19 Relatività ristretta

Capitolo 19
Relatività ristretta

“L’introduzione di un “etere luminifero” si dimostrerà superflua, dato che la teoria che svilupperemo non avrà bisogno di uno “spazio assolutamente in quiete”.”
— Albert Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, 1905

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19.1 Introduzione motivazionale

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Alla fine del XIX secolo la fisica appariva, agli occhi di molti, una costruzione ormai compiuta. La meccanica di Newton spiegava il moto dei corpi sulla Terra e nei cieli; l’elettromagnetismo di Maxwell sintetizzava in quattro equazioni i fenomeni elettrici, magnetici e ottici; la termodinamica regolava motori e processi industriali. Lord Kelvin, nel 1900, dichiarò che restavano da risolvere “solo due piccole nubi all’orizzonte”: la radiazione del corpo nero e l’esperimento di Michelson-Morley. Da quelle due nubi sarebbero emerse, nel giro di pochi anni, le due grandi rivoluzioni della fisica del Novecento: la meccanica quantistica (cap. 21) e la relatività ristretta.

In questo capitolo affronteremo la seconda. Vedremo che le idee di spazio e tempo assoluti, eredità di Newton, sono incompatibili con l’invarianza della velocità della luce, e che il loro superamento richiede di abbandonare alcune ovvietà del senso comune — come la simultaneità “assoluta” di due eventi, o la possibilità di sommare velocità senza limiti. Ne usciremo con una nuova cinematica, in cui intervalli di tempo e lunghezze dipendono dal sistema di riferimento, e con una nuova dinamica, in cui massa ed energia sono due manifestazioni della stessa grandezza, legate dalla più famosa equazione della fisica: \(E = m\,c^2\).

19.2 Crisi della fisica classica

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19.2.1 Problema dell’etere e velocità della luce

Le equazioni di Maxwell prevedono che le onde elettromagnetiche si propaghino nel vuoto con velocità \(c \approx 3.00\times 10^{8}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\), indipendentemente dalla velocità della sorgente. Ma rispetto a quale sistema di riferimento, questa velocità \(c\)?

L’ipotesi, naturale per i fisici del XIX secolo, era che esistesse un mezzo speciale, l’etere luminifero, in cui la luce si propagasse alla velocità \(c\). Rispetto a un osservatore in moto nell’etere, la luce avrebbe dovuto apparire più veloce o più lenta a seconda della direzione, esattamente come accade per il suono in aria quando ci si muove rispetto al mezzo.

Nel 1887, Albert Michelson e Edward Morley misero alla prova questa ipotesi con un interferometro di altissima precisione. La Terra orbita attorno al Sole a circa \(30\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\): se l’etere è “fermo”, noi ci muoviamo attraverso di esso a tale velocità, e la luce diretta lungo il moto orbitale avrebbe dovuto mostrare uno scarto rilevabile rispetto alla luce perpendicolare. Il risultato dell’esperimento fu nullo: nessuno scarto entro la sensibilità dello strumento. Negli anni successivi l’esperimento fu ripetuto con sensibilità sempre maggiore: il risultato restò nullo.

[Picture] — Figura 19.1: Schema dell’interferometro di Michelson. La luce della sorgente viene divisa in due fasci da uno specchio semiriflettente; i due fasci percorrono cammini perpendicolari di uguale lunghezza, vengono riflessi da specchi e ricombinati al rivelatore. Se la Terra si muovesse nell’etere, i tempi di percorrenza dei due bracci dovrebbero differire e produrre uno spostamento delle frange di interferenza. L’esperimento di Michelson-Morley (1887) non rilevò alcuno spostamento.

Il significato del risultato è dirompente: l’etere o non esiste, o non è rilevabile. Le tentate spiegazioni ad hoc (FitzGerald e Lorentz proposero che i corpi in moto si contraggano nella direzione del moto in modo tale da compensare l’effetto) erano artificiose. Serviva un cambiamento più radicale di prospettiva.

19.2.2 Invarianza della velocità della luce nel vuoto

La soluzione, proposta da Einstein nel 1905, è di prendere il risultato sperimentale come dato di partenza, non come paradosso da spiegare:

Legge 19.1 — Invarianza della velocità della luce

Invarianza della velocità della luce La velocità della luce nel vuoto, \(c\), ha lo stesso valore misurato da tutti gli osservatori in moto rettilineo uniforme, indipendentemente dal moto della sorgente e da quello dell’osservatore.

\[ c = c \approx 2.998\times 10^{8}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} } \label {eq:19-c} \]

Unità SI: \([c]={\mathrm{m} / \mathrm{s} }\). Costante esatta, definita per convenzione dal 1983.

