“
Trovo che la probabilità di un errore osservativo sia proporzionale a \(e^{-h^2 \varepsilon ^2}\), dove \(\varepsilon \) è l’errore e \(h\) una costante
che ne misura la precisione. Questa legge è quella che la natura sembra effettivamente seguire
negli errori di misura: gli errori piccoli sono più frequenti dei grandi, e la frequenza diminuisce
esponenzialmente col quadrato dell’errore. Le sue conseguenze nella stima dei parametri sono di profonda
utilità.”
— Carl Friedrich Gauss, Theoria motus corporum coelestium (1809), prima esposizione sistematica della curva degli errori, oggi nota come normale o gaussiana
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La distribuzione normale, o gaussiana, è la distribuzione di probabilità più importante di tutta la matematica applicata. Compare in praticamente ogni misura sperimentale (errori di misura), in ogni fenomeno biologico (altezze, pesi, parametri fisiologici), in ogni misurazione di massa (QI, voti agli esami), nei modelli finanziari (rendimenti di un titolo), nei modelli di rumore in fisica e ingegneria.
La sua centralità deriva dal celebre teorema centrale del limite: la somma (o media) di un gran numero di VA indipendenti, con qualsiasi distribuzione, tende a distribuirsi in modo approssimativamente normale. Questa è la ragione profonda per cui molti fenomeni naturali — somme di moltissimi effetti indipendenti — mostrano distribuzioni a forma di campana.
In questo capitolo:
Nota storica. La curva a campana appare per la prima volta in Abraham de Moivre (1733) come approssimazione della binomiale per \(n\) grande. Pierre-Simon Laplace (1812) la generalizzò e ne diede una prima trattazione probabilistica completa. Gauss (1809) la introdusse indipendentemente nella Theoria motus corporum coelestium per modellare gli errori di misura astronomici — da qui il nome “gaussiana”. Il teorema centrale del limite, nella sua forma moderna, è stato dimostrato in pieno rigore da Aleksandr Lyapunov (1901) e Paul Lévy (1922–1925).
Definizione 159.1 — Distribuzione normale
Per ogni \(X \sim \mathcal N(\mu , \sigma ^2)\):
Mnemonica: \(68\)-\(95\)-\(99.7\).
Interpretazione: nelle misure normali, quasi tutti i valori cadono entro \(\pm 3\sigma \) dalla media (praticamente certezza). Un valore a più di \(3\sigma \) dalla media è anomalo e richiede spiegazione.
Una proprietà fondamentale della normale è la sua invarianza per traslazione e cambio di scala. Da \(X \sim \mathcal N(\mu , \sigma ^2)\) possiamo passare a una nuova variabile \(Z\) con media \(0\) e varianza \(1\):
Standardizzazione: se \(X \sim \mathcal N(\mu , \sigma ^2)\), allora
\(Z\) si dice variabile normale standard.
Dimostrazione: \(E(Z) = (E(X) - \mu )/\sigma = 0\); \(\operatorname {Var}(Z) = \operatorname {Var}(X)/\sigma ^2 = 1\). Inoltre \(Z\) è una trasformazione lineare di una normale, dunque ancora normale.
Significato: \(Z\) misura “a quante deviazioni standard” un valore \(X\) è dalla media. Se \(z = 2\), \(X\) è \(2\sigma \) sopra la media; se \(z = -1\), \(X\) è \(1\sigma \) sotto.
Per calcolare \(P(a \le X \le b)\) con \(X \sim \mathcal N(\mu , \sigma ^2)\):
dove \(Z \sim \mathcal N(0, 1)\), e ci si riconduce alla normale standard, le cui probabilità sono tabulate.
