11 Oscillazioni e onde meccaniche

Capitolo 11
Oscillazioni e onde meccaniche

“Tutte le vibrazioni del medesimo pendolo, quanto si vogliano grandi, quanto piccole, vengono fatte in tempi uguali fra di loro.”
— Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, 1638

____________________________________________________________________________________

Studia questo capitolo con l’AI: quiz, esercizi e altro

Ripassa con le flashcard

Esercizi auto-generati

Sorgente di questo capitolo

Esercizi del prof. De Capoa

Presentazioni— slide NotebookLM (clic per aprire il PDF)

Onde e suono

Il suono

Audio overview— podcast NotebookLM (clic per ascoltare)

[IT] Onde e suono

[EN] Principi di Onde e Suono

[FR] Fisica onde e acustica

[ES] Principi di Onde e Suono

11.1 Introduzione motivazionale

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

Una corda di chitarra pizzicata, un pendolo che oscilla, l’altalena di un parco giochi, il moto di un atomo di un cristallo attorno alla propria posizione di equilibrio, i battiti del cuore: in tutti questi fenomeni una grandezza fisica varia nel tempo in modo periodico, ripetendosi identicamente a intervalli regolari. Il modello matematico che descrive la più semplice e più importante di queste situazioni è l’oscillatore armonico.

Quando l’oscillazione si trasmette da un punto a un altro di un mezzo elastico — la corda, l’aria, l’acqua, la roccia — nasce un’onda meccanica. Le onde meccaniche sono il modo in cui parliamo (suono), sentiamo i terremoti (onde sismiche), osserviamo le increspature di uno stagno. In questo capitolo costruiremo i concetti necessari per trattare entrambi i fenomeni e ne vedremo applicazioni acustiche; gli strumenti che svilupperemo — ampiezza, frequenza, lunghezza d’onda, fase, interferenza — tornano poi quasi inalterati nello studio delle onde elettromagnetiche e, in modo profondamente analogo, nella descrizione quantistica della materia.

11.2 L’oscillatore armonico

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

11.2.1 Sistema massa-molla come oscillatore armonico

Consideriamo un corpo di massa \(m\) vincolato a un piano orizzontale liscio (attrito trascurabile) e collegato a una parete fissa tramite una molla ideale di costante elastica \(k\) (figura 11.1). Indichiamo con \(x\) la posizione del corpo, misurata dalla posizione di equilibrio (molla a riposo).

[Picture] — Figura 11.1: Sistema massa-molla orizzontale. La forza elastica \(F = -k\,x\) è sempre diretta verso la posizione di equilibrio (forza di richiamo): è positiva quando \(x<0\), negativa quando \(x>0\).

La molla esercita sul corpo una forza descritta dalla legge di Hooke:

\[ F = -k\,x \label {eq:11-hooke} \]

Unità SI: \([F]={\mathrm{N} }\), \([k]={\mathrm{N} / \mathrm{m} }\), \([x]={\mathrm{m} }\).

Il segno meno è essenziale: la forza è sempre diretta verso la posizione di equilibrio, ed è perciò chiamata forza di richiamo. Tanto più il corpo si allontana dall’equilibrio, tanto più la molla lo “richiama” indietro.

Applicando il secondo principio della dinamica, \(F = m\,a\), e ricordando che l’accelerazione è la derivata seconda della posizione, \(a = \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\):

\[ m\,\dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k\,x \;\Longrightarrow \; \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \dfrac {k}{m}\,x = 0. \]

Definendo la pulsazione angolare

\[ \omega = \sqrt {\dfrac {k}{m}}, \]

l’equazione del moto diventa la forma standard dell’oscillatore armonico, che approfondiremo nel paragrafo successivo.

Definizione 11.1 — Periodo di un sistema massa-molla

Il periodo (di cui daremo la definizione precisa più avanti) di un sistema massa-molla ideale vale:

\[ T = 2\pi \,\sqrt {\dfrac {m}{k}} \label {eq:11-T-molla} \]

Unità SI: \([T]={\mathrm{s} }\), \([m]={\mathrm{kg} }\), \([k]={\mathrm{N} / \mathrm{m} }\).

Si noti un fatto sorprendente: il periodo non dipende dall’ampiezza dell’oscillazione, ma solo dalla massa e dalla costante elastica. Tutte le oscillazioni di un dato sistema massa-molla hanno la stessa durata, qualunque sia il loro “estensione”. È l’isocronismo, una proprietà che vedremo essere caratteristica di tutti gli oscillatori armonici.

11.2.2 Equazione del moto armonico

Generalizzando il risultato del massa-molla, chiamiamo oscillatore armonico qualsiasi sistema fisico la cui coordinata \(x(t)\) soddisfa l’equazione differenziale:

\[ \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -\omega ^2\,x \label {eq:11-eq-armonico} \]

Unità SI: \([x]={\mathrm{m} }\), \([\omega ]={\mathrm{rad} / \mathrm{s} }\); il primo membro è in \({\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\).