Questa affermazione, in apparenza innocua, è in flagrante contrasto con il senso comune e con la composizione galileiana delle velocità (cap. 7): se un treno che viaggia a \(v\) rispetto alla banchina lancia un proiettile a \(u\) rispetto al treno, il proiettile ha velocità \(u + v\) rispetto alla banchina. Per la luce no: se il treno emette un raggio luminoso, il raggio ha velocità \(c\) sia rispetto al treno sia rispetto alla banchina. Accettare questo fatto significa rinunciare alla regola della somma delle velocità — e, come vedremo, a molto altro.

19.2.3 Postulati della relatività ristretta

Tutta la relatività ristretta è la conseguenza logica di due postulati, formulati da Einstein nel 1905.

Legge 19.2 — Postulati della relatività ristretta

Postulati della relatività ristretta

1.: Principio di relatività. Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Nessun esperimento eseguito all’interno di un sistema inerziale può rivelare il moto del sistema stesso.
2.: Invarianza della velocità della luce. La velocità della luce nel vuoto vale \(c\) in ogni sistema di riferimento inerziale, indipendentemente dal moto della sorgente.

Il primo postulato è una generalizzazione del principio di relatività galileiana (cap. 7) a tutta la fisica, non solo alla meccanica. Il secondo è il fatto sperimentale che abbiamo descritto. La forza concettuale del programma di Einstein è di derivare tutte le conseguenze — alcune molto controintuitive — da queste due sole premesse, senza altre ipotesi.

19.3 Cinematica relativistica

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19.3.1 Tempo proprio e lunghezza propria

Prima di affrontare le conseguenze quantitative dei postulati, introduciamo due definizioni di riferimento.

Definizione 19.1 — Tempo proprio

Tempo proprio Si dice tempo proprio \(\Delta \tau \) tra due eventi l’intervallo di tempo misurato da un osservatore (un orologio) per il quale i due eventi accadono nello stesso punto dello spazio.

\[ \Delta \tau \quad \text {(tempo proprio)} \label {eq:19-tempo-proprio} \]

Unità SI: \([\Delta \tau ]={\mathrm{s} }\).

Esempio: due battiti consecutivi del cuore di un astronauta sono nello stesso punto rispetto a lui (è il suo cuore); il tempo misurato dal suo orologio è il tempo proprio di questi due eventi.

Definizione 19.2 — Lunghezza propria

Lunghezza propria La lunghezza propria \(L_0\) di un’asta è la sua lunghezza misurata in un sistema di riferimento in cui l’asta è ferma.

\[ L_0 \quad \text {(lunghezza propria)} \label {eq:19-lunghezza-propria} \]

Unità SI: \([L_0]={\mathrm{m} }\).

Vedremo che il tempo proprio è minimo fra tutti i tempi misurati in sistemi diversi, e la lunghezza propria è massima fra tutte le lunghezze misurate per la stessa asta.

19.3.2 Fattore relativistico \(\gamma \)

Nelle relazioni che seguiranno comparirà sempre lo stesso fattore adimensionale, detto fattore di Lorentz.

Definizione 19.3 — Fattore di Lorentz

Fattore di Lorentz Per un sistema in moto con velocità \(v\), si definisce \(\beta = v/c\) e il fattore di Lorentz:

\[ \gamma = \dfrac {1}{\sqrt {1 - v^2/c^2}} = \dfrac {1}{\sqrt {1 - \beta ^2}} \label {eq:19-gamma} \]

Adimensionale; \([v]=[c]={\mathrm{m} / \mathrm{s} }\); \(0 \leq \beta < 1\), \(\gamma \geq 1\).

Comportamento di \(\gamma \) al variare di \(v\):

\(v = 0\): \(\gamma = 1\). Nessun effetto relativistico.
\(v = 0.1\,{}\,c\): \(\gamma \approx 1.005\) (effetto \(\sim 0.5\,{\% }\), ai limiti della rilevabilità).
\(v = 0.5\,{}\,c\): \(\gamma \approx 1.155\) (effetto \(\sim 15\,{\% }\)).
\(v = 0.9\,{}\,c\): \(\gamma \approx 2.29\).
\(v = 0.99\,{}\,c\): \(\gamma \approx 7.09\).
\(v = 0.999\,{}\,c\): \(\gamma \approx 22.4\).
\(v \to c\): \(\gamma \to \infty \) (singolarità).

