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Capitolo 121
Formula di De Moivre e radici \(n\)-esime

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In \(\mathbb{C} \) ogni numero ha esattamente \(n\) radici \(n\)-esime. È una proprietà che la matematica dei reali non possiede: in \(\mathbb{R} \) il numero \(-1\) non ha radice quadrata, ma in \(\mathbb{C} \) ha due radici (\(\pm i\)), e in generale \(n\) radici \(n\)-esime equispaziate su una circonferenza. È un altro modo di vedere il teorema fondamentale dell’algebra: l’estensione ai complessi “riempie” tutto, senza più buchi.”

— Abraham de Moivre, Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis (1730) — prima esplicita formulazione della formula per le potenze di numeri complessi

____________________________________________________________________________________

121.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo precedente (120) abbiamo introdotto la forma trigonometrica \(z = \rho (\cos \theta + i\operatorname{sen} \theta )\) e quella esponenziale \(z = \rho e^{i\theta }\). Lì abbiamo già visto che le potenze si calcolano facilmente: \(z^n = \rho ^n e^{in\theta }\).

In questo capitolo formalizziamo questa proprietà — la formula di De Moivre — e affrontiamo il problema inverso: dato un numero complesso \(w\), trovare i numeri \(z\) tali che \(z^n = w\), cioè le radici \(n\)-esime di \(w\).

A differenza dei numeri reali (dove \(\sqrt [n]{x}\) esiste unica per \(n\) dispari, due per \(n\) pari su numeri positivi, nessuna per negativi se \(n\) pari), in \(\mathbb{C} \) vale il seguente fatto sorprendente:

Risultato fondamentale: ogni numero complesso \(w \ne 0\) ha esattamente \(n\) radici \(n\)-esime distinte, disposte come vertici di un poligono regolare di \(n\) lati inscritto in una circonferenza di centro l’origine e raggio \(\sqrt [n]{|w|}\).

121.2 Prodotto e quoziente in forma trigonometrica

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Prodotto e quoziente in forma trigonometrica: dati \(z_1 = \rho _1(\cos \theta _1 + i\operatorname{sen} \theta _1)\) e \(z_2 = \rho _2(\cos \theta _2 + i\operatorname{sen} \theta _2)\),

\[ z_1 \cdot z_2 = \rho _1 \rho _2 \big ( \cos (\theta _1 + \theta _2) + i \operatorname{sen} (\theta _1 + \theta _2) \big ), \]
\[ \frac {z_1}{z_2} = \frac {\rho _1}{\rho _2} \big ( \cos (\theta _1 - \theta _2) + i \operatorname{sen} (\theta _1 - \theta _2) \big ), \quad (z_2 \ne 0). \]

Dimostrazione (prodotto). Espandiamo:

\[ z_1 z_2 = \rho _1 \rho _2 (\cos \theta _1 + i\operatorname{sen} \theta _1)(\cos \theta _2 + i\operatorname{sen} \theta _2) \]
\[ = \rho _1 \rho _2 \big ( (\cos \theta _1 \cos \theta _2 - \operatorname{sen} \theta _1 \operatorname{sen} \theta _2) + i (\operatorname{sen} \theta _1 \cos \theta _2 + \cos \theta _1 \operatorname{sen} \theta _2) \big ). \]

Riconoscendo le formule di addizione (cap. 99):

\[ = \rho _1 \rho _2 \big ( \cos (\theta _1 + \theta _2) + i \operatorname{sen} (\theta _1 + \theta _2) \big ). \]

In forma esponenziale: \(z_1 z_2 = \rho _1 \rho _2 \, e^{i(\theta _1 + \theta _2)}\). La proprietà discende immediatamente da \(e^a \cdot e^b = e^{a+b}\).

Significato geometrico

Moltiplicare un numero complesso per \(z = \rho e^{i\theta }\) corrisponde a:

In particolare, moltiplicare per un numero complesso di modulo \(1\) (cioè un punto sulla circonferenza unitaria) è una rotazione pura, senza dilatazione.