La soluzione generale di questa equazione è una funzione sinusoidale del tempo:

\[ x(t) = A\,\cos (\omega \,t + \varphi ) \label {eq:11-soluzione-armonico} \]

Unità SI: \([x]=[A]={\mathrm{m} }\), \([\omega ]={\mathrm{rad} / \mathrm{s} }\), \([t]={\mathrm{s} }\), \([\varphi ]={\mathrm{rad} }\).

Verifichiamo che \(x(t) = A\cos (\omega t + \varphi )\) è effettivamente soluzione: derivando una prima volta, \(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -A\,\omega \,\sin (\omega t + \varphi )\), e una seconda volta, \(\dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -A\,\omega ^2\,\cos (\omega t + \varphi ) = -\omega ^2\,x\). Sostituendo nell’equazione (11.2.2) otteniamo un’identità: la funzione la soddisfa per ogni valore di \(A\) e \(\varphi \).

Velocità e accelerazione si ricavano per derivazione (le stesse relazioni si ottengono senza derivate proiettando il moto circolare uniforme su un diametro, come nel capitolo 3, sezione 3.9.3):

\[ v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -A\,\omega \,\sin (\omega t + \varphi ), \qquad a(t) = \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -A\,\omega ^2\,\cos (\omega t + \varphi ). \]

Velocità e posizione sono in quadratura (sfasate di \(\pi /2\)): quando uno è massimo l’altra è nulla, e viceversa. Accelerazione e posizione sono invece in opposizione di fase (\(\pi \)): se la posizione è massima a destra, l’accelerazione è massima a sinistra.

11.2.3 Periodo, frequenza, ampiezza, fase

Nella soluzione \(x(t) = A\cos (\omega t + \varphi )\) compaiono tre costanti, ciascuna con un significato fisico preciso.

L’ampiezza \(A\) è il massimo spostamento dalla posizione di equilibrio. Si misura in metri (in generale, nelle unità della grandezza che oscilla).
La pulsazione angolare \(\omega \) determina la rapidità dell’oscillazione. Si misura in \({\mathrm{rad} / \mathrm{s} }\) (talvolta scritto come \({/ \mathrm{s} }\), dato che il radiante è adimensionale).
La fase iniziale \(\varphi \) fissa lo stato del sistema all’istante \(t = 0\): \(x(0) = A\cos \varphi \).

A partire da \(\omega \) si definiscono due quantità di uso comune.

Definizione 11.2 — Periodo e frequenza

Il periodo \(T\) è l’intervallo di tempo dopo il quale l’oscillazione si ripete identicamente; la frequenza \(f\) è il numero di oscillazioni complete nell’unità di tempo:

\[ T = \dfrac {2\pi }{\omega }, \qquad f = \dfrac {1}{T} = \dfrac {\omega }{2\pi } \label {eq:11-T-f} \]

Unità SI: \([T]={\mathrm{s} }\), \([f]={\mathrm{Hz} }\), \([\omega ]={\mathrm{rad} / \mathrm{s} }\); \(1\,{\mathrm{Hz} } = 1\,{/ \mathrm{s} }\).

L’hertz (\({\mathrm{Hz} }\)) è il nome dell’unità di frequenza nel SI; un hertz corrisponde a un’oscillazione completa al secondo. Una nota musicale “la” centrale di un pianoforte vibra a \(f = 440\,{\mathrm{Hz} }\); il battito cardiaco a riposo è di circa \(1\,{\mathrm{Hz} }\).

11.2.4 Energia dell’oscillatore armonico

Per un sistema massa-molla orizzontale (gravità ininfluente) l’energia meccanica totale è la somma di energia cinetica ed energia potenziale elastica:

\[ E_k = \tfrac {1}{2}\,m\,v^2, \qquad U_{\mathrm {el}} = \tfrac {1}{2}\,k\,x^2. \]

Sostituendo le espressioni di \(x(t)\) e \(v(t)\):

\[ E_k (t) = \tfrac {1}{2}\,m\,A^2\,\omega ^2\,\sin ^2(\omega t + \varphi ), \]

\[ U_{\mathrm {el}}(t) = \tfrac {1}{2}\,k\,A^2\,\cos ^2(\omega t + \varphi ). \]

Ricordando che \(\omega ^2 = k/m\), si ha \(\tfrac {1}{2}m A^2 \omega ^2 = \tfrac {1}{2}k A^2\), e di conseguenza:

\[ E_{\mathrm {tot}} = E_k (t) + U_{\mathrm {el}}(t) = \tfrac {1}{2}\,k\,A^2 \big [\sin ^2(\omega t + \varphi ) + \cos ^2(\omega t + \varphi )\big ] = \tfrac {1}{2}\,k\,A^2. \]

Legge 11.1 — Energia totale dell’oscillatore armonico

L’energia meccanica totale di un oscillatore armonico ideale è costante e proporzionale al quadrato dell’ampiezza:

\[ E_{\mathrm {tot}} = \tfrac {1}{2}\,k\,A^2 \label {eq:11-energia-oscillatore} \]

Unità SI: \([E]={\mathrm{J} }\), \([k]={\mathrm{N} / \mathrm{m} }\), \([A]={\mathrm{m} }\).