Gli effetti relativistici sono trascurabili nella vita quotidiana (velocità tipiche sono \(\sim 10^{-7}\,c\)); diventano significativi per particelle veloci (raggi cosmici, acceleratori, decadimenti nucleari) e per la luce stessa.

19.3.3 Dilatazione dei tempi

Consideriamo un “orologio di luce”: due specchi paralleli a distanza \(h\), fra cui rimbalza verticalmente un impulso luminoso. Il tempo proprio per un “tic” (un viaggio di andata e ritorno) misurato nel sistema in cui l’orologio è fermo vale \(\Delta \tau = 2h/c\).

Da un sistema in cui l’orologio si muove a velocità \(v\) in direzione orizzontale, la luce percorre un cammino obliquo (figura 19.2). Applicando il teorema di Pitagora e sfruttando il fatto che la velocità della luce è \(c\) in tutti i sistemi, si ricava:

Legge 19.3 — Dilatazione dei tempi

Dilatazione dei tempi L’intervallo di tempo \(\Delta t\) fra due eventi, misurato in un sistema inerziale rispetto al quale i due eventi non accadono nello stesso punto, è legato al tempo proprio \(\Delta \tau \) dalla relazione:

\[ \Delta t = \gamma \,\Delta \tau \label {eq:19-dilatazione-tempi} \]

Unità SI: \([\Delta t]=[\Delta \tau ]={\mathrm{s} }\); \(\gamma \) adimensionale.

Poiché \(\gamma \geq 1\), vale sempre \(\Delta t \geq \Delta \tau \): il tempo nel sistema in moto risulta “dilatato” rispetto al proprio.

In altre parole: orologi in moto, visti da fermi, vanno più lenti. Questo non è un’illusione ottica né un artefatto strumentale: è una proprietà reale del tempo.

Esempio 19.1

Muoni atmosferici I muoni sono particelle instabili prodotte dai raggi cosmici negli strati superiori dell’atmosfera (quota \(\sim 15\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\)). Il loro tempo di vita medio a riposo è \(\tau _0 \approx 2.2\,{\mu \mathrm{s} }\); viaggiando a \(v \approx 0.999\,c\), in \(\tau _0\) percorrerebbero \(d_0 \approx 660\,{\mathrm{m} }\). Eppure se ne rilevano in quantità a livello del mare. La ragione è la dilatazione dei tempi: nel sistema del laboratorio (Terra) la vita del muone è \(\tau = \gamma \tau _0\) con \(\gamma \approx 22\), e quindi \(d = \gamma \,v\,\tau _0 \approx 14\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\). Coerente con l’osservazione.

19.3.4 Contrazione delle lunghezze

La controparte spaziale della dilatazione dei tempi è la contrazione delle lunghezze nella direzione del moto.

Legge 19.4 — Contrazione delle lunghezze

Contrazione delle lunghezze La lunghezza di un’asta, misurata in un sistema rispetto al quale l’asta si muove a velocità \(v\), è legata alla sua lunghezza propria \(L_0\) dalla relazione:

\[ L = \dfrac {L_0}{\gamma } = L_0\,\sqrt {1 - v^2/c^2} \label {eq:19-contrazione} \]

Unità SI: \([L]=[L_0]={\mathrm{m} }\).

Poiché \(\gamma \geq 1\), vale \(L \leq L_0\): la lunghezza misurata nel sistema dove l’asta è in moto è minore della lunghezza propria. Le dimensioni perpendicolari al moto non sono interessate.

Riprendendo l’esempio dei muoni: nel sistema della particella la sua vita è \(\tau _0 = 2.2\,{\mu \mathrm{s} }\), normale, ma è l’atmosfera a essere contratta. Lo strato di \(15\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) visto dalla Terra è ridotto a \(L = L_0/\gamma \approx 680\,{\mathrm{m} }\) visto dal muone: distanza compatibile col tempo di vita normale. I due osservatori (Terra e muone) descrivono lo stesso fenomeno in modo diverso ma coerente.

19.3.5 Simultaneità relativa

Una delle conseguenze più sorprendenti dei postulati è che il concetto stesso di simultaneità dipende dal sistema di riferimento. Eventi che, misurati in un sistema \(S\), sono simultanei (accadono allo stesso istante in punti diversi dello spazio), nel sistema \(S'\) in moto rispetto a \(S\) non lo sono.