121.3 Formula di De Moivre per le potenze

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Definizione 121.1 — Formula di De Moivre

Per ogni numero complesso \(z = \rho (\cos \theta + i\operatorname{sen} \theta ) \ne 0\) e ogni \(n \in \mathbb{Z} \):

\[ z^n = \rho ^n \big ( \cos (n\theta ) + i \operatorname{sen} (n\theta ) \big ). \]

In forma esponenziale: \(z^n = \rho ^n \, e^{i n \theta }\).

Dimostrazione (per induzione su \(n\)).

Base \(n = 1\): \(z^1 = \rho ^1 e^{i \cdot 1 \cdot \theta } = z\). \(\checkmark\)

Passo induttivo. Supponiamo vera per \(n\). Allora

\[ z^{n+1} = z^n \cdot z = (\rho ^n e^{in\theta }) \cdot (\rho e^{i\theta }) = \rho ^{n+1} e^{i(n+1)\theta }, \]

usando la regola del prodotto. \(\checkmark\)

Per \(n = 0\): \(z^0 = 1 = \rho ^0 e^{i \cdot 0 \cdot \theta }\). \(\checkmark\)

Per \(n < 0\): \(z^{-n} = 1/z^n = 1/(\rho ^n e^{in\theta }) = \rho ^{-n} e^{-in\theta }\). \(\checkmark\)

Quindi la formula vale per ogni \(n \in \mathbb{Z} \).

Applicazioni di De Moivre

Calcolo veloce di potenze

Per calcolare \(z^n\) con \(z = a + ib\) algebrica, la procedura è:

1.
Convertire \(z\) in forma esponenziale: \(\rho e^{i\theta }\).
2.
Calcolare \(\rho ^n\) e \(n\theta \).
3.
Convertire \(\rho ^n e^{in\theta }\) in algebrica (se richiesto).
Identità trigonometriche multiple

Sviluppando \((\cos \theta + i\operatorname{sen} \theta )^n\) col binomio di Newton e identificando parte reale e parte immaginaria con \(\cos (n\theta )\) e \(\operatorname{sen} (n\theta )\), si ottengono le formule multiple.

Esempio 121.1 — Formula di \(\cos 2\theta \) e \(\operatorname{sen} 2\theta \) da De Moivre

Per \(n = 2\): \((\cos \theta + i\operatorname{sen} \theta )^2 = \cos 2\theta + i\operatorname{sen} 2\theta \).

Espandendo il primo membro: \(\cos ^2\theta - \operatorname{sen} ^2\theta + 2 i \operatorname{sen} \theta \cos \theta \).

Identificando parti reali e immaginarie:

\[ \cos 2\theta = \cos ^2\theta - \operatorname{sen} ^2\theta , \quad \operatorname{sen} 2\theta = 2\operatorname{sen} \theta \cos \theta . \]

Le formule di duplicazione (cap. 100) ricavate in un’unica riga con De Moivre.

Esempio 121.2 — Formula di \(\cos 3\theta \) da De Moivre

Per \(n = 3\): \((\cos \theta + i\operatorname{sen} \theta )^3 = \cos 3\theta + i \operatorname{sen} 3\theta \).

Espandendo (binomio di Newton):

\[ \cos ^3\theta + 3 i \cos ^2\theta \operatorname{sen} \theta - 3 \cos \theta \operatorname{sen} ^2\theta - i \operatorname{sen} ^3\theta . \]

Parte reale: \(\cos 3\theta = \cos ^3\theta - 3\cos \theta \operatorname{sen} ^2\theta = 4\cos ^3\theta - 3\cos \theta \) (usando \(\operatorname{sen} ^2 = 1 - \cos ^2\)).

Parte immaginaria: \(\operatorname{sen} 3\theta = 3\cos ^2\theta \operatorname{sen} \theta - \operatorname{sen} ^3\theta = 3\operatorname{sen} \theta - 4\operatorname{sen} ^3\theta \).