Durante il moto, energia cinetica e potenziale si trasformano continuamente l’una nell’altra: agli estremi (\(x = \pm A\)) la velocità è nulla e l’energia è tutta potenziale; nel centro (\(x = 0\)) la velocità è massima (\(v_{\max } = A\,\omega \)) e l’energia è tutta cinetica.

11.2.5 Pendolo semplice

Un pendolo semplice è costituito da un corpo di massa \(m\) sospeso a un filo inestensibile di lunghezza \(L\) e massa trascurabile. Scostato dall’equilibrio di un angolo \(\theta \), il corpo è soggetto al peso \(m\,g \): la componente tangenziale alla traiettoria, che costituisce la forza di richiamo, vale \(F_{\tau } = -m\,g \,\sin \theta \). La traiettoria è un arco di circonferenza di raggio \(L\), e dunque lo spostamento lungo la traiettoria è \(s = L\,\theta \). Il secondo principio scritto lungo la tangente:

\[ m\,L\,\dfrac{\mathrm{d}^2\theta }{\mathrm{d}t^2} = -m\,g \,\sin \theta \;\Longrightarrow \; \dfrac{\mathrm{d}^2\theta }{\mathrm{d}t^2} = -\dfrac {g }{L}\,\sin \theta . \]

Per piccole oscillazioni (\(\theta \lesssim 10\,{^\circ }\), ovvero \(\theta \lesssim 0.17\) rad) vale l’approssimazione \(\sin \theta \approx \theta \), e l’equazione si riduce a quella di un oscillatore armonico:

\[ \dfrac{\mathrm{d}^2\theta }{\mathrm{d}t^2} = -\dfrac {g }{L}\,\theta , \]

con pulsazione \(\omega = \sqrt {g /L}\).

Legge 11.2 — Periodo del pendolo semplice (piccole oscillazioni)

Per piccole oscillazioni, il periodo di un pendolo semplice vale:

\[ T = 2\pi \,\sqrt {\dfrac {L}{g }} \label {eq:11-T-pendolo} \]

Unità SI: \([T]={\mathrm{s} }\), \([L]={\mathrm{m} }\), \([g ]={\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }\).

Notiamo due fatti rimarchevoli:

il periodo non dipende dalla massa: pendoli di legno o di piombo, della stessa lunghezza, oscillano con lo stesso periodo (lo verificò Galileo, ed è il fondamento dell’equivalenza fra massa inerziale e massa gravitazionale);
il periodo non dipende dall’ampiezza delle oscillazioni (purché siano piccole): isocronismo. È la proprietà che fece del pendolo il regolatore di precisione degli orologi meccanici fino all’avvento dei quarzi.

11.3 Onde meccaniche

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

11.3.1 Propagazione di un’oscillazione in un mezzo

Se in un punto di un mezzo elastico una grandezza fisica (ad esempio la posizione di una particella di corda, o la pressione locale dell’aria) viene fatta oscillare, ogni particella del mezzo trasmette l’oscillazione alle particelle vicine, attraverso le forze di legame elastico. Si genera così una perturbazione che si propaga nel mezzo: questa è un’onda meccanica.

Attenzione!

L’onda trasporta energia, non materia Nell’onda meccanica le particelle del mezzo oscillano attorno alla propria posizione di equilibrio, ma non si spostano in modo netto nel verso di propagazione. Quello che si propaga è la configurazione di oscillazione — e con essa energia e quantità di moto — non la materia che la sostiene. Un sughero galleggiante sulle increspature di uno stagno sale e scende ma non viene trascinato in avanti dall’onda.

Le onde meccaniche, a differenza delle onde elettromagnetiche, hanno bisogno di un mezzo materiale per propagarsi: nel vuoto non esistono. La velocità di propagazione dipende dalle proprietà elastiche e dalla densità del mezzo. Per una corda tesa di tensione \(F\) e densità lineare \(\mu = m/L\) vale:

\[ v = \sqrt {\dfrac {F}{\mu }} \label {eq:11-v-corda} \]

Unità SI: \([v]={\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), \([F]={\mathrm{N} }\), \([\mu ]={\mathrm{kg} / \mathrm{m} }\).