Einstein illustrò il fenomeno con un celebre esperimento mentale: il paradosso del treno. Un treno si muove lungo binari, e nel centro del treno c’è un osservatore \(O'\); un altro osservatore \(O\) sta sulla banchina. Esattamente nell’istante in cui \(O\) e \(O'\) sono allineati, due fulmini colpiscono gli estremi anteriore e posteriore del treno. Per \(O\), sulla banchina, la luce dei due fulmini parte dagli estremi e, percorrendo distanze uguali e con la stessa velocità \(c\), raggiunge \(O\) contemporaneamente: per \(O\) i due fulmini sono simultanei.

Per \(O'\), dentro il treno, le cose vanno diversamente. La luce proveniente dalla parte anteriore (verso cui il treno si muove) gli arriva prima della luce proveniente dalla parte posteriore. Ma per \(O'\) entrambi i raggi viaggiano alla stessa velocità \(c\): quindi, per \(O'\), il fulmine anteriore è scoccato prima.

Gli eventi “fulmine anteriore” e “fulmine posteriore” sono dunque simultanei per \(O\), non simultanei per \(O'\). La simultaneità è relativa al sistema di riferimento: non c’è un “ora” assoluto condiviso dall’universo intero.

19.4 Trasformazioni di Lorentz

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19.4.1 Trasformazioni di Lorentz

Per descrivere matematicamente i due fenomeni precedenti (dilatazione, contrazione, simultaneità relativa) come casi particolari di un’unica struttura, conviene scrivere le trasformazioni di Lorentz, ovvero le formule che legano le coordinate spaziotemporali di un evento misurate in due sistemi inerziali \(S\) e \(S'\) in moto relativo.

Consideriamo \(S\) fermo e \(S'\) in moto a velocità \(v\) lungo \(x\), con origini coincidenti a \(t = t' = 0\). Le trasformazioni di Lorentz sono:

\[ x' = \gamma \,(x - v\,t), \qquad t' = \gamma \,\Big (t - \dfrac {v\,x}{c^2}\Big ), \qquad y' = y, \quad z' = z \label {eq:19-lorentz} \]

Unità SI: \([x]=[y]=[z]=[x']=[y']=[z']={\mathrm{m} }\); \([t]=[t']={\mathrm{s} }\).

Le trasformazioni inverse si ottengono scambiando i ruoli e cambiando il segno di \(v\):

\[ x = \gamma \,(x' + v\,t'), \qquad t = \gamma \,\Big (t' + \dfrac {v\,x'}{c^2}\Big ). \]

Limite classico. Per \(v \ll c\) (situazioni quotidiane), \(\gamma \approx 1\) e \(vx/c^2 \approx 0\): le trasformazioni di Lorentz si riducono alle trasformazioni di Galileo:

\[ x' \approx x - v\,t, \qquad t' \approx t. \]

La relatività ristretta è dunque una estensione della meccanica classica, non una sua contraddizione: quest’ultima resta valida nel limite \(v \ll c\).

Da (??) si ricavano facilmente i risultati precedenti:

Dilatazione dei tempi. Per due eventi che in \(S'\) accadono nello stesso punto (\(\Delta x' = 0\)), nell’altro sistema \(\Delta t = \gamma \,\Delta t'\).
Contrazione delle lunghezze. Misurare la lunghezza di un’asta in \(S\) significa misurare le posizioni dei suoi estremi simultaneamente (\(\Delta t = 0\)); applicando la trasformazione si trova \(\Delta x = \Delta x'/\gamma \).
Simultaneità relativa. Se due eventi sono simultanei in \(S\) (\(\Delta t = 0\)) ma a posizioni diverse (\(\Delta x \neq 0\)), allora in \(S'\) vale \(\Delta t' = -\gamma \,v\,\Delta x/c^2 \neq 0\): non più simultanei.

19.4.2 Composizione relativistica delle velocità

Se in \(S'\) un corpo si muove a velocità \(u'\) (lungo \(x'\)), quale è la sua velocità \(u\) rispetto a \(S\) (in cui \(S'\) si muove a \(v\))? Differenziando le trasformazioni di Lorentz si ottiene la regola di composizione relativistica:

\[ u = \dfrac {u' + v}{1 + u'\,v/c^2} \label {eq:19-composizione-velocita} \]

Unità SI: \([u]=[u']=[v]={\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).

(Nella forma inversa, \(u' = (u - v)/(1 - uv/c^2)\).)