La funzione di ripartizione della normale standard è
Importante: \(\Phi (z)\) non è esprimibile in forma chiusa con le funzioni elementari (è la celebre funzione errore \(\operatorname {erf}\) a meno di una trasformazione). Si calcola numericamente e si tabula. Alcuni valori notevoli:
| \(z\) | \(0.0\) | \(0.5\) | \(1.0\) | \(1.5\) | \(2.0\) | \(2.5\) |
| \(\Phi (z)\) | \(0.5000\) | \(0.6915\) | \(0.8413\) | \(0.9332\) | \(0.9772\) | \(0.9938\) |
| \(z\) | \(3.0\) | \(1.645\) | \(1.96\) | \(2.326\) | \(2.576\) | \(\ldots \) |
| \(\Phi (z)\) | \(0.9987\) | \(0.950\) | \(0.975\) | \(0.990\) | \(0.995\) | \(\ldots \) |
Esempio 159.1 — Calcolo via tavole
\(X \sim \mathcal N(50, 10^2)\) (\(\mu = 50\), \(\sigma = 10\)). Calcolare \(P(40 \le X \le 65)\).
Standardizzo: \(z_1 = (40-50)/10 = -1\), \(z_2 = (65-50)/10 = 1.5\).
Circa \(77.5\%\).
Esempio 159.2 — Quantile inverso
Per quale valore \(x\) vale \(P(X \le x) = 0.95\), con \(X \sim \mathcal N(100, 16)\) (\(\mu = 100\), \(\sigma = 4\))?
\(\Phi (z) = 0.95 \Rightarrow z \approx 1.645\) (dalla tavola). \(x = \mu + z \sigma = 100 + 1.645 \cdot 4 = 106.58\).
Teorema 159.1 — Approssimazione di de Moivre–Laplace
Storicamente: questo è il primo caso del teorema centrale del limite, scoperto da Abraham de Moivre (1733) e generalizzato da Laplace (1812).
Quando si approssima una distribuzione discreta (binomiale) con una continua (normale), si introduce una piccola correzione: \(P(X = k) \approx P(k - 1/2 \le Y \le k + 1/2)\) con \(Y\) normale. Similmente \(P(X \le k) \approx \Phi ((k + 1/2 - np)/\sqrt {np(1-p)})\).
Esempio 159.3 — \(B(100, 0.5)\) approssimata
\(X \sim B(100, 0.5)\). \(np = 50\), \(np(1-p) = 25\), \(\sigma = 5\). Probabilità di \(X\) fra \(45\) e \(55\) inclusi?
Senza correzione: \(P(45 \le X \le 55) \approx P((45-50)/5 \le Z \le (55-50)/5) = P(-1 \le Z \le 1) \approx 0.683\).
Con correzione: \(P(44.5 \le Y \le 55.5) = P(-1.1 \le Z \le 1.1) = 2 \Phi (1.1) - 1 \approx 2 \cdot 0.8643 - 1 = 0.729\). Più accurato.
(Valore vero binomiale: \(\approx 0.728\). La correzione di continuità migliora significativamente l’approssimazione.)
Teorema 159.2 — Teorema centrale del limite — enunciato base
Siano \(X_1, X_2, \ldots , X_n\) VA indipendenti e identicamente distribuite, con media \(\mu \) e varianza \(\sigma ^2\) finite. Sia \(\bar X_n = (X_1 + \cdots + X_n)/n\) la media campionaria. Allora, per \(n \to \infty \):
Significato profondo: la media campionaria, qualunque sia la distribuzione originale, è approssimativamente normale per \(n\) grande. Questo spiega l’ubiquità della normale in natura: ogni fenomeno è la “somma” di tanti piccoli effetti indipendenti, e la somma è (approssimativamente) normale.
Conseguenza: l’errore della stima di una media decresce come \(1/\sqrt n\). Raddoppiare la precisione richiede di quadruplicare il numero di osservazioni: principio cardine della statistica.
Esempio 159.4 — Altezza di una popolazione
L’altezza degli uomini italiani è approssimativamente \(\mathcal N(175, 7^2)\) cm. Calcolare:
Esempio 159.5 — QI
Il quoziente intellettivo (QI) è per costruzione \(\mathcal N(100, 15^2)\) in una popolazione. Calcolare:
Esempio 159.6 — Tolleranze meccaniche
Una macchina produce viti di diametro \(\mathcal N(10, 0.02^2)\) mm. Una vite è “accettabile” se il diametro è fra \(9.95\) e \(10.05\) mm. Quale percentuale è scartata?