Per una corda di chitarra, regolare la tensione (con le chiavette) modifica la velocità di propagazione delle onde lungo la corda, e di conseguenza l’altezza della nota emessa: più la corda è tesa, più la velocità è alta, più la frequenza emessa è acuta.

11.3.2 Onde longitudinali e onde trasversali

In base alla direzione in cui le particelle del mezzo oscillano, rispetto a quella di propagazione dell’onda, si distinguono due tipi fondamentali.

Onde trasversali: le particelle oscillano perpendicolarmente alla direzione di propagazione. Esempi: le onde su una corda tesa, le increspature sull’acqua (in prima approssimazione), le onde elettromagnetiche (dove a oscillare non sono particelle ma vettori campo).
Onde longitudinali: le particelle oscillano parallelamente alla direzione di propagazione, in compressioni e rarefazioni successive. Il caso più importante è il suono nei gas e nei liquidi. Nei solidi le onde sismiche includono sia componenti longitudinali (onde P) sia trasversali (onde S).

Le onde sull’acqua sono, a rigore, miste: le particelle descrivono piccole orbite circolari, con componente sia verticale (trasversale) sia orizzontale (longitudinale). Per la nostra trattazione, considereremo onde puramente trasversali o puramente longitudinali.

11.3.3 Lunghezza d’onda, periodo, velocità di propagazione

Una onda armonica è un’onda la cui forma è descritta da una funzione seno (o coseno). Una sua “fotografia” a un istante fissato mostra il classico profilo sinusoidale (figura 11.2).

Le grandezze caratteristiche di un’onda armonica sono:

l’ampiezza \(A\), massimo spostamento dalla posizione di equilibrio (in metri, per un’onda di spostamento; in pascal per un’onda di pressione; etc.);
la lunghezza d’onda \(\lambda \), distanza spaziale fra due punti consecutivi nello stesso stato di oscillazione (in \({\mathrm{m} }\));
il periodo \(T\), intervallo di tempo dopo cui un punto del mezzo ritorna nello stesso stato di oscillazione (in \({\mathrm{s} }\));
la frequenza \(f = 1/T\) (in \({\mathrm{Hz} }\)).

Le tre grandezze \(\lambda \), \(T\), \(v\) sono legate dalla relazione fondamentale: nell’intervallo di un periodo, l’onda avanza di una lunghezza d’onda, perciò:

\[ v = \dfrac {\lambda }{T} = \lambda \,f \label {eq:11-v-lambda-f} \]

Unità SI: \([v]={\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), \([\lambda ]={\mathrm{m} }\), \([T]={\mathrm{s} }\), \([f]={\mathrm{Hz} }\).

Da questa relazione, fissato il mezzo (e quindi \(v\)): a frequenza alta corrisponde lunghezza d’onda piccola, e viceversa.

11.3.4 Equazione dell’onda armonica

La forma matematica completa di un’onda armonica progressiva, che si propaga nel verso positivo dell’asse \(x\), è:

\[ y(x,t) = A\,\sin (k\,x - \omega \,t + \varphi ) \label {eq:11-onda-armonica} \]

Unità SI: \([A]={\mathrm{m} }\), \([k]={\mathrm{rad} / \mathrm{m} }\), \([\omega ]={\mathrm{rad} / \mathrm{s} }\), \([\varphi ]={\mathrm{rad} }\).

dove \(A\) è l’ampiezza, \(\varphi \) una costante di fase, e si introducono due nuovi parametri:

il numero d’onda \(k = \dfrac {2\pi }{\lambda }\), misurato in \({\mathrm{rad} / \mathrm{m} }\), che esprime la “frequenza spaziale” dell’onda;
la pulsazione angolare \(\omega = \dfrac {2\pi }{T}\), misurata in \({\mathrm{rad} / \mathrm{s} }\), già nota dall’oscillatore armonico.

In termini di \(k\) e \(\omega \), la velocità di propagazione si scrive:

\[ v = \dfrac {\omega }{k} = \dfrac {2\pi /T}{2\pi /\lambda } = \dfrac {\lambda }{T} = \lambda \,f. \]

Un’onda che si propaga nel verso negativo dell’asse \(x\) si descrive con \(y(x,t) = A\sin (kx + \omega t + \varphi )\): cambia il segno del termine temporale. In generale, ogni segno indica un verso di propagazione opposto.

11.4 Onde acustiche

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

11.4.1 Natura delle onde acustiche

Il suono è un’onda meccanica longitudinale, costituita da successive compressioni e rarefazioni del mezzo (aria, acqua, solido). Una sorgente sonora — la membrana di un altoparlante, le corde vocali, una corda di violino — mette in oscillazione le particelle del mezzo vicino; queste, urtandosi a vicenda, trasmettono l’oscillazione: si propaga una variazione locale di pressione che chiamiamo onda sonora.

