Avere un esponente frazionario non significa nulla di nuovo: significa avere una radice mascherata in forma
di potenza, ma con tutta la potenza espressiva del calcolo delle potenze.”
— adattamento da Isaac Newton, lettera del 13 giugno 1676 a Henry Oldenburg
Nel capitolo 9 abbiamo definito \(a^n\) per \(n\in \mathbb{Z} \). Nel capitolo 46 abbiamo introdotto i radicali \(\sqrt [n]{a}\). Restano un
pezzo di mondo da unificare: cosa significa \(a^{1/2}\), \(a^{2/3}\), \(a^{-3/4}\)? Come si comportano queste potenze
“frazionarie”?
L’idea è semplicissima e di Isaac Newton (1676): se vogliamo che la proprietà \((a^m)^n = a^{mn}\) continui a valere
anche con \(m=1/n\), dobbiamo imporre \((a^{1/n})^n = a^1 = a\). Quindi \(a^{1/n}\) è il numero il cui \(n\)-esimo potere è \(a\): per definizione, è la
radice \(n\)-esima di \(a\). È esattamente questo collegamento — radice \(\leftrightarrow \) potenza frazionaria — che apre le
porte a tutto il calcolo successivo, fino alla funzione esponenziale e ai logaritmi (capitoli 80 e
81).
In questo capitolo formalizziamo la potenza a esponente razionale, ne stabiliamo le condizioni di
esistenza (la cautela è ancora sul segno della base), verifichiamo che le cinque proprietà delle
potenze continuano a valere per esponenti in \(\mathbb{Q} \), e impariamo a passare con disinvoltura dalla forma
radicale alla forma esponente frazionario e viceversa.
Per \(a=0\): \(0^{m/n} = 0\) se \(m/n>0\); indefinita altrimenti.
Nota — Perché \(a>0\)
La definizione si limita a \(a>0\) per evitare ambiguità con il segno e l’esistenza dei radicali. Ad
esempio:
\(a=-8\), \(m/n=1/3\): \((-8)^{1/3}\) si potrebbe interpretare come \(\sqrt [3]{-8}=-2\). Sembra OK.
\(a=-8\), \(m/n=2/6\) (stesso razionale!): \((-8)^{2/6}=\sqrt [6]{(-8)^2}=\sqrt [6]{64}=2\), di segno opposto al precedente.
La stessa frazione \(1/3 = 2/6\) darebbe risultati diversi! Per evitare contraddizioni si conviene di
restringersi a basi positive.
Nota — Indipendenza dalla rappresentazione della
frazione
Per \(a>0\), la proprietà invariantiva dei radicali (capitolo 46) garantisce che \(a^{m/n}\) dipende solo dal
razionale \(m/n\), non da come è scritto:
Dimostrazione (idea). Sono esattamente le cinque proprietà di AA-003 estese a \(\mathbb{Q} \): tutte si
verificano applicando la definizione \(a^{m/n}=\sqrt [n]{a^m}\) e le proprietà dei radicali del capitolo 47. Ad esempio per la
prima: \(a^{p}\cdot a^{q}\), scritto a comune denominatore \(a^{m_1/k}\cdot a^{m_2/k} = \sqrt [k]{a^{m_1}}\cdot \sqrt [k]{a^{m_2}} = \sqrt [k]{a^{m_1+m_2}} = a^{(m_1+m_2)/k} = a^{p+q}\).
Per il momento abbiamo \(a^p\) con \(p\in \mathbb{Q} \). Si può estendere a \(p\in \mathbb{R} \) tramite un argomento di limite: per
ogni reale \(\alpha \), si può approssimare con razionali \(p_n\to \alpha \) e definire \(a^\alpha =\lim _{n\to \infty } a^{p_n}\). Questa è la base del capitolo
80 (potenze a esponente reale) e 81 (funzione esponenziale). Tutte le proprietà sopra
continuano a valere per \(p, q\in \mathbb{R} \).
Il passaggio dalla forma radicale alla forma esponenziale e viceversa è uno strumento operativo
importantissimo.
Procedura — Da radicale a esponente
razionale
1.