121.4 Radici \(n\)-esime di un numero complesso

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Definizione 121.2 — Radice \(n\)-esima di un numero complesso

Dato un numero complesso \(w \ne 0\) e un intero \(n \ge 1\), si dice radice \(n\)-esima di \(w\) ogni numero complesso \(z\) tale che \(z^n = w\).

Formula generale

Formula delle radici \(n\)-esime: sia \(w = R e^{i\varphi }\) (con \(R > 0\)). Le \(n\) radici \(n\)-esime di \(w\) sono:

\[ z_k = \sqrt [n]{R} \, e^{i(\varphi + 2k\pi )/n}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots , n - 1. \]

Derivazione. Cerchiamo \(z = \rho e^{i\theta }\) tale che \(z^n = w\). Da De Moivre, \(z^n = \rho ^n e^{in\theta } = R e^{i\varphi }\).

Uguagliando moduli e argomenti:

Quante soluzioni distinte? Per \(k = 0, 1, \ldots , n-1\) otteniamo \(n\) argomenti distinti modulo \(2\pi \), quindi \(n\) numeri complessi distinti. Per \(k = n\) si ritorna a \(k = 0\) (l’argomento aumenta di \(2\pi \)).

Disposizione geometrica

Le \(n\)radici \(n\)-esime di \(w\) sono i vertici di un poligono regolare di \(n\) lati, inscritto nella circonferenza di centro \(0\) e raggio \(\sqrt [n]{R}\). Ogni radice è ottenuta dalla precedente ruotando di \(2\pi /n\) in senso antiorario.

[Picture]

Figura 121.1: Le sei radici seste dell’unità (\(w = 1\)). Sono i vertici di un esagono regolare inscritto nel cerchio unitario, \(z_k = e^{i 2k\pi /6} = e^{i k\pi /3}\) per \(k = 0, 1, \ldots , 5\).

Procedura operativa

Procedura  — Calcolare le radici \(n\)-esime di \(w\)

1.
Scrivere \(w\) in forma esponenziale: \(w = R e^{i\varphi }\).
2.
Modulo delle radici: \(\rho = \sqrt [n]{R}\).
3.
Argomenti delle radici: \(\theta _k = (\varphi + 2k\pi )/n\) per \(k = 0, 1, \ldots , n - 1\).
4.
Convertire (eventualmente) in forma algebrica.

121.5 Radici dell’unità

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Definizione 121.3 — Radici \(n\)-esime dell’unità

Le radici \(n\)-esime dell’unità sono i numeri complessi \(z\) tali che \(z^n = 1\).

Applicando la formula generale con \(w = 1 = e^{i \cdot 0}\):

Radici \(n\)-esime dell’unità:

\[ z_k = e^{i 2k\pi /n}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots , n - 1. \]

In forma trigonometrica:

\[ z_k = \cos (2k\pi /n) + i\operatorname{sen} (2k\pi /n). \]

Casi particolari

Radici dell’unità per piccoli \(n\):

Proprietà delle radici dell’unità

Proprietà notevoli:

Dimostrazione della somma. Le radici dell’unità sono i vertici di un poligono regolare centrato nell’origine; per simmetria, il loro baricentro è \(0\), e \(n\) volte il baricentro è \(0\).

Algebricamente: \(\sum _{k=0}^{n-1} e^{i 2k\pi /n}\) è la somma di una progressione geometrica di ragione \(\omega = e^{i 2\pi /n}\) con \(n\) termini:

\[ \sum _{k=0}^{n-1} \omega ^k = \frac {\omega ^n - 1}{\omega - 1} = \frac {1 - 1}{\omega - 1} = 0 \]

(per \(n \ge 2\), denominatore non nullo).