Confrontiamo con la regola galileiana classica \(u = u' + v\):

Limite classico (\(u', v \ll c\)): \(u'v/c^2 \approx 0\), e si ritrova \(u \approx u' + v\).
Se \(u' = c\): \(u = (c + v)/(1 + v/c) = c\,(c + v)/(c + v) = c\). Cioè \(c + v = c\): la luce mantiene velocità \(c\) in tutti i sistemi, in accordo col secondo postulato.
Sommando due velocità entrambe minori di \(c\), il risultato è ancora minore di \(c\): la velocità della luce è una soglia invalicabile per i corpi materiali.

Esempio 19.2

Due astronavi che si avvicinano Due astronavi, \(A\) e \(B\), si dirigono l’una verso l’altra. Nel sistema del controllo a terra entrambe hanno velocità \(0.6\,{}\,c\) (in versi opposti). Quale velocità di \(B\) misura \(A\)?

Calcolo classico (errato). \(u_{\mathrm {classico}} = 0.6\,c + 0.6\,c = 1.2\,c\): violerebbe il limite della velocità della luce.

Calcolo relativistico. Nel sistema di \(A\), la terra si muove a \(-0.6\,c\), e \(B\) rispetto alla terra a \(-0.6\,c\) (nel verso opposto al moto di \(A\), cioè verso \(A\)). Applicando la composizione:

\[ u_B = \dfrac {-0.6\,c + (-0.6\,c)}{1 + (-0.6)(-0.6)} = \dfrac {-1.2\,c}{1.36} \approx -0.88\,c. \]

La velocità è elevata ma minore di \(c\).

19.5 Dinamica relativistica

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Le leggi della meccanica devono essere riformulate per essere compatibili con le trasformazioni di Lorentz. Vediamo le tre formule fondamentali della dinamica relativistica.

19.5.1 Quantità di moto ed energia relativistiche

In relatività ristretta, la quantità di moto di una particella di massa (a riposo) \(m\) e velocità \(\vec {v}\) si definisce come

\[ \vec {p} = \gamma \,m\,\vec {v} \label {eq:19-momento} \]

Unità SI: \([\vec {p}]={\mathrm{kg} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\), \([m]={\mathrm{kg} }\), \([\vec {v}]={\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).

Per \(v \ll c\) (\(\gamma \to 1\)) si ritrova la definizione classica \(\vec {p} = m\,\vec {v}\). Per \(v \to c\), \(\gamma \to \infty \) e \(\vec {p} \to \infty \): per portare un corpo materiale alla velocità della luce occorrerebbe una quantità di moto (e quindi energia) infinita. È il motivo profondo per cui i corpi massivi non possono raggiungere la velocità della luce.

Storicamente si parlava di massa relativistica \(m\,\gamma \), crescente con la velocità, per mantenere la forma classica \(\vec {p} = m_{\mathrm {rel}}\,\vec {v}\). Oggi si preferisce considerare la massa una proprietà intrinseca del corpo (massa a riposo \(m\)), e attribuire l’effetto relativistico al fattore \(\gamma \). La differenza è di linguaggio, non di sostanza.

L’energia totale di una particella libera vale:

\[ E = \gamma \,m\,c^2 \label {eq:19-energia-totale} \]

Unità SI: \([E]={\mathrm{J} }\), \([m]={\mathrm{kg} }\), \([c]={\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).

Per \(v = 0\) (\(\gamma = 1\)), questa energia non si annulla: il corpo possiede comunque un’energia a riposo \(E_0 = m\,c^2\). È la celebre formula di Einstein.

L’energia cinetica è la differenza fra energia totale ed energia a riposo:

\[ E_k = E - m\,c^2 = (\gamma - 1)\,m\,c^2 \label {eq:19-energia-cinetica} \]

Unità SI: \([E_k ]={\mathrm{J} }\).

Per \(v \ll c\), sviluppando \(\gamma \) al secondo ordine in \(v/c\): \(\gamma \approx 1 + \tfrac {1}{2}\,v^2/c^2 + \cdots \), da cui \(E_k \approx \tfrac {1}{2}\,m\,v^2\): si ritrova la formula classica. La relatività estende la fisica, non la contraddice.

Relazione energia-momento. Dalle definizioni precedenti si ricava l’identità fondamentale:

\[ E^2 = (p\,c)^2 + (m\,c^2)^2. \]

Per particelle prive di massa (\(m = 0\)), come il fotone, si ha \(E = p\,c\).