L’orecchio umano è sensibile alle onde acustiche di frequenza compresa tra circa \(20\,{\mathrm{Hz} }\) e \(20\,{\mathrm{k} \mathrm{Hz} }\) (più realisticamente fino a \(16\,{\mathrm{k} \mathrm{Hz} }\) in età adulta). Le onde di frequenza inferiore a \(20\,{\mathrm{Hz} }\) si dicono infrasuoni; quelle di frequenza superiore a \(20\,{\mathrm{k} \mathrm{Hz} }\) ultrasuoni. I pipistrelli usano ultrasuoni fino a \(100\,{\mathrm{k} \mathrm{Hz} }\) per ecolocalizzazione; le balene comunicano con infrasuoni che si propagano per migliaia di chilometri negli oceani.

11.4.2 Velocità del suono nei diversi mezzi

La velocità di propagazione del suono dipende dalle proprietà elastiche del mezzo e dalla sua densità. In linea di principio, \(v\) aumenta con le forze di legame intermolecolari (e quindi con la rigidità) e diminuisce con la densità; nei solidi e nei liquidi prevale il primo effetto, e il suono è molto più veloce che nei gas.

Valori di riferimento:

in aria a \(20\,{^\circ\text{C} }\): \(v \approx 343\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\) (circa \(1230\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\));
in acqua dolce: \(v \approx 1480\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\);
nell’acciaio: \(v \approx 5100\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\);
nel ghiaccio: \(v \approx 3200\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).

Nell’aria, la velocità del suono dipende dalla temperatura (approssimativamente, \(v \approx 331\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } + 0.60\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\,\cdot \,T/{^\circ\text{C} }\)), ma non dalla pressione atmosferica (per gas ideale).

Esempio 11.1

Stima della distanza di un fulmine Vedi un lampo e, dopo \(\Delta t = 6.0\,{\mathrm{s} }\), senti il tuono. Trascurando il tempo di propagazione della luce (istantaneo sulla scala di un temporale), la distanza del fulmine è \(d \approx v\,\Delta t = 343\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\cdot 6.0\,{\mathrm{s} } \approx 2.1\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\). Regola pratica: “ogni \(3\,{\mathrm{s} }\) di ritardo, un chilometro”.

11.4.3 Caratteristiche del suono: altezza, intensità, timbro

Una sorgente sonora reale, ad esempio uno strumento musicale, emette contemporaneamente onde di frequenze diverse, in proporzioni caratteristiche dello strumento. La percezione che ne abbiamo è sintetizzata in tre proprietà.

Altezza: è la percezione della frequenza. Suoni acuti (es. fischio) hanno frequenze elevate; suoni gravi (es. tuono) hanno frequenze basse. Un raddoppio della frequenza corrisponde, in musica, a un’ottava.
Intensità: è la percezione dell’ampiezza dell’onda. Si quantifica oggettivamente come potenza per unità di superficie (\({\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} }\)), o sulla scala soggettiva in decibel (dB), una scala logaritmica.
Timbro: è la qualità sonora che permette di distinguere un violino da un pianoforte quando suonano la stessa nota alla stessa intensità. Dipende dalla composizione spettrale del suono: ogni nota emessa da uno strumento contiene, oltre alla frequenza fondamentale, una serie di armoniche superiori (multipli interi della fondamentale) in proporzioni che identificano lo strumento.

Altezza, intensità e timbro sono qualità soggettive, basate sulla risposta fisiologica dell’orecchio; le grandezze fisiche sottostanti (frequenza, ampiezza, spettro) sono invece oggettive e misurabili.

11.5 Fenomeni ondulatori

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

Le onde, a differenza dei corpi materiali, possono sovrapporsi nello stesso punto dello spazio nello stesso istante. Quando due onde si incontrano, non rimbalzano l’una sull’altra né si fermano: si sommano, danno luogo a una nuova configurazione, e poi proseguono inalterate. È il principio di sovrapposizione, una proprietà caratteristica delle onde.

11.5.1 Interferenza come fenomeno ondulatorio caratteristico

Legge 11.3 — Principio di sovrapposizione

In un punto in cui giungono contemporaneamente due o più onde, lo spostamento totale è la somma algebrica degli spostamenti che ciascuna onda produrrebbe da sola.

Il fenomeno che ne deriva si chiama interferenza. Considerate due sorgenti \(S_1\), \(S_2\) che emettono onde armoniche della stessa frequenza e in fase fra loro. In un punto \(P\) arrivano due onde con una differenza di cammino \(\Delta d = d_2 - d_1\). Se le onde percorrono la stessa lunghezza (\(\Delta d = 0\)) arrivano in fase e si sommano costruttivamente; se la differenza di cammino vale mezza lunghezza d’onda (\(\Delta d = \lambda /2\)), arrivano in opposizione di fase e si annullano.