Polinomio ciclotomico

Le radici \(n\)-esime dell’unità sono le radici del polinomio \(z^n - 1 = 0\). Quindi:

\[ z^n - 1 = \prod _{k=0}^{n-1} (z - z_k). \]

Connessione con poligoni regolari

I vertici di un poligono regolare di \(n\) lati inscritto nel cerchio unitario sono esattamente le radici \(n\)-esime dell’unità. Per costruire poligoni regolari con riga e compasso, basta saper costruire le coordinate \(\cos (2\pi /n) + i\operatorname{sen} (2\pi /n)\); Gauss dimostrò nel 1796 che ciò è possibile se e solo se \(n\) è un primo di Fermat (o un prodotto di tali primi). Da qui la costruibilità del 17-agono regolare (suo primo grande risultato).

121.6 Esempi svolti

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Esempio 121.3 — Potenza con De Moivre

Calcolare \((1 + i)^8\).

Forma esponenziale: \(1 + i = \sqrt {2} \, e^{i\pi /4}\).

Potenza: \((1+i)^8 = (\sqrt {2})^8 \, e^{i \cdot 8\pi /4} = 16 \, e^{i 2\pi } = 16\).

Risultato: \((1+i)^8 = 16\).

Esempio 121.4 — Radici quadrate di un numero complesso

Trovare le radici quadrate di \(w = -1 + i\sqrt {3}\).

Forma esponenziale: \(w = 2 e^{i 2\pi /3}\) (II quadrante, \(\rho = 2\), \(\theta = 2\pi /3\)).

Modulo delle radici: \(\rho = \sqrt {2}\).

Argomenti: \(\theta _k = (2\pi /3 + 2k\pi )/2\), \(k = 0, 1\):

\[ \theta _0 = \pi /3, \qquad \theta _1 = \pi /3 + \pi = 4\pi /3. \]

Radici:

\[ z_0 = \sqrt {2} \, e^{i\pi /3} = \sqrt {2}(1/2 + i\sqrt {3}/2) = \dfrac {\sqrt {2} + i\sqrt {6}}{2}, \]
\[ z_1 = \sqrt {2} \, e^{i 4\pi /3} = -z_0 = \dfrac {-\sqrt {2} - i\sqrt {6}}{2}. \]

Verifica: \(z_0^2 = 2 \, e^{i 2\pi /3} = w\). \(\checkmark\)

Esempio 121.5 — Radici cubiche dell’unità

Calcolare le tre radici cubiche di \(1\).

Formula: \(z_k = e^{i 2k\pi /3}\) per \(k = 0, 1, 2\):

\[ z_0 = 1, \quad z_1 = e^{i 2\pi /3} = -\dfrac {1}{2} + i\dfrac {\sqrt {3}}{2}, \quad z_2 = e^{i 4\pi /3} = -\dfrac {1}{2} - i\dfrac {\sqrt {3}}{2}. \]

Verifica: \(z_1^3 = e^{i 2\pi } = 1\). \(\checkmark\)

Somma: \(z_0 + z_1 + z_2 = 1 - 1/2 - 1/2 + i(\sqrt {3}/2 - \sqrt {3}/2) = 0\). \(\checkmark\)

Curiosità: \(z_1\) e \(z_2\) sono spesso indicate con \(\omega \) e \(\omega ^2\) (notazione classica). Soddisfano \(\omega ^2 + \omega + 1 = 0\), dato che \(\omega \ne 1\) ma \(\omega ^3 = 1 \Rightarrow (\omega - 1)(\omega ^2 + \omega + 1) = 0\).

Esempio 121.6 — Radici quarte di \(16\)

Calcolare le quattro radici quarte di \(16\).

Forma esponenziale: \(16 = 16 e^{i \cdot 0}\).

Modulo delle radici: \(\sqrt [4]{16} = 2\).

Argomenti: \(\theta _k = (0 + 2k\pi )/4 = k\pi /2\), \(k = 0, 1, 2, 3\):

\[ \theta _0 = 0, \quad \theta _1 = \pi /2, \quad \theta _2 = \pi , \quad \theta _3 = 3\pi /2. \]

Radici: \(2, 2i, -2, -2i\).

Osservazione. Su \(\mathbb{R} \) le radici quarte di \(16\) sono solo due (\(2\) e \(-2\)); le altre due (\(2i\) e \(-2i\)) sono “immaginarie”. In \(\mathbb{C} \) ci sono sempre \(4\).

