \(\omega _i = 2.0\,{\mathrm{rad}/ \mathrm{\mathrm{s}} }\). Quando raccoglie le braccia, il momento d’inerzia si riduce a \(I_f = 1.6\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} ^{2} }\). Calcoliamo la nuova velocità angolare.

Impostazione algebrica.

\[ \omega _f = \frac {I_i}{I_f}\,\omega _i \]

Sostituzione numerica.

\[ \omega _f = \frac {4.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} ^{2} }} {1.6\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} ^{2} }} \times 2.0\,{\mathrm{rad}/ \mathrm{\mathrm{s}} } = 5.0\,{\mathrm{rad}/ \mathrm{\mathrm{s}} } \]

La velocità angolare è aumentata di un fattore \(2.5\).

Esercizi proposti

Esercizio 9.1

1.: Un carrello di massa \(m_1 = 5.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\) si muove con velocità \(v_1 = 3.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) su un piano orizzontale privo di attrito e urta un secondo carrello fermo di massa \(m_2 = 2.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\). Se l’urto è elastico, determina le velocità dei due carrelli dopo l’urto. [\(v_{1f} = 1.3\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); \(v_{2f} = 4.3\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]
2.: Due pattinatori su ghiaccio, di masse \(m_1 = 70\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\) e \(m_2 = 50\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\), sono inizialmente fermi e si spingono l’uno contro l’altro. Se il primo si allontana con velocità \(v_1 = 2.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), qual è la velocità del secondo? [\(v_2 = 2.8\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]
3.: Un proiettile di massa \(m = 15\,{\mathrm{g} }\) si conficca in un blocco di legno di massa \(M = 2.5\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\) inizialmente fermo, appeso a un filo (pendolo balistico). Se dopo l’urto il sistema blocco+proiettile si alza di \(h = 12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), determina la velocità iniziale del proiettile. [\(v_0 \approx 260\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]
4.: Una granata di massa \(M = 5.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\) viaggia orizzontalmente a \(v = 200\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) ed esplode in due frammenti di massa \(m_1 = 2.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\) e \(m_2 = 3.0\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\). Il frammento \(m_1\) prosegue nella stessa direzione con velocità \(v_1 = 350\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Determina la velocità di \(m_2\). [\(v_2 = 100\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]
5.: Un disco su un tavolo privo di attrito ruota attorno al proprio centro con velocità angolare \(\omega _i = 10\,{\mathrm{rad}/ \mathrm{\mathrm{s}} }\) e momento d’inerzia \(I_i = 0.50\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} ^{2} }\). Un anello (\(I_a = 0.30\,{\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} ^{2} }\)), inizialmente fermo, viene appoggiato concentricamente sul disco. Calcola la velocità angolare finale del sistema. [\(\omega _f \approx 6.3\,{\mathrm{rad}/ \mathrm{\mathrm{s}} }\)]
6.: Una forza costante di \(150\,{\mathrm{N} }\) agisce su un corpo di massa \(m = 60\,{\mathrm{k} \mathrm{g} }\) inizialmente fermo per un intervallo \(\Delta t = 0.40\,{\mathrm{s} }\). Calcola l’impulso e la velocità finale del corpo. [\(J = 60\,{\mathrm{N} \,\mathrm{s} }\); \(v_f = 1.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]

Riepilogo

Quantità di moto — La quantità di moto di un punto materiale è \(\vec{p} = m\,\vec{v} \); si misura in \({\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).

Impulso — L’impulso di una forza costante è \(\vec{J} = \vec {F}\,\Delta t\); per una forza variabile è l’integrale \(\vec{J} = \int \vec {F}\,\mathrm {d}t\).

Teorema dell’impulso — L’impulso della risultante è uguale alla variazione della quantità di moto: \(\vec{F}_{\!\text{ris}} \,\Delta t = \Delta \vec{p} \).

Conservazione della quantità di moto — In un sistema isolato (\(\vec {F}_{\text {ext}} = \vec {0}\)) la quantità di moto totale si conserva.

Urti elastici — Si conservano sia \(\vec{p} _{\text {tot}}\) sia \(E_{\mathrm {c,tot}}\).

Urti completamente anelastici — Si conserva \(\vec{p} _{\text {tot}}\); i corpi restano uniti e l’energia cinetica diminuisce.

Momento angolare — Il momento angolare rispetto a un polo è \(\vec {L} = \vec {r}\times \vec{p} \); si misura in \({\mathrm{k} \mathrm{g} \,\mathrm{m} ^{2} / \mathrm{s} }\).

Momento di una forza — Il momento (torque) è \(\vec {M} = \vec {r}\times \vec {F}\); il modulo vale \(M = F\,b\), dove \(b\) è il braccio.

Conservazione del momento angolare — Se \(\vec {M}_{\text {ext}} = \vec {0}\), il momento angolare si conserva: \(\vec {L} = \text {costante}\).

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07 Moto Accelerato