Si individua l’indice \(n\) del radicale e l’esponente \(m\) del radicando.
2.
Si riscrive: \(\sqrt [n]{a^m} = a^{m/n}\).
Procedura — Da esponente razionale a
radicale
1.
Si scrive \(\dfrac {m}{n}\) in forma ridotta ai minimi termini.
2.
Si interpreta: \(a^{m/n} = \sqrt [n]{a^m}\).
Esempio 48.2 — Tradurre fra notazioni
\(\sqrt [5]{a^3} = a^{3/5}\);
\(\sqrt [4]{x^{12}} = x^{12/4} = x^3\);
\(a^{2/3} = \sqrt [3]{a^2}\);
\(\dfrac {1}{\sqrt {x}} = x^{-1/2}\).
Nota — Quale notazione conviene?
La forma radicale è spesso più intuitiva per espressioni con un solo radicale.
La forma esponenziale è più comoda quando si devono manipolare molti radicali,
perché si applicano direttamente le proprietà delle potenze.
La buona pratica è imparare a passare dall’una all’altra senza fatica, e usare l’una o l’altra a
seconda di cosa si sta facendo. In particolare, per derivare o integrare (capitoli 134 e 145) la
forma esponenziale è la più conveniente: la regola di derivazione di \(x^p\) è uniforme per ogni \(p\in \mathbb{R} \).
Figura 48.1: Equivalenza fondamentale tra radicale ed esponente razionale, valida per ogni
base positiva \(a\). Permette di leggere uno stesso oggetto matematico in due notazioni: i radicali
sono comodi per la lettura intuitiva, gli esponenti razionali per il calcolo formale (specie nelle
derivate e negli integrali).
Senza la forma esponenziale, avremmo dovuto passare per il mcm degli indici e la
proprietà invariantiva — è la stessa cosa, ma scritta in modo più verboso.
Confronta (motivando): (a) \(2^{1/3}\) e \(3^{1/4}\); (b) \(4^{1/2}\) e \(9^{1/4}\); (c) \(2^{2/3}\) e \(5^{1/2}\).
8.
Verifica numericamente che valgono le proprietà delle potenze: (a) \((3^{1/2})^{2/3} = 3^{1/3}\); (b) \(4^{1/2}\cdot 9^{1/2} = (4\cdot 9)^{1/2} = 6\); (c) \(\dfrac {(8)^{1/3}}{(64)^{1/6}} = \dfrac {2}{2} = 1\).
9.
(Discussione.) Spiega perché \((-1)^{1/2}\) non è definito nel campo reale, e perché in generale
non si definisce \(a^{m/n}\) con \(a<0\) usando i radicali. (Suggerimento: confronta \((-8)^{1/3}\) con \((-8)^{2/6}\).)
Per \(a>0\) e \(\dfrac {m}{n}\in \mathbb{Q} \) (con \(n\in \mathbb{N} ^*\)): si definisce \(a^{m/n} = \sqrt [n]{a^m} = (\sqrt [n]{a})^m\).
La definizione si limita a basi positive per evitare ambiguità: \((-8)^{1/3}\neq (-8)^{2/6}\), mentre vorremmo che
le due espressioni coincidano essendo \(1/3 = 2/6\).
Equivalenza fondamentale: \(\sqrt [n]{a^m} \;\longleftrightarrow \; a^{m/n}\). Permette di passare dalla notazione radicale a quella
esponenziale e viceversa.
Le cinque proprietà delle potenze (capitolo 9) si estendono inalterate al caso razionale:
\(a^p\cdot a^q = a^{p+q}\), \((a^p)^q = a^{pq}\), \((ab)^p = a^p b^p\), \(a^p:b^p=(a/b)^p\), \(a^{-p}=1/a^p\).
La forma esponenziale è di solito più conveniente per il calcolo formale; la forma
radicale per la lettura “a colpo d’occhio”. Imparare a passare dall’una all’altra è la
competenza centrale del capitolo.
Estensione futura: si può definire \(a^\alpha \) per \(\alpha \in \mathbb{R} \) (approssimando con razionali), e su questo
poggia tutta la funzione esponenziale del capitolo 81.
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