Esempio 121.7 — Radici sesta di \(-1\)

Calcolare le sei radici seste di \(-1\).

Forma esponenziale: \(-1 = e^{i\pi }\).

Modulo delle radici: \(\sqrt [6]{1} = 1\).

Argomenti: \(\theta _k = (\pi + 2k\pi )/6 = (1 + 2k)\pi /6\), \(k = 0, \ldots , 5\):

\[ \pi /6, \quad 3\pi /6 = \pi /2, \quad 5\pi /6, \quad 7\pi /6, \quad 9\pi /6 = 3\pi /2, \quad 11\pi /6. \]

Radici: \(e^{i\pi /6}, i, e^{i 5\pi /6}, e^{i 7\pi /6}, -i, e^{i 11\pi /6}\).

In forma algebrica: \(\dfrac {\sqrt {3} \pm i}{2}, \pm i, \dfrac {-\sqrt {3} \pm i}{2}\).

Esempio 121.8 — Equazione complessa

Risolvere \(z^3 = 8i\) in \(\mathbb{C} \).

Forma esponenziale: \(8i = 8 e^{i\pi /2}\).

Modulo delle radici: \(\sqrt [3]{8} = 2\).

Argomenti: \(\theta _k = (\pi /2 + 2k\pi )/3\), \(k = 0, 1, 2\):

\[ \pi /6, \quad \pi /6 + 2\pi /3 = 5\pi /6, \quad \pi /6 + 4\pi /3 = 3\pi /2. \]

Soluzioni:

\[ z_0 = 2 e^{i\pi /6} = \sqrt {3} + i, \quad z_1 = 2 e^{i 5\pi /6} = -\sqrt {3} + i, \quad z_2 = 2 e^{i 3\pi /2} = -2i. \]

Esempio 121.9 — Triplicazione del seno via De Moivre

Ricavare \(\operatorname{sen} 3\theta \) in funzione di \(\operatorname{sen} \theta \).

De Moivre: \((\cos \theta + i\operatorname{sen} \theta )^3 = \cos 3\theta + i\operatorname{sen} 3\theta \).

Espansione binomiale:

\[ \cos ^3\theta + 3i \cos ^2\theta \operatorname{sen} \theta - 3\cos \theta \operatorname{sen} ^2\theta - i\operatorname{sen} ^3\theta . \]

Parte immaginaria: \(\operatorname{sen} 3\theta = 3\cos ^2\theta \operatorname{sen} \theta - \operatorname{sen} ^3\theta \).

Sostituendo \(\cos ^2\theta = 1 - \operatorname{sen} ^2\theta \):

\[ \operatorname{sen} 3\theta = 3(1 - \operatorname{sen} ^2\theta )\operatorname{sen} \theta - \operatorname{sen} ^3\theta = 3\operatorname{sen} \theta - 4\operatorname{sen} ^3\theta . \]

Formula classica di triplicazione (vedi cap. 100).