19.5.2 Equivalenza massa-energia: \(E = m\,c^2\)

L’energia a riposo \(E_0 = m\,c^2\) è la conseguenza più radicale e famosa della relatività ristretta. Letta in entrambe le direzioni:

Una massa \(m\) ha un’energia associata \(m\,c^2\), anche se è ferma. Il fattore \(c^2 \approx 9\times 10^{16}\,{\mathrm{m} ^{2} / \mathrm{s} ^{2} }\) è enorme: un grammo di materia (\(e-3\,{\mathrm{kg} }\)) corrisponde a un’energia di \(\sim 9\times 10^{13}\,{\mathrm{J} }\), l’equivalente del consumo medio di una città di \(20000\) abitanti per un anno.
Reciprocamente, un’energia \(E\) ha una massa associata \(E/c^2\). Aumentando l’energia interna di un corpo (riscaldandolo, comprimendo una molla, accelerandolo) la sua massa aumenta leggermente.

Legge 19.5 — Equivalenza massa-energia

Equivalenza massa-energia

\[ E_0 = m\,c^2 \label {eq:19-emc2} \]

Unità SI: \([E_0]={\mathrm{J} }\), \([m]={\mathrm{kg} }\), \([c]={\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).

La massa di un corpo è una forma di energia, convertibile (in determinate condizioni) in altre forme di energia.

19.5.3 Implicazioni: nucleare, particelle, cosmologia

L’equivalenza \(E = m\,c^2\) è la chiave per comprendere numerosi fenomeni del Novecento.

Difetto di massa e energia di legame. La massa di un nucleo atomico è leggermente inferiore alla somma delle masse dei suoi nucleoni isolati. La differenza \(\Delta m = (\sum m_i) - M_{\mathrm {nucleo}} > 0\) è il difetto di massa; corrisponde all’energia di legame del nucleo \(\Delta E = \Delta m\,c^2\), l’energia che bisognerebbe fornire per “smontarlo” nei suoi nucleoni separati. Per il nucleo di ferro (il più stabile), l’energia di legame per nucleone è \(\sim 8.8\,{\mathrm{MeV}}\).

Fissione e fusione nucleare.

Nella fissione (cap. 22) un nucleo pesante (uranio, plutonio) si spezza in nuclei più leggeri: la somma delle masse dei prodotti è minore di quella del nucleo iniziale, e la differenza viene liberata come energia. \(\sim 200\,{\mathrm{MeV}}\) per fissione di un nucleo di \(^{235}\)U. È il principio delle centrali e delle armi nucleari.
Nella fusione due nuclei leggeri (idrogeno) si uniscono a formare un nucleo più pesante (elio): anche qui c’è un difetto di massa, ancora maggiore per nucleone. È il meccanismo che alimenta il Sole e le stelle, e l’obiettivo dei reattori sperimentali ITER, JET.

Reazioni di particelle. Negli acceleratori (LHC, ecc.) particelle ad alta energia urtano producendo particelle nuove, spesso più massive: l’energia cinetica delle particelle incidenti si converte in massa delle particelle prodotte (\(E = m c^2\) letto al contrario). È così che sono stati scoperti il bosone di Higgs e centinaia di altre particelle elementari.

Cosmologia. Nell’universo primordiale, a temperature elevatissime, l’energia disponibile nei processi termici era tale da poter produrre coppie particella-antiparticella (\(E = 2 m_X c^2\)). Le proporzioni di elementi leggeri (idrogeno, elio, deuterio) osservate oggi nascono da reazioni nucleari primordiali governate dalla stessa equazione.

19.6 Esempi svolti

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Esempio 19.3

Fattore di Lorentz per un elettrone in acceleratore Un elettrone è accelerato in un acceleratore lineare fino a \(v = 0.99\,{}\,c\). Quanto vale \(\gamma \)? E a \(v = 0.999\,{}\,c\)?

Calcolo.

\[ \gamma (0.99) = \dfrac {1}{\sqrt {1 - 0.99^2}} = \dfrac {1}{\sqrt {0.0199}} \approx 7.09. \]

\[ \gamma (0.999) = \dfrac {1}{\sqrt {1 - 0.999^2}} = \dfrac {1}{\sqrt {0.001999}} \approx 22.4. \]

Una piccola differenza di velocità (\(\sim 0.9\,{\% }\,c\)) produce una variazione di \(\gamma \) di un fattore \(3\). È in questa regione che gli effetti relativistici dominano.

Esempio 19.4

Dilatazione del tempo per un pilota Un pilota di un’astronave viaggia per un tempo (proprio) \(\Delta \tau = 1\,\mathrm {anno}\) a \(v = 0.8\,c\). Per gli abitanti del pianeta di partenza, quanto tempo è passato?