11.5.2 Interferenza costruttiva e distruttiva

In generale, due onde armoniche della stessa frequenza si combinano in modo che dipende dalla loro differenza di fase \(\Delta \varphi \) nel punto considerato:

Interferenza costruttiva: \(\Delta \varphi = 2\,n\,\pi \) (con \(n\) intero), equivalente a differenza di cammino \(\Delta d = n\,\lambda \). Le ampiezze si sommano: l’onda risultante ha ampiezza \(A_1 + A_2\). Per onde di uguale ampiezza, l’intensità risultante è massima e pari a quattro volte quella di un’onda singola.
Interferenza distruttiva: \(\Delta \varphi = (2n+1)\,\pi \), equivalente a differenza di cammino \(\Delta d = (n + \tfrac {1}{2})\,\lambda \). Le onde si oppongono: per ampiezze uguali, l’onda risultante è nulla.

I punti dello spazio in cui si verifica interferenza costruttiva formano una rete di massimi; quelli in cui si verifica interferenza distruttiva, una rete di minimi. La figura risultante è detta figura di interferenza e costituisce la firma sperimentale del comportamento ondulatorio della grandezza considerata.

Esempio 11.2

Sale silenziose e cuffie noise-cancelling In una sala da concerto, posizioni specifiche dell’ascoltatore possono trovarsi in punti di interferenza distruttiva fra le onde dirette e le riflessioni dalle pareti: si crea un “buco” acustico. Il principio opposto è usato nelle cuffie attive a riduzione del rumore: il rumore ambientale viene captato da un microfono, invertito di fase, e sovrapposto al suono che arriva all’orecchio. Le due onde, in opposizione di fase, interferiscono distruttivamente: il rumore si annulla.

11.5.3 Battimenti

Se due onde sonore di frequenze \(f_1\) e \(f_2\) leggermente diverse (\(|f_1 - f_2|\) piccola rispetto a \(f_1, f_2\)) si sovrappongono, l’orecchio percepisce un suono di intensità che varia periodicamente: fenomeno detto battimenti. Senza addentrarsi nei dettagli formali (le somme di funzioni trigonometriche con frequenze vicine si possono riscrivere come prodotto di una funzione a frequenza media e una a frequenza differenza), il risultato è che la frequenza con cui l’intensità si gonfia e si sgonfia (frequenza di battimento) vale:

\[ f_{\mathrm {batt}} = |\,f_1 - f_2\,| \label {eq:11-battimenti} \]

Unità SI: \([f_{\mathrm {batt}}]={\mathrm{Hz} }\), \([f_1]=[f_2]={\mathrm{Hz} }\).

I battimenti sono lo strumento principale per accordare uno strumento musicale a orecchio: si fa suonare la nota di riferimento e la nota da accordare; se le due frequenze differiscono, si sentono battimenti. Regolando la tensione della corda o la lunghezza del tubo si rallentano i battimenti, fino a farli sparire: a quel punto le due frequenze coincidono.

11.6 Esempi svolti

quiz e materiali con l’AI

Esempio 11.3

Periodo e frequenza di un sistema massa-molla Una massa \(m = 0.50\,{\mathrm{kg} }\) è collegata a una molla di costante elastica \(k = 200\,{\mathrm{N} / \mathrm{m} }\). Calcoliamo pulsazione, periodo e frequenza dell’oscillazione.

Impostazione.

\[ \omega = \sqrt {\dfrac {k}{m}},\qquad T = \dfrac {2\pi }{\omega },\qquad f = \dfrac {1}{T}. \]

Sostituzione numerica.

\begin{align*} \omega &= \sqrt {\dfrac {200\,{\mathrm{N} / \mathrm{m} }}{0.50\,{\mathrm{kg} }}} = 20\,{\mathrm{rad} / \mathrm{s} }, \\ T &= \dfrac {2\pi }{20\,{\mathrm{rad} / \mathrm{s} }} \approx 0.314\,{\mathrm{s} }, \\ f &= \dfrac {1}{T} \approx 3.18\,{\mathrm{Hz} }. \end{align*}

Esempio 11.4

Energia di un oscillatore Un oscillatore massa-molla con \(k = 150\,{\mathrm{N} / \mathrm{m} }\) oscilla con ampiezza \(A = 8.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcoliamo l’energia meccanica totale e la velocità massima della massa, se \(m = 0.30\,{\mathrm{kg} }\).