\(z_1 = (9.95-10)/0.02 = -2.5\), \(z_2 = 2.5\). \(P(|Z| \le 2.5) = 2 \Phi (2.5) - 1 = 2 \cdot 0.9938 - 1 = 0.9876\). Scartate: \(\approx 1.24\%\).
Esempio 159.7 — Sondaggio: intervallo di fiducia
In un sondaggio su \(n = 1000\) persone, \(\hat p = X/n = 0.40\) (\(40\%\) favorevoli a un candidato). Intervallo di fiducia al \(95\%\) per la quota \(p\) nella popolazione?
\(X \sim B(1000, p) \approx \mathcal N(np, np(1-p))\). \(\sigma _{\hat p} = \sqrt {p(1-p)/n} \approx \sqrt {0.4 \cdot 0.6/1000} \approx 0.0155\). Intervallo al \(95\%\) (cioè \(\hat p \pm 1.96 \sigma \)): \(0.40 \pm 1.96 \cdot 0.0155 \approx 0.40 \pm 0.030\), ovvero \([37.0\%, 43.0\%]\).
Lezione: il margine di errore è di circa \(\pm 3\) punti percentuali per \(n = 1000\). Per dimezzarlo a \(\pm 1.5\%\) servirebbero \(n = 4000\) (quattro volte tanto, per la regola \(1/\sqrt n\)).
Esempio 159.8 — Approssimazione di una somma di dadi
\(X_1, \ldots , X_{50}\) sono \(50\) lanci di un dado a \(6\) facce. Sia \(S = X_1 + \cdots + X_{50}\). Distribuzione di \(S\)?
Per il TCL, \(S\) è approssimativamente normale con \(\mu _S = 50 \cdot 3.5 = 175\) e \(\sigma _S^2 = 50 \cdot 35/12 \approx 145.8\), \(\sigma _S \approx 12.07\). \(S \approx \mathcal N(175, 145.8)\).
\(P(S > 200) \approx P(Z > (200 - 175)/12.07) = P(Z > 2.07) \approx 1 - 0.981 = 0.019\) (\(\approx 2\%\)).
Esempio 159.9 — Errore di misura ripetuta
Una bilancia ha errore sistematico nullo e \(\sigma = 0.1\,{\mathrm{g} }\) per ogni pesata. Se si effettuano \(n = 100\) pesate indipendenti dello stesso oggetto e si prende la media, qual è l’errore standard della media?
\(\sigma _{\bar X} = \sigma /\sqrt n = 0.1/10 = 0.01\,{\mathrm{g} }\). La media riduce l’errore di un fattore \(\sqrt {100} = 10\). Per ridurlo di un altro fattore \(10\) servirebbero \(10000\) pesate. Questo è il prezzo (raddoppiare = quadruplicare) del miglioramento di precisione tramite ripetizione.
Esempio 159.10 — Test di significatività (cenno)
Una moneta è equa? Si lancia \(n = 100\) volte e si ottengono \(X = 60\) teste. È plausibile \(p = 0.5\) o c’è asimmetria?
Sotto \(p = 0.5\): \(X \sim \mathcal N(50, 25)\). \(z = (60 - 50)/5 = 2\). \(P(|Z| \ge 2) = 2(1 - 0.9772) = 0.0456\) (\(\approx 4.6\%\)). Cioè: se la moneta fosse equa, l’evento “\(60\) o più teste o \(40\) o meno” avrebbe probabilità \(\sim 5\%\). È sul confine del “ragionevolmente raro”. A livello di significatività \(5\%\) si rifiuta l’ipotesi di equità; a livello \(1\%\) non si rifiuta. È l’idea di base dei test di ipotesi statistici (corso universitario di inferenza statistica).
Esercizio 159.1
Discutere la differenza fra le due leggi: la prima dice “dove va la media”, la seconda “con quale precisione e in che forma”. Sono complementari: una è la convergenza, l’altra la fluttuazione.
Riepilogo
Distribuzione normale \(\mathcal N(\mu , \sigma ^2)\): densità
curva a campana simmetrica rispetto a \(\mu \), con flessi in \(\mu \pm \sigma \). \(E(X) = \mu \), \(\operatorname {Var}(X) = \sigma ^2\).
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