Calcolo. \(\gamma = 1/\sqrt {1 - 0.64} = 1/\sqrt {0.36} = 1/0.6 \approx 1.667\). \(\Delta t = \gamma \,\Delta \tau = 1.667\cdot 1\,\mathrm {anno} \approx 1.67\,\mathrm {anni}\).

Esempio 19.5

Contrazione di un righello in moto Un righello di lunghezza propria \(L_0 = 1.00\,{\mathrm{m} }\) si muove parallelamente a se stesso a \(v = 0.6\,{}\,c\). Quale lunghezza ne misuriamo da fermi?

Calcolo. \(\gamma = 1/\sqrt {1 - 0.36} = 1/\sqrt {0.64} = 1/0.8 = 1.25\). \(L = L_0/\gamma = 1.00\,{\mathrm{m} }/1.25 = 0.80\,{\mathrm{m} }\). Il righello, da fermi, appare lungo \(80\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).

Esempio 19.6

Energia equivalente di un grammo Quanta energia equivale alla massa \(m = 1.0\,{\mathrm{g} }\)? \(c = 3.0\times 10^{8}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} }\).

Calcolo.

\[ E = m\,c^2 = 1.0\times 10^{-3}\,{\mathrm{kg} }\cdot (3.0\times 10^{8}\,{\mathrm{m} / \mathrm{s} })^2 = 9.0\times 10^{13}\,{\mathrm{J} }. \]

Per dare un’idea: una bomba atomica come quella di Hiroshima liberò un’energia equivalente alla conversione di circa \(0.7\,{\mathrm{g} }\) di materia.

Esempio 19.7

Composizione di velocità Un’astronave viaggia a \(v = 0.6\,c\) e dalla sua plancia spara in avanti una sonda che, vista dalla nave, ha velocità \(u' = 0.6\,c\). Quale velocità ha la sonda rispetto al pianeta di partenza?

Calcolo.

\[ u = \dfrac {u' + v}{1 + u'v/c^2} = \dfrac {0.6\,c + 0.6\,c}{1 + 0.6\cdot 0.6} = \dfrac {1.2\,c}{1.36} \approx 0.882\,c. \]

La somma classica \(1.2\,c\) è ridotta dalla legge relativistica a \(\sim 0.88\,c\): sempre minore di \(c\).

19.7 Esercizi proposti

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Esercizio 19.1

1.: Calcola il fattore di Lorentz \(\gamma \) per \(v = 0.30\,c\), \(v = 0.50\,c\), \(v = 0.95\,c\). [\(\gamma \approx 1.048;\; 1.155;\;3.20\)]
2.: Quale velocità \(v\) corrisponde a \(\gamma = 2\)? E a \(\gamma = 10\)? [\(v \approx 0.866\,c;\; v \approx 0.995\,c\)]
3.: Un muone (vita propria \(\tau _0 = 2.2\,{\mu \mathrm{s} }\)) si muove a \(v = 0.95\,c\). Quale è la sua vita misurata nel sistema del laboratorio? Quale distanza in media percorre prima di decadere? [\(\tau \approx 7.04\,{\mu \mathrm{s} }\); \(d \approx 2.0\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\)]
4.: Un’astronave parte verso una stella distante \(L_0 = 4.0\,\mathrm {anni\text {-}luce}\) (cioè la distanza percorsa dalla luce in 4 anni) misurati dalla Terra, e viaggia a \(v = 0.80\,c\). Quanto tempo impiega per arrivarci, secondo gli orologi del pilota (tempo proprio) e secondo gli orologi della Terra? [tempo Terra: \(5.0\) anni; tempo proprio: \(3.0\) anni]
5.: Un’asta di lunghezza propria \(L_0 = 2.0\,{\mathrm{m} }\) si muove a \(v = 0.8\,c\) parallelamente alla sua lunghezza. Quale lunghezza misuriamo da fermi? [\(L = 1.2\,{\mathrm{m} }\)]
6.: Due astronavi si muovono in versi opposti a \(v_1 = 0.9\,c\) e \(v_2 = 0.9\,c\) rispetto al controllo a terra. Quale velocità una misura dell’altra? [\(\approx 0.994\,c\)]
7.: Calcola l’energia cinetica di un protone (\(m = 1.67\times 10^{-27}\,{\mathrm{kg} }\)) accelerato a \(v = 0.99\,c\). Confronta con il valore classico \(\tfrac {1}{2}\,m\,v^2\). [relativistica: \(E_k \approx 9.13\times 10^{-10}\,{\mathrm{J} } \approx 5700\,{\mathrm{MeV}}\); classica: \(E_k \approx 7.36\times 10^{-11}\,{\mathrm{J} }\)]
8.: Il Sole irradia energia al ritmo \(L = 3.83\times 10^{26}\,{\mathrm{W} }\). Quanta massa al secondo viene convertita in energia? E in un miliardo di anni? [\(\Delta m/\Delta t \approx 4.3\times 10^{9}\,{\mathrm{kg} / \mathrm{s} }\); in un miliardo di anni \(\sim 1.3\times 10^{26}\,{\mathrm{kg} }\)]
9.: Per un nucleo di elio-4, la massa è \(M = 4.0015\,{\mathrm{u}}\), mentre la somma delle masse di \(2\) protoni e \(2\) neutroni è \(4.0319\,{\mathrm{u}}\) (\(1\,{\mathrm{u}} = 1.66\times 10^{-27}\,{\mathrm{kg} }\)). Calcola il difetto di massa e l’energia di legame del nucleo in MeV (\(1\,{\mathrm{MeV}} = 1.602\times 10^{-13}\,{\mathrm{J} }\)). [\(\Delta m \approx 0.030\,{\mathrm{u}}\); \(\Delta E \approx 28\,{\mathrm{MeV}}\)]
10.: Un fotone di energia \(E = 1.0\,{\mathrm{MeV}}\) ha quantità di moto? Se sì, quanto vale? Suggerimento: per un fotone \(m = 0\) e \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\) si riduce a \(E = pc\). [\(p = E/c \approx 5.3\times 10^{-22}\,{\mathrm{kg} \mathrm{m} / \mathrm{s} }\)]