Energia totale.

\[ E_{\mathrm {tot}} = \tfrac {1}{2}\,k\,A^2 = \tfrac {1}{2}\cdot 150\,{\mathrm{N} / \mathrm{m} }\cdot (0.080\,{\mathrm{m} })^2 = 0.48\,{\mathrm{J} }. \]

Velocità massima. Nel punto di equilibrio, tutta l’energia è cinetica: \(\tfrac {1}{2}\,m\,v_{\max }^2 = E_{\mathrm {tot}}\), da cui

\[ v_{\max } = \sqrt {\dfrac {2\,E_{\mathrm {tot}}}{m}} = \sqrt {\dfrac {2\cdot 0.48\,{\mathrm{J} }}{0.30\,{\mathrm{kg} }}} \approx 1.79\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }. \]

Esempio 11.5

Periodo di un pendolo Un pendolo è lungo \(L = 1.0\,{\mathrm{m} }\). Calcoliamo il periodo delle piccole oscillazioni.

Impostazione.

\[ T = 2\pi \,\sqrt {\dfrac {L}{g }}. \]

Sostituzione.

\[ T = 2\pi \,\sqrt {\dfrac {1.0\,{\mathrm{m} }}{9.81\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} ^{2} }}} \approx 2.01\,{\mathrm{s} }. \]

Un pendolo di un metro batte il secondo in andata e ritorno: era il principio degli orologi a pendolo da parete.

Esempio 11.6

Lunghezza d’onda di una nota musicale Calcoliamo la lunghezza d’onda nell’aria (\(v = 343\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)) della nota la centrale (\(f = 440\,{\mathrm{Hz} }\)).

\[ \lambda = \dfrac {v}{f} = \dfrac {343\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }}{440\,{\mathrm{Hz} }} \approx 0.78\,{\mathrm{m} }. \]

Le lunghezze d’onda del suono udibile spaziano da circa \(17\,{\mathrm{m} }\) (a \(20\,{\mathrm{Hz} }\)) a circa \(1.7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) (a \(20\,{\mathrm{k} \mathrm{Hz} }\)).

Esempio 11.7

Battimenti per l’accordatura Un diapason emette la nota la a \(f_1 = 440\,{\mathrm{Hz} }\). Una corda di chitarra, suonata insieme al diapason, produce \(3\) battimenti al secondo. Quale è la frequenza della corda?

Soluzione. \(f_{\mathrm {batt}} = |f_1 - f_2| = 3\,{\mathrm{Hz} }\) implica \(f_2 = f_1 \pm 3\,{\mathrm{Hz} }\), ovvero \(443\,{\mathrm{Hz} }\) oppure \(437\,{\mathrm{Hz} }\). Per distinguere fra i due casi, si tende ulteriormente la corda: se i battimenti aumentano, la frequenza era già sopra il riferimento (\(443\,{\mathrm{Hz} }\)); se diminuiscono, era sotto (\(437\,{\mathrm{Hz} }\)).

11.7 Esercizi proposti

quiz e materiali con l’AI

Esercizio 11.1

1.: Una molla di costante elastica \(k = 80\,{\mathrm{N} / \mathrm{m} }\) sostiene, oscillando verticalmente, una massa \(m = 0.20\,{\mathrm{kg} }\). Trascurando l’attrito, calcola periodo e frequenza delle oscillazioni. [\(T \approx 0.314\,{\mathrm{s} }\); \(f \approx 3.18\,{\mathrm{Hz} }\)]
2.: Un corpo di massa \(m = 0.50\,{\mathrm{kg} }\) oscilla con ampiezza \(A = 10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) attaccato a una molla di costante \(k = 50\,{\mathrm{N} / \mathrm{m} }\). Determina la velocità massima del corpo durante l’oscillazione. [\(v_{\max } = A\,\omega = 1.0\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]
3.: Un pendolo è lungo \(L = 50\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcola il periodo delle piccole oscillazioni e la frequenza corrispondente. [\(T \approx 1.42\,{\mathrm{s} }\); \(f \approx 0.705\,{\mathrm{Hz} }\)]
4.: Quale deve essere la lunghezza di un pendolo perché batta il secondo (cioè perché un’oscillazione completa duri \(2.0\,{\mathrm{s} }\))? [\(L \approx 0.994\,{\mathrm{m} }\)]
5.: Un’onda armonica in aria ha frequenza \(f = 2.0\,{\mathrm{k} \mathrm{Hz} }\); la velocità del suono vale \(340\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Calcola la lunghezza d’onda e il numero d’onda \(k\). [\(\lambda \approx 0.17\,{\mathrm{m} }\); \(k \approx 37\,{\mathrm{rad} / \mathrm{m} }\)]
6.: Un’onda su una corda è descritta da \(y(x,t) = 0.020\,{\mathrm{m} }\,\sin \Big [ (4.0\,{\mathrm{rad} / \mathrm{m} })\,x - (30\,{\mathrm{rad} / \mathrm{s} })\,t\Big ]\). Determina ampiezza, lunghezza d’onda, periodo, frequenza e velocità di propagazione. [\(A = 2.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); \(\lambda \approx 1.57\,{\mathrm{m} }\); \(T \approx 0.209\,{\mathrm{s} }\); \(f \approx 4.77\,{\mathrm{Hz} }\); \(v = 7.5\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]
7.: Una corda di chitarra di massa \(4.0\,{\mathrm{g} }\) e lunghezza \(65\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) è tesa con una tensione \(F = 82\,{\mathrm{N} }\). Calcola la velocità di propagazione delle onde lungo la corda. [\(v \approx 115\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]
8.: Un sub vede balenare un lampo nel cielo e sente il tuono \(\Delta t = 2.5\,{\mathrm{s} }\) dopo. A quale distanza è scoppiato il fulmine? (\(v = 343\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).) [\(d \approx 858\,{\mathrm{m} }\)]
9.: Due altoparlanti, disposti uno accanto all’altro, emettono in fase un suono di frequenza \(f = 686\,{\mathrm{Hz} }\) (\(v = 343\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\)). Un ascoltatore si trova davanti a essi a uguale distanza: interferenza costruttiva o distruttiva? Se ora si sposta in modo che la sua distanza dai due altoparlanti differisca di \(25\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), cosa sente? [costruttiva nel primo caso (in fase); distruttiva nel secondo, perché \(\lambda = 0.50\,{\mathrm{m} }\) e \(\Delta d = \lambda /2\)]
10.: Due diapason emettono note di frequenze \(256\,{\mathrm{Hz} }\) e \(260\,{\mathrm{Hz} }\). Quale fenomeno percepisce un ascoltatore? Quale ne è la frequenza? [battimenti a \(f_{\mathrm {batt}} = 4.0\,{\mathrm{Hz} }\)]