121.7 Esercizi proposti

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Esercizio 121.1

1.
Calcolare le seguenti potenze usando De Moivre:
(a)
\((1 + i)^{12}\);
(b)
\((\sqrt {3} - i)^6\);
(c)
\((-1 + i)^{10}\);
(d)
\((\cos 20° + i\operatorname{sen} 20°)^9\);
(e)
\(\left (\dfrac {1+i}{1-i}\right )^{15}\) (suggerimento: prima semplificare \((1+i)/(1-i) = i\)).
2.
Trovare le radici quadrate di:
(a)
\(w = -1\);
(b)
\(w = i\);
(c)
\(w = -4\);
(d)
\(w = 1 + i\sqrt {3}\);
(e)
\(w = 8 - 6i\) (suggerimento: scrivere in forma esp.).
3.
Trovare le radici cubiche di:
(a)
\(w = 8\);
(b)
\(w = -27\);
(c)
\(w = i\);
(d)
\(w = 4(1 - i)\).
4.
Trovare le radici quarte di:
(a)
\(w = 1\);
(b)
\(w = -1\);
(c)
\(w = 16i\);
(d)
\(w = -81\) (anticipa caso classico delle radici quarte di un negativo).
5.
Risolvere in \(\mathbb{C} \):
(a)
\(z^2 + 4 = 0\);
(b)
\(z^3 + 1 = 0\);
(c)
\(z^4 - 16 = 0\);
(d)
\(z^6 = -64\);
(e)
\(z^2 = 2i\);
(f)
\(z^4 + 4 = 0\) (suggerimento: \(-4 = 4 e^{i\pi }\)).
6.
Calcolare le seguenti radici e disegnarle nel piano di Argand-Gauss:
(a)
radici cubiche di \(1\) (vertici di un triangolo equilatero);
(b)
radici quarte di \(1\) (vertici di un quadrato);
(c)
radici quinte di \(1\) (vertici di un pentagono regolare).
7.
Verificare che le radici \(n\)-esime dell’unità sommano a \(0\) per \(n = 3, 4, 5, 6\) (sostituendo i valori espliciti).
8.
Ricavare \(\cos 4\theta \) in funzione di \(\cos \theta \) e \(\operatorname{sen} 4\theta \) in funzione di \(\operatorname{sen} \theta \) e \(\cos \theta \) usando De Moivre.
9.
Sia \(\omega = e^{i 2\pi /3}\) una radice cubica primitiva di \(1\). Mostrare che \(1 + \omega + \omega ^2 = 0\). Da qui dedurre \(\omega ^2 = -1 - \omega \) e calcolare \(\omega + 1/\omega \).
10.
Dimostrare che le radici cubiche di \(-1\) sono \(-1, (1 + i\sqrt {3})/2, (1 - i\sqrt {3})/2\). (Notare che le ultime due sono coniugate e moltiplicano a \(1\).)
11.
Il polinomio \(z^5 - 1\) ha cinque radici complesse. Senza calcolarle esplicitamente, mostrare che la loro somma vale \(0\) e il loro prodotto vale \(1\) (formule di Viète, cap. 50).
12.
Sfida (poligoni regolari). Mostrare che le coordinate del 17-agono regolare inscritto nel cerchio unitario sono \(\cos (2k\pi /17) + i\operatorname{sen} (2k\pi /17)\) per \(k = 0, 1, \ldots , 16\). (Gauss dimostrò che questi cosini si esprimono con radicali, e quindi che il 17-agono è costruibile con riga e compasso.)
13.
Sfida. Mostrare l’identità \(z^n - 1 = (z - 1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \cdots + z + 1)\) usando la formula di una somma geometrica.
14.
Trovare tutti i numeri complessi \(z\) tali che \(z^4 = z\). (Suggerimento: \(z(z^3 - 1) = 0\) \(\rightarrow \) \(z = 0\) o radici cubiche dell’unità.)
15.
Mostrare che, se \(z\) è una radice \(n\)-esima primitiva dell’unità (cioè \(z^n = 1\) ma \(z^k \ne 1\) per \(0 < k < n\)), allora \(\{1, z, z^2, \ldots , z^{n-1}\}\) è l’insieme di tutte le radici \(n\)-esime.
16.
Trovare le radici dell’equazione \(z^6 + 1 = 0\) e fattorizzare \(z^6 + 1\) come prodotto di polinomi di secondo grado a coefficienti reali. (Suggerimento: coppia ogni radice complessa col suo coniugato.)
17.
In elettrotecnica, una corrente alternata trifase è formata da tre fasori \(\tilde {I}_1 = I_0 e^{i\omega t}\), \(\tilde {I}_2 = I_0 e^{i(\omega t - 2\pi /3)}\), \(\tilde {I}_3 = I_0 e^{i(\omega t + 2\pi /3)}\). Mostrare che la loro somma vale \(0\). (Spiegazione: i tre fasori sono \(I_0 e^{i\omega t}\) moltiplicati per le radici cubiche dell’unità, che sommano a zero.)

121.8 Riepilogo del capitolo

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