19.8 Riepilogo del capitolo

quiz e materiali con l’AI

Riepilogo

Crisi della fisica classica — L’esperimento di Michelson-Morley (1887) non rilevò alcun effetto del moto della Terra attraverso l’etere: la velocità della luce è la stessa in qualunque direzione e per qualunque osservatore.

Postulati della relatività ristretta (Einstein, 1905) — (i) Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi inerziali; (ii) la velocità della luce nel vuoto, \(c\), è la stessa in tutti i sistemi inerziali, indipendente dal moto della sorgente.

Tempo proprio e lunghezza propria — Tempo proprio \(\Delta \tau \): misurato fra due eventi che accadono nello stesso punto; è il minimo fra tutti i tempi misurabili. Lunghezza propria \(L_0\): misurata nel sistema in cui l’oggetto è fermo; è la massima fra tutte le lunghezze misurabili.

Fattore di Lorentz — \(\gamma = 1/\sqrt {1 - v^2/c^2}\). Adimensionale, \(\geq 1\), esplode per \(v \to c\).

Dilatazione dei tempi — \(\Delta t = \gamma \,\Delta \tau \): gli orologi in moto, visti da fermi, vanno più lenti. Confermata sperimentalmente coi muoni atmosferici.

Contrazione delle lunghezze — \(L = L_0/\gamma \): le aste in moto sono più corte nella direzione del moto. Dimensioni perpendicolari invariate.

Simultaneità relativa — Due eventi simultanei in un sistema, in genere non lo sono in un altro: non c’è un “ora” universale.

Trasformazioni di Lorentz — \(x' = \gamma (x - vt)\), \(t' = \gamma (t - vx/c^2)\), \(y' = y\), \(z' = z\). Per \(v \ll c\) si riducono alle galileiane.

Composizione relativistica delle velocità — \(u = (u' + v)/(1 + u'v/c^2)\). Sommare due velocità \(\leq c\) dà ancora \(\leq c\); la luce mantiene velocità \(c\) in ogni sistema.

Dinamica relativistica — Quantità di moto: \(\vec {p} = \gamma m \vec {v}\). Energia totale: \(E = \gamma m c^2\). Energia a riposo: \(E_0 = m c^2\). Energia cinetica: \(E_k = (\gamma - 1) m c^2\). Relazione fondamentale: \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\).

Equivalenza massa-energia — \(E_0 = m c^2\): la massa è una forma di energia. Spiega difetto di massa nei nuclei, energia liberata da fissione e fusione, produzione di particelle negli acceleratori, processi cosmologici primordiali.

Presentazioni— slide NotebookLM (clic per aprire il PDF)

Relativita ristretta