11.8 Riepilogo del capitolo

quiz e materiali con l’AI

Riepilogo

Oscillatore armonico — È un sistema la cui coordinata \(x(t)\) soddisfa \(\dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -\omega ^2\,x\), con soluzione \(x(t) = A\cos (\omega t + \varphi )\). Un sistema massa-molla con forza \(F = -k\,x\) è il prototipo: ha pulsazione \(\omega = \sqrt {k/m}\) e periodo \(T = 2\pi \sqrt {m/k}\).

Periodo e frequenza — \(T = 2\pi /\omega \), \(f = 1/T = \omega /(2\pi )\); unità: \({\mathrm{s} }\) e \({\mathrm{Hz} }\). Per un oscillatore armonico ideale il periodo non dipende dall’ampiezza (isocronismo).

Energia — L’energia meccanica totale è \(E_{\mathrm {tot}} = \tfrac {1}{2}\,k\,A^2\) e si conserva. Si trasforma ciclicamente da cinetica (massima in \(x=0\)) a potenziale (massima in \(x = \pm A\)).

Pendolo semplice (piccole oscillazioni) — \(T = 2\pi \sqrt {L/g }\): il periodo non dipende dalla massa né (approssimativamente) dall’ampiezza.

Onda meccanica — Perturbazione che si propaga in un mezzo elastico. Le particelle del mezzo oscillano attorno alla posizione di equilibrio: l’onda trasporta energia, non materia. Velocità su una corda tesa: \(v = \sqrt {F/\mu }\).

Trasversale vs longitudinale — Trasversale: oscillazione perpendicolare alla propagazione (corda, onde EM). Longitudinale: oscillazione parallela alla propagazione (suono in gas e liquidi).

Onda armonica — \(y(x,t) = A\sin (kx - \omega t + \varphi )\), con numero d’onda \(k = 2\pi /\lambda \) e pulsazione \(\omega = 2\pi /T\). Relazione fondamentale: \(v = \lambda \,f = \omega /k\).

Onde acustiche — Suono = onda longitudinale di pressione, udibile fra \(20\,{\mathrm{Hz} }\) e \(20\,{\mathrm{k} \mathrm{Hz} }\). Velocità in aria a \(20\,{^\circ\text{C} }\): \(\approx 343\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); in acqua \(\approx 1480\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); in acciaio \(\approx 5100\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Caratteristiche soggettive: altezza (frequenza), intensità (ampiezza), timbro (spettro).

Principio di sovrapposizione — Lo spostamento in un punto è la somma algebrica degli spostamenti delle singole onde.

Interferenza — Costruttiva se \(\Delta d = n\,\lambda \) (\(\Delta \varphi = 2n\pi \)): le ampiezze si sommano. Distruttiva se \(\Delta d = (n + \tfrac {1}{2})\,\lambda \) (\(\Delta \varphi = (2n+1)\pi \)): le ampiezze si annullano. È la firma sperimentale del comportamento ondulatorio.

Battimenti — Sovrapposizione di due onde di frequenze vicine \(f_1, f_2\): l’intensità varia con frequenza \(f_{\mathrm {batt}} = |f_1 - f_2|\). Strumento principe per l’accordatura a orecchio.

Video overview— panoramiche NotebookLM (clic per riprodurre)

26 fisica onde e acustica video